关于积分不等式的证明
关于用微积分理论证明不等式的方法
关于用微积分理论证明不等式的方法微积分是数学的一个分支，主要研究连续变化的概念和性质。
它提供了一种强大的工具，可以用来证明不等式。
在本文中，我们将介绍一些常用的微积分方法，用于证明不等式。
一、导数的应用导数是微积分中的重要概念，它表示函数在其中一点的变化率。
在证明不等式时，我们可以使用导数的性质来进行推导。
1.极值点的性质：如果函数在其中一点处取得极值，那么在这个点的导数等于零。
这个性质通常用于证明不等式的最优情况。
例如，我们要证明函数f(x)=x^3在[-1,1]上取得最大值为1、首先，计算函数的导数f'(x)=3x^2、然后，找出导数等于零的点：3x^2=0，解得x=0。
进一步，计算二阶导数f''(x)=6x，并代入x=0，可以得到f''(0)=0。
这意味着在x=0处，函数取得极值。
然后，我们可以用数学归纳法证明，在[-1,1]区间上，f(x)的取值范围在[-1,1]之间。
因此，函数的最大值为1，取到极值点(0,1)。
2.函数的单调性：如果函数的导数在一些区间内恒大于等于零（或恒小于等于零），那么函数在该区间上是单调递增（或递减）的。
例如，我们要证明函数f(x)=x^2在[-1,1]上是递增的。
首先，计算函数的导数f'(x)=2x。
然后，计算导数在[-1,1]上的值，可以得知f'(x)在这个区间上恒大于等于零。
根据函数单调性的定义，我们可以得出结论：函数f(x)=x^2在[-1,1]上是递增的。
二、积分的应用积分是微积分中另一个重要的概念，它是导数的逆运算。
在证明不等式时，我们可以使用积分的性质来进行推导。
1. 积分上限的比较：如果函数f(x)在一个区间上恒小于等于另一个函数g(x)，那么在该区间上的函数积分f(x)dx也小于等于g(x)dx。
例如，我们要证明函数f(x)=x在[0,1]上的积分小于等于函数g(x)=x^2在[0,1]上的积分。
二重积分柯西积分不等式
二重积分证明柯西积分不等式
具体证明方法如下：
1、考虑差值dx。
2、交换x，y的位置，计算dx。
3、将上述两个dx相加。
4、考虑定义域。
5、得出结论。
扩展资料：
二重积分意义：
1、二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。
此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
2、二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。
本质是求曲顶柱体体积。
重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。
利用定积分证明不等式
热点追踪Җ㊀广东㊀李文东㊀㊀不等式的证明是高考的重要内容,证明的方法多㊁难度大,特别是一些数列和型的不等式．这类不等式常见于高中数学竞赛题和高考压轴题中,由于证明难度较大,往往令人望而生畏．其中有些不等式若利用定积分的几何意义证明,则可达到以简驭繁㊁以形助数的解题效果．１㊀利用定积分证明数列和型不等式数列和型不等式的一般模式为ðni ＝１a i ＜g (n )(或ðni ＝１a i ＞g (n )),g (n )可以为常数．不失一般性,设数列a n ＝f (n )＞０,此类问题可以考虑如下的定积分证明模式．(１)若f (x )单调递减．因为f (i )＜ʏii －１f (x )d x ,从而ðni ＝１a i ＝ðn i ＝１f (i )＜ðni ＝１ʏii－１f (x )d x ＝ʏn０f (x )d x ．㊀㊀又因为ʏi i －１f (x )d x ＜f (i －１),从而ʏn ＋１１f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏi i－１f (x )d x ＜ðn ＋１i ＝２f (i －１)＝ðni ＝１a i．㊀㊀(２)若f (x )单调递增．因为f (i )＞ʏi i －１f (x )d x ,从而ðni ＝１a i＝ðni ＝１f (i )＞ðni ＝１ʏii－１f (x )d x ＝ʏn０f (x )d x ．㊀㊀又因为ʏii －１f (x )d x ＞f (i －１),从而ʏn ＋１１f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏii－１f (x )d x ＞ðn ＋１i ＝２f (i －１)＝ðni ＝１a i ．例１㊀(２０１３年广东卷理１９,节选)证明:１＋１２２＋１３２＋ ＋１n２＜７４(n ɪN ∗)．分析㊀本题证法大多采用裂项放缩来证明,为了得到更一般的结论,我们这里采用定积分来证明．