定积分不等式证明方法
f x dx 表示由曲线 y f x ,x
b a b a
轴及直线
x a , x b 所围成的曲边梯形的面积的相反数.
（3） 如果连续函数 f x 正负不定, 则
f x dx 表示由曲线 y f x ,x 轴及直
线 xa , xb 所 围 成 的 一 些 小 曲 边 梯 形 的 面 积 的 代 数 和 , 有
a c a
性质 5
d
[1]
若
f x 在 a, b 上可积,且 f x 0 , c, d a, b ,则
b
f x dx f x dx .
c a
性质 6
[1]
若
f x 在 a, b 上可积, x a, b ,则
b
b a i f a ,即 n
定积分
f x dx 为一序列和的极限,这样我们可由一些序列和的不等式得到积分不
[3]
等式,下面首先给出著名的 Jensen 不等式 ,即 设 f x 为 a , b 上 的 连 续 下 凸 函 数 , 证 明 对 于 任 意 xi a, b 和 i 0 , （i=1,2,……,n）,
1.2 利用泰勒公式
定理 1
[2]
（泰勒定理）
若函数 f x 在 a , b 上存在直至 n 阶的连续导函数,在 x, x0 a, b ,至少存在一点 a, b ,
a, b 内存在{n+1}阶导函数,则对任意给定的
使得
f x f x0 f ' x0 x x0
f n x0 n!
f '' x0 2!
f
n 1
x x0
2
……
+
x x0
n
x x n1 . 0 n 1!
上式称为泰勒公式, 该方法一般适用于被积函数二阶可导,或二阶以上可导,又已知最高阶导数的符号 的情形. 证明思路:写出 f 的泰勒展开式,再由定积分性质做适当放缩.
2小结
• 本文介绍的定积分不等式证明的八种方法 中,利用定积分性质证明,利用积分中值定理 证明和利用函数单调性证明是我们最基本 也是最经常用到的证明方法;Schwarz不等 式和Jensen不等式是两个非常重要的不等 式.在求证定积分不等式时,首先要理清题意 ,找出题设条件和所要求证的不等式之间的 联系和结合点,然后再根据每种证明方法所 适用条件选择最适合,最简练的方法进行证 明,这也是解题的关键.
i 1
n
i
1 ,成立
n n f i xi i f xi . i 1 i 1
由 Jensen 不等式给出其相应的积分不等式.
1.8 利用二重积分
我们知道重积分可以化为累次积分,即两次定积分,特别当重积分的积分区域为矩 形 D a, b c, d 时,被积函数为 F x, y f x g y 时,重积分可以表示为两定 积分的乘积,即
1.1 利用定积分性质
定积分有一些基本的不等式,在证明积分不等式时会经常用到. 性质 1
[1]
1正文
若
f x 在 a, b 上可积,且 f x 0 ,则 f x dx 0 .
b a
性质 2
b
[1]
若
f x , g x 在 a, b 上可积,且 f x g x ,则
b a
该方法一般适用于被积函数
b
明思路:1） 适当放缩. 定理 3
f x g x dx f g x dx ;2）一般取 g 为具体函数，通过 f 做不等式的
a
[2]
.
该方法一般适用于被积函数
b
f x g x 中, g x 可积,而 g x 单调情形.证明思路:1）
f x dx s s
b a 1
2
s3 s4
1.6 利用积分重要不等式
定理 4
[2]
（Schwarz 不等式）
b f x g x dx b f 2 x dx b g 2 x dx . a a a
从积分 Schwarz 不等式可知,该方法一般适用于被积函数为 f x 与基本初等函数 的复合函数,且不等式中涉及函数平方 f
1.5 利用图解法和积分的几何意义
根据定积分的定义,定积分
b
a
： f x dx 表示以下几何意义 【4】
（1）如果连续函数 f x 0 ,则
f x dx 表示由曲线 y f x ,x
b a
轴及直线
x a , x b 所围成的曲边梯形的面积.
（2）如果连续函数 f x 0 ,则
b
a
f x dx f x .
'
性质 7
[1]
若
f x 在 a, b 上可导,则 f ' x dx f b f a .
a
在定积分不等式的证明中,利用定积分不等式的性质来直接证明是这类不等 式证明题中最基本,也是最常用的方法,它适用于简单的,显而易见的定积分不等 式中.在使用时应该注意选择与题意最匹配的性质,以免走弯路.
2
2
x 的积分的情形.利用该法解题关键为根据
Schwarz 不等式找合适的 f x 与 g x .
1.7 利用序列不等式
由 定 积 分 的 定 义 , 若
f x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在
a, b
可
积
,
则
有
b
a
1 n f x dx l i m n n i 1
b a
b
f x g x dx f a g x dx f b g x dx ;2）一般取 g 为具体函数，利用 f 的
a a
单调性得证.
