2.1.1合情推理_生产经营管理_经管营销_专业资料.ppt
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课件2：2.1.1合情推理
(2)b2k－1＝___2_____(用k表示)．
8．已知在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，写出它的前4项， 并归纳出该数列的通项公式．
答案：a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，…，an＝(n－1)2
9．在平面内有 n(n∈N*，n ≥ 3)条直线，其中任意两条
不平行，任意三条不过同一点，若这 n 条直线把平面分成 f(n) 个 平 面 区 域 ， 则 f (5) 的 值 是 _________ ， f (n) 的 表 达 式 是
内切球的半径是高的 .
4．_归__纳__类__比___和__类__比__推__理__都是根据已有的事实，经过____联__想____、 ____观__察____、___分__析_____、___比__较_____，再进行__归__纳__推__理__，然后提出猜想 的推理，把它们统称为合情推理．
自测自评
1．根据下图中所示的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想 第n个图中有__n_2_－__n_＋__1__个点．
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四
体的下列性质，你认为比较恰当的是( D )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
那么：
(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分 割成多少部分？
(2)猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线 段？将圆最多分割成多少部分？
解析：设圆内两两相交的 n 条线段彼此最多分割成的线段为 f(n)条，将圆最多分割为 g(n)部分．
(1)f(1)＝1＝12，g(1)＝2＝12＋21＋2； f(2)＝4＝22，g(2)＝4＝22＋22＋2； f(3)＝9＝32，g(3)＝7＝32＋23＋2； f(4)＝16＝42，g(4)＝11＝42＋24＋2； 所以 n＝5 时，f(5)＝25，g(5)＝52＋25＋2＝16.
8．已知在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，写出它的前4项， 并归纳出该数列的通项公式．
答案：a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，…，an＝(n－1)2
9．在平面内有 n(n∈N*，n ≥ 3)条直线，其中任意两条
不平行，任意三条不过同一点，若这 n 条直线把平面分成 f(n) 个 平 面 区 域 ， 则 f (5) 的 值 是 _________ ， f (n) 的 表 达 式 是
内切球的半径是高的 .
4．_归__纳__类__比___和__类__比__推__理__都是根据已有的事实，经过____联__想____、 ____观__察____、___分__析_____、___比__较_____，再进行__归__纳__推__理__，然后提出猜想 的推理，把它们统称为合情推理．
自测自评
1．根据下图中所示的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想 第n个图中有__n_2_－__n_＋__1__个点．
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四
体的下列性质，你认为比较恰当的是( D )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
那么：
(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分 割成多少部分？
(2)猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线 段？将圆最多分割成多少部分？
解析：设圆内两两相交的 n 条线段彼此最多分割成的线段为 f(n)条，将圆最多分割为 g(n)部分．
(1)f(1)＝1＝12，g(1)＝2＝12＋21＋2； f(2)＝4＝22，g(2)＝4＝22＋22＋2； f(3)＝9＝32，g(3)＝7＝32＋23＋2； f(4)＝16＝42，g(4)＝11＝42＋24＋2； 所以 n＝5 时，f(5)＝25，g(5)＝52＋25＋2＝16.
2.1.1合情推理(朱欢)
观察可得：数列的前4项都等于相应项数的倒数。
1 由此猜想（归纳）这个数列的通项公式为： an n
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、 归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
练 根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律, 习 试猜测第n个图形中有 n2 n 1 个点.
1.类比推理是从特殊到特殊的推理; 2.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征, 推测正在被研究中的事物的特征,所以类比推理 的结果具有猜测性,不一定可靠. 3.类比推理以旧的知识作基础,推测新的结果,具有 发现的功能. 4.类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清 楚定义的类似的特征,所以进行类比推理的关键是 明确地指出两类对象在某些方面的类似特征.
几个著名的猜想：
费马猜想
地图的”四色猜想” 歌尼斯堡七桥猜想 歌德巴赫猜想
黎曼猜想
费马猜想 法国数学家费马提出猜想:任何形如
2n
2 1(n N ) 的数都是质数.
