不等式的基本性质
不等式的基本性质1．比较两个实数的大小
（1）a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.
（2）若b＞0，则有a
b
＞1?a＞b；
a
b
＝1?a＝b；
a
b
＜1?a＜b.
2．不等式的性质
(1)对称性：a ＞b?b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c；
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0?a n＞b n(n∈N，n≥2)；
(6)可开方：a＞b＞0?n
a＞
n
b(n∈N，n≥2)．
3.两条常用性质(1)倒数性质：
①a＞b，ab＞0?1
a
＜
1
b
；②a＜0＜b?
1
a
＜
1
b
；③a＞b＞0,0＜c＜d?
a
c
＞
b
d
；
④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?1
b
＜
1
x
＜
1
a
.
(2)若a＞b＞0，m＞0，则
①真分数的性质：②假分数的性质：
b a ＜
b＋m
a＋m
；
b
a
＞
b－m
a－m
(b－m＞0)；
a
b
＞
a＋m
b＋m
；
a
b
＜
a－m
b－m
(b－m＞0)．
判别式
Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图
象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞
0)的根有两相异实根
x
1
，x2(x1＜x2)
有两相等实根
x
1
＝x2＝－
b
2a
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a ＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}
??
?
??
??
?
??
x|x≠－
b
2a
R
ax2＋bx＋c＜0 (a
＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}??
5．基本不等式：ab ≤a ＋b 2
(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．
6．几个重要的不等式
(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；
(3)ab ≤? ??
??a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)a 2＋b 22≥? ????a ＋b 22
(a ，b ∈R )． 7．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ， 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．
8．利用基本不等式求最值问题
已知x ＞0，y ＞0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)
(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)1 9.基本规律：
（1）一个技巧
运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，
例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 2
2
； 2 ??
??a ＋b 22(a ，b ＞0)等． 还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．
（2）两个变形
(1)a 2＋b 22≥? ??
??a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b
这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．
（3）三个注意
(I)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．
(II)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
(III)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．