2021年高考文科数学《立体几何》题型归纳与训练(有解析答案)
2021年高考文科数学《立体几何》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 立体几何证明
例1 如图五面体中,四边形ABCD 是矩形,AD ⊥面
ABEF ,//AB EF ,1AD =,1
222
AB EF =
=, 2AF BE ==,P 、Q 、M 分别为AE 、BD 、EF 的中
点.
（1）求证：//PQ 面BCE ； （2）求证：AM ⊥面ADF . 【答案】 见解析 【解析】（1）连结AC .
因为四边形ABCD 是矩形,且Q 为BD 的中点,所以Q 为AC 的中点. 又因为P 为AE 的中点,所以//PQ EC , 又因为PQ ?面BCE ,EC ?面BCE ,所以//PQ 面BCE . （2）取EF 的中点M ,连结AM .
因为//AB EM ,且22QB EM ==, 所以四边形ABEM 为平行四边形, 所以//AM BE ,且2AM BE ==. 在AMF ?中,2AM AF ==,22MF =. 所以2
2
2
AM AF MF +=,故AM AF ⊥. 由AD ⊥面ABEF ,得AD AM ⊥, 因为AD
AF A =,所以AM ⊥面ADF .
【易错点】定理证明所用知识点不清楚
【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.
如该题中的（1）问需要利用五面体中的面ABCD 是矩形,根据对角线的性质确定线段
2
BD 与AC 的中点.
（2）问中利用勾股定理验证线线垂直关系,这些都是证明空间平行与垂直关系的基础.
例2 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥．
求证：(1)AB ∥平面11A B C ；
(2)平面11ABB A ⊥平面1A BC ．
【答案】 见解析
【解析】(1)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ∥11A B ．
因为AB ?平面11A B C ，11A B ?平面11A B C ，所以AB ∥平面11A B C ．
(2)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，四边形11ABB A 为平行四边形． 又因为1AA AB =，所以四边形11ABB A 为菱形，因此1AB ⊥1A B ． 又因为1AB ⊥11B C ，BC ∥11B C ，所以1AB ⊥BC ．
又因为1A B
BC =B ，1A B ?平面1A BC ，BC ?平面1A BC ，
所以1AB ⊥平面1A BC ． 因为1AB ?平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面1A BC ． 【易错点】定理证明所用知识点不清楚
D 1
1
B 1
A 1
D
C
B
A
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.
题型二 立体几何体积求解
例1 如图所示，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，三角形VAB 为等边三角形，AC BC ⊥
，且AC BC ==O ，M 分别为AB ，VA 的中点.
（1）求证：//VB 平面MOC . （2）求证：平面MOC ⊥平面 VAB . （3）求三棱锥V ABC -的体积.
【答案】 见解析
【解析】（1）依题意，O ，M 分别为AB ，VA 的中点，则OM 是VAB △的中位线， 所以//OM VB ，OM ?平面MOC ，VB ?平面MOC ，故//VB 平面MOC . （2）因为在ABC △中，AC BC =，且O 为AB 的中点，所以OC AB ⊥， 又平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB
平面ABC AB =，OC ?平面ABC ，
所以OC ⊥平面VAB ，又OC ?平面MOC ，故平面MOC ⊥平面VAB . （3）由（2）知，OC ⊥平面VAB ，
所以2112133V ABC C VAB VAB V V S OC --==
?=?=△ 【易错点】定理证明所用知识点不清楚
【思维点拨】证明几何体中的线面平行与垂直关系时,要注意灵活利用空间几何体的结构特征,抓住其中的平行与垂直关系.
例 2 如图所示，在三棱锥–P ABC 中，
PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC ⊥，
2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．
（1）求证：PA BD ⊥；
（2）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；
（3）当//PA 平面BDE 时，求三棱锥–E BCD 的体积． 【答案】 见解析
O
M
C B
A
V
P
A
B
C
D
E