积分不等式的证明及应用论文

广西科技大学毕业论文题目：积分不等式的证明及应用英文题目：The integral inequality proof and application.所在学院：理学院所在专业：信息与计算科学学号：200900901071作者姓名：朱伟指导老师：张明俊二零一三年五月摘要积分不等式是学习高等数学中的一个重要内容，在数学分析中的应用也很广泛,也经常会在考研试卷中出现.有很多积分不等式的证明方法，一些方法综合性和技巧性也很强。

利用导数和积分的相关知识去证明不等式，可以降低技巧性，使证明的思路变得简单，在此总结出可用于证明不等式的知识点。

文中涉及到的知识有积分不等式、柯西不等式、拉格朗日中值定理、泰勒公式等高等数学中的内容。

【关键词】积分不等式、函数、拉格朗日中值定理、柯西不等式、泰勒公式AbstractMathematical analysis is an important information and calculation science specialized basic course,integral inequality is important content of mathematical analysis,using the integral inequality can solve many problems,thus the application of integral inequality is very wide.Proof of integral inequality and applications has always been a difficulty in mathematical analysis,it's proved that erected a bridge for different branches of mathematics,greatly improved our creative thinking.It's proof and application is also very cleverly,can solve some difficult problems.So,a deep understanding, to grasp the method of integral inequality proof, and its different applications in mathematical analysis,can improve our understanding of theoretical knowledge and application,at the same time also is good for our future study,to improve our thinking ability, innovation ability, and skill also has the very big help.【Key words】Integral inequality, Probability mass function, Lagrange's mean value theorem, Cauchy inequality, Taylors formula.目录摘要 (2)引言 (5)第一章积分不等式的证明方法 (6)（一）定义法 (6)（二）利用定积分的基本性质 (7)（三）利用积分第一中值定理证明积分不等式 (8)（四）利用拉格朗日中值定理来证明积分不等式 (9)（五）利用二重积分法证明积分不等式 (10)（六）利用线性变换证明积分不等式 (12)（七）利用柯西中值定理来证明积分不等式 (13)（八）利用泰勒公式证明积分不等式 (13)定理4 泰勒定理 (13)2.证明方法 (14)3.例子 (14)4.应用范围 (14)第二章一些特殊积分不等式的应用 (15)（一） Young不等式及其应用 (15)（二）Steffensen不等式 (17)（三）Jensen不等式 (17)结束语 (19)致谢 (20)参考文献 (21)引言数学分析是信息与计算科学专业的一门重要的基础课，积分不等式是数学分析中的重要内容，利用积分不等式可以解决很多问题，由此可见积分不等式的应用很广。

积分不等式的证明与应用历来是数学分析的中的一个难点，它的证明为不同分支的数学架起了桥梁，很大程度的提高了我们的创造思维。

它的证明及应用也是很灵活巧妙的，可以使一些困难的问题迎刃而解。

所以，深刻理解、掌握积分不等式的证明方法及它在数学分析中不同方面的应用，可以提升我们对理论知识的理解、应用，同时也有利于我们以后的学习，对提高我们的思维能力、创新能力、和技巧也有非常大的帮助。

