合情推理 上课用课件
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合情推理 课件
[化解疑难] 对类比推理的定义的理解
(1)类比推理是两类对象特征之间的推理． (2)对象的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互 联系和相互制约的，如果两个对象有些性质相似或相同， 那么它们另一些性质也可能相似或相同． (3)在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得 的知识出发，通过类比提出新问题和获得新发现．
数、式中的归纳推理
[例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－23，且Sn＋S1n
＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式． [解] 当n＝1时，S1＝a1＝－23；
当n＝2时，S12＝－2－S1＝－43，所以S2＝－34；
当n＝3时，S13＝－2－S2＝－54，所以S3＝－45；
解析：(1)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固
定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子
中 π 的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然
数，所以，所求结果为43×n×(n＋1)，即43n(n＋1)．
(2)前(n－1)行共有正整数[1＋2＋…＋(n－1)]个，即n2－2 n个，因
[化解否正 确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作 为数学证明的工具；
(2)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性， 那么推广的一般性结论也就越可靠.
类比推理和合情推理
[提出问题] 问题 1：在三角形中，任意两边之和大于第三边．那么，在 四面体中，各个面的面积之间有什么关系？
问题 1：试计算 a1，a2，a3，a4 的值． 提示：由图知 a1＝OA1＝1， a2＝OA2＝ OA1 2＋A1A2 2＝ 12＋12＝ 2， a3＝OA3＝ OA2 2＋A2A3 2＝ 22＋12＝ 3， a4＝OA4＝ OA3 2＋A3A4 2＝ 32＋12＝ 4＝2.
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2.类比推理 (1)定义：由两类对象具有某些_类__似__特征和其中一类对象的某 些_已__知__特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. (2)特征：由_特__殊__到_特__殊__.
3.合情推理的过程
_观_察__、_分__析_、_比_较__、_联__想_
_归__纳__、 _类__比__
数、式中的归纳推理 进行数、式中的归纳推理的一般规律 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法 ①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的 变化规律； ②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； ③提炼出等式(或不等式)的综合特点; ④运用归纳推理得出一般结论.
2.∵
f
(x)
1
x
x
,
f1
x
1
x x.
又∵ fn (x) fn1(fn1(x)),
x
∴
f2
(
x
)
f1
(f1
(
x
))
1
1,
x x
x 1 2x
1 x
x
f3
(
x)
f
2
(f
2
(x))
1
1 2
2x x
x, 1 4x
1 2x
x
f
4
(
x
)
f3
(f3
(x
))
1
1 4
4x x
x， 1 8x
1 4x
x
【典例训练】(建议教师以第2题为例讲解) 1.根据下图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条 数为______.
2.设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平 行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点 的个数，则f(4)=_____；当n≥3时，f(n)=______(用n表示). 【解析】1.分别求出前4个图形中线段的数目，并加以归纳， 发现规律，得出猜想.图形①～④中线段的条数分别为1，5， 13，29.
合情推理 课件
解 f(1)＝12＋1＋41＝43， f(2)＝22＋2＋41＝47， f(3)＝32＋3＋41＝53， f(4)＝42＋4＋41＝61， f(5)＝52＋5＋41＝71， f(6)＝62＋6＋41＝83， f(7)＝72＋7＋41＝97， f(8)＝82＋8＋41＝113，
f(9)＝92＋9＋41＝131， f(10)＝102＋10＋41＝151. 从中知f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值都为质数，所以归 纳得出猜想：f(n)＝n2＋n＋41的值为质数． 因为f(40)＝402＋40＋41＝41×41为合数， 所以猜想f(n)＝n2＋n＋41的值为质数是错误的．
类似地，在四面体P-DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF ＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△ PEF的面积(图②)，相应于图①中直角三角形的两条直角边 a，b和1条斜边c，图②中的四面体有3个“直角面”S1，S2， S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2 ＝S21＋S22＋S23成立．
合情推理
1. 归纳推理． 由某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物 的全部对象都具有这种特征的推理，称为________．概括为 由________到________的推理．
2. 类比推理． 由两类对象具有某些________和其中一类对象的某些 ________，推出另一类对象也具有________的推理称为类比 推理，其特征是由________到特殊的推理． 3. 合情推理． 根据已有的________，经过观察、分析、________、 ________，再进行________、________，然后提出猜想的推 理，统称为合情推理.
