线段的垂直平分线的画法

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垂直平分线、等腰三角形

第1讲垂直平分线、等腰三角形【知识点】一、垂直平分线1、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．2、线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点线与这条线段两个端点的距离相等几何语言:3、线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 几何语言:4、线段垂直平分线的画法：二、等腰三角形1、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形2、等腰三角形的性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简写成“三线合一”）几何语言：(1)AB＝AC，AD⊥BC，∠＝______∠______，______＝______。

(2) AB＝AC；BD＝DC，∠______＝∠______，______⊥______。

(3) AB＝AC，AD平分∠BAC______⊥______，______=______.性质3：等腰三角形是轴对称图形3、等腰三角形的判定（1）定义（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）几何语言：三、等边三角形1、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边相等；等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．E D C B A（3）三线合一2、等边三角形的判定（1）定义（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．3、含30°角直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

【典型例题】 1、如图2，DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米， AB=10厘米，则∆EBC 的周长为（）厘米A ．16B ．28C ．26D ．18。

线段的垂直平分线

线段的垂直平分线线段的垂直平分线是指一条垂直于给定线段，并且将该线段平分为两段长度相等的线。

在几何学中，垂直平分线是一种常见的概念，具有重要的应用价值。

本文将探讨线段的垂直平分线的性质、构造方法以及其在实际生活中的应用。

一、线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线有一些重要的性质。

首先，垂直平分线与线段相交于线段的中点。

这是由于垂直平分线平分了线段，所以垂直平分线必定与线段的中点相交。

其次，线段的两侧到垂直平分线的距离相等。

这是因为垂直平分线将线段平分为两等分，所以线段的两侧到垂直平分线的距离必定相等。

这些性质使得垂直平分线在几何学中具有重要的地位和应用。

二、线段的垂直平分线的构造方法线段的垂直平分线可以通过多种方法进行构造。

以下介绍两种常见的构造方法。

1. 使用尺规作图法通过使用尺规作图法，可以准确地构造出线段的垂直平分线。

具体步骤如下：（1）以线段的两个端点为圆心，作一对同心圆；（2）以同一半径，分别从线段的两个端点处画弧，将两个圆交于两点；（3）以这两个交点为圆心，作两个同心圆；（4）连接两个圆的交点和线段的两个端点，即可得到线段的垂直平分线。

2. 使用数学计算方法通过使用数学计算方法，也可以得到线段的垂直平分线。

具体步骤如下：（1）使用坐标系表示线段的两个端点；（2）根据两个端点的坐标，计算出线段的中点；（3）根据两个端点的坐标，计算出线段的斜率；（4）根据斜率的倒数，计算出线段的垂直平分线的斜率；（5）使用中点和垂直平分线的斜率，可以确定垂直平分线的方程。

三、线段的垂直平分线的应用线段的垂直平分线在实际生活中有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，通过垂直平分线可以确定墙壁的位置，使得建筑物更加均衡美观。

在地图制作中，通过垂直平分线可以准确绘制出各个地理位置之间的距离和方位关系。

此外，垂直平分线还用于解决一些实际生活中的问题，如切割食物、划分地块等。

总结：线段的垂直平分线是几何学中的重要概念，具有重要的性质和应用。

北师大版八下数学1.3《线段的垂直平分线》知识点精讲

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。

垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

巧记方法：点到线段两端距离相等。

可以通过全等三角形证明。

垂直平分线的尺规作法方法之一：(用圆规作图)1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。

2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。

得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。

3、连接这两个交点。

原理：等腰三角形的高垂直平分底边。

方法之二：1、连接这两个交点。

原理：两点成一线。

等腰三角形的性质：1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。

)2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。

)3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。

)垂直平分线的判定①利用定义.②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可.证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余）又∵BD平分∠ABC（已知）∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A∴BD=AD（等角对等边）∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.例2．如图，已知：在△AB C中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F。

15.2线段的垂直平分线

∵AE+EC=AC,
∴BE+EC=AC.
∵AC=17，BC=16.
D
E
∴ △BCD的周长=BE+EC+BC=AC+BC=17+16=33.
练习3、如右图，△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点. (1)当AE=13cm时，BE= cm； (2)当△BEC的周长为26cm时，则BC= cm； (3)当BC=15cm，则△BEC的周长是 cm.
C
A
O
B
线段垂直平分线的判定定理
定理到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
P
几何语言如图，
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在 A 线段的垂直平分线上.）
线段垂直平分线的判定定理
B
练习1、
已知:如图,AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD。
E
交流与小结本节课你学到了什么呢？
• • • • • 线段垂直平分线的折法线段垂直平分线的画法线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的应用
尺规作图三角板取中点画垂线
五、线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线的性质定理 •线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等. • 思考：你能写出上面定理的逆命题吗？ • 它是真命题吗？如何证明呢？命题到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. •
<一>操作：画线段垂直平分线方法一
尺规画法
1
①分别以点A、B为圆心，大于 ½ AB长为半径画弧交于点E、F 则直线EF就是线段AB的垂直平分线(如图) 方法二利用三角板过中点画垂线