证明㊀因为函数y ＝１xα(α＞０且αʂ１)在(０,＋ɕ)上单调递减,故ʏii －１１x αd x ＞１iα(i ȡ３),从而当αʂ１时,ðni ＝１１i α＜１＋１２α＋ðni ＝３ʏii －１１x αd x ＝１＋１２α＋ʏn２１x αd x ＝１＋１２α－１(α－１)x α－１n ２＝１＋１２α＋１(α－１)２α－１－１(α－１)nα－１．㊀㊀利用这个不等式可以得到一些常见的不等式．若α＝１２,则ðn i ＝１１i＜１－３２＋２n ＝２n －１＋(２－３２)＜２n －１．㊀㊀当α＞１时,ðni ＝１１iα＜１＋１２α＋１(α－１)２α－１＝１＋α＋１α－１ １２α．特别地,若α＝２,则ðni ＝１１i ２＜１＋２＋１２－１ １２２＝７４;若α＝３,则ðni ＝１１i３＜１＋３＋１３－１ １２３＝５４;若α＝３２,则ðni ＝１１ii＜１＋３２＋１３２－１ １２３２＝１＋５２４＜３;若α＝１,则１n＜ʏnn －１１x d x ＝l n x nn －１＝l n n －l n (n －１),从而可以得到１２＋１３＋ ＋１n ＋１＜ʏn ＋１１１xd x ＝l n (n ＋１),１n ＋１＋１n ＋２＋ ＋１２n＜ʏ２nn１xd x ＝l n２．㊀㊀另一方面,１n －１＞ʏnn －１１xd x ＝l n x n n －１＝l n n －l n (n －１),则１＋１２＋１３＋ ＋１n －１＞ʏn１１x d x ＝l n n ．㊀㊀当α＝１时,借助定积分的几何意义上述不等式４２热点追踪还可以进一步加强．图１是函数y ＝１x的部分图象,显然S 曲边梯形A B C F ＜S 梯形A B C F ,于是ʏn ＋１n１x d x ＜１２(１n ＋１n ＋１),得l n (１＋１n )＜１２(１n ＋１n ＋１),令n ＝１,２, ,n ,并采用累加法可得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (n ＋１)＋n２(n＋１)(n ȡ１)．图１例２㊀证明:l n ４２n ＋１＜ðni ＝１i４i ２－１(n ɪN ∗)．分析㊀由于i ４i ２－１＝１４(１２i －１＋１２i ＋１),l n ４２n ＋１＝１４l n (２n ＋１),故证明l n (２n ＋１)＜ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１)．构造函数f (x )＝１２x ＋１,显然f (x )单调递减,考虑到ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１)的结构,对函数f (x )采用类似图１中的梯形面积放缩．证明㊀由分析得ʏii －１１２x ＋１d x ＜１２(１２i －１＋１２i ＋１),故１２l n (２n ＋１)＝ʏn０１２x ＋１d x ＝ðni ＝１ʏii －１１２x ＋１d x ＜１２ðni ＝１(１２i －１＋１２i ＋１),不等式两边除以１２即为所证．例３㊀证明１３＋１５＋１７＋ ＋１２n ＋１＜１２l n (n ＋１)(n ɪN ∗)．分析㊀若考虑函数y ＝１２x ＋１,则有１２i ＋１＜ʏii －１１２x ＋１d x ,则ðni ＝１１２i ＋１＜ðni ＝１ʏii －１１２x ＋１d x ＝ʏn０１２x ＋１d x ＝１２l n (２x ＋１)n０＝１２l n (２n ＋１),达不到所证的精度,必须改变定积分放缩的精度．证明㊀结合不等式的右边,考虑函数f (x )＝１x．如图２所示,在区间[i ,i ＋１]上,取区间的中点i ＋１２,并以１i ＋１２为高作矩形A E F B ,则S 矩形A E F B ＜ʏi ＋１i １x d x ．于是有２２i ＋１＝１i ＋１２＜ʏi ＋１i１xd x ,则ðni ＝１２２i ＋１＜ðni ＝１ʏi ＋１i１xd x ＝ʏn ＋１１１xd x ＝l n (n ＋１),即ðn i ＝１１２i ＋１＜１２ln (n ＋１)．图２例４㊀设n 是正整数,r 为正有理数．(１)求函数f (x )＝(１＋x )r ＋１－(r ＋１)x －１(x ＞－１)的最小值;(２)证明:n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r＜(n ＋１)r ＋１－nr ＋１r ＋１;(３)设x ɪR ,记[x ]为不小于x 的最小整数,例如[２]＝２,[π]＝４,[－３２]＝－１．令S ＝３８１＋３８２＋３８３＋ ＋３１２５,求[S ]的值．(参考数据:８０４３ʈ３４４ ７,８１４３ʈ３５０ ５,１２５４３ʈ６２５ ０,１２６４３ʈ６３１ ７．)分析㊀出题者的本意是利用第(１)问中的伯努利不等式来证明后两问,但这里我们利用积分来证明．证明㊀(１)f m i n (x )＝０(求解过程略)．