1.归纳推理 特殊 一般 答
合情推理之归纳推理讲解ppt课件
归纳推理的结论不一定成立
221 1 5,
222 1 17,
223 1 257, 224 1 65537,
都是质数
猜想：22n 1是质数.
归纳推理的 一般步骤
实验观察
大胆猜想
半个世纪之后，欧拉发现：
225 1 4294967297 6416700417 检验猜想
后来人们发现 226 1,227 1,228 1都是合数.
古时候一个地主有4个儿 子，大儿子叫大宝，二儿子 叫二宝，三儿子叫三宝，那 小儿子叫什么名字呢？
小宝
问题情境：
当看到天空乌云密布，燕子低飞， 蚂蚁搬家等现象时，我们会得到一个 判断：天要下雨了。
已知 判断
新的 判断
前提
结论
推理 是人们思维活动的过程，是根
据一个或几个已知的判断来确定一个新的
判断的思维过程。
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
12
五棱柱
7
10
15
截角正方体 7
10
15
尖顶塔
9
9
16
例(n=21.已,2知,3·数··)列，｛请a归n｝纳的出第这一个项数a1列=的1,且通a项n公1 式1.anan
解：当n=1时， a1 当n=2时，a2
则f2005 ( x) C
A.sin x B. sin x C.cos x D. cos x 解 ： f1( x) f（ 0 x） (sin x) cos x,
合情推理课件
22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7
23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19
根据上述分解规律，若m2＝1＋3＋5＋…＋11，n3的分解 中最小的正整数是21，则m＋n＝( B )
A．10
B．11
C．12
D．13
数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n∈N*)，且a1＝1， 计算a2，a3，a4的值，由此猜想{an}的通项公式．
②类比是以原有知识为基础，猜测新结论； ③类比能发现新结论，但结论具有猜测性，准确性需要 证明． (2)类比推理的一般步骤 ①明确两类对象； ②找出两类对象之间的相似性或者一致性； ③用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得到一 个明确的结论．
归纳推理 对于任意正整数n，猜想2n与n2的大小．
跟踪训练
3．设 Sn＝1×1 2＋2×1 3＋3×1 4＋…＋nn1＋1，写出当 n＝ 1，2,3,4 时 Sn 的值，归纳并猜想出 Sn 的一般形式．
解析：易求得，S1＝1×1 2＝12，S2＝1×1 2＋2×1 3＝23，
S3
＝
1 1×2
＋
1 2×3
＋
1 3×4
＝
3 4
，
S4
＝
1 1×2
＋
1 2×3
解析：如右图所示，在三角形ABC中，
由正弦定理，得sina A＝sinb B＝sinc C.
于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S—ABC中， 猜想：
sinS1θ1＝sinS2θ2＝sinS3θ3.
点评：从本例可以看出，在从平面三角形到空间四面体 的类比过程中，三角形的三条边对应于四面体的三个侧面， 边长对应于面积，三个内角对应于四面体的三条侧棱与底面 所成的角．
新课标高中数学A版必修2-2 2.1.1合情推理 优质课件 .ppt
类 比n 1维 球 的 情 形,从 中 获
得 启 发 和 联 想.
这 种 由 两 类 对 象 具 有 某些 类
似 特 征 和 其 中 一 类 对 象的 某
些 已 知 特 征,推 出 另 一 类 对 象
也 具 有 这 些 特 征 的 推 理称 为
类比推理 简称类比.简言之,
类 比 推 理 是 由 特 殊 到 特殊 的
用符号13表示,共移动了1次.
29
3把上面两个金属片从2号针移到3号针.
30
31
32
33
ห้องสมุดไป่ตู้
34
18
解 1两个实数经过加法运算或乘法运算后,所
得的结果仍然是一个实数.