16.2 线段的垂直平分线(课件)冀教版数学八年级上册

解
读点 P 在
径画弧，交 l 于 A，B 两点；
直线 l
②作线段 AB 的垂直平分线 CD，
上
CD 即为直线 l 的垂线
图示
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第二课时线段垂直平分线的判定和画法
考
点
清
单
解
读
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续表
①以点 P 为圆心，适当长为半径
点 P
画弧，交 l 于 A，B 两点；②分
在直
别以点 A，B 为圆心，适当长为
16.2 线段的垂直平分线
第一课时线段垂直平分线的性质
● 考点清单解读
● 重难题型突破
● 易错易混分析
第一课时线段垂直平分线的性质
■考点
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线段垂直平分线的性质定理
考
点
内容
清
单
线段垂直平分线上的点到线段两端的距
解
读性质
离相等条件：点在线段的垂直平分线上
定理
结论：这个点到线段两端的距离相等
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］9
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第一课时线段垂直平分线的性质
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重 ■题型线段垂直平分线的性质定理的应用
难
例
如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°．若边
题
型 AC 的垂直平分线 DE 交边 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，
突
破连接 CD，则∠DCB 的度数为（
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解题通法
涉及尺规作图的题目，首先要根据作图方
重
难
题法或作图痕迹判断出所作图形，再结合题目所给条件解决
型问题.

15.2线段的垂直平分线(共两课时)

库C，使仓库到A，B 求证:点P在BC的垂直平分
两村距离相等.你如何线上
A
确定仓库C的位置？
B
A L
C
P
B
C
五、线段垂直平分线的应用
证明：连接PA，PB，PC.
2. 已知:△ABC的边
∵点P在AB，AC的垂直平分 AB,AC的垂直平分线
线上（已知）
相交于点P.如图
∴PA=PB，PA=PC
求证:点P在BC的垂直
M
P
A
C
B
N
M
A
C
B
NQ
M
P.
A
B
C
.Q
N
定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
线段垂直平分线的性质的证明
线段垂直平分线除了具已知：直线MN经过线段有“垂直、平分线段” AB的中点O，且MN⊥AB，的性质外还有如下性质： P为MN上任意一点.如图
定理线段垂直平分线求证：PA=PB
沪科版八年级数学上第15章《轴对称图形与等腰三角形》
15.2线段的垂直平分线（共两课时）
霍邱县马店镇中心校八（1）班授课教师丁求勇
一、线段垂直平分线的定义（复习）
经过线段的 ________并且 __________这条线段的直线，叫做这条线段的 _________________。
二、线段垂直平分线的性质
在国道L的同侧，有两个工厂A、 B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？
B
L
105 国道
线段的垂直平分线
实际问题

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练习3 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？ A 解：∵ AB =AC， ∴ 点A 在BC 的垂直平分线． ∵ MB =MC， M ∵ 点M 在BC 的垂直平分线上， ∴ 直线AM 是线段BC 的垂直 B D C 平分线．
课堂练习
练习4 如图，AB =AC．直线AD 是线段 BC 的垂直平分线吗？解：∵ AB =AC， ∴ 点A 在BC 的垂直平分线． ∴ 直线AD是线段BC 的垂直平分线．
A
以上解答过程是否正确；若不正确，请说明理由．
B D C
作线段的垂直平分线
我们已能用尺规完成：
（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；
那么利用尺规还能解决什么作图问题呢？
作线段的垂直平分线
例1 如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
13.1 垂直平分线的画法
• 学习目标： 1．会用尺规作线段的垂直平分线，并了解作图的道理． • 学习重点：垂直平分线的画法．
课堂练习
练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 8 ．于______ A
B
D
E
C
课堂练习
练习2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？
解：∵ AD⊥BC，BD =DC， A ∴ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC． ∵ 点C 在AE 的垂直平分线上， B D ∴ AC =CE．
C
布置作业
教科书习题13.1第6、9题．
拓展延伸
如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P．按照设计要求，发射塔P到区域 S内的两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路m， n的距离也必须相等．发射塔P建在什么位置？在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出（不写作法但保留作图痕迹）．
Байду номын сангаас
A
B
作线段的垂直平分线
怎样作线段AB 的垂直平分线呢？作法：如图． 1 （1）分别以点A，B 为圆心，以大于 AB的长为半径 2 作弧，两弧相交于C，D 两点；（2）作直线CD． C CD 就是所求作的直线．这种作法的依据是什么？ A 这种作图方法还有哪些作用？确定线段的中点． B D
作线段的垂直平分线
E
课堂练习
练习2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？解： ∴ AB =AC =CE． ∵ AB =CE，BD =DC， ∴ AB +BD =CD +CE．即 AB +BD =DE ．
A
B
D
C
E
课堂练习
例2经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
C
A B
作轴对称图形的对称轴
如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？（2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？两者之间有什么关系？（3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？