(２)因为r 为正有理数,函数y ＝x r 在(０,＋ɕ)上单调递增,故ʏnn －１x r d x ＜nr,而５２热点追踪ʏnn －１x rd x ＝x r ＋１r ＋１n n －１＝n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１,故n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r．同理可得n r＜ʏn ＋１n x rd x ＝x r ＋１r ＋１n ＋１n ＝(n ＋１)r ＋１－n r ＋１r ＋１,从而n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r＜(n ＋１)r ＋１－n r ＋１r ＋１．(３)由于i １３＜ʏi ＋１i x １３d x ＜(i ＋１)１３,故S ＝ð１２５i ＝８１i１３＜ð１２５i ＝８１ʏi ＋１ix １３dx ＝ʏ１２６８１x １３dx ＝３４x ４３１２６８１＝３４(１２６４３－８１４３),３４(１２５４３－８０４３)＝３４x ４３１２５８０＝ʏ１２５８０x １３d x ＝ð１２４i ＝８０ʏi ＋１ix １３d x ＜ð１２４i ＝８０(i ＋１)１３＝S ．３４(１２５４３－８０４３)＜S ＜３４(１２６４３－８０４３)．代入数据,可得３４(１２５４３－８０４３)ʈ２１０．２,３４(１２６４３－８１４３)ʈ２１０．９．由[S ]的定义,得[S ]＝２１１．２㊀利用积分证明函数不等式我们知道ʏx ２x １fᶄ(x )d x ＝f (x ２)－f (x １),因此,对于与f (x ２)－f (x １)有关的问题,可以从定积分的角度去思考．若f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上单㊀图３调递减且f ᶄ(x )为凹函数,如图３所示．设A C 的中点为B ,过点B 作B G ʅx 轴与f (x )交于点G ,过点G 作f (x )的切线与直线AH 和C D 分别交于点F 和I ．设A (x １,０),C (x ２,０),则f (x ２)－f (x １)＝ʏx ２x １fᶄ(x )d x ＝S 曲边梯形A C J H ,S 矩形A C D E ＝f ᶄ(x ２＋x １２)(x ２－x １)．因为S 曲边三角形E G H ＞S әE F G ＝S әD I G ＞S 曲边三角形J D G ,S 曲边梯形A C J H －S 矩形A C D E ＝S 曲边三角形E G H －S 曲边三角形J D G ＞０,于是有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(x ２＋x １２)．借助上述几何意义,一般地我们有如下结论．(１)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上为凹函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(x ２＋x １２);(２)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上为凸函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＜f ᶄ(x ２＋x１２)．例５㊀(１)函数f (x )＝l n x ,因为f ᶄ(x )＝１x在(０,＋ɕ)上为凹函数,则对任意０＜x １＜x ２,有l n x ２－l n x １x ２－x １＞１x ２＋x １２,即x ２－x １l n x ２－l n x １＜x １＋x ２２,此为对数均值不等式．(２)函数f (x )＝x l n x ,因为f ᶄ(x )＝１＋l n x 在(０,＋ɕ)上为凸函数,则对任意０＜x １＜x ２,有x ２l n x ２－x １l n x １x ２－x １＜１＋l n x ２＋x １２．许多考题都是以此为背景命题,比如,如下高三模拟考试的压轴题．例６㊀已知函数f (x )＝l n x －a x ２２＋(a －１)x －３２a(a ＞０),在函数f (x )的图象上是否存在不同两点A (x １,y １),B (x ２,y ２),线段A B 中点的横坐标为x ０,直线A B 的斜率为k ,使得k ＞f ᶄ(x ０)．简证㊀由于f ᶄ(x )＝１x－a x ＋a －１(a ＞０)在(０,＋ɕ)上为凹函数,可见结论成立!例７㊀设函数f (x )＝xex ,若x １ʂx ２,且f (x １)＝f (x ２),证明:x １＋x ２＞２．分析㊀本题的本质是极值点偏移问题,常见证法是利用对称性构造函数,这里采用定积分来证明．证明㊀不妨设x １＜x ２,由f ᶄ(x )＝１－x ex ,可知f (x )在(－ɕ,１]上单调递增,在[１,＋ɕ)上单调递减,且f (０)＝０．当x ＞０时,f (x )＞０,可知０＜x １＜１＜x ２．设x １e x １＝x ２e x ２＝t ,则x １＋x ２＝t (e x １＋e x ２),x ２－x １＝t (e x ２－e x １),考虑函数y ＝e x ,则根据定积分的梯形面积放缩有e x ２－e x １＝ʏx ２x １e xd x ＜(e x １＋e x２)(x ２－x １)２,则x ２－x １t ＜１２ x ２＋x １t(x ２－x １),故x １＋x ２＞２．(作者单位:广东省中山市中山纪念中学)６２。