1.4 利用函数的单调性
当已知被积函数 f x 在所给区间上连续,并没有告知可导时,通常用此法比较方 便,主要利用辅助函数的单调性证明,辅助函数的做法只需将结论中的积分上限（下限） 换成变量 x,移项使不等式一端为 0,另一端即为所做的函数. 用函数的单调性证明积分不等式,关键是要建立一个适当的函数,
1.3 利用积分中值定理
定理 2
[2]
{积分第一中值定理}
若函数
f
在
a, b 上连续,
则至少存在一点
a, b ,使得
b
a
f x dx f ' b a
f x g x 中， f x 与 g x 均连续,且 g x 不变号情形.证
b
f x dx g x dx .
a a
性质 3
[1]
若
f x 在 a, b 上可积,则 f x dx f x dx .
b b a a
性质 4
c
[1]
若
f x 在 a, b 上可积, c a, b ,则
b b
f x dx f x dx f x dx .
f x g y dxdy f x dx g y dy ,
b b a a D
又因为定积分与积分变量无关,所以有 .
f x dx g x dx f x g y dxdy .
b b a a D
因此,当涉及两定积分的乘积的不等式时,可考虑把定积分乘积化为一个重积分;或 题设条件中告知被积函数严格增加（减少）并没有指明是否可导,且积分区间相同时, 可将命题化为差式利用变量的对称性化为二重积分来进行证明.
定积分不等式证明的若干方法 xxx
xxx大学数学与应用数学专业 2007级本科1班
指导老师:xxx
选题目的及研究意义
该选题目的旨在介绍有关定积分不等式证明的若干方 法，主要介绍了：利用定积分性质证明、利用泰勒公式证明、 利用积分中值定理证明、利用函数的单调性证明、利用图解 法和积分的几何意义证明、利用积分重要不等式证明、利用 序列不等式证明、利用重积分证明等八种求证方法。定积分 不等式证明既是《数学分析》这门课学习的重难点之一，同 时也是工科及理科研究生入学考试中常出现的一类试题。本 文列举了若干定积分不等式证明的范例，归纳总结出了定积 分不等式证明的常用方法。这将使我们对定积分不等式证明 这类题有了全面系统的了解，从而帮助我们在做这类题时能 得心应手的选择更适当、简练的方法进行求证，同时也使我 们加深了对《数学分析》这门基础课程的理解，进而去学好 这门课程。
利用定积分证明不等式
热点追踪Җ㊀广东㊀李文东㊀㊀不等式的证明是高考的重要内容,证明的方法多㊁难度大,特别是一些数列和型的不等式．这类不等式常见于高中数学竞赛题和高考压轴题中,由于证明难度较大,往往令人望而生畏．其中有些不等式若利用定积分的几何意义证明,则可达到以简驭繁㊁以形助数的解题效果．１㊀利用定积分证明数列和型不等式数列和型不等式的一般模式为ðni ＝１a i ＜g (n )(或ðni ＝１a i ＞g (n )),g (n )可以为常数．不失一般性,设数列a n ＝f (n )＞０,此类问题可以考虑如下的定积分证明模式．(１)若f (x )单调递减．因为f (i )＜ʏii －１f (x )d x ,从而ðni ＝１a i ＝ðn i ＝１f (i )＜ðni ＝１ʏii－１f (x )d x ＝ʏn０f (x )d x ．㊀㊀又因为ʏi i －１f (x )d x ＜f (i －１),从而ʏn ＋１１f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏi i－１f (x )d x ＜ðn ＋１i ＝２f (i －１)＝ðni ＝１a i．㊀㊀(２)若f (x )单调递增．因为f (i )＞ʏi i －１f (x )d x ,从而ðni ＝１a i＝ðni ＝１f (i )＞ðni ＝１ʏii－１f (x )d x ＝ʏn０f (x )d x ．㊀㊀又因为ʏii －１f (x )d x ＞f (i －１),从而ʏn ＋１１f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏii－１f (x )d x ＞ðn ＋１i ＝２f (i －１)＝ðni ＝１a i ．例１㊀(２０１３年广东卷理１９,节选)证明:１＋１２２＋１３２＋ ＋１n２＜７４(n ɪN ∗)．分析㊀本题证法大多采用裂项放缩来证明,为了得到更一般的结论,我们这里采用定积分来证明．证明㊀因为函数y ＝１xα(α＞０且αʂ１)在(０,＋ɕ)上单调递减,故ʏii －１１x αd x ＞１iα(i ȡ３),从而当αʂ１时,ðni ＝１１i α＜１＋１２α＋ðni ＝３ʏii －１１x αd x ＝１＋１２α＋ʏn２１x αd x ＝１＋１２α－１(α－１)x α－１n ２＝１＋１２α＋１(α－１)２α－１－１(α－１)nα－１．㊀㊀利用这个不等式可以得到一些常见的不等式．若α＝１２,则ðn i ＝１１i＜１－３２＋２n ＝２n －１＋(２－３２)＜２n －１．