尺规作图(画线段的垂直平分线)
三角形三边的垂直平分线及作图
三角形三边的垂直平分线及作图
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
尺规作图
THANKS！
归纳总结
应用格式：∵ 点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点，∴ PA =PB=PC．
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
做一做
【例1】已知：线段a，h.求作：△ABC，使来自B=AC，BC=a，高AD=h.
D
a
h
作法：1．作BC=a；
2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4．连接AB，AC.
△ABC就是所求作的三角形.
典例精析
1.已知直线l和其上一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P.
1.3 线段的垂直平分线第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图
1.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题.(重点)2.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线.
学习目标
1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.2.线段的垂直平分线的作法.
性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
画一画：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
1.三角形三边垂直平分线的性质
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如下：
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线知识要点分析1. 线段垂直平分线性质定理及判定定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
(这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
2. 三角形三条边的垂直平分线定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
(这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.)3. 尺规作图尺规作图的概念：只用没有刻度的直尺和圆规进行作图，称尺规作图。
能写出尺规作图的步骤作已知线段的垂直平分线已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。
【典型例题】考点一：线段垂直平分线性质定理和判定定理例1. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？例2、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点. 求证：PA=PB.想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它。
这个定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明：取AB的中点C，过PC作直线.APBC21这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.考点二：尺规作图例3、用尺规作线段的垂直平分线已知：线段AB（如图）. A B求作：线段AB的垂直平分线.现在同学们会作一条已知线段的垂直平分线了，那么你能作出一个三角形的三边的垂直平分线吗？如果能，请试一试观察一下三角形三条边的垂直平分线交于一点吗？如果交于一点，你能证明出来吗？例4、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：P点在AC的垂直平分线上.这就是我们今天学习的又一个定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
例5、边及底边上的高，求作等腰三角形.已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h(先分析,作出示意图形,再按要求去作图.)考点三：三角形三条边的垂直平分线的性质例6. 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的一条中线，AB的垂直平分线交AD于O求证：OA=OB=OC.严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是证明者谨记和遵循的原则 一、选择题1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定*2、已知，如图，在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC于点D 、E ，若BD+CE ＝5，则线段DE 的长为 （ ）A. 5 B. 6 C. 7D. 82题图 3题图3、如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A 、AB 、BC 两边高线的交点处B 、AC 、BC 两边中线的交点处C 、AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D 、∠A 、∠B 的平分线交点处 二、填空题4、如图所示，△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB的中垂线，AB=2AC ，BC=18cm ，则BE 的长度为4题图 7题图*5、锐角△ABC 中，∠A=60°，AB ，AC 两边的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数是 __________。
线段的垂直平分线
A E B
D
C
小结
1.线段的垂直平分线的作法
2.线段垂直平分线的性质定理
作业：
必做题：练习1,2,3 选做题：这个性质定理的逆命题是什么？ 它是否成立？试着自己探究探究。
1 ∵以点A,B为圆心，大于 2
AB长为 在△AMO和△BMO中， AM=BM ∵ ∠AMO=∠BMO MO=MO ∴△AMO≌△BMO（SAS） ∴∠AOM=∠BOM=90° AO=BO 故MN是线段AB的垂直平分线。
∴AM=BM=AN=BN 在△AMN和△BMN中， AM=BM ∵ AN=BN MN=MN ∴△AMN≌△BMN（SSS） ∴∠AMO=∠BMO
思考2：在直线MN上任意取一点P，连接PA 与PB，请大家测量一下PA与PB的长度，看 一看它们之间有什么关系？
PA=PB
小组讨论： 你们选取的P点的位置相同吗？如果不同， 你们能找到什么规律？
规律：线段垂直平分线上的点到线段两端 点的距离相等。
已知：如图，直线MN经过线段AB的中点O，且 MN⊥AB,P是MN上任意一点。 求证：PA=PB
2.已知：△ABC中，D在BC上，AB=AC,DB=DC,E是 AD上的一点。 求证：BE=CE
证明：
在△ABD和△ACD中， AB=AC ∵ DB=DC AD=AD ∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴∠ADB=∠ADC=90° ∴AD⊥BC 即AD是BC的垂直平分线。 ∵E是AD上的一点 ∴BE=CE
③尺规作图法： 1 1.作出一条线段AB，分别以点A,B为圆心，大于 AB长为半径 2 （为什么？）画弧交于点M,N。 2.过点M,N作直线。 则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
思考1：为什么MN就是垂直平分 线呢？若MN交AB于点O，你能给 出证明吗？
线段的垂直平分线
验证结论 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P
在l 上．求证：PA =PB．
证明：∵ l⊥AB，
l
∴ ∠PCA =∠PCB=90°．
P
在△PCA和△PCB中
AC =CB
∠PCA =∠PCB
A
C
B
PC =PC ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
性质定理: 线段垂直平分线上的点到这条 线段的两端点的距离相等
P3A，P3B的长，你能发现什么，请猜想点P1，P2，
P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． P3
P1A _＝___P1B P2A __＝__ P2B
P2
P1
A
B
P3A __＝__ P3B l
猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
由此你能得到什么结论？
命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. 你能验证这一结论吗？
垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分
线分别交AC、BC于点F、G,求⊿AEG的周长。（ B ）
A. 6
B. 10
A
C. 5 D. 20 ADFD EB
EG
图①
C
B
C
图②
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平
分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于
18cm,则AC的长是 10cm .