19
3从逆运算角度考虑,二者都有逆运算,加法的逆
运算是减法,乘法的逆运算是除法,这就使得方程
ax 0
ax 1a 0
都有唯一解
x a
x 1 a
20
21
22
23
24
25
26
27
28
解 当n 1时,只需把金属片从一号针移到3号针,
1
2
3
4
5
2.1.1 合情推理
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
表 21
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆的周长
圆的面积
圆心与弦非直径中
点的连线垂直于弦.
与圆心距离相等的两弦相等;
与圆心距离不等的两弦不等,
距圆心较近的弦较长.
以点x0,y0 为圆心,r为半
径的圆的方程为x x0 2
y y0 2 r2.
得 启 发 和 联 想.
这 种 由 两 类 对 象 具 有 某些 类
似 特 征 和 其 中 一 类 对 象的 某
些 已 知 特 征,推 出 另 一 类 对 象
也 具 有 这 些 特 征 的 推 理称 为
类比推理 简称类比.简言之,
类 比 推 理 是 由 特 殊 到 特殊 的
用符号13表示,共移动了1次.
29
3把上面两个金属片从2号针移到3号针.
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ห้องสมุดไป่ตู้
34
18
解 1两个实数经过加法运算或乘法运算后,所
得的结果仍然是一个实数.
19
3从逆运算角度考虑,二者都有逆运算,加法的逆
运算是减法,乘法的逆运算是除法,这就使得方程
ax 0
ax 1a 0
都有唯一解
x a
x 1 a
20
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解 当n 1时,只需把金属片从一号针移到3号针,
1
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2.1.1 合情推理
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表 21
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆的周长
圆的面积
圆心与弦非直径中
点的连线垂直于弦.
与圆心距离相等的两弦相等;
与圆心距离不等的两弦不等,
距圆心较近的弦较长.
以点x0,y0 为圆心,r为半
径的圆的方程为x x0 2
y y0 2 r2.
归纳推理合情推理教学课件
1.
以上推理所得结论是否一定正确？
合情推理
这种前提为真时，结论可能为真的推理， 叫做合情推理. 对比上面的 1、3 这两个推理，你能发 现它们的相同点和不同点吗？
看下面的例子，试写出一般性结论
1+3=4 1+3+5=9 1+3+5+7=16 一元一次方程有一个根 一元二次方程最多有两个根 一元三次方程最多有三个根
什么是归纳推理？
归纳推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质, 推出该类事物的所有对象都具有这种性 质的推理, 称为归纳推理(简称归纳). “归纳出了归纳”
汉诺塔问题
如图，有三根针和套在一根针上的若干 金属片，按下列规则，把金属片从一根 针上全部移到另一根针上。
(1) 每次只能移动1个金属片； (2) 较大的金属片不能放在较小的金属片上面。
生活中经常看到的一些现象
天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家， 我们会想到什么？ 河面的冰融化，柳树发芽，草地泛青， 我们又会想到什么？
什么是推理？
推理
根据一个或几个已知的事实（或假设） 来确定一个新的判断的思维方式就叫推 理。 从结构上说，推理一般由前提和结论两 部分构成的。
下面哪些是推理？
归纳推理
合情推理（1）
华罗庚爷爷讲的小故事:
