随机过程考试真题

1、设随机过程X (t) R t C ， t (0, ) ， C 为常数，R 服从[0, 1]区间上的均匀分布。

（1）求X (t)（2）求X (t)的一维概率密度和一维分布函数；

的均值函数、相关函数和协方差函数。

2、设W(t ),t是参数为2

的维纳过程， R ~ N (1,4) 是正态分布随机变量；

且对任意的t， W (t ) 与R均独立。令 X (t )W (t ) R ，求随机过程

X (t ),t的均值函数、相关函数和协方差函数。

3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180 人，即180 ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。

4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：

0.3 0.70

P0 0.2 0.8

0.70 0.3

（1）求两步转移概率矩阵P (2)及当初始分布为

P{ X0 1} 1, P{X02}P{X03} 0

时，经两步转移后处于状态 2 的概率。

（ 2）求马尔可夫链的平稳分布。

5 设马尔可夫链的状态空间I{1,2,3,4,5} ，转移概率矩阵为：

0.30.40.300

0.60.4000

P01000

0000.30.7

00010

求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。

6、设N (t ), t 0 是参数为的泊松过程，计算 E N (t) N (t s) 。

7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以N i记在 i 第层进入电梯的人数。假定N i相互独立，

且 N i是均值为i 的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率p ij在第j层离开电梯，p ij 1 。令 O j＝在第j层离开电梯的人数。

j i

（ 1）计算 E(O j ) （ 2） O j 的分布是什么

（ 3） O j 与 O k 的联合分布是什么

8、一质点在

1，2，3 点上作随机游动。 若在时刻 t 质点位于这三个点之一， 则在 [t ,t h) 内，

它都以概率

h o(h) 分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微

分方程，转移概率 p i j (t) 及平稳分布。

1 有随机过程 { (t )， -

< t < } 和{ (t )， - < t < } ，设 (t )= A sin( t +

)， (t )= B sin( t + + ),

其中 A ，B ， ， 为实常数， 均匀分布于 [0， 2 ]，试求 R (s ,t )

2（ 15 分）随机过程 (t )= A cos(

t + )，-

E A =2, D A =4, 是在 [-5, 5]上均匀分布的随机变量， 是在 [- ， ]上均匀分布的随机变量。

试

分析 (t)的平稳性和各态历经性。

3 某商店顾客的到来服从强度为

4 人每小时的 Poisson 过程，已知商店 9：00 开门，试求：（ 1）

在开门半小时中，无顾客到来的概率；

（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。

4 设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用

1 表示）、正常（用 2

表示）、畅销（用 3 表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下

月）与初始时刻无关， 且其状态转移概率为 p ij （ p ij 表示从销售状态

i 经过一个月后转为销售

状态 j 的概率），一步转移开率矩阵为：

1 1 0

2 2

5

P

1 1

3 9 9

1 2 1

6

3

6

试对经过长时间后的销售状况进行分析。

5 设 {X(t),t 0}是独立增量过程 , 且 X(0)=0,

证明 {X(t),t

0}是一个马尔科夫过程。

6 设

N(t),t

是强度为

的泊松过程，

Y k ,k=1,2,

是一列独立同分布随机变量，且

N(t)

与 N(t),t

独立，令

X(t)=

Y k , t

0 ，证明：若

E(Y 12 < ) ，则 E X(t)

tE Y 1

k=1

7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨 的概率为 ，而今天无雨明天有雨的概率为

；规定有雨天气为状态

0，无雨天气为状态

1。设

0.7, 0.4 ，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。

8 设

t , t

是平稳过程，令

t t cos 0t ,

t

，其中

是常数，

为均匀分布在 [0,2 ]上的随机变量，且

t ,

t

与 相互独立， R ( )

和 S ( )分别是 t , t

的相关函数与功率谱密度，试证：

（1）

t ,

t

是平稳过程，且相关函数：

R

1 R cos

2

（2）

t ,

t

的功率谱密度为：

S 1

S

S

4

9 已知随机过程 (t )的相关函数为：

R e

2

(t )是否均方连续？是否均方可微？

，问该随机过程

1、设随机过程 X (t)

R t C ， t (0, ) ， C 为常数，

（ 1）求 X (t) 的一维概率密度和一维分布函数；

（ 2）求 X (t) 的均值函数、相关函数和协方差函数。【理论基础】

x

（ 1） F ( x)f (t )dt ，则 f (t ) 为密度函数；

（2） X (t) 为 ( a, b) 上的均匀分布，概率密度函数

f ( x)

R 服从 [ 0, 1] 区间上的均匀分布。

1

b a

, a x b

，分布函数0,其他

0, x a

(b a)2

F ( x)

x

a

,a x b ， E( x)

a b

， D (x) ；

b a

b

2 12

1, x