㊀㊀当α＞１时,ðni ＝１１iα＜１＋１２α＋１(α－１)２α－１＝１＋α＋１α－１ １２α．特别地,若α＝２,则ðni ＝１１i ２＜１＋２＋１２－１ １２２＝７４;若α＝３,则ðni ＝１１i３＜１＋３＋１３－１ １２３＝５４;若α＝３２,则ðni ＝１１ii＜１＋３２＋１３２－１ １２３２＝１＋５２４＜３;若α＝１,则１n＜ʏnn －１１x d x ＝l n x nn －１＝l n n －l n (n －１),从而可以得到１２＋１３＋ ＋１n ＋１＜ʏn ＋１１１xd x ＝l n (n ＋１),１n ＋１＋１n ＋２＋ ＋１２n＜ʏ２nn１xd x ＝l n２．㊀㊀另一方面,１n －１＞ʏnn －１１xd x ＝l n x n n －１＝l n n －l n (n －１),则１＋１２＋１３＋ ＋１n －１＞ʏn１１x d x ＝l n n ．㊀㊀当α＝１时,借助定积分的几何意义上述不等式４２热点追踪还可以进一步加强．图１是函数y ＝１x的部分图象,显然S 曲边梯形A B C F ＜S 梯形A B C F ,于是ʏn ＋１n１x d x ＜１２(１n ＋１n ＋１),得l n (１＋１n )＜１２(１n ＋１n ＋１),令n ＝１,２, ,n ,并采用累加法可得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (n ＋１)＋n２(n＋１)(n ȡ１)．图１例２㊀证明:l n ４２n ＋１＜ðni ＝１i４i ２－１(n ɪN ∗)．分析㊀由于i ４i ２－１＝１４(１２i －１＋１２i ＋１),l n ４２n ＋１＝１４l n (２n ＋１),故证明l n (２n ＋１)＜ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１)．构造函数f (x )＝１２x ＋１,显然f (x )单调递减,考虑到ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１)的结构,对函数f (x )采用类似图１中的梯形面积放缩．证明㊀由分析得ʏii －１１２x ＋１d x ＜１２(１２i －１＋１２i ＋１),故１２l n (２n ＋１)＝ʏn０１２x ＋１d x ＝ðni ＝１ʏii －１１２x ＋１d x ＜１２ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１),不等式两边除以１２即为所证．例３㊀证明１３＋１５＋１７＋ ＋１２n ＋１＜１２l n (n ＋１)(n ɪN ∗)．分析㊀若考虑函数y ＝１２x ＋１,则有１２i ＋１＜ʏii －１１２x ＋１d x ,则ðni ＝１１２i ＋１＜ðni ＝１ʏii －１１２x ＋１d x ＝ʏn０１２x ＋１d x ＝１２l n (２x ＋１)n０＝１２l n (２n ＋１),达不到所证的精度,必须改变定积分放缩的精度．证明㊀结合不等式的右边,考虑函数f (x )＝１x．如图２所示,在区间[i ,i ＋１]上,取区间的中点i ＋１２,并以１i ＋１２为高作矩形A E F B ,则S 矩形A E F B ＜ʏi ＋１i １x d x ．于是有２２i ＋１＝１i ＋１２＜ʏi ＋１i１xd x ,则ðni ＝１２２i ＋１＜ðni ＝１ʏi ＋１i１xd x ＝ʏn ＋１１１xd x ＝l n (n ＋１),即ðn i ＝１１２i ＋１＜１２ln (n ＋１)．图２例４㊀设n 是正整数,r 为正有理数．(１)求函数f (x )＝(１＋x )r ＋１－(r ＋１)x －１(x ＞－１)的最小值;(２)证明:n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r＜(n ＋１)r ＋１－nr ＋１r ＋１;(３)设x ɪR ,记[x ]为不小于x 的最小整数,例如[２]＝２,[π]＝４,[－３２]＝－１．令S ＝３８１＋３８２＋３８３＋ ＋３１２５,求[S ]的值．(参考数据:８０４３ʈ３４４ ７,８１４３ʈ３５０ ５,１２５４３ʈ６２５ ０,１２６４３ʈ６３１ ７．)分析㊀出题者的本意是利用第(１)问中的伯努利不等式来证明后两问,但这里我们利用积分来证明．证明㊀(１)f m i n (x )＝０(求解过程略)．(２)因为r 为正有理数,函数y ＝x r 在(０,＋ɕ)上单调递增,故ʏnn －１x r d x ＜nr,而５２热点追踪ʏnn －１x rd x ＝x r ＋１r ＋１n n －１＝n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１,故n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r．同理可得n r＜ʏn ＋１n x rd x ＝x r ＋１r ＋１n ＋１n ＝(n ＋１)r ＋１－n r ＋１r ＋１,从而n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r＜(n ＋１)r ＋１－n r ＋１r ＋１．