2021年大连市高等数学竞赛试题B卷答案

大连市第二十届高等数学竞赛试题

B 卷答案

一、填空题（本题共30分，每小题3分）

1．111lim()11212n n →∞+++

=++++2． 2．3201sin()sin

lim ln(1)x x x x →?=+0．

3．设1()(1)

x e f x x x -=-，则0x =为()f x 的第 一 型间断点． 4．设函数()f x 在0x =处可导，(0)1f '=，则0

()(2)lim tan x f x f x x →--=3． 5．设21()32f x x x =-+，()(3)n f =1

1(1)(1)!2n n n +--?． 6．函数2()3x f x =，31lim ln((1)(2)())n f f f n n →+∞??=ln 33． 7．3cos sin d 2sin cos x x x x x +=+?ln 2sin cos x x x C +++． 8．设函数21ln ()d (0)1x t f x t x t =>+?，则1()()f x f x

-=0． 9．设函数()f x 在[0,1]上可积，且满足关系式13201()()d 1f x x f x x x =

++?，()f x 的 表达式为()f x =32113

x x π++． 10．设函数()y y x =由方程arctan

ln 2y x =确定，则d d y x =x y x y +-．

二、（本题8分）计算极限 30sin sin(sin )lim x x x x

→-． 解 做变量替换sin t x =，再利用无穷小等价代换，

33320000sin sin(sin )sin sin 1cos 1lim lim lim lim (arcsin )36x t t t x x t t t t t x t t t →→→→----====．

三、（本题8分）已知2

1lim()01x x ax b x

→∞+-+=+，求常数a 和b ． 解 原式2221(1)()1lim lim 011x x x ax ax b bx a x b a x b x x

→∞→∞+--++-+-++===++， 所以 10a -=，0b a -=，即1b a ==．

四（本题10分）设函数()f x 有二阶连续导数， ()4f π=， 0(()())sin d 5f x f x x x π

''+=?，求(0)f ．

解 0000()sin d sin d ()()sin ()cos d f x x x x f x f x x f x x x π

ππ

π'''''==-??? 0000cos d ()()cos ()sin d ()(0)()sin d x f x f x x f x x x f f f x x x πππππ=-=--=+-???， 所以 05(()())sin d 4(0)f x f x x x f π

''=+=+?，得(0)1f =．

五、（本题10分）求函数22

0()(4)d x t f x t e t -=-?的极值点． 解 ()f x 是偶函数，所以先考虑0x ≥情形．

令 4

2()2(4)0x f x x x e -'=-=，得0x =，2x =．

当02x <<时，()0f x '>； 当2x >时，()0f x '<． 所以0x =是极小值点，而2x =±是极大值点．

六、（本题10分）求由曲线2lim

1nx n x y x e →+∞=++，2

x y =及1x =围成的平面图形的面积．

解 22

0,0lim 1,01nx n x x y x x e x x →+∞≥??==?++

七、（本题8分）设函数()f x 满足关系2()(())f x x f x '''=-，且(0)0f '=，证明： 点(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点．

证 由关系式，令0x =，得(0)0f ''=；

等式两端求导，得 ()12()()f x f x f x ''''''=-，因此 (0)1f '''=． 再由()f x '''的连续性可知，在0x =附近，()0f x '''>，所以()f x ''单增，()f x ''在 0x =的两侧异号，(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点．

八、（本题8分）设函数()f x 在[0,)+∞上可导，且(0)0f =，()f x '单调增加． 证明：

()f x x

在(0,)+∞上单调增加． 证 222()()()()(()(0))()()()f x xf x f x xf x f x f xf x xf x x x x ξ''''----'=== 2

(()())0x f x f x ξ''-=>，ξ在0和x 之间 所以()f x x 在(0,)+∞上单调增加．

九、（本题8分）设(1)sin d n n n x a x x ππ+=?

，n 为正整数，证明：（1）1n n a a +<；（2）lim 0n n a →+∞=．

证 令x n t π=+，得

(1)0sin sin d (1)d n n n n x t a x t x

n t π

πππ+==-+??， （1）100sin sin d d (1)n n t t a t

?； （2）00sin sin 2d d n t t a t t