湖南省对口高考数学模拟试题

2011年对口升学数学模拟试卷

学校 班级 姓名 总

分 。

第Ⅰ卷（选择题,共５0分)

一、选择题:(每题只有一个正确答案，本大题共1０小题,每小题5分，共50分） 1． 设集合M=｛（ｘ,y ）|xy<0},N ＝{(x,ｙ)|ｘ>0,且y>0｝，则有( ） Ａ.Ｍ∪N=N B 。Ｍ∩N ＝ф C 。M ≠?N D 。N ≠

?M

2．不等式（x 2_4x-５)(x 2 + 8)＜0的解集是( ）

A 。｛X ｜-1＜X<5} Ｂ。{Ｘ|Ｘ<-1或X ＞5｝ C 。{X|0<Ｘ＜5} D 。｛X|-1<Ｘ＜０}

3。已知f(x)是y ＝(

2

1)ｘ

+4(x ∈R ）的反函数，则f(８)=( ) Ａ。-３ B 。3 C 。－２ D 。2

４。已知向量b =（3，4），c =(2,-1），若向量b ＋λc 与c

互相垂直，则实数λ的值是( ）

A 。

21 Ｂ。23

3

Ｃ。2 D 。-

5

2

5。已知1a ，2a ,3a 成等比数列，1a ,m, 2a 成等差数列,2a ,n ， 3a 也成等差数列,则

m

a n

a 21=( ) Ａ．1 B 。2 C 。３ D 。4 6.某篮球运动员投篮的命中率为

5

3

，则他投篮5次,恰好命中3次的概率为( ）

A.

53 B 。1 C 。625

216 D 。以上都错 ７。下列判断正确的是（ )

Ａ。分别处在两个平面内的两直线是异面直线 B 。平行于同一直线的两平面平行

Ｃ。两条直线和一个平面所成的角相等,那么这两直线平行 Ｄ。经过平面外一点,只有一个平面与已知平面平行

8．从五名学生中选出四人分别参加语文、数学、英语和专业综合知识竞赛，其中学生甲不参加语文和数学竞赛，则不同的参赛方法共有（ )

A.2４ B 。48 Ｃ。72 D 。1２0

9.双曲线的一条渐近线的方程为3x+4ｙ=0,则其半焦距与实半轴的比为( ) Ａ．

45 B 。35

Ｃ。34 D 。45或3

5

１0.在曲线ｙ ＝ x 3

＋ x – 2的切线中，与直线4ｘ –y = 1平行的切线方程是

（ )

（A)４ｘ –ｙ = 0 （B)4x –y – 4 = 0

（C)2x –y – ２ = 0 (Ｄ）4x –y – 4 = 0 或 4ｘ –y ＝ 0

第Ⅱ卷(非选择题,共100分）

二、填空题:（本题共有8小题，每题5分,共4０分,请将答案填在答卷对应横线上）。 11、等差数列{ａn }中，ａ1+ ａ4+ a １０+ a 16+ a １9＝150，则a 18-2ａ14＝＿__＿____.

1２.方程ｘ２+y 2+ax+2ａy+2a 2

+a-1=0表示圆,则实数a 的取值范围是 。 13.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为

9

1

,A 发生B 不发生的概率与Ｂ发生A 不发生的概率相等，则事件A 发生的概率P(A ）= 。 14．已知(0)

()1(0)

x x f x x ≥?=?

-

１5、已知f (ｘ)是定义在实数集R 上的函数,且满足f （ｘ+２)-f (ｘ+2) f (x )-f （ｘ) =１，ｆ(１）

=-21,ｆ(２)=－4

1

，则f （2008)=＿______＿＿_＿. １6、已知5

3

)x 4cos(=+π, 则x 2sin 的值为 ＿_。

17、定义： |→

a ×→

b |=｜→

a |·｜→

b |·s ｉn θ，其中θ为向量→

a 与→

b 的夹角，若｜→

a |＝２,

|→

b | =５, →

a ·→

b =－6,则|→

a ×→

b |＝___＿_＿___________＿_＿_＿。

18．某网络公司，１９96年的市场占有率为Ａ,根据市场分析和预测,该公司自１９9６年起

市场占有率逐年增加,其规律如图所示：

则该公司１998年的市场占有率为_____＿_＿___＿;如果把1９96年作为第一年,那么第n 年的市场占有率为____＿＿_______＿_＿__＿＿＿____＿＿____＿