有位老师想辨别他的两个学生谁更聪明。 他采用如下的方法: 事先准备好两顶白帽 子，一顶黑帽子，让学生们看到，然后让 他们闭上眼睛。老师给他们戴上帽子，并 把剩下的那顶帽子藏起来。最后让学生睁 开眼睛，看着对方的帽子,说出自己所戴帽 子的颜色。 两个学生互相望了望，犹豫了一小会儿， 然后异口同声地说：“我们戴的是白帽子”。 聪明的各位, 想想看, 他们是怎么知道的？
以上推理所得结论是否一定正确？
合情推理
这种前提为真时，结论可能为真的推理， 叫做合情推理. 对比上面的 1、3 这两个推理，你能发 现它们的相同点和不同点吗？
看下面的例子，试写出一般性结论
1+3=4 1+3+5=9 1+3+5+7=16 一元一次方程有一个根 一元二次方程最多有两个根 一元三次方程最多有三个根
什么是归纳推理？
归纳推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质, 推出该类事物的所有对象都具有这种性 质的推理, 称为归纳推理(简称归纳). “归纳出了归纳”
汉诺塔问题
如图，有三根针和套在一根针上的若干 金属片，按下列规则，把金属片从一根 针上全部移到另一根针上。
(1) 每次只能移动1个金属片； (2) 较大的金属片不能放在较小的金属片上面。
生活中经常看到的一些现象
天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家， 我们会想到什么？ 河面的冰融化，柳树发芽，草地泛青， 我们又会想到什么？
什么是推理？
推理
根据一个或几个已知的事实（或假设） 来确定一个新的判断的思维方式就叫推 理。 从结构上说，推理一般由前提和结论两 部分构成的。
下面哪些是推理？
归纳推理
合情推理（1）
华罗庚爷爷讲的小故事:
有位老师想辨别他的两个学生谁更聪明。 他采用如下的方法: 事先准备好两顶白帽 子，一顶黑帽子，让学生们看到，然后让 他们闭上眼睛。老师给他们戴上帽子，并 把剩下的那顶帽子藏起来。最后让学生睁 开眼睛，看着对方的帽子,说出自己所戴帽 子的颜色。 两个学生互相望了望，犹豫了一小会儿， 然后异口同声地说：“我们戴的是白帽子”。 聪明的各位, 想想看, 他们是怎么知道的？
合情推理高三课件PPT
1.（2009·湖北卷）古希腊人常用小石子在 沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…， 由于这些数能够表示成三角形，将其称为三 角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16… 这样的数成为正方形数.下列数中既是三角 形数又是正方形数的是（ C ）
A.289
B.1024
(3)S2△SBC＝14BC2·SD2， 而在直角三角形 ASD 中，SD2＝AD·DO， 所以 S2△SBC＝14BC2·SD2＝14BC2·AD·DO＝12BC·AD×21BC·DO， 因此，S2△SBC＝S△OBC·S△ABC. 同理可证 S2△SAC＝S△OAC·S△ABC，S2△SAB＝S△OAB·S△ABC.
[答案] 126
[解析] 每边 n 个钢珠的正三角形数组需要钢珠nn2＋1个，每 边 n 个钢珠的正方形数组需要钢珠 n2 个，根据已知nn2＋1＋n2＝ m.每边 n 个钢珠的正五边形数组需要钢珠 an 个，根据组成规律， 则 an＋1＝an＋3n＋1 且 a1＝1，根据这个递推式解得 an＝1＋ 3n＋22n－1，根据已知 1＋3n＋22n－1＋9＝m.所以nn2＋1＋ n2＝10＋3n＋22n－1，解得 n＝9，所以 m＝9×210＋92＝126.
(2)设第 i 件首饰的珠宝数为 ai，则珠宝数构成了一个数列 {an}，并设其前 n 项和为 Sn，则有 a1＝1，a2＝a1＋5＝6，a3＝ a2＋5＋4＝15，a4＝a3＋5＋2×4＝28，a5＝a4＋5＋3×4＝45，
a6＝a5＋5＋4×4＝66，…，an＝an－1＋5＋4(n－2)，
所以 an＝a1＋5(n－1)＋4[1＋2＋3＋…＋(n－2)]＝2n2－n， 所以 Sn＝2(12＋22＋32＋…＋n2)－(1＋2＋3＋…＋n) ＝2×nn＋162n＋1－nn2＋1 ＝nn6＋1(4n＋2－3) ＝nn＋164n－1.
