《线段的垂直平分线》典型例题教学文案

《线段的垂直平分

典型例题

典型例题

例1如图，已知：在ABC中， C 90 , A 30 , BD平分ABC交

AC于D.

求证：D在AB的垂直平分线上.

B

分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只

需证明BD DA即可•

证明：：C 90， A 30 （已知），

••• ABC 60 （Rt的两个锐角互余）

又••• BD平分ABC （已知）

1

DBA — ABC 30 A.

••• BD AD （等角对等边）

••• D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.

例2.如图，已知：在ABC中，AB AC，BAC 120，AB的垂直平分线交AB 于E，交BC于F。

求证：CF 2BF

分析：由于BAC 120 , AB AC，可得 B C 30，又因为EF垂直平分AB,连结AF，可得AF BF .要证CF 2BF，只需证CF 2AF，即证FAC 90就可以了.

证明：连结AF，

••• EF垂直平分AB （已知）

••• FA FB （线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等）

•- FAB B （等边对等角）

••• AB AC （已知），

••• B C （等边对等角）

又•••B AC 120 （已知），

••• B C 30 （三角形内角和定理）

••• BAF 30

••• FAC 90

••• FC 2FA （直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半）

••• FC 2FB

说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题.

例3.如图，已知：AD平分BAC，EF垂直平分AD，交BC延长线于

F，连结AF。

求证： B CAF。

分析：B与CAF不在同一个三角形中，又 B , CAF所在的两个三角形不全等，所以欲证 B CAF，不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF垂直平分AD，可得FA FD，因此FAD ADF，又因为

CAF FAD CAD，B ADF BAD，而CAD BAD，所以可证明CAF B.

证明：T EF垂直平分AD （已知），

••• FA FD （线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）•

••• FAD ADF（等边对等角）

••• B ADF BAD （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）,

CAF FAD CAD，

又BAD CAD（角平分线定义），

••• B CAF

说明：运用线段的垂直平分线的定理或逆定理，能使问题简化，如本例题

中，EF垂直平分AD，可以直接有结论FA FD，不必再去证明两个三角形全例4•如图，已知直线I和点A，点B，在直线I上求作一点P，使PA PB.

分析：假设P点已经作出，则由PA PB，那么根据“到线段两端点距离相

等的点在这条线段的垂直平分线上”可知，点P在线段AB的垂直平分线上•而点

P又在直线I上，则点P应是AB的垂直平分线与垂线I的交点

作法：1连结AB.

2.作线段AB的垂直平分线，交直线I于点P. 则P即为所求的点.

说明：在求作一个点时，要考虑该点具备什么样的特点，如它到一条线段的两个端点距离相等，它就在连结这两点的线段的垂直平分线上，如果它到一个角的两边的距离相等，它就在这个角的平分线上.