本文通过参考大量的文献，综述出了一些积分不等式的证明及应用。

第一章 积分不等式的证明方法（一） 定义法根据定积分的定义，我们把积分区间分为n 等分，得出积分和后，再由离散型式子，得到积分和之间的大小关系，令∞→n ，取极限即可.例1 设f 在[],a b 上连续，()0ba p x dx ≥⎰，()0p x ≥，且()m f x M ≤≤，()h x 在区间[],m M 上有定义，有二阶导数''()0h x >，试证明：()()()(())()()()bbaabbaap x f x dxp x h f x dxh p x dxp x dx≤⎰⎰⎰⎰.证明： （利用积分和证明）将[],a b n 等分，记()i ix a b a n=+-，()i i p p x =，()i i f f x =，1,2,3i=因为''()0h x >，则()h x 为凸函数，则1111()()nni iiii i nniii i p fp h f h pp====≤∑∑∑∑，所以有：1111()()nni ii i i i n ni i i i b a b ap f p h f n n h b a b a p p n n ====--≤--∑∑∑∑ 令n →+∞取极限，便得证明的积分不等式.例2设函数)(x f 在 []0,1上可积，试证明不等式10()f x dx ⎰.证明： 先用Jensen 不等式法来证明不等式 : 对 R x x x n ∈∀,,,21 , 有nx x x n x x x nn 2222121+++≤+++ 设T 为] 1 , 0 [的n 等分，根据上面的不等式,有∑∑==⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni ni nn i f nn i f 1211 1. 令∞→n , 由函数)(x f 和)(2x f 在[ 0 , 1 ]上的可积性及函数 ||x 和x 的连续性，可得积分不等式10()f x dx ⎰.（二） 利用定积分的基本性质例1 假设)(x f 在[],a b 上二次连续且可微，()02a bf +=，''sup ()a x b M f x ≤≤=，试证明：3()()24baM b a f x dx -≤⎰证明： 将)(x f 在2a b x +=处，用泰勒公式展开，注意()02a bf +=，则 '''21()()()()()222!2a b a b a b f x f x f x ξ+++=-+-，)(x f 右端的第一项在[],a b 上积分为0，所以''21()()()2!2bb aa ab f x dx f x dx ξ+=-⎰⎰''21()()22b a a b f x dx ξ+≤-⎰31()|62b a a b M x +≤-3()24M b a -=， 其中''sup ()a x bM f x ≤≤=.例2设函数()f x 在区间[]0,1上连续且递增，试证明：对任意()0,1k ∈，都有1()()kf x dx k f x dx ≤⎰⎰.证法一： 110000()()()()()k k kk k f x dx f x dx k f x dx f x dx f x dx ⎡⎤-=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰1(1)()()k kk f x dx k f x dx =-+⎰⎰[]12(1)()()k k f f ξξ=--0≥12(1)k ξξ<<<<其中0,移项后得证.证法二： 1()()kf x dx k f x dx ≤⎰⎰100()()()kkk f x dx k f x dx k f x dx ⇔≤+⎰⎰⎰10(1)()()kkk f x dx k f x dx ⇔-≤⎰⎰或1011()()1k kf x dx f x dx k k ≤-⎰⎰但是f 在[]0,1上连续并且递增，所以1011()()()1k k f x dx f k f x dx k k≤≤-⎰⎰，即 1011()()1k k f x dx f x dx k k≤-⎰⎰，原题得证.（三） 利用积分第一中值定理证明积分不等式定理1 积分第一中值定理如果()x f 在区间][b a ,连续, 则至少存在一点ζ∈][b a ,,使得等式()()()a b f dx x f ba-=⎰ζ成立.巧妙的利用积分第一中值定理，在证明积分不等式中有着非常重要的作用. 例 设()x f 在区间][1,0上可微,而且对任意函数)(1,0∈x ,都有()M x f ≤'||, 求证:对任何正整数n 都有()nMn i f n dx x f n i ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑⎰=111,已知M 是一个常数，与x 无关.分析 因为目标式中一个式子为∑=⎪⎭⎫⎝⎛n i n i f n 11,而另一个式子为()dx x f ⎰10,所以把()dx x f ⎰1按照区间可加性可以写成一些定积分的和,应用积分第一中值定理加以证明.证明： 由定积分的性质和积分中值定理,得()()⎰∑⎰=-=111ni n ini dx x f dx x f ()∑==ni i n f 11ζ,⎢⎣⎡⎥⎦⎤-∈n i n i i ,1ζ,.,,2,1n i = 又因为()x f 在区间][1,0上可微,所以根据微分中值定理可知,存在 ⎝⎛⎪⎭⎫∈n i i i ,ζη,使()()⎪⎭⎫⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛i i i n i f f n i f ζηζ,.,,2,1n i = 因此()()∑∑⎰∑===⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n i n i i n i n i f n f n n i f n dx x f 1111111ζ()()()nM n M n n i f n f n i f n f n i f n n i i ni i n i i n i i =≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=-⎪⎭⎫⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑∑∑====111111111ζηζζ.