北师大版线段的垂直平分线
线段的垂直平分线(第1课时)教学课件--北师大版初中数学八年级(下)
第一章 三角形的证明
1.3线段的垂直平分线（第1课时）
学习目标
1. 学会综合法证明线段的垂直平分线的性质定理和判断定 理。（重点） 2.通过探索、发现、猜测、证明等过程，发展学生的推理 证明的能力、规范证明的书写格式。（难点）
新课导入
知识回顾
1.点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7,则PB=__7___. 2.如右图，在Rt△ABC中，∠B=900，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D， 交BC于点E，已知∠BAE=300，则∠C的度数为__3__0_°__.
情景导入
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头， 使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？
A
C
B
知识讲授
线段垂直平分线的性质定理
我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线 段两个端点距离相等.你能证明这一结论吗?
知识讲授
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
几何语言：
如图,∵PA=PB(已知),
A
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段
两个端点距离相等的点,在这条线段的
垂直平分线上).
P B
温馨提示：这个结论经常用来证明点在直线上（或直线经过某一点） 的根据之一．
随堂训练
1. 如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一
点，如果EC=7cm，那么ED= 7 cm；如果∠ECD=60 °， 那么∠EDC= 60 °．
符号语言：
P在线段AB的垂直平分线上 PA PB
温馨提示：这个结论是经常用来证明两条线段相 A
等的根据之一.
∟
P B
例1 如图：直线MN是线段AB的垂直平分线，点C为垂足，请问在图
线段的垂直平分线课件北师大版初中数学八年级下册
P
A
C
B
归纳总结 1．判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上． 2．条件：点到线段两端点距离相等； 3．结论：点在线段垂直平分线上． 4．几何语言：如图，∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上． 5．作用： ①作线段的垂直平分线的根据； ②可用来证线段垂直、相等．
第一章 三角形的证明 3.线段的垂直平分线
情境导入
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头， 使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?
学习目标
1.探索证明线段垂直平分线的性质和判定. 2.能运用线段垂直平分线性质和其判定解决实际问题. 3.经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步体会证明的 必要性，增强证明意识和能力，发展推理能力.
2．作用：可用来证明两线段相等．
随堂练习
1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为
E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( C )
A. 5cm
B.10cm
C. 15cm
D. 17.5cm
解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm， 又∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm. ∵AC＝AD＋DC＝20cm， ∴BC＝35－20＝15(cm).
我有哪些收获呢？ 与大家共分享！
课堂总结
北师大版七年级数学下册5.线段垂直平分线的性质及画法课件
新知探究
练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB 的垂直平分线，点P 为直线CD上的一
点，且PA=5，则线段PB 的长为（ B）
A. 6
B. 5
C. 4
C
P
D. 3
A
D E
A 图① D
B
B
C
图②
2.如图②所示，在△ABC 中，BC=8cm，边AB 的垂直平分线交AB 于点D，交
边AC 于点E, △BCE 的周长等于18cm，则AC的长是10cm .
课堂小结
线段的垂直 平分的性质
和画法
性质 画法
内容
线段的垂直平分线上的点到线 段的两个端点的距离相等 .
作 用 见垂直平分线，得线段相等 .
1、分别以线段的两个端点为圆心，以大于 二分之一线段的长为半径作弧，两弧在线 段两侧交于两点； 2、连接两个交点，即可作出所求线段的垂 直平分线 .
课堂小测
P2
P1
A
B
P3A _＝___ P3B
l
新知探究
猜想：点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 由此你能得到什么结论？ 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 你能验证这一结论吗？
新知探究
验证结论 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在直线l 上． 求证：PA =PB．
D.三边垂直平分线的交点
课堂小测
3.已知线段AB，在平面上找到三个点D，E，F，使DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，
这样的点的组合共有 无数 种. 4.下列说法： ①若点P，E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 ① ② ③ （填序号）.
北师大版八年级数学下册1.3线段垂直平分线 线段垂直平分线的性质与判定-讲练课件-(共30张PPT)
4.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分
线 上.
几何语言：
∵ AP＝BP ，
∴点P在AB的垂直平分线上．
5.如图，直线PO与AB交于点O，PA＝PB，则下列结论中正确的是
（D）
A.AO＝BO
B.PO⊥AB
C.PO是AB的垂直平分线
D.点P在AB的垂直平分线上
例2
如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝
∠ = ∠，
证明：在△ABM和△ABN中， = ，
∠ = ∠，
∴△ABM≌△ABN( ASA )．
∴AM＝AN，BM＝BN.
∴点A，B都落在MN的垂直平分线上．
∴AB垂直平分MN.
7．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分
线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12.