三、解答题:（本题共有６个小题，共６0分，必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤)。

１9．(本小题10分)

在ABC ?中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且满足2

74cos cos 2()22

A B C -+= (Ⅰ）求角A 大小； (Ⅱ）若3b c +=，3

2

a =,求ABC ?的面积。

20．（本小题满分10分)

如图,已知平面ABC ⊥平面DBC ,且,60,AB BD CBA DBC =∠=∠=? (Ⅰ)求证:DA BC ⊥;

（Ⅱ）求二面角A BD C --的正切值.

21．（本小题满分1０分)

已知a R ∈， 3

2

()44f x x ax x a =--+

(Ⅰ)若(1)0f '-=，求函数()f x 在区间[2,2]-的最大值与最小值;

（Ⅱ）若函数()f x 在区间(,2]-∞-和[2,)+∞上都是增函数,求实数a 的取值范围

2２．（本小题满分10分)

某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费１000元，便可以获得奖券一张,每张奖券中奖的概率为

5

1

，若中奖,则家具城返还顾客现金200元． 某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到３张奖券.

(Ｉ）求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率; （I Ｉ）求家具城至少返还该顾客现金200元的概率；

23．本小题满分10分

椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左焦点为1F （-2,0)，左准线1l 与ｘ轴交于点N （-3，０),

过点N 且倾斜角为30°的直线ｌ交椭圆于Ａ、B 两点．

(Ⅰ）求直线l 和椭圆的方程；

(Ⅱ)求证：点1F （－２，0）在以线段AB 为直径的圆上．

第24,25题为选做题，分值相等,满分10分,考生可任做一题,如果两题都做了解答,则只给第24题给分。

２4.某房屋开发公司用1２8万元购得一块土地,欲建成不低于五层的楼房一幢,该楼每层的建筑面积为１0０0平方米，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）的每平方米的平均建筑费用与楼层有关,若该楼建成x 层时,每平方米的平均建筑费用用f (x )表示，且f (n )＝f (m )(１＋

20

m

n -)(其中n >m ,n ∈N ),又知建成五层楼房时,每平方米的平均建筑费用为40０元,为了使该楼每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应把该楼建成几层?

x -x

25．已知函数f（ｘ)=a

(1）当ａ＝-１时,求f(ｘ）的最值;

（2)求不等式f(x)>0的解.

数学模拟试卷答案

一.选择题。

1．B 2。A 3。C 4。D5。A 6。C７。D ８。C ９。

Ｄ １０。D 二.填空题。

11．－3０ 12。（－2,32) 13。32 14。(-21，0)∪(0，+∞） 15。-3

5

1６.

25

7 17. 8 18． A A

n )22( , 471--．

三、解答题: １９.解：（Ⅰ)

A B C π++=

2

27

4cos cos 2()2(1cos )cos 22cos 2cos 322

A B C A A A A ∴-+=+-=-++= 21

2cos 2cos 02

A A ∴-+=…………………………………………………2分

1

cos 2A ∴=，0A π<<

60o A ∴=………………………………………………………………4分 (Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-=

=得229

4

bc b c =+- 29

()34

b c bc ∴+-

= 9

4

bc ∴=……………………………………………………………………8分

所以119393sin 224ABC S bc A ?=

=??= 所以ABC ?的面积为

93

16

………………………………………………………10分 20. 解答: (Ⅰ)证法一: 过A 作AE BC ⊥交BC 于E ，连接ED

ACB BCD ⊥平面平面，

∴AE ⊥平面BCD ,……………………………………2分 由平面几何知识得 AEB ?≌DEB ?

∴∠ＡEB ＝∠DEB ＝90? 即 DE BC ⊥………………4分 由三垂线定理得DA BC ⊥…………………………5分

（Ⅱ)过E 作EG BD ⊥于Ｇ，连接AG ,由三垂线定理知AG BD ⊥,所以二面角A BD C --的平面角为AGE ∠…………………………………………………7分

由EG BD ?=BE ED ?可知,4EG BD =

,又2

AE BD =,…………………8分 在Rt AEG ?中,tan 2AGE ∠=.