证明不等式的定积分放缩法
证明不等式的定积分放缩法定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过对不等式两边进行积分，利用积分的性质来证明不等式的正确性。
具体来说，我们可以通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
下面我们以一个简单的例子来说明定积分放缩法的具体应用。
假设我们要证明如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{3}$$我们可以通过放缩被积函数$x^2$ 的大小来证明该不等式。
具体来说，我们可以将 $x^2$ 放缩为 $x$，即：$$x^2 \leq x, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \int_0^1 x dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2}$$但是，这个结论并不能证明原不等式的正确性。
为了进一步放缩被积函数的大小，我们可以将 $x$ 放缩为 $1$，即：$$x \leq 1, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x dx \leq \int_0^1 1 dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 1 dx = 1$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x dx \leq 1$$综合以上两个结论，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2} \leq \frac{1}{3}$$因此，原不等式得证。
可以看出，通过定积分放缩法，我们成功地证明了该不等式的正确性。
总的来说，定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
积分不等式的证明
即 一 ＿＜ｓ （ ０ ， ■ ｉ ＞ ） 继续在 【 Ｊ ｎ ０ ，
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３ ５
上 积 分 两 次 即 可 得 ｓ Ｘ＜Ｘ－ ＋ ｉ ｎ －
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证 ： Ｉ （ ｌｌ ）， 明要 ’ 厂 ａ 证ｆ ） ｘ ＿出 厂
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／ （ ） 厂 （） 一＿ Ｏ
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不 等 式
ｓ ｘ ｄ ｍ ｘ
一
得证 。
２ （） ＇／ ～ｆ＇／ ｆ ｒｆ（） （ ／ ｒ ｒ ）
—
２ｆ ｒ （ ／
丽 ＝ ） １ ＞ （ ７ ０ ／ ＜＜
＜１ ３在不 等式两端取 变限积分 证明新 的 ）
例５： 明 ： ＞０时 ， 证
１ 用微 积 分 的 方 法 证 明不 等 式 １． 借 助积 分 上 限函 数把 积分 不等 式 转 化 １ 为 函 数不 等 式 的 证 明
， ｆ） （ｔ ， （ｆ ｔ （ ￣ ｆｄ ）２ ）
Ｇ ） —
由（］ｓ ＜， 格 于， ｉ ｃ 严单 。有ｎ 。 ｓ
调递减 ， ｉ（ ｓ） Ｏｔ ｏ（ｎ ） 则ｓ ｃ ｔ＜ＣＳ＜ｃｓｉｔ， ｎ ｏ ｓ
即 厂）≥ 厂）＋ ｘ 第三次取在【，ｊ 证ｒ（ ＿ 出 ０厂） （ ｃ ｄ ｘ ｆ ０ 上的积分 Ｘ 整 得 厂）≥ ｆ（ ， 理 到 （ ／） 出 出 ｘ ｉ ＜ —ｓ ｎ ＿（ ＞０ ）
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．
ｌ］ ｏ 上的积分得得到１ ＣＳ ＜ ， 一ＯＸ
５
＜ Ｓ ｎ ＜
ｌ０ ２
＝
占 ）“ ｆ （ Ｊ １ ） Ｊ ＋ ， （
所 以 Ｆｚ 在 ， 上 单 调 递 增 ， （ ｆ ） ｂ 】 而
