关于柯西不等式的证明

关于柯西不等式的证明

王念

数学与信息学院 数学与应用数学专业 07 级 指导老师：吴明忠

摘要：研究柯西不等式的多种证明方法，得到一些有用的结论，并简单介绍一些它的应用。

关键词：柯西不等式、数学归纳法、二次型正定、欧式空间向量内积、詹森不等式，二维随机变量的数学期望。

Cauchy inequality is an important inequality. It has aroused people’s interest and its widespread application. In this paper 、quadratic form 、European space inner product 、and the relation between Cauchy inequality.

Wang Ni an

Xxxxxxxxxxx Grade 07 Instructor: Wu Ming Zhong

Abstract: The paper discusses the certifying ways of Cauchy inequality then gets some useful conduction and introduces some appliances.

Key words: Cauchy inequality; quadratic form; inner product; Jensen inequality; mathematic Expectation.

柯西不等式是大家熟知的一个重要不等式，它的结构和谐对称、以及广泛的运用引起了人们的兴趣和讨论。本文运用高等代数、微积分的基本内容来证明柯西不等式。

1 柯西不等式的内容 1.1

22222222211221212(....)(....)(....)(,1,2......)

n n n n i i a b a b a b a a a b b b a b R i n +++≤+++++∈=

等号当且仅当12.....0n a a a ====或i i b ka =时成立（k 为常数，i=1,2…..n ）. 1.2 设12,,.....n a a a 及12,,.....n b b b 为任意实数则不等式2

221

1

1

1

()()()n

n

n

i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑成

立，当且仅当i i b ka = （i=1,2…..n ）取等号。1,2这两种形式就是著名的柯西不

等式。

2 柯西不等式的证明 2.1构造二次函数，证明柯西不等式。(其关键在于利用二次函数0∆≤时函数f(x) 0≥

222

1122222212112222212()()()....()(....)2(....)(....)n n n n n n f x a x b a x b a x b a a a x a b a b a b x b b b =++++++=++++++++++ 显然f(x) 0≥

又2212....0n n a a a ++≥ 则利用0∆≤可得

22211221222

1

24(.....)4(....)(.....)0n n n n n

n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++≤

即

222211221222

2

1

2(....)(....)(....)

n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++

当且仅当0(1,2....)i i a x b i n +== 即

12

12.......n n

a a a

b b b ==+是等号成立。 2.2 利用数学归纳法进行证明。（关键把握由特殊到一般情况的严密性）

（1）当1n =时 左式=()2

11a b 右式=()2

11a b

显然 左式=右式 当

2

n =时

，

右式

()()()()2

2

22

222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++

()()()2

2

2

1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式

仅当即 2112a b a b = 即

12

12

a a

b b =时等号成立 故1,2n =时 不等式成立

（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立

即 ()()()2

2222211221212k k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++

当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ==== 时等号成立

设222

12222

121122............k

k k k

a a a B

b b b C a b a b a b A =+++=+++=+++

则()()222222111111k k k k k k a b b a b Ba ++++++A +B +=AB +A ++ ()2

2221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+ ()(

)22222

2

2

2

121

121

k k k

k

a a a a

b b b b ++∴+++++++

+

()2

112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++

当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ==== 时等号成立

即 1n k =+时不等式成立 综上所述原柯西不等式得证。

2.3 利用基本不等式（均值不等式）进行证明（关键在于利用它 “形式”） 由于2

2

2(,)x y xy x y R +≥∈

，令x y =

=

222

2

1

1(1,2.......)22i i n

n

k k k k a b i n a b ==≤

+

=∑∑

将N

不等式相加得：

2

2

1

122

1

1

122n

n

n

i i

i

i

i i n n k k k k a b

a

b

a b ====≤

+

=∑∑∑∑∑

∴1n

i i i a b =≤

∑

即2

2

21

1

1

()()()n

n

n

i i i k i i k a b a b ===≤∑∑∑

原柯西不等式得证。

2.4 利用二次正定型理论进行证明（关键在于理解二次型正定的定义） 正定二次型定义：R 上一个n 元二次型12(,,....)n q x x x 可以看成定义在实数域上n 个变量的实函数。如果对于变量12,,....n x x x 的每一组不全为零的值，函数值

12(,,....)n q x x x 都是正数，那么就称12(,,....)n q x x x 是一个正定二次型。