2021届安徽省皖江名校联盟高三第二次联考理科数学试题及答案

皖江名校联盟2021届高三第二次联考数学（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集U R =，集合{}0,1,2,3A =，{

}

24B x y x ==-，则如图中阴影部分所表示的集合

为（）

A.{}0,1

B.{}1,2

C.{}0

D.{}0,1,2

2.已知命题p ：x R ?∈，2230x x -+>，则p ?（） A.x R ?∈，2230x x -+≤ B.x R ?∈，2230x x -+≤ C.x R ?∈，2230x x -+> D.x R ?∈，2230x x -+≥

3.定积分()

1

2

21

31d x x x x --+

-=?

（）

A.12

π

+

B.22

π

+

C.3π+

D.4π+

4.函数cos 22

x

x

y =

的图象大致是（） A. B. C.

D.

5.已知命题p ：2

2x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，命题q ：

22

162

x y m m +=-+表示椭圆，若命题“p q ∧”为真命题，则实数m 的取值范围是（） A.26m -<<

B.06m <<

C.06m <<且2m ≠

D.26m -<<且2m ≠

6.围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3613种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围

棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即52

10000，下列最接近52

361

100003

的是（）（注：lg30.477≈）

A.2510

B.2610

C.3510

D.3610

7.若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x x

f x e

=

，则满足()()35f f -的值（）

A.恒小于0

B.恒等于0

C.恒大于0

D.无法判断

8.对x R ?∈，不等式()()2

1110a x a x -+--<恒成立，则实数a 的取值范围是（） A.()3,1- B.(]3,1- C.()4,1-

D.[]4,1-

9.已知4log 5a =，4

1log 3

14b ??= ???

，5log 6c =，则（）

A.c b a >>

B.c a b >>

C.b c a >>

D.b a c >>

10.函数()3

1f x x ax =-+在()2,2-上不单调的一个充分不必要条件是（） A.[]0,12a ∈ B.()0,15a ∈ C.()0,12a ∈

D.()1,12a ∈

11.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()()2f x f x -=，且当[]0,1x ∈时，

()31x f x =-，若函数()()()()log 21a g x f x x a =-+>在区间()1,3-上恰有3个不同的零点，

则实数a 的取值范围是（） A.(]3,5 B.()3,5

C.

D.

12.已知函数21()1

x x f x x ++=+，()g x x m =-+，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得

()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（）

A.179,42??

?

???

B.[)17,

9,2?

?-∞+∞ ???

C.17,92??

?

???

D.179,

,42?

???

-∞+∞ ????

?

??

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数2,2()(1),22

x x f x f x x ?≥?

=?+

?，则()2log 3f 的值为_______.

14.已知p ：()2

9x m -<，q ：()4log 31x +<，若q ?是p ?的必要不充分条件，则m 的取值范围是_______.

15.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,2x ∈时，()22x

f x =-，

所以在[]2,6x ∈-上关于x 的方程()()3log 30f x x -+=恰有________个不同的实数根. 16.已知函数32

11()32

x f x ax ax xe =

+-有三个极值点，则a 的取值范围是_______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知m R ∈，设p ：[]1,1x ?∈-，222420x x m m --+-≥成立；q ：[]1,2x ?∈，()212

log 11x mx -+<-成立，如果“p q ∨”为真，

“p q ∧”为假，求实数m 的取值范围. 18.已知函数()2

2g x x x a =-+在[]1,x m ∈时有最大值为1，最小值为0.

（1）求实数a 的值； （2）设()()

g x f x x

=，若不等式1122

log 2log 0f x k x ?

?

-+≤ ???在[]4,8x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围.

19.已知定义在R 上的函数()()12,2x

x b f x a R b R a

+-=∈∈+是奇函数.

（1）若关于x 的方程()0f x m +=有正根，求实数m 的取值范围；

（2）当()1,2x ∈时，不等式()230x

kf x +->恒成立，求实数k 的取值范围.

20.已知函数()2

12

x x f x kx e =++-（e 为自然对数的底数）.

（1）当1k =时，求()f x 在()()

0,0f 处的切线方程和()f x 的单调区间； （2）当[)2,x ∈+∞时，()0f x ≤，求整数k 的最大值.

21.新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额x （万元）在[]4,8x ∈的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额的50%.经测算政府决定采用函数模型()44x m

f x x

=

-+（其中m 为参数）作为补助款发放方案. （1）判断使用参数12m =是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①②的参数m 的取值范围. 22.已知函数()()1

ln 2

f x x ax a R =-

∈. （1）若()f x 的最大值为-1，求a 的值；

（2）若存在实数1,,42m n ??∈????