点．已知PA＝4，则线段PB的长为 4 ．
2．如图，若AC＝AD，BC＝BD，则（ B ）
A．CD垂直平分AB
B．AB垂直平分CD
C．CD平分∠ACB
D．以上均不对
3．如图，AD⊥BC于点D，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，
则AB，AC，CE的长度关系为（ D ）
A．AB＞AC＝CE
B．AB＝AC＞CE
数学(RS版)
八年级下册
第一章 三角形的证明
第7课
线段垂直平分线的性质与判定
新课学习
线段垂直平分线的性质
1.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等 ．
几何语言：
∵CD是AB的垂直平分线，
∴ AC＝BC ．
北师大版八下数学1.3《线段的垂直平分线》知识点精讲
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
巧记方法：点到线段两端距离相等。
可以通过全等三角形证明。
垂直平分线的尺规作法方法之一：(用圆规作图)1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。
3、连接这两个交点。
原理：等腰三角形的高垂直平分底边。
方法之二：1、连接这两个交点。
原理：两点成一线。
等腰三角形的性质：1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。
)2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。
)3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。
)垂直平分线的判定①利用定义.②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可.证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余）又∵BD平分∠ABC（已知）∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A∴BD=AD（等角对等边）∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.例2．如图，已知：在△AB C中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F。
北师大版八年级数学(下)第一章 线段的垂直平分线
1.3线段的垂直平分线一、知识点梳理1.线段垂直平分线性质定理：①线段垂直平分线垂直平分某条线段②线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等2.线段垂直平分线判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上3.作图要求：掌握尺规作图做已知线段的垂直平分线4.三角形外心：三角形三条边垂直平分线的交点二、经典题型总结题型一：利用线段垂直平分线的性质求线段长题型二：利用三角形的垂直平分线的性质求角度题型三：利用线段垂直平分线解决与周长有关问题题型四：利用作线段垂直平分线解决实际问题题型五：线段垂直平分线的判定定理的应用三、解题技巧点睛1.若题目中出现“求一点到某几个点的距离相等”则可以想到运用垂直平分线的性质画出中垂线2.三角形外心也是三角形外接圆的圆心，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在三角形的斜边中点，钝角三角形的外心在三角形的外部3.求两条线短的最短距离，通常是想到过一个已知点做已知直线的对称点，连接对称点与另一个已知点的连线即为最短距离。
4.灵活运用垂直平分线逆定理解决题目四、易错点分析在运用线段垂直平分线计算周长的时候容易出现错误五、典型例题分析题型一：利用线段垂直平分线的性质求线段长例题：在△ABC中,AC=5,AB的垂直平分线DE交AB、AC于点E、D.（1）若△BCD的周长为8,求BC之长. （2）若BC=4,求△BCD的周长.题型二：利用三角形的垂直平分线的性质求角度例题：如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知∠ADE=40°,则∠DBC=___∘.题型三：利用线段垂直平分线解决与周长有关问题例题：如图,在直角中,∠BAC=90∘,AB=8 ,AC=6 ,DE 是AB 边的垂直平分线,垂足为D ,交BC 于点E ,连接AE ,则△ACE 的周长为________.题型四：利用作线段垂直平分线解决实际问题例题：如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C 之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？题型五：线段垂直平分线的判定定理的应用如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：点D在AB的垂直平分线上．六、中考真题再现（2019.长沙.9题）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是A．20° B．30° C．45° D．60°（2019.江苏.15题）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD 平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长．七、习题巩固训练1.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠EBC的度数是（）A．15°B．20°C．65°D．100°2.如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC＝BE，则∠B的度数是（）A．45°B．60°C．50°D．55°3.如图，在等腰中，，，的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则的度数是A. B. C. D.4.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是______.5.如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上，且AC=10cm，则B点到P点的距离为______.6.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=__________．7.如图，AD和EF分别是△ABC中BC与AB垂直平分线，且BE+CE＝20cm，则AB＝．8.如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝．9.在Rt△ABC中,∠A=40°,∠B=90°,AC的垂直平分线MN分别与AB,AC交于点D,E,则∠BCD的度数为10.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则的周长的最小值为______．11.如图，某校两个班的学生分别在C，D两处参加植树活动，现要在道路AO，OB的交叉区域内设一个茶水供应点M，使点M到两条路的距离相等，且MD=MC，这个茶水供应点应建在何处?12.如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．（1）根据要求用尺规作图：作斜边AB边上的高CD，垂足为D；（2）求CD的长．13.如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE（垂足为D）交BC的延长线于点E，求线段CE的长．14.如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD,BC的交点,E是AB的中点.求证:OE 是线段AB的垂直平分线.15.如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F，若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．16.两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）17.尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵桂花树．如图，要求桂花树的位置（视为点P），到花坛的两边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种桂花树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．18.铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.19.已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：（1）到两村的距离相等；（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？20.已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？21.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在AB上，且AF垂直平分CD，BG垂直平分CE（1）求∠ECD的度数；（2）若∠ACB为α，则∠ECD的度数能否用含α的式子来表示．22.已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．①求证：BE=CF；②若AF=6，BC=7，求△ABC的周长．23.如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的中垂线（即垂直平分线），∠OBC、∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明．24.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD．。
北师大版八年级数学下册教材配套教学课件 1.3.2线段的垂直平分线(第2课时)(课件)
例：已知一个等腰三角形的底边和底边上的高，求作这个等a腰三角形
已知：如图，线段a，h.