*
地图的”四色猜想” 每幅地图都可以用四种颜色着色， 使得有共同边界的国家着上不同的 颜色。
歌尼斯堡七桥猜想
18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的 普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河 岸连结，如图所示。城中的居民经常沿河过桥 散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7 座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起 始地点。
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, „„ 1000＝29+971， 1002=139+863, „„
猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.
这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出
2.1.1 合情推理 课件(人教A选修2-2)
猜想当 n≥2 时，f(n)＝1＋2＋…＋(n－1)＝nn2－1. 答案：12n(n－1)
[研一题] [例3] 三角形与四面体有下列共同的性质： (1)三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形； 四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形． (2)三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段 上的各点连线所形成的图形；四面体可以看做三角形外一点 与这个三角形上各点连线所形成的图形．
[自主解答] (1)当 n＝1 时，a1＝1， 由 an＋1＝1＋an2an(n∈N*)，得 a2＝13， a3＝1＋a22a2＝15，a4＝1＋a32a3＝17，a5＝1＋a42a4＝19. (2)由 a1＝1＝11，a2＝13，a3＝15，a4＝17，a5＝19， 可归纳猜想 an＝2n1－1(n∈N*)．
义由
概括出个别事实
的推理一，般称结为论归纳推理(简称归
纳)
特 归纳推理是由
，
征由
的部推分理到. 整体
个别到一般
类比推理
由两类对象具有某些 类似特征
和其中一类对象的某些
已知特征 ，推出另一类对象
也具有这些特征的推理，称为
类比推理(简称类比)
类比推理是由
的
推理.
特殊到特殊
2．合情推理 (1)含义： 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经 过 观察 、 分析 、比较 、联想，再进行归纳 、 类比 ，然 后提出 猜想 的推理，我们把它们统称为合情推理． (2)合情推理的过程：
3.23<23＋ ＋11，23<23＋ ＋22，23<23＋ ＋33，… 由此猜想：23<32＋＋mm(m 为正实数)．上述推理是归纳推理还是 类比推理？ 提示：归纳推理．
[研一题] [例3] 三角形与四面体有下列共同的性质： (1)三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形； 四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形． (2)三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段 上的各点连线所形成的图形；四面体可以看做三角形外一点 与这个三角形上各点连线所形成的图形．
[自主解答] (1)当 n＝1 时，a1＝1， 由 an＋1＝1＋an2an(n∈N*)，得 a2＝13， a3＝1＋a22a2＝15，a4＝1＋a32a3＝17，a5＝1＋a42a4＝19. (2)由 a1＝1＝11，a2＝13，a3＝15，a4＝17，a5＝19， 可归纳猜想 an＝2n1－1(n∈N*)．
义由
概括出个别事实
的推理一，般称结为论归纳推理(简称归
纳)
特 归纳推理是由
，
征由
的部推分理到. 整体
个别到一般
类比推理
由两类对象具有某些 类似特征
和其中一类对象的某些
已知特征 ，推出另一类对象
也具有这些特征的推理，称为
类比推理(简称类比)
类比推理是由
的
推理.
特殊到特殊
2．合情推理 (1)含义： 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经 过 观察 、 分析 、比较 、联想，再进行归纳 、 类比 ，然 后提出 猜想 的推理，我们把它们统称为合情推理． (2)合情推理的过程：
3.23<23＋ ＋11，23<23＋ ＋22，23<23＋ ＋33，… 由此猜想：23<32＋＋mm(m 为正实数)．上述推理是归纳推理还是 类比推理？ 提示：归纳推理．
2.1.1合情推理
为
1 an = n .
我们通过归纳得到了关于数列通项 公式的一个猜想.
类比推理——火星上是否有生命
火星
对比 两者 某些 相似 特征.