且2m n -≥，使得()()f m f n =，求证：8ln 2

ln 23

a ≤≤

. 2021届高三第二次联考 理数参考答案 一、选择题 1-5：AABDC

6-10：DCBDD

11-12：CA

1.由Venn 图知：阴影部分对应的集合为U A

C B ，

∵{{}22B x y x x x ===≤-≥或，

{}0,1,2,3A =，∴{}22U C B x x =-<<，即{}0,1U A C B =.故选A.

2.由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题p ：x R ?∈，2230x x -+>， 则p ?：x R ?∈，2230x x -+≤.

3.

(

1

1

2321

11322x x dx x x π--?

?-+=-+ ??

??

111122222ππ=-+++=+，故选B.

4.由函数解析式可看出，函数的零点呈周期性出现，且x →+∞时，函数值在x 轴上下震荡，幅度越来越小，而当x →-∞时，函数值在x 轴上下震荡，幅度越来越大.可直接得出答案.

5.因为命题“p q ∧”为真命题，所以命题p 和命题q 均为真命题，对于命题p ：2

2x my =表示

焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，所以0m >，对于命题q ：

22

162

x y m m +=-+表示椭圆，所以

6020

62m m m m ->??

+>??-≠+?

，解得26m -<<且2m ≠，综上：实数m 的取值范围是06m <<且2m ≠. 6.由题意，对于52

361

100003，得525236136110000lg lg10000lg3524361lg335.83=-=?-?≈， 得5235.8361

10000103

≈，可得D 中36

10与其最接近.故选D. 7.当1x <时，()1

'0x

x f x e

-=-

>，则()f x 在(),1-∞内是增函数，由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，∴()f x 在()1,+∞内是减函数.∴()()350f f ->.

8.对x R ?∈，不等式()()2

1110a x a x -+--<恒成立.当1a =时，则有10-<恒成立；当

10a -<时，

则()()2

1410a a ?=-+-<，解得31a -<<.综上所述，实数a 的取值范围是(]3,1-.故选B. 9.

∵

2

11

11log (2)log (2)log (2)log log (1)2n n n n n n n n n n n ++++++???

=+?=??+??

，∵

22(2)2(1)n n n n n +?=+<+，

∴2

1log (2)12n n n ++???

，因而1log (2)1log (1)n n n n ++<+，即1log (2)log (1)n n n n ++<+，则45log 5log 6>，即2a c >>；而4

4

41log 13

log log 33

14

434b -??

==== ?

??

，所以b a c >>.选D.

10.由已知，当()2,2x ∈-时，()2

'3f x x a =-，当()2

'30f x x a =-≥或()2

'30f x x a =-≤，

()f x 为单调函数，则0a ≤或12a ≥，故()f x 在()2,2-上不单调时，a 的范围为()0,12，C 是

充要条件，D 是充分不必要条件.故选：D.

11.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，可求得[]1,0x ∈-，函数()()3

1x

f x f x -=-=-，

()()2f x f x -=，即周期为2，

又由函数()()()()log 21a g x f x x a =-+>在区间()1,3-恰有3个不同的零点，即函数()y f x =与()log 2a y x =+的图象在区间()1,3-上有3个不同的交点，又由()()132f f ==，则满足()log 122a +<且()log 322a +≥

a <≤.

12.依题意221(1)(1)11()11111x x x x f x x x x x +++-++===++-+++，则()()

2

1

'11f x x =-+，当[]1,3x ∈时，()'0f x >，故函数()f x 在[]1,3上单调递增，当[]11,3x ∈时，()1313,

24f x ??

∈????

；而函数()g x x m =-+在[]1,3上单调递减，故()[]23,1g x m m ∈--，则只需

[]313,3,124m m ???--????，故33213

14

m m ?

-≤????-≥??，解得17942m ≤≤，∴179,42m ??∈????. 二、填空题 13.答案：3

∵2log 32<，∴()()331

log 2log 212

f f =

+.

∵2log 312+>，∴()()2log 6

22log 31log 626f f +===，∴()2log 33f =.

14.答案：[]2,0-

因为q ?是p ?的必要不充分条件，所以p 是q 的必要不充分条件，解不等式()2

9x m -<，得

33m x m -<<+，解不等式()4log 31x +<，解得31x -<<.

p ：33m x m -<<+，q ：31x -<<，∴{}{}3331x m x m x x ?-<<+-<<≠，

所以33

31

m m -≤-??

