合情推理和演绎推理
合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理一、基础知识1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．合情推理的关注点(1)合情推理是合乎情理的推理．(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．↓演绎推理：常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．二、常用结论(1)合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．(2)合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理． 考点一 归纳推理考法(一) 与数字有关的推理[典例] 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，3 38＝ 338，4 415＝ 4415，5 524＝ 5524，…，则按照以上规律，若99n＝ 99n具有“穿墙术”，则n ＝( ) A ．25 B ．48 C ．63 D ．80[解析] 由223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝ 5524，…， 可得若99n ＝ 99n具有“穿墙术”，则n ＝92－1＝80. [答案] D考法(二) 与式子有关的推理[典例] 已知f (x )＝xe x ，f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N *，经计算：f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xex ，…，照此规律，则f n (x )＝________.[解析] 因为导数分母都是e x，分子为(－1)n(x －n )，所以f n (x )＝(－1)n (x －n )e x.[答案] (－1)n (x －n )e x考法(三) 与图形有关的推理[典例] 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n 行黑圈的个数为a n ，则a 2 019＝________.[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1,3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n 行的黑圈数a n ＝3n －1－12(n ∈N *)，所以a 2 019＝32 018－12.[答案] 32 018－12[题组训练]1．(2019·兰州实战性测试)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *，则1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.解析：由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.答案：n 22．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．则n 级分形图中共有________条线段．解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段， 由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段， 二级分形图有9＝3×22－3条线段， 三级分形图中有21＝3×23－3条线段， 按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3. 答案：3×2n －3考点二 类比推理[典例] 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2＋b 2＝c 2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O -ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面△ABC 的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3[解析] 如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，则AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋ 14BC 2·OD 2＝⎝⎛⎭⎫12OB ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12OC ·OA 2＋⎝⎛⎭⎫12BC ·OD 2＝S 21＋S 22＋S 23. [答案] A[题组训练]1．给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列．类比以上结论：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 3，________，________，T 12T 9成等比数列．解析：等比数列{b n }的前n 项积为T n ， 则T 3＝b 1b 2b 3，T 6＝b 1b 2…b 6，T 9＝b 1b 2…b 9，T 12＝b 1b 2…b 12，所以T 6T 3＝b 4b 5b 6，T 9T 6＝b 7b 8b 9，T 12T 9＝b 10b 11b 12，所以T 3，T 6T 3，T 9T 6，T 12T 9的公比为q 9，因此T 3，T 6T 3，T 9T 6，T 12T 9成等比数列．答案：T 6T 3 T 9T 6考点三 演绎推理[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论) [解题技法] 演绎推理问题求解策略(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．[题组训练]1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.2．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．证明：设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．∴y＝f(x)为R上的单调增函数．考点四逻辑推理问题[典例](2019·安徽示范高中联考)某参观团根据下列要求从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了()A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇[解析]假设去A镇，则也必须去B镇，但去B镇则不能去C镇，不去C镇则也不能去D镇，不去D镇则也不能去E镇，D，E镇都不去则不符合条件．故若去A镇则无法按要求完成参观．同理，假设不去A镇去B镇，同样无法完成参观．要按照要求完成参观，一定不能去B 镇，而不去B镇的前提是不去A镇．故A，B两镇都不能去，则一定不能去E镇，所以能去的地方只有C，D两镇．故选C.[答案] C[解题技法] 逻辑推理问题求解的2种途径求解此类推理性试题，要根据所涉及的人与物进行判断，通常有两种途径：(1)根据条件直接进行推理判断；(2)假设一种情况成立或不成立，然后以此为出发点，联系条件，判断是否与题设条件相符合．[题组训练]1．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：“我不会证明．”乙：“丙会证明．”丙：“丁会证明．”丁：“我不会证明．”根据以上条件，可以判断会证明此题的人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选A四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，故选A.2．(2019·大连模拟)甲、乙、丙、丁、戊和己6人围坐在一张正六边形的小桌前，每边各坐一人．已知：①甲与乙正面相对；②丙与丁不相邻，也不正面相对．若己与乙不相邻，则以下选项正确的是()A．若甲与戊相邻，则丁与己正面相对B．甲与丁相邻C．戊与己相邻D．若丙与戊不相邻，则丙与己相邻解析：选D由题意可得到甲、乙位置的示意图如图(1)，因此，丙和丁的座位只可能是1和2,3和4,4和3,2和1，由己和乙不相邻可知，己只能在1或2，故丙和丁只能在3和4,4和3，示意图如图(2)和图(3)，由此可排除B、C两项．对于A项，若甲与戊相邻，则己与丁可能正面相对，也可能不正面相对，排除A.对于D项，若丙与戊不相邻，则戊只能在丙的对面，则己与丙相邻，正确．故选D.图(1)图(2)图(3)[课时跟踪检测]1．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是()①2 020能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③2 020是偶数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①解析：选C根据题意并按照演绎推理的三段论可知，大前提：一切偶数都能被2整除．小前提：2 020是偶数．结论：2 020能被2整除．所以正确的排列顺序是②③①.故选C.2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．3．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4，2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )A ．22项B ．23项C ．24项D ．25项解析：选C 由题意可知，两数的和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以为该列算式的第24项．