积分不等式的证明方法探究
Ｊ （， Ｊ（ ０ （ ・ 毕 。 （ 。 （ ≥ ） １ 证 ・ ｇ ） ） ，） ） ｇ）
二 、 助 于几 何 直 观 证 明 不 等 式 借 例 ２ 设 尸（） ， 明 不 等 式 ： ＜０ 证
．
分 『，）： ｙ （分 积 变 的 号 析』 （ ｆ ） 积 与 分 量 记 ｆ ， （
Ｄ 。
无关 ）
证 』 ）］』 ）Ｉｙ） ＝ 明［ ｄ ｆ（ ＝ ｘ ｂ
—
ｂ
≤ 』 ）≤ 半 ） ｃ 击 ｄ ＿ ２ ｘ ，
分 析 将 要 证 的不 等 式 变 形 为 ：
≤
ｆ ｘ ）ｙ 其 中 Ｄ ＝［ ，］ ０ ｂ ） （ ｄ （ 。 ｂ Ｘ［ ，］
ｆａ ，１
（ ａｂ 半 ＋ ） ・ ＋ 半 丁ｂ ａｂ 半 ） ａ … ＋ ＋ ２ ．
其 中 ∈［ ， ］ ・ 。 ６ ， 在 与 盟
边不 等 式 ．
Ｊ （， ｘ 。ｘ ） ≥ ） １ 。 Ｔ） Ｊ（ｇｘ ｘ ０ （） ｇ ｌ ｄ ｆ ）（ｄ （ ｇ ・
单调减 ．
ｆ１ ｆ１
是 。 一 删 ≤鲁“ “ 删 ） 鲁ａ ｏａ （ ｕ ， Ｄ 、 ＋一 一 ｕ 一
这 正是 （ ） ３ 左边 的不 等 式 ．
将 （ 式在 『 ｂ１ｔ积 分 ． ３） ａ． 即可 得 ：
≤
Ｆ１ Ｊ （ （ｄ Ｊ（ｇｔｔ，１ （・ （ 。 ｔ ｔｔ 。ｔ ） 一（ｇ１ ） ｇ） ） ｆ）（ｄ ） ） ｆ
』 ｆ）ｄ＝ － （ ． 毕 』 （＋（］ｙ （ ａ ｂ ） 证 ｝ ） ｙｄ ｂ ） ｌ ｘ
ｄ ｘ
—
（０ ６） ＿
二
≤ ）≤ ， ） ｆ ｘ （ （ ｂｄ ６ 半 ， （
关于积分不等式的证明
（ ３ ）
例 ２ 设 厂 ）ｐ（ 在 ［ ， ］ （ － ） ｎ ６ 上可 积 ， ， ｍｓ厂 ｓＭ ， （ ２０且 ｐ ｚ ＞ｏ若 （） 定 义在 ｎ ￡ （ ） ｐ ） （） ， ￡是 。 ＜
．
１ 利用极 限运算
例１ 设ｆ 二次 微函 且 切 （） ， （ 为［，］ 连 数， ； Ｅ（ ］ 为 可 数， 对一 有 ｏ 而ｕ￡ ｏ口上的 续函 试证： ｏ ￡ ） ￣ｕ） ｆ
≥ ＿ｆ （ｄ 。 ＿ ｏ ｔｔ １ ）］ ｕ
证明： ， 的 续 由ｆｕ 连 性知，ｏ ￡ ｄ与 ｉｕｔ ｔ 存在， ｏ口的 分 则 ｊ ｕ ） ｔ ｏ （ ｄ均 Ｓ （］ ） 取［，］ 等距 割， ｆ ［（ ］ ＿ ｏ “ｔ ｆ ）
初等 不 等式 的证 明采 用 的方 法主要 有数 学归纳 法 、应 用 导数性 质及 二 次型 的正定 ，而无穷 不等式 经常是 由初
等不 等式 经极 限过程 得到 的 ，下 面我们 主要讨 论积 分不 等式 的不 同于传统 构造辅 助 函数 和 Ｔｙ ｒ 开式 的证 ａｌ 展 ｏ 明方 法 。
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［ 收稿 日期 】２０ 一ｌ —０ ０６ ０ ８ ［ 基金项 目］湖 北省 高等 学校省级教学研 究项 目 （ 目编号 ：２００９ ） 项 ０ ５２０ ［ 作者 简介］王
・
娟 （９７一 ） １６ ，女 ，吉林延吉人 ，襄 樊学院数 学 系副教授 ，从事应用数学研 究。
A证明积分不等式的几种方法_周景芝
证明积分不等式的几种方法周景芝不等式涉及数量之间大小的比较,而通过比较常能显示出变量变化之间相互制约的关系。
因此,从某种意义上说,不等式的探讨,在数学分析学习中甚至比等式的推演更为重要。
积分不等式反映的是某些积分值之间的关系,其证明也是数学分析证题中的难点,其主要原因是其证法没有固定的程序可循,方法多样,技巧性强。
为此,通过典型的一些例题来熟悉积分不等式证明的不同方法,这样对提高证明能力是有益的。
下面就用三种基本方法来证明积分不等式。
一、根据定积分的定义及连续函数的性质来证明定义定积分的方法是分割、代替、作和、取极限。
对于积分和,我们可以把它看成一个级数的部分和,根据各种平均值之间的大小关系,就可以相应的写出关于级数的不等式,然后通过取极限的办法而得到类似的积分不等式。
例1设f(x)在[a,b]上可积,且f(x)在此区间上有正的下界,则b-a Q b a dxf(x)[e1b-a Q b a lnf(x)dx[1b-aQ b a f(x)dx证明:因分f(x)在[a,b]上可积,且有正的下界,因此,积分Q badxf(x)与Q balnf(x)dx均存在,令f k =f(a+kzn),zn=b-an则可证limn y]1nE nk=1fk=1b-aQ baf(x)dx limn y]11nE nk=11fk=b-aQ badxf(x)limn y]n n11K=1fk=e1b-a Q b a lnf(x)dx因为对于n个正数有:调和平均值[几何平均值[算术平均值,因此nE n k=11fk[n n11k=1fk[1nE nk=1fk当n y+]时,有b-aQ badxf(x)[e1b-a Q b a lnf(x)dx[1b-aQ baf(x)d x由上面的例子可以看出,根据积分不等式的特征,用定积分的定义来解的确很方便,在熟练掌握定积分的概念以及各种平均值之间的关系的基础上,在解题实践中有意识的、自觉的加强这方面的训练。