+≥?，即20m -≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]2,0-.

15.答案：4

∵()()2f x f x +=-，()()4f x f x +=，∴函数()f x 的周期为4.

令()y f x =，()()3log 3g x x =+画函数的图像，则满足()()66f g =，恰有4个交点. 16.答案：(),e +∞

∵()2

'x

x

f x ax ax e xe =+--，等价为()2

'0x

x

f x ax ax e xe =+--=有三个不同的实根，即

()()110x ax x x e +-+=，∴()()10x x ax e +-=，则1x =-，则0x ax e -=，有两个不等于-1

的根，则x

e a x

=，设()x e h x x =，则()22'(1)x x x h e x e e x x x x --==，则由()'0h x >得1x >，由

()'0h x <得1x <且0x ≠，当1x =时，()()min

h x e =，当0x <时，()0h x <，作出()x

e h

x x

=

图象，要使x

e a x

=有两个不同的根，则满足a e >，∴(),a e ∈+∞.

三、解答题

17.若p 为真，则对[]1,1x ?∈-，22422m m x x -≤--恒成立，设()2

22f x x x =--，配方得

()()2

13f x x =--，∴()f x 在[]1,1-上的最小值为-3，∴243m m -≤-解得13m ≤≤，∴p 为

真时，13m ≤≤.

若q 为真，则[]1,2x ?∈，2

12x mx -+>成立，即21

x m x

-<成立.

设()211x g x x x x -==-，则()g x 在[]1,2上是增函数，∴()g x 的最大值为()3

22g =， ∴32m <

，∴q 为真时，32m <. ∵“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，∴p 与q 一真一假.

当p 真q 假时，13

32

m m ≤≤???≥??，∴3

32m ≤≤.

当p 假q 真时，∴133

2

m m m <>??

?

3,1,32m ??

∈-∞????

. 18.（1）函数2

2

()2(1)1g x x x a x a =-+=-+-，∴()g x 在区间[]1,m 上是增函数，

故2()21(1)120g m m m a g a ?=-+=?=-+=?

，解得12a m =??=?.

（2）由已知可得()2

21g x x x =-+，则()1

()2g x f x x x x

=

=+-， 所以不等式()22log 2log 0f x k x -?≤，转化为2221

log 22log 0log x k x x

+--?≤， 在[]4,8x ∈上恒成立.

设2log t x =，则[]2,3t ∈，即1220t kt t

+--≤，在[]2,3t ∈，上恒成立，

即：22121211k t t t ??≥+-=- ???，∵[]2,3t ∈，∴111,32t ??∈????，∴当113t =时，2

11t ??

- ???

取得最大值，

最大值为2

1419t ??

-= ???

，则429k ≥，即29k ≥，∴k 的取值范围是2,9??+∞????.

19.（1）由题意：()00f =，解得1b =，再由()()11f f =--，

得10121242a a ---=-++，解得2a =，当2a =，1b =时，112()22x

x f x +-=+，定义域为R ， 11

1212()()2222x x x x f x f x --++--+-===-++，()f x 为奇函数，∴2a =，1b =.（不验证，不扣分）

()121212()22221x x x x

m f x +-+-=-==++，即11221x m =-+，∵0x >，212x

+>，110212

x <<+， ∴11102212x <

-<+，∵()m f x =-有正根，∴10,2m ??∈ ???

. （2）由2()30x

kf x +->，得1

123222x x

x k +-?>-+，∵()1,2x ∈，所以121022

x x +-+<+， ∴()()

1

322212x

x x

k +-+<

-.令21x

t -+=，则()3,1t ∈--，此时不等式可化为42k t t ??<-

???

， 记4()2h t t t ??

=-

???

，当()3,1t ∈--时，4y t =和y t =-均为减函数，

∴()h t 为减函数，故10()6,

3h t ?

?

∈- ??

?

，∵()k h t <恒成立，∴6k ≤-. 20.（1）当1k =时，2

()12

x x f x x e =++-，()'1x f x x e =+-；知()00f =，()'00f =，

故可得切线方程为0y =；

设()1x

g x x e =+-，∵()'1x

g x e =-，令()'0g x =，解得0x =，∴()'f x 在区间(),0-∞单调

递增，在区间()0,+∞单调递减，∴()()''00f x f ≤=， ∴()f x 在R 上单调递减.