(３)由于i １３＜ʏi ＋１i x １３d x ＜(i ＋１)１３,故S ＝ð１２５i ＝８１i１３＜ð１２５i ＝８１ʏi ＋１ix １３dx ＝ʏ１２６８１x １３dx ＝３４x ４３１２６８１＝３４(１２６４３－８１４３),３４(１２５４３－８０４３)＝３４x ４３１２５８０＝ʏ１２５８０x １３d x ＝ð１２４i ＝８０ʏi ＋１ix １３d x ＜ð１２４i ＝８０(i ＋１)１３＝S ．３４(１２５４３－８０４３)＜S ＜３４(１２６４３－８０４３)．代入数据,可得３４(１２５４３－８０４３)ʈ２１０．２,３４(１２６４３－８１４３)ʈ２１０．９．由[S ]的定义,得[S ]＝２１１．２㊀利用积分证明函数不等式我们知道ʏx ２x １fᶄ(x )d x ＝f (x ２)－f (x １),因此,对于与f (x ２)－f (x １)有关的问题,可以从定积分的角度去思考．若f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上单㊀图３调递减且f ᶄ(x )为凹函数,如图３所示．设A C 的中点为B ,过点B 作B G ʅx 轴与f (x )交于点G ,过点G 作f (x )的切线与直线AH 和C D 分别交于点F 和I ．设A (x １,０),C (x ２,０),则f (x ２)－f (x １)＝ʏx ２x １fᶄ(x )d x ＝S 曲边梯形A C J H ,S 矩形A C D E ＝f ᶄ(x ２＋x １２)(x ２－x １)．因为S 曲边三角形E G H ＞S әE F G ＝S әD I G ＞S 曲边三角形J D G ,S 曲边梯形A C J H －S 矩形A C D E ＝S 曲边三角形E G H －S 曲边三角形J D G ＞０,于是有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(x ２＋x １２)．借助上述几何意义,一般地我们有如下结论．(１)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上为凹函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(x ２＋x １２);(２)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上为凸函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＜f ᶄ(x ２＋x１２)．例５㊀(１)函数f (x )＝l n x ,因为f ᶄ(x )＝１x在(０,＋ɕ)上为凹函数,则对任意０＜x １＜x ２,有l n x ２－l n x １x ２－x １＞１x ２＋x １２,即x ２－x １l n x ２－l n x １＜x １＋x ２２,此为对数均值不等式．(２)函数f (x )＝x l n x ,因为f ᶄ(x )＝１＋l n x 在(０,＋ɕ)上为凸函数,则对任意０＜x １＜x ２,有x ２l n x ２－x １l n x １x ２－x １＜１＋l n x ２＋x １２．许多考题都是以此为背景命题,比如,如下高三模拟考试的压轴题．例６㊀已知函数f (x )＝l n x －a x ２２＋(a －１)x －３２a(a ＞０),在函数f (x )的图象上是否存在不同两点A (x １,y １),B (x ２,y ２),线段A B 中点的横坐标为x ０,直线A B 的斜率为k ,使得k ＞f ᶄ(x ０)．简证㊀由于f ᶄ(x )＝１x－a x ＋a －１(a ＞０)在(０,＋ɕ)上为凹函数,可见结论成立!例７㊀设函数f (x )＝xex ,若x １ʂx ２,且f (x １)＝f (x ２),证明:x １＋x ２＞２．分析㊀本题的本质是极值点偏移问题,常见证法是利用对称性构造函数,这里采用定积分来证明．证明㊀不妨设x １＜x ２,由f ᶄ(x )＝１－x ex ,可知f (x )在(－ɕ,１]上单调递增,在[１,＋ɕ)上单调递减,且f (０)＝０．当x ＞０时,f (x )＞０,可知０＜x １＜１＜x ２．设x １e x １＝x ２e x ２＝t ,则x １＋x ２＝t (e x １＋e x ２),x ２－x １＝t (e x ２－e x １),考虑函数y ＝e x ,则根据定积分的梯形面积放缩有e x ２－e x １＝ʏx ２x １e xd x ＜(e x １＋e x２)(x ２－x １)２,则x ２－x １t ＜１２ x ２＋x １t(x ２－x １),故x １＋x ２＞２．(作者单位:广东省中山市中山纪念中学)６２。
定积分的应用(证明与自然数相关的不等式)
点评：本题相对例 1 增加了一点难度，最后一步进行了一个 n ln 2＞ 的放缩，但 基本思路也是与例 1 相同.