由此可知，抽象函数()x f 的积分不等式中,如果有和号∑、对函数、幂函数等,一般可利用定积分的区间可加性或定义,把][b a ,n 等分,点i ζ也可以采用特殊的取法.（四） 利用拉格朗日中值定理来证明积分不等式定理2 拉格朗日中值定理 如果函数f 满足下面的条件: （1）f 在区间][b a ,连续；（2）f 在)(b a ,内可导, 则在区间)(b a ,内至少存在一点ζ,使得()()()ab a f b f f --='ζ. 利用拉格朗日中值定理的关键步骤是选取适当的函数()f x 以及区间[],a b ,使得()f x 、[],a b 满足拉格朗日定理条件,再用拉格朗日公式（也可以用等价形式）来运算求得所要的结论.例2 设()x f '在定区间][b a ,上连续，试证明:若()a f =()b f 0=,则有()⎰ba dx x f ≤()M a b 42-,][()x f Max M b a x '=∈,.分析 根据()a f =()b f 0=,及()x f '与()x f ,可以利用拉格朗日中值定理求证.证明： 根据拉格朗日中值定理， 对于任意的∈x ⎢⎣⎡⎥⎦⎤+2,b a a , ()()()a f x f x f -=()()x a a x f <<-=11,ζζ.对于任意的∈x ⎢⎣⎡⎥⎦⎤+b b a ,2,()()()b f x f x f -=()()b x b x f <<-=22,ζζ.()()()()⎢⎣⎡⎥⎦⎤+∈-≤⎢⎣⎡⎥⎦⎤+∈-≤⇒b b a x x b M x f b a a x a x M x f ,2,,2,,, 故()()()⎰⎰⎰+++=bb a b a abadx x f dx x f dx x f 22()()⎰⎰+++≤bb a b a adx x f dx x f 22()()⎰⎰++-+-≤bb a b a adx x b M dx a x M 22()M a b 42-=.我注意到M 是()x f '在区间][b a ,上的最大值,因此解题的关键是想办法使()x f 和()x f '联系起来,随即想到利用拉格朗日中值定理来证明不等式.（五） 利用二重积分法证明积分不等式利用定积分和积分变量形式无关的性质去证明不等式,把定积分的平方项或定积分之间的积，转化成积分变量形式不同的定积分的积,再把定积分化为二重积分,能达到有效的作用.例1 如果函数()x f ,()x p ,()x g 在][b a ,上连续,()x p 为正值函数,()x f ,()x g 为单调增加函数,则()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰≤babababadx x g x f x p dx x p dx x g x p dx x f x p .此不等式就是切贝谢夫不等式.分析 只需证()()()()()()()()0≥-=∆⎰⎰⎰⎰babababadx x g x p dx x f x p dx x g x f x p dx x p即可,然而上述式子又可看成累次积分,进而化为二重积分.证明： 因为定积分的值和积分变量是无关的,因此()()⎰⎰=babady y p dx x p ,()()()()⎰⎰=babady y g y p dx x g x p .()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰-=∆bab ab ab ady y g y p dx x f x p dx x g x f x p dy y p()()()()()()()()[]dxdy y g x f y p x p x g x f x p y p D⎰⎰-=()()()()()[]dxdy y g x g x f y p x p D⎰⎰-= ①其中,积分区域()b y a b x a D ≤≤≤≤;因定积分和积分变量的形式是无关的, 则交换x 和y 的位置,得()()()()()[]dxdy x g y g y f x p y p D⎰⎰-=∆ ②将①式和②式相加,得到()()()()[]()()[]dxdy y g x g y f x f y p x p D--=∆⎰⎰21,根据已知, 可知()x p 为正值函数,()x f ,()x g 为单调增函数,从而()()[]y f x f -和()()[]y g x g -同号, 于是在D 上()()y p x p ()()[]y f x f -()()[]y g x g -0≥,从而有0≥∆. 即得()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰≤babababadx x g x f x p dx x p dx x g x p dx x f x p .例2 试证明如果函数()x f 在区间][1,0上不恒为零，且连续增加,则()()()()⎰⎰⎰⎰≤10210312103dxx xf dxx xf dxx fdx x f . 证明： 因结论式中的分母在区间][1,0上都是正值,所以结论可等价为()()⎰⎰-=∆11032dx x xf dx x f()()0102103≥⎰⎰dx x xf dx x f ,又因 ()()⎰⎰-=∆11032dx x xf dx x f()()⎰⎰102103dx x xf dx x f()()()()dxdy y xf x f dxdy y yf x f DD⎰⎰⎰⎰-=3232()()()dxdy x y y f x f D⎰⎰-=32 ③其中,积分区域()10;10≤≤≤≤y x D 因定积分的值和积分变量的形式是无关的,则又有()()()dxdy y x x f y f D⎰⎰-=∆32 ④将③式和④式相加,得到()()()()()[]dxdy y f x f x f y f y x D--=∆⎰⎰2221,根据已知,函数()x f 在区间][1,0上是连续增加,从而对于任意][1,0,∈y x ,都有()()()()()[]022≥--y f x f x f y f y x ,故()()()()⎰⎰⎰⎰≤1210312103dxx xf dxx xf dxx fdx x f .从上述的积分不等式证明中,可知将定积分化为重积分能够灵巧的去证明积分不等式.（六） 利用线性变换证明积分不等式要是问题涉及到函数()x f 在区间[],a b 上的均值()⎰-ba dx x f ab 1，就可以对均值作线性变换。