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* * * * 大学 * * 学院毕业论文（设计）（ * 届）题目：关于积分不等式的证明院（系、部）：数学系专业：数学与应用数学姓名： ****学号 ********指导教师：**********大学**学院教务处制摘要：积分不等式是微积分学中的一类重要不等式，在数学分析中有着广泛的应用，且在考研试卷中会经常出现。
研究积分不等式的证明方法，不仅解决了一些积分不等式的证明，而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来，拓宽我们的视野，提高我们的发散思维能力和创新能力。
本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明：利用单调性来证积分不等式、利用施瓦茨不等式来证积分不等式、利用拉格朗日中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用Taylor公式来证积分不等式、利用函数的凹凸性来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式。
关键词：积分不等式；单调性；施瓦茨不等式；拉格朗日中值定理；Taylor公式；凹凸性；二重积分。
Abstract：Integral inequality is a kind of important inequality in the calculus，which is broadly used in mathematical analysis and usually appears inPostgraduate examinations. The study of integral inequality can help us not onlysolve some integral inequality of equation, but also put the primary mathematicsknowledge and higher mathematics knowledge together to broaden our horizonsand improve our ability of thinking and innovation. The purpose of this paper isto discuss the proving of the Integral inequality from the following aspects: bythe use of the monotonicity of function, Schwarz inequality, Lagrange meansvalue theorem, integral mean value theorem, Taylor formula, concavo convexcharacteristic of function, double integral and so on.Key words: Integral inequality; monotonous; Schwarz inequality; Lagrangemean value theorem; Taylor formula; concavo-convex characteristic; doubleintegral.目录1. 利用单调性来证积分不等式 (4)1.1函数单调性的有关概念 (4)1.2 函数单调性在证明积分不等式上的相关应用 (4)2. 利用施瓦茨不等式来证积分不等式 (4)2.1施瓦茨不等式的有关概念 (4)2.2施瓦茨不等式在证明积分不等式上的相关应用 (5)3. 利用拉格朗日中值定理来证积分不等式 (5)3.1拉格朗日中值定理 (5)3.3拉格朗日中值定在证明积分不等式上的相关应用 (6)4. 利用积分中值定理来证积分不等式 (6)4.1 积分中值定理的有关概念 (6)4.2 积分中值定理在证明积分不等式上的相关应用 (7)5. 利用Taylor公式来证积分不等式 (7)5.1Taylor公式的有关概念 (8)5.1.1带皮亚诺（Peano）余项的泰勒公式 (8)5.1.2带拉格朗日余项的泰勒公式 (8)5.2 Taylor公式在证明积分不等式上的相关应用 (8)6. 利用函数的凹凸性来证积分不等式 (10)6.1 函数的凹凸性的有关概念 (10)6.2 函数的凹凸性在证明积分不等式上的相关应用 (10)7. 利用二重积分来证积分不等式 (11)7.1 二重积分的有关概念 (11)7.2 二重积分在证明积分不等式上的相关应用 (11)8.结论 (12)9.谢辞 (13)10.参考文献 (14)绪论积分不等式是微积分学中的一类重要不等式，在数学分析中有着广泛的应用，且在考研试卷中会经常出现。