n 2
1 1 1 5 3 3 ＜ （n≥2 且 n∈N*）. 3 2 3 n 4 1 证明：令 f ( x ) 3 ，如右图所示， x
例 3 求证： 1
k 1 1 ＜ dx ， 3 k 1 x 3 k 1 1 1 1 3 3 3 2 3 n 1 1 1 1 3 1 3 1 3 2 3 n 3 1 4 1 n 1 n 1 1 9 9 1 n ＜1 3 3 dx 3 dx dx 3 dx 2 | 1 3 2 x 3 x n 1 x 2 8 2 x 8 2x 9 1 1 5 2＜ . 8 8 2n 4 1 1 1 1 3 ＜ （n≥2 且 n∈N*）. 例 4 求证： n 1 n 2 n 3 2n 4 1 证明：令 f ( x ) ，如右图所示， x
2 2 由于 an＞0，a＞0，两边取对数，得 lg an 1 lg an lg an lg
即 lg an 1 lg a 2(lg an lg a) . ∴数列{ lg an lg a }是以 lg a1 lg a 为首项，2 为公比的等比数列
a ∴ lg an lg a lg a1 lg a 2 lg 1 ， a n 1 2n1 2n1 a 2 a1 a1 1 ∴ lg an lg lg a lg a ，即 an a . a a a 式
证明与自然数有关的不等式
f (k )＜g (n) 是高考数学中的一类常见问题，也是高
i 1
n
定积分的计算和积分不等式 数学
定积分的计算和积分不等式摘要：本文首先介绍了定积分的几种计算方法：牛顿—莱布尼兹公式，分部积分法，换元积分法，积分值的估计。
其次再介绍了积分不等式的几种证明：用微分学的方法证明积分不等式，利用被积函数的不等式证明积分不等式，在不等式两端取变限积分证明新的不等式，利用积分性质证明不等式，利用积分中值定理证明不等式。
关键字：定积分；牛顿—莱布尼兹公式；分部积分法；换元积分法The Definite Integral Compute and Integral InequalityAbstract: In this paper, firstly, mainly introduced a few kinds computational method of definite integral: Newton-Leibniz, definite integration by parts, integration by substitution, definite integral by estimate value. Secondly, this paper also introduced a few kinds of integral invariant: using the method of differential calculus to prove integral invariant; making use of integrand invariant to prove integral invariant; using transfinite integrate to prove integral invariant; using integral characteristic to prove integral invariant; making use of integral mean value theorem to prove integral invariant.Key word:Definite integral; Newton-Leibniz; definite integration by parts; integration by substitution.引言数学分析是数学专业中一门重要的基础课，定积分的计算和积分不等式无疑是数学分析中一个重要的方面。
定积分不等式证明方法
定积分不等式证明方法要证明一个定积分的不等式，通常可以使用下面的方法：1.使用函数的性质：a.利用函数的递增性或递减性：如果能够证明被积函数在积分区间上是递增函数或递减函数，那么可以利用这个性质来证明不等式。
b.利用函数的凸性或凹性：如果被积函数在积分区间上是凸函数或凹函数，那么可以利用这个性质来证明不等式。
c.利用函数的导数性质：如果能够证明被积函数的导数在积分区间上具有一些特定的性质，比如非负或非正，那么可以利用这个性质来证明不等式。
2.使用定积分的性质：a.利用定积分的线性性质：如果能够将被积函数表示为两个或多个可积函数的线性组合，那么可以利用定积分的线性性质来证明不等式。
b.利用定积分与函数极限的关系：如果被积函数是一个收敛函数序列的极限函数，那么可以利用定积分与函数极限的关系来证明不等式。
c.利用平均值定理：如果能够找到一个介于被积函数在积分区间上的最大值和最小值之间的常数函数，那么可以利用平均值定理来证明不等式。
3.使用面积比较法：a.利用图形的几何性质：将被积函数与一个已知函数或图形进行比较，通过比较图形的面积大小来证明不等式。