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.
h
M
作法：1．作BC=a；
A
2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4．连接AB，AC.
△ABC就是所求作的三角形.
PB=PC
试试看，你会写出证明过程吗？
P
B
C
m
PA=PC
点P在AC的垂
直平分线上
三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
已知：在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点O.
求证：点O在边AC的垂直平分线上，且OA=OB=OC. A
证明：连接OA，OB，OC．
∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴OA=OB 同理OB=OC，∴OA=OC.
作法：
1.分别以点A和B为圆心，以大于AB的一半长为半径
画弧，两弧相交于点C和D；
A
2.连接直线CD．
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
C B
D
二、探究新知
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间
修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小
区的距离相等？
A
B
C
aA
c
b
P
B
C
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线， 说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
北师大版八年级下册1.3线段的垂直平分线教案
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了线段垂直平分线的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对线段垂直平分线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.教学难点
（1）理解线段垂直平分线的概念：线段垂直平分线的定义涉及到垂直与平分两个要素，学生可能难以同时理解这两个要素。
（2）运用垂直平分线性质解决实际问题：学生在解决实际问题时，可能难以将线段垂直平分线的性质与问题情境相结合，不知道如何运用。
（3）垂直平分线判定定理的应用：学生可能难以理解判定定理的证明过程，以及在具体问题中如何使用该定理。
（2）线段垂直平分线的性质：熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，并能运用该性质解决相关问题。
（3）垂直平分线判定定理：掌握如何判断一条直线是否为线段的垂直平分线，即一条直线垂直平分线段，那么线段上的任意一点到这条直线的距离都相等。
举例：讲解线段垂直平分线的定义时，可以通过实际操作让学生观察垂直和平分的直观表现；在讲解性质时，可以通过具体图形让学生验证线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
五、教学反思
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A
B
继续练习
1.随堂练习 2.数学理解
课堂小结, 畅谈收获：
一、线段垂直平分线的性质定理． 二、线段垂直平分线的判定定理． 三、用尺规作线段的垂直平分线．
已知直线 l 和 l 上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建 造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什 么位置?
A
B
几何画板演示线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质：
定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端 点的距离相等．
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，
P是MN上的点．
M
求证：PA=PB．
作法：1．分别以点A和B为圆心，以
大于
1 2
AB的长为半径作弧，两弧相交
A
于点C和D．
2．作直线CD．
直线CD就是线段AB的垂直平分 线．
C B
D
1．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上
的一点，如果EC=7cm，那么ED=
cm；如果
∠ECD=60°，那么∠EDC=
.
C
A
E
B D
用心想一想，马到功成
P
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC,
A
∴△PCA≌△PCB(SAS) ；
C
B
N
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
用心想一想，马到功成
你能写出这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?
定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这 个点在这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的 距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
复习与思考
1.直角三角形全等的判定方法有 (SSS，SAS，ASA，AAS，HL） 2线段的垂直平分线是指（垂直且平分一条线段的直线） 3互逆定理是指 （如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么
它也是一个定理，其中一个定理是另一个定理的逆 定理）
4尺规作图是指 （用没有刻度的直尺和圆规作图）
用心想一想，马到功成
∴△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB
又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°
∴P点在线段AB的垂直平分线上．
线段垂直平分线的判定：
定理：到线段两个端点的距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上．
想一想，做一做
用尺规作线段的垂直平分线． 已知：线段AB． 求作：线段AB的垂直平分线．
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线上．
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
P
A
C
B
证法三：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C．
∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，
当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如 果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
P
A
C
B
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．
∴AC=BC， 即P点在AB的垂直平分线上．
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
P
证法二：取AB的中点C，过P,C作直线． A
C
B
∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，
∴△APC≌△BPC(SSS)．
点P．
C
已知：直线l和l上一点P．
求作：PC⊥ l ．
P A
作法：1、以点P为圆心，以任意长为半径来自弧，与直线l 相交于点A和B．
2．作线段AB的垂直平分线PC．
直线PC就是所求的垂线．
l
B