立体几何证明题

立体几何练习

1. 如图：梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中//,AB DC

1

2

AD CD AB ==

，且O 为AB 中点. ( I ) 求证：//BC 平面POD ； ( II ) 求证：AC ⊥PD .

2.如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,AC BD O =.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC

的中点，DM =

（Ⅰ）求证：//OM 平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面MDO ； （Ⅲ）求三棱锥M

-

B

A C

D

O P

3. 如图，在四棱锥P ABCD -形，AD

1

2

已知四棱锥P ABCD -形．PB PD =，E 为PA 的中点． （Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；

（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．

5. 已知直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，且F E D ,,分别为11,,AA BB BC 的中点. (I) 求证：平面//1FC B 平面EAD ； （II ）求证：⊥1BC 平面EAD .

6. 如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，

90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE .

A

B

C D

1

C F

E

B

A

C

1

A

1

B C

D

F

E

(Ⅰ)求证：AC⊥平面BDE；

(Ⅱ)求证：//

AC平面BEF；

（Ⅲ）求四面体BDEF的体积.

7. 如图，在四棱锥ABCD

P-中，平面PAD⊥平面ABCD，

AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点

求证：（1）直线EF

8.如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，

PD．

QA=AB=1

2

（I）证明：PQ⊥平面DCQ；

（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．

9. 如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC=90°。 （1）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；

（2 ）设BD=1，求三棱锥D —ＡＢＣ的表面积。

参考答案：

1. 证明: (I) 因为O 为AB 中点，所以1

,2

BO AB =

又//,AB CD 1

2

CD AB =

， 所以有,//,CD BO CD BO = 所以ODCB 为平行四边形, 所以//,BC OD

又DO ?平面,POD BC ?平面,POD

所以//BC 平面POD . (II)连接OC .

因为,//,CD BO AO CD AO ==所以ADCO 为 平行四边形， 又AD CD =,所以ADCO 为菱形，

所以 AC DO ⊥，

因为正三角形PAB ,O 为AB 中点， 所以PO AB ⊥ ，

又因为平面ABCD ⊥平面PAB ,平面ABCD 平面PAB AB = ， 所以PO ⊥平面ABCD ， 而AC ?平面ABCD ，所以 PO AC ⊥， 又PO DO O =，所以AC ⊥平面POD .

又PD ?平面POD ，所以AC ⊥PD . 2. （Ⅰ）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，

所以O 是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点，

所以OM 是ABC ?的中位线，//OM AB . 因为OM ?平面ABD ,AB ?平面ABD ，

所以//OM 平面ABD . （Ⅱ）证明：由题意，3OM OD ==,

因为DM =所以90DOM ∠=，OD OM ⊥. 又因为菱形ABCD ，所以OD AC ⊥. 因为OM AC O =,

B

A

C

D

O

P

C

所以OD ⊥平面ABC ， 因为OD ?平面MDO ，

所以平面ABC ⊥平面MDO .

（Ⅲ）解：三棱锥M ABD -的体积等于三棱锥D ABM -的体积.

由（Ⅱ）知，OD ⊥平面ABC ，

所以3OD =为三棱锥D ABM -的高.

ABM ?

的面积为11sin1206322

BA BM ??=??=，

所求体积等于132

ABM S OD ???=

. 3. 证明：（Ⅰ）AD 121t =//

1

2

??（Ⅰ）证明：

因为E ，O 分别为PA ，AC 的中点，

所以EO ∥PC ． 因为EO ?平面BDE PC ?平面BDE

所以PC ∥平面BDE ．

（Ⅱ）证明：连结OP 因为PB PD =，

所以OP BD ⊥．

在菱形ABCD 中，因为OP AC O = 所以BD ⊥平面

PAC

A

B

C

因为BD ?平面BDE

所以平面PAC ⊥平面BDE ．

5. （Ⅰ）由已知可得1//AF B E ，1AF B E =， ∴四边形E AFB 1是平行四边形，

∴1//FB AE ，

AE ?平面FC B 1，1FB ?平面FC B 1， //AE ∴平面FC B 1；

又 E D ,分别是1,BB BC 的中点，

∴C B DE 1//，

ED ?平面FC B 1，1B C ?平面FC B 1，

//ED ∴平面FC B 1；

,AE

DE E AE =?平面EAD ，ED ?平面EAD ，

∴平面FC B 1∥平面EAD . (Ⅱ) 三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱， ∴⊥C C 1面ABC ，又?AD 面ABC ，

∴⊥C C 1AD .

又直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，D 是BC 边中点，

∴ABC ?是正三角形，∴BC AD ⊥， 而1C C BC C =， 1CC ?面11B BCC ，BC ?面11B BCC ，

⊥∴AD 面11B BCC ，

故 1AD BC ⊥ .

四边形11BCC B 是菱形，∴C B BC 11⊥， 而C B DE 1//，故 1DE BC ⊥ ,

由D DE AD = AD ?，面EAD ，ED ?面EAD ，

得 ⊥1BC 面EAD .

6. (Ⅰ)证明：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠=，

所以DE ⊥平面ABCD ， 所以AC DE ⊥. 因为ABCD 是正方形，

所以BD AC ⊥，所以AC ⊥平面BDE .

(Ⅱ)证明：设AC BD O =，取BE 中点G ，连结OG FG ,，

所以，OG //=

12

DE . 因为DE AF //，AF DE 2=，所以AF //=

OG ， 从而四边形AFGO 是平行四边形，AO FG //. 因为FG ?平面BEF ,AO ?平面BEF , 所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF . （Ⅲ）解：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥,

所以AB ⊥平面ADEF .

因为DE AF //,90ADE ∠=,22===AF DA DE ， 所以DEF ?的面积为122

ED AD ??=， 所以四面体BDEF 的体积=

?=?AB S DEF 3

14

3

.

7. 解：（1）因为E 、F 分别是AP 、AD 的中点，

,EF PD ∴又,PD PCD EF PCD ??面面

∴

直

线

EF

AB=AD,BAD=60,

∠ABD ?,

BF AD ∴⊥PAD ABCD AD,

?面面＝,BF PAD BF BEF ∴⊥?面面8. 解：（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形

因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD. 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC.

在直角梯形PDAQ 中可得DQ=PQ=2

2

PD ，则PQ ⊥QD 所以PQ ⊥平面DCQ. （II ）设AB=a .

由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积

311.3

V a =

由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而PQ=2a ，△DCQ 的面积为

2

22

a ， 所以棱锥P —DCQ 的体积为321.3

V a =

故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1 9. （1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，

∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD ⊥ＤＣ，AD ⊥ＤＢ， 又DB ?ＤＣ＝Ｄ，

∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD 平面BDC.

∴平面ABD ⊥平面BDC ．

（2）由（1）知，DA DB ⊥,DB DC ⊥,DC DA ⊥,DB=DA=DC=1，

∴

,

11

11,22

DAM

DBC

DCA

S

S

S

===??= 1sin 602ABC

S =

?=

∴三棱锥D —ＡＢＣ的表面积是132S =?+=