b.利用图形的对称性：如果能够将积分区间对称分割，或者利用函数的对称性，那么可以利用对称性来证明不等式。
4.使用特殊技巧：a.利用变量替换：通过对积分变量进行适当的代换，可以将原来的不等式转化为更加简单的形式，从而更容易证明。
b.利用积分的可加性：如果被积函数具有可加性的性质，即可以将积分区间分成多个子区间进行求积分，那么可以利用这个性质来证明不等式。
以上是一些常用的定积分不等式证明方法，但并不是穷尽的。
在实际问题中，根据具体的情况可能需要结合多种方法来证明不等式。
最后，需要强调的是，在证明中需要合理运用数学工具和定义、定理，推导过程要严密，逻辑要清晰，以确保证明的正确性和严谨性。
王伯龙. 用定积分的几何意义证明不等式[J]. 数学通讯, 2010,(16)
![王伯龙. 用定积分的几何意义证明不等式[J]. 数学通讯, 2010,(16)](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/a8b4e963b84ae45c3b358caa.webp)
dt 即当
1 dt t
1 x
x=
1 x
1 1 x
28
数学通讯
2010 年第 8 期 ( 下半月 )
解题方法
简证 2009 年清华大学自主招生一道数学试题
王亚辉
( 河北经贸大学数学与 统计学学院 , 050061 )
试题
( 题 2 ( 1) ) x , y 为实数, 且 x + y = 1, 求
0
dt <
0
1 dt , cos2 t
x n x x n ) 成立, 只须证 ln e > ln( 1+ ) 成立 , 即证 n n x x x x > 0, n 为正整数, n > ln( 1+ n ) . n > 0,
x n x
即当 0< x < 2 时 , 有 sin x < x < t an x . 1 1 例2 当 x > 0 时 , 证明 1 < ln ( 1+ x ) x+ 2 1 < . x 证明 x > 0 时,
的左端, 由
( 收稿日期 : 2010- 03- 29)
=
1 x 1
t+ 1 1 dt . 因为积分变量 t 满足 1< t < , 从而 x 2t t
1 1
质得
x 1 x t+ 1 1 t+ 1 易得 0< < , 由性质得 dt < dt , t 2t t 1 t 1 2t t 1 1 ln x 即 ln < - x , 故当 0< x < 1 时 , 有 < x x - 1 x 1 . x
积分不等式的证明方法及其应用
积分不等式的证明方法及其应用一、积分不等式的证明方法：1.使用定积分定义证明：对于一个函数f(x)，如果在[a,b]上f(x)≥0，那么可以使用定积分的定义进行证明。
将[a,b]分成n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，那么对于每个小区间，存在一个ξi ∈ [x_{i-1}, x_i]，使得f(ξi)Δx_i≤∫_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)dx。
对于所有小区间，将不等式相加并取极限即可得到定积分不等式。
2.使用导数的性质证明：对于一个函数f(x)，如果能够表示出它的导数f'(x)，那么可以使用导数的性质进行证明。
首先计算f'(x)，然后判断f'(x)的正负性，再根据函数在[a,b]上的取值情况，可以得到相应的不等式。
例如，如果f'(x)≥0，那么f(x)在[a,b]上是单调递增的，可以得到∫_a^bf(x)dx≥∫_a^b f(a)dx=f(a)(b-a)。
3.使用恒等式和变量替换证明：对于一个复杂的积分不等式，有时可以通过引入合适的恒等式或进行变量替换来简化证明过程。
例如，对于形如∫_a^b f(x)g(x)dx≥0的不等式，可以通过将f(x)g(x)拆分为两个函数的平方和，然后应用恒等式a^2+b^2≥0进行证明。
或者，可以通过进行变量替换将不等式转化为更简单的形式，然后再进行证明。
二、积分不等式的应用：1.极值问题：2.凸函数与切线问题：3.平均值不等式：平均值不等式是积分不等式的一种特殊情况，它可以用于证明平均值与极值之间的关系。
例如，对于一个连续函数f(x)，可以通过证明(1/(b-a))∫_a^b f(x)dx≥ƒ(ξ)来得到平均值与极值之间的关系。
4.泛函分析问题：总结起来，积分不等式的证明方法包括定积分定义证明、导数性质证明、恒等式和变量替换证明等等。
而积分不等式的应用包括解决极值问题、研究凸函数的性质、平均值不等式以及泛函分析问题等。
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第三章一元积分学第三节定积分值的估计及不等式定积分值的估计及不等式证明是一个较难的问题，方法多样，用到的知识（微分学的知识，积分学的知识等）也很多。