对积分不等式证明方法的介绍，不仅解决了一些积分不等式的证明，而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来，拓宽我们的视野，提高我们的发散思维能力和创新能力。
目前国内的本课题研究比较普遍，主要是研究如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明。
文献[6]中作者举了七种常用的证明积分不等式的方法。
文献[7]中作者主要用构造辅助函数和Taylor展开式来证明积分不等式,此方法为解决一些难度较大的积分不等式提供了不少帮助。
本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明：利用单调性来证积分不等式、利用施瓦茨不等式来证积分不等式、利用拉格朗日中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用Taylor公式来证积分不等式、利用函数的凹凸性来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式。
1.利用单调性来证积分不等式1.1 函数的单调性的有关定理［1］定理 1 设()f x 在区间I 上可导，则()f x 在I 上递增(递减)的充要条件是''()0(()0)f x f x ≥≤。
［1］定理2如果可导函数 ()f x 在(,)a b 内递增(递减)且()0f a =,则()0(()0)f x f x ≥≤((,))x a b ∈。
1.2 函数的单调性在证明积分不等式上的应用例1若)()(x g x f 、在[,]a b 上可积，则⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ba b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222证：将b 改写为x ，并设()()dt t g dt t fdt t g t f x F xa xa x a ⎰⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛=222)()()(，()()()()()()()()()dt t f x g dt t g x f x g x f dt t g t f x F x axax a⎰⎰⎰--⋅=2222'2= ()()()()()()()()dt t f x g t g x fx g x f t g t f xa 2222--⎰=()()()()dt t g x f x g t f x a2)(--⎰ 0≤从而知)(x F 为减函数，于是有)()(a F b F ≤，又)(a F =0，所以0)(≤b F 因此有⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ba b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222注：利用函数的单调增减性证明积分不等式，先将定积分改写成变上限的积分，移项使不等式一端为0，另一端设为)(x F ，再验证)(x F 的单调增减性。
2利用施瓦茨不等式来证积分不等式2.1 施瓦茨不等式的有关概念定理［10］定理3 若)()(x g x f 、在[,]a b 上可积，则⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ba b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222，其中等号当且仅当存在常数βα、，使得)()(x g x f βα=时成立（βα、不同时为零）［1］定义1:称⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ba b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222为施瓦茨不等式 注：应用施瓦茨不等式证明积分不等式时要注意恰当地选取函数)(x f 与)(x g 。