（2）∵[)2,x ∈+∞时，()0f x ≤恒成立，即：[)2,x ∈+∞，2

()102

x x f x kx e =++-≤恒成立. 又()'x

f x x k e =+-，设()x

g x x k e =+-，()'1x

g x e =-，

()'f x 在区间(),0-∞单调递增，在区间()0,+∞单调递减，

故()()''01f x f k ≤=-.

①当10k -≤，即1k ≤时，()'0f x ≤，故()f x 在[)2,+∞单调递减.

故()()2

2221f x f k e ≤=++-，若满足题意，只需2

320k e +-≤，解得2322

e k ≤

-. 故1k ≤；

②当10k ->，即1k >时，∵()'f x 在区间()2,+∞单调递减，且()2

'22f k e =+-，

1.当()'20f ≤时，()()'20f x f ≤≤，此时()f x 在区间[)2,+∞单调递减，

要满足题意只需()2

2320f k e =+-≤，解得23

22e k ≤

-，故此时只需231,22e k ??∈- ???

. 2.当()'20f >时，因为()'f x 在区间()2,+∞单调递减，故一定存在02x >，

()000'0x f x x k e =+-=，且使得()f x 在区间()02,x 单调递增，()0,x +∞单调递减.

故()02

max

00()12

x x f x f x kx e ==++-要满足题意，只需()max 0f x ≤，

即0200102x x kx e ++-≤.结合0

00x x k e +-=，只需2000102

x x k kx +---≥，02x >恒成立即可. 只需2

001(1)102

x k x k -

+-+-≥在02x >时恒成立即可. 显然2

001(1)12

y x k x k =-+-+-是关于0x 且开口向下的二次函数，无法满足题意.

综上所述：满足题意的范围是23,22e ??-∞- ??

?.又因为k Z ∈，且()23

2,322e -∈，

故满足题意的整数k 的最大值为2.

21.（1）当12m =时，所以12

()44x f x x

=

-+， 只要证明()f x 在[]4,8x ∈为增函数且121

()442

x f x x x =-+≥即可.

∵2112

'()04f x x =+>，∴()f x 在[]4,8x ∈为增函数；

又由121442

x x x -+≥，可化为：216480x x -+≤，

设：()2

1648g x x x =-+，因对称轴为8x =且在()4,8x ∈为递减函数且()40g =，

∴121

()442

x f x x x =

-+≥恒成立； （2）由条件①可知，()44x m

f x x

=-+在[]4,8上单调递增，∵22214'()44m x m f x x x +=+=，

所以当0m ≥时，()'0f x ≥满足条件；当0m <时，由()'0f x =可得x =

当)

x ?∈+∞?

时，()'0f x ≥，()f x 单调递增，∴4≤，解得40m -≤<，∴4m ≥-，

由②可知，()2x f x ≥

，即不等式44x m

x

+≤在[]4,8上恒成立，等价于2211

4(8)1644

m x x x ≤-+=--+.

当4x =时，21

(8)164

y x =--+取最小值12，∴12m ≤，

综上，参数m 的取值范围是[]4,12-.

22.（1）根据题意可得x 的取值范围为0x >，

12

'()22a ax f x x x

-=

-=-

， 若0a ≤，则()'0f x ≥，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，()f x 无最值，不合题意； 若0a >，当20x a <<

时，()'0f x >，当2

x a >时，()'0f x <， 所以函数()f x 在20,

a ?? ??

?上单调递增，在2,a ??

+∞ ???

上单调递减，

故()f x 的最大值2212ln 12f a a a a ??

=-?=- ???

，解得2a =，符合题意.

综上，2a =.

（2）若()()f m f n =，则由（1）知0a >， 所以函数()f x 在20,

a ?? ???上单调递增，在2,a ??

+∞ ???上单调递减. 若存在实数1,,42m n ??

∈????，使得()()f m f n =，则2a 介于m ，n 之间，不妨设12

42m n a ≤<<≤， ∵()f x 在2,

m a ?

? ???上单调递增，在2,n a ?? ???

上单调递减，且()()f m f n =，所以当m x n ≤≤时，()()()f x f m f n ≥=，由1

42

m n ≤<≤，2m n -≥，可得[]2,m n ∈，故()()()2f f m f n ≥=，又()f x 在2,

m a ?? ???上递增，且122m a ≤<，所以()12f m f ??

≥ ???，所以

()122f f ??

≤ ???

. 同理()()42f f ≤.

所以11

ln ln 224ln 42ln 2a a a a

?-≤-???-≤-?，解得8ln 2ln 23a ≤≤，不等式得证.