总的说来：（1）主要用积分学的知识，除了定积分的性质、积分中值定理、计算方法外，以下几个简单的不等式也是有用的：b b(i)若f(x) <g(x)(x 引a,b])，则J f (x)dx < J g(x)dx .a ab b(ii) I f f(x)dx| 兰f l f (x) |dx.ad b(iii )若f(X)>0(X 引a,b]), a<c<d<b,则f f (x)dx < f f (x)dx.9 £(iv)(柯西不等式)[f f (x)g(x)dxr < a f 2(x)dx a g2(x)dx（2）主要用微分学的知识，包括前面己讲过的利用微分学知识证明不等式的一切方法.（3）利用二重积分、级数等.值得注意的是：题目的解法往往有多种，同一题目其解答过程中往往要用到各种知识和方法.、■莎 2例1.判断积分[sin x dx的符号分析：这个积分值是求不出来的.如果被积函数在积分区间上有确切的符号，那么积分值的符号很容易判断.如果被积函数在积分区间上有正、有负，那么应根据被积函数的正、负情况将积分区间分成部分区间，然后利用积分学等方面的知识比较在这些部分区间上的积分值（实际上是比较积分值的绝对值）.本题中被积函数si nx2在积分区间上有正、有负，先作，一2*烦2 1 ^sin t换兀：t =x ,把积分变为（sinx dx=5t -^dt后，问题更清晰，因而想到/莎 2 1 2；rs int 1 F兀sin t ,^si ntsinxdx=?0 ;r dt=2d寅dx+J兀至此积分的符号凭直觉已经能判断了. 但严格说明还需做一些工作，上式右端两个积分的积分区间不一样，为了方便比较，应将两个积分放在同一积分区间上进行比较. 有了这些分析和思路后，解答就容易了.解：令t =x2，则0 sin/dx^L 于dt—2(0 于dx+J兀于dt)2兀sin t 兀一sin u 兀sin t对上式右端后一积分换元，u*得d r 右du—0右dt从而广sinx2dx—丄(f字dx-f严dt) 0 2 0JT看V u +兀1兀1 1=-f (k -- )sintdt >02 J t+J注：本题的解答过程不复杂，但其过程中有两个技巧很有用(1)将积分区间分成部分区间 (尤其是等分区间，特别是二等分) (2)如要比较两个在不同积分区间上的积分的大小，可通过换元变成相同积分区间上的积分，然后比较.迟. 3例 2 .设a A 0，证明：(xa sinx dx『a ■sinx dx > 亍分析：：从形式上看很象柯西不等式，但两个积分的积分区间不一样，前面的积分可用教材上介绍的一个等式0，f(sinx)dx = jr 02 f(sinx)dx变为［0,亍］上的积分,再用柯西不等式便可得结论。
几类定积分不等式的证明_王阳
（苏州大学外国语学院 江苏苏州 215006）
犹太人对自己的生活是有着传统性的恪守，男婴出生第八天要 举行割礼仪式，是对再生的追求，也是对性的约束。一直生活在异
[摘 要]现代美国犹太人在美国这块“应许之地”、“希望之乡”的生 乡的犹太人对自己的身份经历了尴尬、模糊和认定的全面过程。在
分法先求出 f (x) 在[a,b] 上的最大、最小值，再用估值定理即可。
∫ 例：求证
2 exp(− 1 ) ≤ 2
1
−
2 1
exp(− x2 )dx
≤
2
2。
证：先求被积函数
f (x) = exp(− x2 ) 在 ⎡⎢⎣−
1, 2
1 ⎤ 上的最大 2 ⎥⎦
和最小值。
∫ ∫ λ f ( x )dx ≥ λ 1 f ( x )dx 。
0
0
三、利用柯西-许瓦兹不等式证明定积分不等式
( ) ∫ ∫ 当 所 求 证 的 不 等 式 中 含 有 ： b f 2 (x)dx, b f (x)dx 2 或
a
a
∫ ∫ b f (x)dx b g(x)dx 的形式时，可用柯西——许瓦兹不等式求证。
a
a
∵ f ′(x) = −2x exp(−x2 )
3.4 落地技术的对比研究
且经过 T 检验(p<0.01)，它们之间存在显著性差异，体现出两个项
最佳着地技术是尽可能加大脚跟与身体重心之间的水平距离，
目的较大差别。众所周知，助跑速度和起跳能力是决定跳跃成绩的 尽量利用身体重心的抛物线轨迹使双脚落得更远。从起跳脚离地后，
两个最为重要的因素，而在实际情况中，则恰恰是由于主观上要求 运动员身体重心抛物线的移动轨迹就已被决定。但在实际跳跃中，
一个积分不等式的十种证明方法_倪华
ａ
∫
， ″（ ｘ）＞ ０ （ ０ ≤ ｘ ≤ ａ） ｆ 所以 ｆ（ 因此 ｘ）的图形在 ［ ０， ａ］上是凹的 ，
（ 证法 ８ 利用一阶导数的单调性 ） 因为
ｘ） ａ－ｘ） ａ ， ＋ｆ（ ｆ（ ≥ ｆ（ ） ２ ２
故有
ａ
″（ ｘ）＞ ０， ｆ
故有
∫
ａ
ａ ａ ｘ） ｄ ｘ≥ ２ ｄ ｘ ＝ａ ． ｆ（ ｆ（ ） ｆ（ ） ０ ０ ２ ２
关键词 定积分 ； 不等式 ； 证明方法 中图分类号 Ｏ １ ７ ８