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归纳推理在数、式中的应用
[典例] (1)已知下列各式： 1>12，1＋12＋13>1，1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32， 1＋12＋13＋…＋115>2，…， 请你归纳出一般性结论：______________. (2)已知 f(x)＝1－x x，设 f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1， 且 n∈N*)，则 f3(x)的表达式为________，猜想 fn(x)(n∈N*)的表 达式为________．
推理与证明
推理 证明
合情推理
演绎推理 直接证明 间接证明
福 尔 摩 柯南 斯
我们来推测诸葛亮“先生”的推理过 程: 1.今夜恰有大雾
2.曹操生性多疑
3.北军不善水战
草船借箭必将成功
弓弩利于远战 4.今夜恰有东风
已知 判断
新的 判断
前提
结论
根据一个或几个已知的判断来确定一个 新的判断的思维过程就叫推理.
天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由个别推知一般.
谚语“瑞雪兆丰年” 物理学中牛顿发现万有引力
化学中的门捷列夫元素周期表
天文学中开普勒行星运动定律
歌德巴赫猜想 四色定理 牛顿发现万有引力 门捷列夫发现元素周期律等等
应用归纳推理可以 发现新事实,获得新结论!
归纳推理的过程： 归纳推理的特点:
[答案] (1)1＋12＋13＋…＋2n－1 1>n2 (2)f3(x)＝1－x4x fn(x)＝1－2xn－1x
1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法 (1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数 等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的 特征； (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论．
2．数列中的归纳推理 在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或 前 n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前 n 项和； (2)根据数列中的前几项或前 n 项和与对应序号之间的关 系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前 n 项和公式．
性
第n个 数为2n.
第四个数为8
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
观察下列等式
6＝3+3， 12=5+7,
8＝3+5, 14=3+11，
10＝3+7, 16=5+11 归纳出一个规律： 偶数=奇质数+奇质数
∴f2(x)＝f1(f1(x))＝1－1－1－xx x＝1－x2x，
x f3(x)＝f2(f2(x))＝1－12－×12－xx2x＝1－x4x，
x f4(x)＝f3(f3(x))＝1－14－×14－xx4x＝1－x8x，
x f5(x)＝f4(f4(x))＝1－18－×18－xx8x＝1－x16x， ∴根据前几项可以猜想 fn(x)＝1－2xn－1x.
实验观察
(1)从特殊到一般；
大胆猜想
(2)具有创造性； (3)具有或然性。
验证猜想
例 1.已知数列｛an｝的第一项a1=1,
且则这a个n1数列1的ana通n 项(公n式＝为1，a__2n_，_.3，1n···)，
拓展延伸: 这归样纳解推严理谨不吗但？能猜 改测为和解发答现题结，论归，纳还
的结论能对探你索的和解提题供思解路题 有启发吗?思路。
铜能导电
铝能导电
金能导电 银能导电
部分
一切金属 都能导电.
特殊
个性 三角形内角和
为 180
凸四边形内角
和为360
凸n边形 内角和为
n 2180 .
凸五边形内角
和为 540
蛇类用肺呼
整 体 蜥蜴是用肺呼吸的
吸的
一般
共 第一个数为2
第二个数为4 第三个数为6
[解析] (1)观察不等式左边，各项分母从 1 开始依次增大 1，且终止项为 2n－1，不等式右边依次为12，22，32，42，…， 从而归纳得出一般结论：1＋12＋13＋…＋2n－1 1>n2.
(2)∵f(x)＝1－x x，∴f1(x)＝1－x x.又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))， x
1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。
最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测。
❖ 皇冠明珠：歌德巴赫猜想
猜想----任何大于2的偶数都可以 表示为两个素数的和.
自然科学的皇后是数学, 数学的皇冠是数论,
歌德巴赫猜想则是皇冠上的明珠
成语“一叶知秋” 意思是从一片树叶的凋落，知道秋
通过更多特例的检验, 从6开始,没有出现反例.
大胆猜想:
任何一个不小于6 的偶数都等于两个 奇质数的和.
2n p1 p2 (n N , n 3)
陈氏定理
2n p1 p2 p3
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
在陈景润之前，关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和 (简称“s + t ”问题)之进展情况如下: 1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。 1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。 1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。 1937年，意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366 ”。 1938年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。 1940年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。 1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”，其中c是一很大的自然数。 1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”。 1957年，中国的王元先後证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”，中国的 王元证明了“1 + 4 ”。 1965年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及意大 利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。