A
A．5cm
B．10cm C．15cm D．17.5cm
E
D
B
C
例:2 ：如图，D、E分别是AB、AC的中点， CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB。
尺规作图做垂线的做法
尺规作图做垂线的做法
用尺规做垂线的步骤如下：
1、用尺规作一条直线，在直线上任取两点A、B（A、B 不重合）。
2、分别以A、B两点为圆心，以大于AB长的一半为半径做两个等圆，得到两个交点C、D，且两个交点C、D到A、B等距（它们都是两个等圆的半径是相等的）。
3、连接这两个交点C和D两个交点的连线CD即为垂线（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上这两点的连线为这条线段的垂直平分线，即垂直）。
尺规作图基本方法，以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：
1、通过两个已知点可作一直线。
2、已知圆心和半径可作一个圆。
3、若两已知直线相交，可求其交点。
4、若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。
5、若两已知圆相交，可求其交点。
北师大版八下数学1.3《线段的垂直平分线》知识点精讲
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
巧记方法：点到线段两端距离相等。
可以通过全等三角形证明。
垂直平分线的尺规作法方法之一：(用圆规作图)1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。
3、连接这两个交点。
原理：等腰三角形的高垂直平分底边。
方法之二：1、连接这两个交点。
原理：两点成一线。
等腰三角形的性质：1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。
)2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。
)3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。
)垂直平分线的判定①利用定义.②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可.证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余）又∵BD平分∠ABC（已知）∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A∴BD=AD（等角对等边）∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.例2．如图，已知：在△AB C中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F。
五种基本的尺规作图
在建筑设计中，尺规作图被广泛 应用于绘制平面图、立面图和剖 面图等，以确保建筑的准确性和
美观性。
机械工程
在机械制图中，尺规作图是绘制精 确零件图和装配图的重要工具，有 助于提高机械制造的精度和效率。
艺术设计
在美术、设计等艺术领域，尺规作 图也被用于创作具有几何美感的作 品，展现出独特的艺术魅力。
技巧分享
分享一些在尺规作图中常用的技巧和注意事项，如如何准确确定切点、如何绘制 垂直直线等，以提高作图的准确性和效率。同时，也可以介绍一些在实际应用中 可能会遇到的特殊情况和处理方法。
06 综合应用与拓展
五种基本尺规作图的综合应用
作一条已知线段的垂直平分线
利用直尺和圆规，可以准确作出已 知线段的垂直平分线，这在几何作 图中非常有用。
技巧分享
在绘制大圆时，可以将圆规两脚间距离调整得稍大一些，以提高绘制效率；在绘制小圆时 ，则需要更加精细地调整圆规两脚间距离，以确保绘制出的圆足够准确。
注意事项
在实例演示和技巧分享中，要强调保持圆规两脚间距离不变的重要性，以及注意调整圆规 两脚间距离的方法。同时，还可以分享一些在绘制过程中可能遇到的问题和解决方法，例 如如何避免圆规针尖滑动导致绘制出的圆不准确等问题。
五种基本的尺规作图
目 录
• 五种基本尺规作图概述 • 直线与角平分线作图 • 垂直平分线与平行线作图 • 圆的作图 • 圆弧连接与切线作图 • 综合应用与拓展
01 五种基本尺规作图概述
定义与分类
定义
尺规作图是指使用无刻度的直尺和圆 规进行作图的方法，是几何学中的基 本作图技能之一。
分类
五种基本的尺规作图包括作一条线段 等于已知线段、作一个角等于已知角 、作已知角的平分线、作线段的垂直 平分线以及作已知线段的中点。
15.2线段的垂直平分线
∴BE+EC=AC.
∵AC=17，BC=16.
D
E
∴ △BCD的周长=BE+EC+BC=AC+BC=17+16=33.
练习3、如右图，△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂 直平分线ED交AC于D点. (1)当AE=13cm时，BE= cm； (2)当△BEC的周长为26cm时，则BC= cm； (3)当BC=15cm，则△BEC的周长是 cm.
C
A
O
B
线段垂直平分线的判定定理
定理 到线段两端距离相等的点在线段 的垂直平分线上.
