对数在物理中的应用

1对数在物理中的应用

物理学是一门精确的科学，与数学有着密

切的关系。在应用物理知识解决实际问题时，

一般来说都要涉及数学运算、数学推理，处理的

问题愈复杂，应用的数学知识一般也愈高深。

物理学中运用的数学方法最常见的有比例

法、方程(组)法、数列法、函数法、几何(图形辅

助)法、图象法等。有一类物理情景为周期性的

多过程问题，涉及的相关物理量间关系的递推

式为指数或密函数，这类问题的求解一般来说

必须借助对数知识。还有，一些物理实验的结

果处理或误差分析也常常要利用对数知识。1.应用对数知识求解指数方程

有些问题的相关物理量间成指数函数或密

函数，例如a一扩或“一扩，其中a、b为常数，x

为未知，为求解x则必须取对数。

〔例1〕在原子反应堆中，用石墨(碳)作减

速剂使中子减速。已知碳核的质量是中子的12

倍，假设中子与碳核的碰撞是弹性正碰，而且碰

前的碳核都是静止的。设碰撞前中子的动能为

E0，问至少经过多少次碰撞，中子的动能才能小

于10一‘E0(1913=1.114，1911=1.041)?解析:设中子的质量为m，

碳核的质量为

M。碰撞前中子的速度为v0，碰撞后中子的速

度为v，碳核的速度为V。根据动量守恒和机械

能守恒

m跳一mv+MV1

上式为关于碰撞次数n的指数方程，取对数得:

解得:n一41.1

所以至少要碰撞42次，10一6E0。中子的动能才小于[例2〕容积为V0一SL的容器内盛有理

想气体。若用最大容积为△V一。.11，的活塞式

抽气筒抽气，在温度保持不变的情况下抽气多

少次，容器内剩余气体质量是原来的一半?(192

一0.3010，195=0.6989，195.1=0.7075)

解析:设容器中原有气体的质量为俩，压

强P0，抽气一次，整个气体分成V0、△V两部分，

压强由P0变到PI，以容器中原有的气体为研究

对象，由玻意耳定律P。V0一P，(V0+△V)解得: 第二次抽气，

2.应用对数知识进行非线性变换

物理学中经常会遇到非线性函数关系，通

过适当的坐标变换就有可能改为线性关系，其

中，通过取对数的方法就是常用的一种实现非

线性到线性变换的手段。例如①y~a犷，其中

a、b为常数，物理量y是物理量x的密函数，在

y一x坐标系中函数图象为曲线，当我们对①取

对数后可得:lgy一bl岁十lga、这样lgy为lgx的

线性函数，在lgy一lgx坐标系下，图象为一直线，其斜率为b，纵截距为lga;又如②y~abx，其

中a、b为常数，物理量y是物理量x的指数函

数，在y一x坐标系中函数图象为曲线，当我们

对②取对数后可得:lgy一(lgb)x十lga，这样lgy

为x的线性函数，在lgy一x坐标系下，图象为

一直线，其斜率为lgb，纵截距为lga。

[例3〕太阳系中的8大行星的轨道均可

以近似看成圆轨道。下列4幅图是用来描述这

些行星运动所遵从的某一规律的图像。图中坐

标系的横轴是19(T/To)，纵轴是19(R/Ro);这

里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应

的圆轨道半径，几和R。分别是水星绕太阳运

行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中

正确的是()

解析:行星绕太阳作匀速圆周运动，由太阳施加的万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有

「例4]在“利用单摆测重力加速度”的实验中:多次改变摆长使单摆做小角度摆动，测量摆长L及相应的周期T。然后，分别取L和丁的对数，所得到的lgT一lgL图象为_ (填“直线”、“对数曲线”或“指数曲线”);读得图线与纵轴交点的纵坐标为。，由此得到该地的重力加速度g=

解析:根据单摆作小角度摆动周期公式

3.应用对数知识进行大尺度问题的压缩

我们知道，噪声的强度用分贝作单位，而声强的单位处理中就是典型

的大尺度问题的压缩。人类能听到的声强范围很广。例如，刚好

能听见的I000Hz声音的声强约而能引起耳膜压迫痛感的声强高达10W/m2，两者相差1013倍。比较相差这样多的声强很不便，于是引人声强级。取的声强为标准声强，记作I。，声强I

与标准声强I。之比的对数称作声强I的声强级，记作L:

l0声强级L的单位名称为贝[尔〕，符号为B。

通常用分贝(dB)为单位，IB一10dB。这样声强

级的公式可写成「例别《三国演义》中有张飞喝断当阳桥

的故事。设张飞大喝一声声强级为140dB，如果

一个士兵的喝声声强级为90dB，则张飞一喝相

当于多少士兵同时大喝一声?

故张飞一喝相当于10万士兵同时大喝一声。

最后还要说明的是，本文的讨论仅限中学物理和数学范围的物理学中应用对数的部分案例，实际上，对数知识在物理学中的应用还有不少，例如在含有电容器、电感器的电路中充放电、暂态过程问题的定量处理中都会联系到对数知识，更有一类复杂物理问题的求解要联系微分方程，其求解也常常涉及对数知识。