围绕绕轴太自阳转运；行；地球
有大气层；
一年中有四季
变更； 温度适合地球 上某些 生物的生存；
火星也可 能有生命 的存在
试着类比球体和圆
圆的概念和性质
球的类比概念和性质
(x - a)2 + y - b2 = r2.
以点(a,b,c)为球心，r为半径 的球的方程为
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r 2
“类比是一个伟大的引路人，求解立 体几何问题往往有赖于平面几何中的类 比问题.”
——数学家波利亚
“我珍视类比胜过任何别的东西， 它是我最可信赖的老师，它能揭示自然 界的秘密.”
1 = 21 - 1, 3 = 22 - 1, 7 = 23 - 1,15 = 24 - 1
由此我们猜想：
若把n个金属片从1号针移动到3号针，
最少需要移动 次，an 则数列 的通an项
公式为
an = 2n -1 n N*
探究：
把n个金属片从1号针移动 到3号针，怎样移动才能达到 最少的移动次数呢？
的第n项 an 与序号n之间的对应关系.为此， 我们先根据已知的递推公式，算出数列的 前几项.
解：当n=1时，a1 = 1;
当n=2时，a2
=
1
1 +
1
=
1 2
1
当n=3时，a3
=
2 1+ 1
=
1 3
2
1
当n=4时，a4
2.1.1合情推理
9
9
A.28
B.32
3
9
C.11
D.48
第28页
答案 B
第29页
2．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律排列，那 么第2 016颗珠子应是什么颜色( )
A．白色 C．白色可能性大
B．黑色 D．黑色可能性大
第30页
答案 A
第31页
3．古希腊人常用小石子在沙摊上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过上图(1)中的 1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，
第24页
思考题3
观察下列式子：1＋212<32，1＋212＋312<53，1＋
1 22
＋312＋412<74，…，则可归纳出：________．
第25页
【答案】 (1)1＋212＋312＋412＋…＋n12<2n－n 1
第26页
课后巩固
第27页
1．数列12，35，151，270，…中的第五项为( )
第5页
第6页
第7页
第8页
第9页
第10页
题型一 归纳推理在数列中的应用 例1 (1)已知数列{an}，满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1， 2，3，…)． ①求a2，a3，a4，a5； ②归纳猜想通项公式an.
第11页
【解析】 ①当n＝1时，知a1＝1， 由an＋1＝2an＋1，得a2＝3， a3＝7，a4＝15，a5＝31. ②由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1， a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1. 可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N*)．
第14页
思考题1
(1)若将本例中的an＋1＝2an＋1改为an＋1＝
2.1.1 合情推理
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
2 |归纳推理 1.定义:由某类事物的④ 部分对象 具有某些特征,推出该类事物的 ⑤ 全部对象 都具有这些特征的推理,或者由⑥ 个别事实 概括出 一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 2.特征:归纳推理是由⑦ 部分到整体 、由⑧ 个别到一般 的推理.
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 特别提醒 经过归纳推理、猜想得出的结论不一定正确,例如:由an=(n2-5n+5)2得到a1=a2=a3= a4=1,由此猜想an=1是错误的,事实上,a5=25.
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
(★★☆)(1)发现问题 如图①,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连结BE.求 ∠AEB的度数及线段AD、BE之间满足的数量关系.
图①
图②
(2)拓展探究
如图②,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在
同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连结BE.求∠AEB的度数及线段CM、
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
2 |类比推理 类比推理的特点 (1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,它以 旧的认识为基础,类比出新的结果; (2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性; (3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它具有发现的功能.
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
1 |归纳推理 归纳推理的四个特点 (1)前提:几个已知的特殊现象. (2)结论:归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包括的范围, 具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,归纳推理的结 论不能作为数学证明的工具. (3)步骤:先搜集一定的事实资料,有了个别的、特殊性的事实作为前提,然后才能进 行归纳推理,因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行. (4)作用:归纳推理是具有创造性的推理,通过归纳推理能够发现新事实,获得新结 论,归纳推理是科学发现的重要手段.
