2020届杨浦区高三一模数学Word版(附解析)
上海市杨浦区2020届高三一模数学试卷
2019.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 函数12()f x x -=的定义域为
2. 关于x 、y 的方程组2130
x y x y -=??+=?的增广矩阵为
3. 已知函数()f x 的反函数12()log f x x -=，则(1)f -=
4. 设a ∈R ，2(1)i a a a a --++为纯虚数（i 为虚数单位），则a =
5. 已知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为
6. 已知7(1)ax +二项展开式中3x 的系数为280，则实数a =
7. 椭圆22
194
x y +=焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若1||5PF =，则12cos F PF ∠= 8. 已知数列{}n a 的通项公式为1(2)1()(3)2
n n n n a n -≤??=?≥??（n ∈*N ），n S 是数列{}n a 的前n 项 和. 则lim n n S →∞
= 9. 在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:2C x y +=上，则
PA PB ?的取值范围为
10. 已知六个函数：①21y x =；②cos y x =；③12y x =；④arcsin y x =；⑤1lg()1x y x
+=-； ⑥1y x =+. 从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有 种
11. 已知函数1()|1|f x x
=-（0x >），若关于x 的方程2[()]()230f x mf x m +++=有三 个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为
12. 向量集合{|(,),,}S a a x y x y ==∈R ，对于任意α、S β∈，以及任意(0,1)λ∈，都有
(1)S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”. 现有四个命题：
① 若S 为“C 类集”，则集合{|,}M a a S μμ=∈∈R 也是“C 类集”；
② 若S 、T 都是“C 类集”，则集合{|,}M a b a S b T =+∈∈也是“C 类集”；
③ 若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A 也是“C 类集”；
④ 若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则1
2A A 也是“C 类集”. 其中正确的命题有
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知实数a 、b 满足a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. 22a b >
B. 11a b
< C. ||||a b > D. 22a b > 14. 要得到函数2sin(2)3y x π=+
的图象，只要将2sin 2y x =的图象（ ） A. 向左平移6π个单位 B. 向右平移6
π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3
π个单位 15. 设1z 、2z 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A. 如果120z z ->，那么12z z >
B. 如果12||||z z =，那么12z z =±
C. 如果12
||1z z >，那么12||||z z > D. 如果22120z z +=，那么120z z == 16. 对于全集R 的子集A ，定义函数1()()0()A x A f x x A ∈?=?∈?
R e为A 的特征函数. 设A 、B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是（ ）
A. 若A B ?，则()()A B f x f x ≤
B. ()1()A A f x f x =-R
e C. ()()()A
B A B f x f x f x =? D. ()()()A B A B f x f x f x =+
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，1AB PA ==，
AD =E 、F 分别为棱PD 、PA 的中点.
（1）求证：B 、C 、E 、F 四点共面；
（2）求异面直线PB 与A E 所成的角.
18. 已知函数()22x x
a f x =+，其中a 为实常数. （1）若(0)7f =，解关于x 的方程()5f x =；
（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.
19. 东西向的铁路上有两个道口A B 、，铁路两侧的公路分布如图，C 位于A 的南偏西15?，且位于B 的南偏东15?方向，D 位于A 的正北方向，2AC AD km ==，C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人，发现北偏东45?方向的E 处（火车头位置）有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60/km h .
（1）判断救护车通过道口A 是否会受到火车影响，并说明理由；
（2）为了尽快将病人送到医院，救护车应选择
A B 、中的哪个道口？通过计算说明.
20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，
点A 是第一象限内抛物线C 上的一点，点D 的坐标为(,0)t ，0t >.
（1
）若||OA =A 的坐标；
（2）若AFD △为等腰直角三角形，且90FAD ∠=?，求
点D 的坐标；
（3）弦AB 经过点D ，过弦AB 上一点P 作直线x t =-
的垂线，垂足为点Q ，求证：“直线QA 与抛物线相切”
的一个充要条件是“P 为弦AB 的中点”.
21. 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，均有210n S -≥，20n S ≤， 则称数列{}n a 具有性质P .
（1）判断首项为1，公比为2-的无穷等比数列{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；
（2）已知无穷数列{}n a 具有性质P ，且任意相邻四项之和都相等，求证：40S =；
（3）已知21n b n =-，n ∈*N ，数列{}n c 是等差数列，122
n n n b n a c n +??=???为奇数为偶数，
若无穷数列{}n a 具有性质P ，求2019c 的取值范围.
参考答案
一. 填空题
1. (0,)+∞
2. 211130-?? ???
3. 12
4. 2
5. 3π
6. 2
7. 35
8. 72
9. [2+ 10. 12 11. 3
4(,]23-- 12. ①②④
二. 选择题
13. D 14. A 15. C 16. D
三. 解答题
17.（1）略；（2） 18.（1）6a =，1x =或2log 3；
（2）1a =-，奇函数；1a =，偶函数；1a ≠±，非奇非偶函数.
19.（1）会影响，AE =，∵需要2分钟到达A 21<<，∴会影响；
（2）BE =A 道口：3 4.41≈，B 2 4.25+≈，∴选择B 道口.
20.（1）(1,2)；（2）(5+；（3）略.
21.（1）{}n a 具有性质P ；（2）反证法，略；（3）[4039,4037]--