∴二面角A BD C --的正切值为2．……………………………………10分 21．解：(Ⅰ) 2

()324f x x ax '=-- 由(1)0f '-=得1

2

a =

…………………………………………………………２分 所以2

()34f x x x '=-- 由()0f x '=得4

x =

或1x =-………………………………………………4分

由上表知：()f x 在区间[2,2]-上的最大值为2，最小值为27-………………………６分

（Ⅱ)2

()324f x x ax '=--的图像为开口向上且过点(0,4)-的抛物线,由条件

(2)0f '-≥,(2)0f '≥………………………………………………………………………8分

即480

840

a a +≥??

-≥?得22a -≤≤……………………………………………………１０分

２2． 解:(I)家具城恰好返还给该顾客现金２00元，

即该顾客的三张奖券有且只有一张中奖……………………………………2分

125

48)54()51(213=?=C p ………………………………4分(结果不对扣1分) （II)设家具城至少返还给该顾客现金2０0元为事件A ，这位顾客的三张奖券有且只有一张中奖为事件1A ,这位顾客有且只有两张中奖为事件2A ,这位顾客有且只有三张中奖为事件

3A ，则123A A A A =++，1A 、2A 、3A 是互斥事件…………………………………6分 123()()()()P A P A P A P A =++

3

33223213)5

1()54()51()54()51(c c c +?+?=……………………………８分

125

1

1251212548++= 125

61

=

………………………………………………………………………10分 另解:设家具城至少返还给顾客20０元为事件A ，则其对立事件为三张奖券无一中奖， 故3

461

()1()1().5

125

P A P A =-=-= 2３.本小题满分10分 解：（Ⅰ)直线l :)3(3

3

+=

x y ………………………………………………………2分 由已知c ＝2及32

=c a 解得：62=a ，∴ 22622=-=b ．……………………4分 ∴ 椭圆方程为12

62

2=+y x ．…………………………………………………………5分 （Ⅱ）解方程组?

?

?

??+=-+=②

①

，，)3(06333

22x y x y 将②代入①，整理得03622

=++x x ．③……………………………………………6分 设A (1x ,1y ），B （2x ，2y ),则321-=+x x ,2

3

21=x x .……………………7分 解法一:2

22211

11++=

??x y x y k k B F A F 1]

4)(2[39)(3)2)(2()

3)(3(31

212121212121-=++++++=++++=

x x x x x x x x x x x x ,………………………………8分 ∴ B F A F 11⊥．则?=∠901B AF ．

∴ 点1F （－2，0)在以线段ＡＢ为直径的圆上.…………………………………10分 解法二:)2

()2(221111y x y x F F ，，++=?? 2121)2)(2(y y x x +++= ………………………………………………………………8分 ]9)(3[3

1

4)(221212121+++++++=x x x x x x x x

07)(33

4

2121=+++=

x x x x , ∴ B F A F 11⊥.则?=∠901B AF ．

∴ 点1F （－2，0)在以线段ＡB 为直径的圆上． …………………………………10分

2４.解：设该楼建成x 层，则每平方米的购地费用为x 1000101284?＝x

1280

（２分)

由题意知ｆ(５)＝400， f （x )=f （5)(１+205-x )=４0０(1＋20

5

-x ) （2分)

从而每平方米的综合费用为y ＝ｆ(x ）+

x

1280=20(ｘ+x 64

）+300。求导，由导数可知，当且

仅当x =8时取最值。 （8

分)

故当该楼建成8层时，每平方米的综合费用最省. (10分)

22.解：(１）ｆ(x )=1+x －x ＝-（1+x -2

1)2＋43

(x ≥－1)

∴f

（

x

）

最

大

值

为

4

3

（4分)

x

－ｘx-ａ>x ２

当a ≥０时，②无解，当＜0时，②的解为≤x ＜0 （6分)

ｘ≥0

2－x +a <0, 当Δ=1－４a ≤0时，①无解，当Δ＝1－4a ＞0时,x 2-x +a <0解为

2411a --＜x ＜2

411a

-+ 故a ≥0时①的解为

2411a --<ｘ<2

411a

-+; 当ａ<0时①的解为０≤x <2

411a

-+ (8分)

综上所述,ａ≥

41时,原不等式无解；当0≤a ＜4

1

时,原不等式解为2411a --＜x ＜

2411a

-+,

当

a <0

时

，

a

≤

x

＜

2

411a

-+