积分不等式是微积分学中的一类常见而又重要 的不等式 ， 其证明的方法灵活多样 ， 通过对积分不等 式的多种不同证法 ， 能对学生开阔解题思路 ， 提高综 合应用数学知识的能 力 有 所 帮 助 ， 有助于学生对高 ］分 别 讨 论 文［ 等数学知 识 体 系 的 理 解 和 掌 握 ． １－ ２ 了一个定积分不等式 的 多 种 证 法 ． 本文也讨论另一 类积分不等式 ， 并给出十种证明方法 ． 江苏大学 ２ ０ ０ ８－２ ０ ０ ９年 度 第 一 学 期 期 末 考 试 高等数学试卷中有一道定积分证明题 ， 引为下例 ． 例 １ 设 ｆ（ ｘ）在 ［ ０， ａ］上二阶可导 ， ″（ ｘ）＞ ０， ｆ 证明
ａ
故有
ａ ， ′（ ｘ）≤ ｆ ′（ ａ－ｘ） ０≤ｘ ≤ ） （ ｆ ２
所以
ａ
ｘ ＝ｔ＋
则有
ａ
ａ， ２
ｘ） ｄ ｘ ＝ａ ａ） － ｆ（ ｆ（ ∫
０
∫
０
ｘ） ｄ ｘ＝ ｆ（
∫
ａ （ ） ｄ ｔ＝ ＋ｔ ａｆ －２ ２
０
ａ ２
∫
０
ａ ２
ａ
ｘ ′（ ｘ） ｄ ｘ－ ｆ
定积分不等式
第三章 一元积分学第三节 定积分值的估计及不等式定积分值的估计及不等式证明是一个较难的问题，方法多样，用到的知识（微分学的知识，积分学的知识等)也很多。
总的说来：（1）主要用积分学的知识，除了定积分的性质、积分中值定理、计算方法外，以下几个简单的不等式也是有用的:(i ）若]),[( )()(b a x x g x f ∈≤，则⎰⎰≤babadx x g dx x f )()( 。
（ii ）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|.（iii ）若b d c a b a x x f ≤≤≤∈≥]),,[( 0)(，则⎰⎰≤badcdx x f dx x f )()(。
（iv ）（柯西不等式）⎰⎰⎰≤b ababadx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222(2）主要用微分学的知识,包括前面己讲过的利用微分学知识证明不等式的一切方法.（3）利用二重积分、级数等．值得注意的是：题目的解法往往有多种，同一题目其解答过程中往往要用到各种知识和方法． 例１．判断积分⎰π202sin dx x 的符号分析：这个积分值是求不出来的．如果被积函数在积分区间上有确切的符号，那么积分值的符号很容易判断．如果被积函数在积分区间上有正、有负,那么应根据被积函数的正、负情况将积分区间分成部分区间，然后利用积分学等方面的知识比较在这些部分区间上的积分值(实际上是比较积分值的绝对值）．本题中被积函数2sin x 在积分区间上有正、有负，先作换元：2x t =，把积分变为dt ttdx x ⎰⎰=ππ20202sin 21sin 后，问题更清晰，因而想到dt t t dx x ⎰⎰=ππ20202sin 21sin +=⎰π0sin (21dx tt)sin 2⎰ππdt tt至此积分的符号凭直觉已经能判断了．但严格说明还需做一些工作，上式右端两个积分的积分区间不一样,为了方便比较，应将两个积分放在同一积分区间上进行比较．有了这些分析和思路后，解答就容易了． 解:令2x t =，则dt t t dx x ⎰⎰=ππ20202sin 21sin ＝+=⎰π0sin (21dx tt)sin 2⎰ππdt tt对上式右端后一积分换元π+=u t 得⎰⎰⎰+-=+-=ππππππ2sin sin sin dt t t du u u dt tt从而=⎰π202sin dx x -=⎰π0sin (21dx tt)sin 0⎰+ππdt t t0sin )11(210>+-=⎰ππtdt t t 注:本题的解答过程不复杂，但其过程中有两个技巧很有用（１)将积分区间分成部分区间（尤其是等分区间,特别是二等分）（２）如要比较两个在不同积分区间上的积分的大小，可通过换元变成相同积分区间上的积分，然后比较． 例２．设0>a ，证明:4320sin 0sin πππ≥⎰⎰-dx adx xaxx分析:： 从形式上看很象柯西不等式，但两个积分的积分区间不一样，前面的积分可用教材上介绍的一个等式⎰⎰=200)(sin )(sin πππdx x f dx x xf 变为]2,0[π上的积分，再用柯西不等式便可得结论. 解：⎰⎰=20sin 0sin πππdx a dx xax x4)1()()(32202022sin 202sin 20sin 0sin ππππππππ=≥=⎰⎰⎰⎰⎰--dx dx adx adx adx xax x xx例３．设)(x f 在],[b a 上有一阶连续导数，且0)(=a f ，证明：（１)|)(|max 2)(|)(|],[2x f a b dx x f b a x ba'-≤∈⎰(２）dx x f a b dx x f bab a222])([2)()(⎰⎰'-≤分析：（１)该不等式实际上给出了左边积分的一个界。