2.2 施瓦茨不等式在证明积分不等式上的相关应用例2 已知0)(≥x f ，在[],a b 上连续，1)(=⎰dx x f ba，k 为任意实数，求证：1sin )(cos )(22≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx kx x f dx kx x f ba b a （1）证：（1）式左端第一项应用施瓦茨不等式=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰2cos )(dx kx x f ba ()≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2cos )()(dx kx x f x f ba⎰⎰⋅babakxdx x f dx x f 2cos )()(⎰=bakxdx x f 2cos )( （2）同理⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ba b a kxdx x f kxdx x f 22sin )(sin )( （3）（2）+（3）即得式（1）。
3.利用拉格朗日中值定理来证积分不等式3.1 拉格朗日中值定理［1］定理4: 设函数()f x 满足如下条件： （1）()f x 在闭区间[],a b 上连续； （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导， 则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-。
注：称()()()f b f a f b aξ-'=-为拉格朗日公式注：拉格朗日公式有如下等价的表示形式:(1) ()()()()f b f a f b a ξ'-=-(2) ()()()()(),01f b f a f a b a b a θθ'-=+--<<(3) ()()(),01f a h f a f a h h θθ'+-=+<<3.2 拉格朗日中值定理在证明积分不等式上的相关应用利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数()f x 和区间[],a b ，使它们满足拉格朗日定理条件，然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论。
例3 设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且'()0,()f a f x M =≤，试证22()()baf x M b a ≤-⎰证： 由拉格朗日中值定理知'()()()()f x f a f x a ξ-=-由()0f a =有()f x ='()()()x a f x a M ξ-≤-于是2()()()2bbaa b a f x dx x a Mdx M -≤-=⎰⎰，因此22()()baf x dx M b a ≤-⎰注：如果积分不等式的条件中有一阶可导,则我们常常可以用拉格朗日中值定理来证积分不等式.4. 利用积分中值定理来证积分不等式4.1 积分中值定理的有关概念［6］定理5（积分第一中值定理）设()f x 在[],a b 上连续，()g x 在[],a b 上可积且不变号，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰特别地，当()1g x =时，存在[],a b ξ∈，使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰［6］定理6（积分第二中值定理）（1）设()f x 在[],a b 上单调递增且非负，()g x 在[],a b 上可积，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()bba f x g x dx fb g x dx ξ=⎰⎰（2）设()f x 在[],a b 上单调递增且非负，()g x 在[],a b 上可积，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()baaf xg x dx f a g x dx ξ=⎰⎰（3）设()f x 在[],a b 上单调递增且非负，()g x 在[],a b 上可积，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()()()bbaaf xg x dx f a g x dx f b g x dx ξξ=+⎰⎰⎰4.2 积分中值定理在证明积分不等式上的相关应用例4 证明24arctan 99xdx ππ≤≤分析：arctan x x 积分不好积，如果把arctan x 从积分号里拿到外面，积分就容易了，因此用积分中值定理。