P
几何语言 如图，
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上 （到线段两端距离相等的点在 A 线 段的垂直平分线上.）
线段垂直平分线的判定定理
B
练习1、
已知:如图,AC=AD，BC=BD， 求证：AB垂直平分CD。
E
交流与小结 本节课你学到了什么呢？
• • • • • 线段垂直平分线的折法 线段垂直平分线的画法 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的应用
尺规作图 三角板取中点 画垂线
五、线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线的性质定理 •线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等. • 思考：你能写出上面定理的逆命题吗？ • 它是真命题吗？如何证明呢？ 命题 到线段两端距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上. •
<一>操作：画线段垂直平分线 方法一
尺规画法
1
①分别以点A、B为圆心，大于 ½ AB长为半径画弧交于点E、F 则直线EF就是线段AB的垂直平分 线(如图) 方法二 利用三角板过中点画垂线
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A
B
尺规作图
复习
1、什么叫做尺规作图？ （限定用直尺和圆规来画图，称为尺规 作图） 2、用尺规作图 （1）作线段，使它等于已知线段的长； （2）作角，使它等于已知角；
用尺规作角的平分线
角平分线的性质： 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相 等． 已知:∠AOB,如下图 已知 求作：射线OC,使∠AOC=∠BOC.
B A
灌灌灌灌
教学反思 本节课你掌握了哪些知识？ 本节课你掌握了哪些知识？ 还有哪些疑惑？ 还有哪些疑惑？
练 习 1、如图，过点P画∠O两边的 、如图，过点 画 两边的 垂线. 垂线
(第 1 题)
2、如图，画△ABC边 如图， BC上的高. 上的高.
（第 2 题）
挑战自我 如图，已知线段a 如图，已知线段a，h， 求作： ABC， AB=AC， 求作：△ABC，使AB=AC， BC=a，高为h 且BC=a，高为h
h
a
动手实践
AB、AC分别是菱形 AB、AC分别是菱形 ABCD的一条边和对角线 的一条边和对角线， ABCD的一条边和对角线， 请你用尺规把这个菱形补 充完整。 充完整。
C
A
B
生活离不开数学
是两个村庄， A、B是两个村庄，要从灌 溉总渠引两条水渠便于灌溉， 溉总渠引两条水渠便于灌溉， 请你选择最佳方案。 请你选择最佳方案。
思考：
你能在ABC内找到一点P，使P到AB，AC， BC的距离相等吗？
用尺规作线段的垂直平分线
什么垂直平分线？ 什么垂直平分线？ 过线段的中点， （过线段的中点，垂直这条线段的 直线） 直线） 线段垂直平分线有哪些特征？ 线段垂直平分线有哪些特征？ 线段的垂直平分线上的点到线段 两端点的距离相等。 两端点的距离相等。
作法： 作法：
（1）任取一点M，使点M和点C在的两侧； 任取一点M 使点M和点C在的两侧； 点为圆心， CM长为半径画弧 长为半径画弧， （2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧， 交于A 两点； 交于A、B两点； 1 分别以A 两点为圆心， （3）分别以A、B两点为圆心，以大于 AB 2 长为半径画弧，两弧相交于D 长为半径画弧，两弧相交于D点； 两点作直线CD CD。 （4）过C、D两点作直线CD。 所以，直线CD就是所求作的。 CD就是所求作的 所以，直线CD就是所求作的。
A Ｍ Ｃ
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求． 射线ＯＣ即为所求． ＯＣ即为所求
练一练：
1、如图，在△ABC中，∠C=90º，AD平分 ∠BAC，BC=10，BD=6，则D点到AB的距 离为____。
2、如图，在△ABC中，∠C=90º，AD平分 ∠BAC，DE⊥AB，若∠BAD=30º，则 ∠B=___，DE=___
尺规作角的平分线
画法：பைடு நூலகம்画法：
的两边OA １．在AOB的两边 的两边 上分别截取线段OM， 和OB上分别截取线段 上分别截取线段 ， ON，使OD=OE ， 分别以Ｍ，Ｎ Ｍ，Ｎ为 ２．分别以Ｍ，Ｎ为 圆心． ＭＮ的长 圆心．大于 1/2 ＭＮ的长 为半径作弧． 为半径作弧．两弧在 的内部交于Ｃ． ∠AOB的内部交于Ｃ． 的内部交于 ３．作射线OC． 作射线 ．
画出它的垂直平分线. 已知线段AB，画出它的垂直平分线.
说出你的 作图思路
议一议；能否说出这 种画法的依据，小组 讨论交流一下。
试一试你的能力
1、如图，点C在直线上，试过 如图， 在直线上， 画出直线的垂线。 点C画出直线的垂线。
2、如图，如果点C不在直线上，试和同学 如图，如果点C不在直线上， 讨论，应采取怎样的步骤，过点C 讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直 线的垂线？ 线的垂线？
轴对称图形的性质
线段是轴对称图形， 线段是轴对称图形，它的一条对称轴垂直于这条 线段并且平分它，这样的直线叫做这条线段的垂直 线段并且平分它，这样的直线叫做这条线段的垂直 平分线（简称中垂线 中垂线）。 平分线（简称中垂线）。
线段的垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等。
实验一： 想一想：(1)点A与点 关于直线 有什 与点B关于直线 实验一： 想一想： 点 与点 关于直线m有什 么样的位置关系? 么样的位置关系 (2)连结 ，请同学们用量角器、刻度尺度量并 连结AB，请同学们用量角器、 连结 判断线段AB与直线 有什么关系？ 与直线m有什么关系 判断线段 与直线 有什么关系？