原创2：2.1.1合情推理
类比推理的结论不一定成立.
(3) ＞＞;等等。
例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体
性质的猜想．
A
Ｂ
c2=2+b2
c
a
o s2
s1
s3
Ｃ
猜想:
b
Ａ
B
S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
C
总结：
1.进行类比推理的步骤：
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
2
D1
D
C
A1
B1
A
C
D
B
A
C1
B
类比推理
类比推理
由特殊到特殊的推理
以旧的知识为基础,推测新的结果，
具有发现的功能
注意
类比推理的结论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理;
以观察分析为基础,推测新的结论;
具有发现的功能;
结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理;
以旧的知识为基础,推测新的结果；
2.1.1合情推理
第
二
章
：
推
理
与
证
明
推理
已知的判断
确定
新的判断
根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维
过程就叫推理.
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10
3＋17＝20
13＋17＝30
6＝3+3，
8＝3+5,
10＝5+5,
……
1000＝29+971，
1002=139+863,
课件9：2.1.1 合情推理
答 1.归纳推理 特殊 一般 2.类似特征 已知特征 这些特征 特殊
案 3.事实 比较 联想 归纳 类比
名师讲解
1. 归纳推理 (1) 归纳推理的分类 ①完全归纳推理：由某类事物的全部对象推出结论，显然 该结论一定正确． ②不完全归纳推理：由某类事物的部分对象推出结论．该 结论不一定正确．
(2) 归纳推理的一般步骤 第一步：观察、分析所有特殊情况的共性，如图形中的 点、线的个数、位置关系，数列中项的变化规律，一系 列式子的运算特点等． 第二步：把第一步观察到的共性进行推广，形成一般化 的结论． 如数列的通项公式，式子的运算结果等等．
2.1.1 合情推理
自学引导
了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的 推理.
课前热身
1. 归纳推理． 由某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类 事物的全部对象都具有这种特征的推理，称为 ________．概括为由________到________的推理．
2. 类比推理． 由两类对象具有某些________和其中一类对象的某些 ________，推出另一类对象也具有________的推理称为类 比推理，其特征是由________到特殊的推理． 3. 合情推理． 根据已有的________，经过观察、分析、________、 ________，再进行________、________，然后提出猜想的 推理，统称为合情推理.
规律技巧 利用直角三角形的有关性质，通过观察四面 体的结构分析面的关系，比较二者的内在联系，从中类 比出四面体的相似命题提出猜想.结论中 S2＝S21＋S22＋S23 为真命题.
变式训练2 通过计算可得下列等式： 22－12＝2×1＋1， 32－22＝2×2＋1， 42－32＝2×3＋1， …… (n＋1)2－n2＝2n＋1，
2.1.1合情推理课件人教新课标
自主学习 新知突破
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高效测评 知能提升
归纳推理
定义
特征
由某类事物的_部__分__对__象__具有某些特征， 归纳推理是由
推出该类事物的__全__部__对__象__都具有这些 _部__分__到__整__体___、
特征的推理，或者由_个__别__事__实___概括出 由_个__别__到__一__般___
方法二：5件首饰的珠宝颗数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5 ＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，则第6件首饰上的珠宝颗数为1＋5 ＋9＋13＋17＋21＝66，即每件首饰上的珠宝数是以1为首项， 4为公差的等差数列的前n项和，故第n件首饰的珠宝颗数为1＋ 5＋9＋…＋(4n－3)＝2n2－n.
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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2．类比推理的特点及适用前提 (1)类比推理的特点 ①类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，估计 正在研究的事物的属性，提出新问题，作出新发现． ②类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功 能．
数学 选修2-2
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第二章 推理与证明
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合情推理
1．合情推理的含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过_视__察___、 _分__析____、_比__较___、___联__想_，再进行__归__纳___、_类__比___，然后提 出__猜__想___的推理，我们把它们统称为合情推理． 2．合情推理的过程
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第二章 推理与证明
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