故选C.4．(2018·南宁摸底联考)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：选C 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.5．若等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，则一定有S 2n －1＝(2n －1)a n 成立．若等比数列{b n }的前n 项之积为T n ，类比等差数列的性质，则有( )A ．T 2n －1＝(2n －1)＋b nB ．T 2n －1＝(2n －1)b nC ．T 2n －1＝(2n －1)b nD ．T 2n －1＝b 2n －1n解析：选D 在等差数列{a n }中，a 1＋a 2n －1＝2a n ， a 2＋a 2n －2＝2a n, …，故有S 2n －1＝(2n －1)a n ， 在等比数列{b n }中，b 1b 2n －1＝b 2n ，b 2·b 2n －2＝b 2n ，…，故有T 2n －1＝b 1b 2…b 2n －1＝b 2n －1n.6．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，则f (n )的表达式为( )A ．f (n )＝2n －1B ．f (n )＝2n 2C ．f (n )＝2n 2－2nD ．f (n )＝2n 2－2n ＋1解析：选D 因为f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…，结合图形不难得到f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，累加得f (n )－f (1)＝2n (n －1)＝2n 2－2n ，故f (n )＝2n 2－2n ＋1.7．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色：先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面最近的5个连续奇数17,19,21,23，25，…，按此规则一直染下去，得到一个红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 019个数是( )A ．3 971B ．3 972C ．3 973D ．3 974解析：选D 按照染色步骤对数字进行分组．由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数，…，根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有n (n ＋1)2个数．由于2 016＝63×(63＋1)2＜2 019＜64×(64＋1)2＝2 080，因此，第2 019个数是第64组的第3个数，由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，…，所以第n 组最后一个数是n 2，因此第63组最后一个数为632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972，第3个数为3 974，故选D.8．观察下列等式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：观察所给等式可知，每行最左侧的数分别为1,2,3，…，则第n 行最左侧的数为n ；每个等式左侧的数的个数分别为1,3,5，…，则第n 个等式左侧的数的个数为2n －1，而第n 个等式右侧为(2n －1)2，所以第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29．(2018·上饶二模)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，则其四维测度W ＝________.解析：∵二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ，三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S ，∴四维空间中“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，猜想其四维测度W 满足W ′＝V ＝12πr 3，∴W ＝3πr 4.答案：3πr 410．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝λa n ＋λn ＋1＋(2－λ)2n (n ∈N *)，其中λ>0，{a n }的通项公式是________________．解析：a 1＝2，a 2＝2λ＋λ2＋(2－λ)·2＝λ2＋22， a 3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)·22＝2λ3＋23， a 4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)·23＝3λ4＋24.由此猜想出数列{a n }的通项公式为a n ＝(n －1)λn ＋2n . 答案：a n ＝(n －1)λn ＋2n11．(2019·吉林实验中学测试)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e 等于________．解析：类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)， 所以FB ―→＝(c ，b )，AB ―→＝(－a ，b )． 易知FB ―→⊥AB ―→，所以FB ―→·AB ―→＝b 2－ac ＝0， 所以c 2－a 2－ac ＝0，即e 2－e －1＝0， 又e ＞1，所以e ＝5＋12. 答案：5＋1212．已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长，分别交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC S △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体A BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：在四面体A BCD 中，任取一点O ，连接AO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH ＝1.证明：在四面体O BCD 与A BCD 中，OE AE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h 113S △BCD ·h＝V O BCDV A BCD .同理有OF DF ＝V O -ABC V D -ABC ，OG BG ＝V O-ACD V B -ACD ，OH CH ＝V O-ABDV C -ABD .∴OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OH CH＝V O -BCD ＋V O -ABC ＋V O -ACD ＋V O -ABDV A -BCD ＝V A -BCD V A -BCD＝1.。
合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理知识点一：推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．知识点二：合情推理根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。
其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。
1.归纳推理（1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。
（2）一般模式：部分整体，个体一般（3）一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题；③检验猜想.（4）归纳推理的结论可真可假归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想；一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的.2.类比推理（1）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.（2）一般模式：特殊特殊（3）类比的原则：可以从不同的角度选择类比对象，但类比的原则是根据当前问题的需要，选择恰当的类比对象.（4）一般步骤：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命题（猜想）；③检验猜想.（5）类比推理的结论可真可假类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象，同时又应是两类不同的对象；一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得出的命题就越可靠.类比结论具有或然性，所以类比推理所得的结论不一定是正确的。
张合情推理与演绎推理
回忆
1.什么是归纳推理?
部分
整体
பைடு நூலகம்
特殊
一般
2.归纳推理旳一般环节:
(1)经过观察个别情况发觉某些相同性质;
(2)从已知旳相同性质中推出一种明确体现旳 一般性命题(猜测).
情景引入：
1、据说春秋时代鲁国旳公输班（后人称 鲁班，被以为是木匠业旳祖师）一次去林 中砍树时被一株齿形旳茅草割破了手，这 桩晦气事却使他发明了锯子.
一、引例
1.当我们看到乌云密布、燕子低飞、蚂蚁搬家等现 象时，会得到 即将下雨 旳判断
2、有一小贩在卖一篮草莓，我先尝了一种，觉得甜， 又尝了一种，也是甜旳，再尝了一种，还是甜旳， 所以我觉得: 这一篮草莓都是甜
旳 推理：从一种或几种已知命题得出另一种
新命题旳思维过程
合情推理 推理
演绎推理
蛇、鳄鱼、海龟、
观察下列等式
6=3+3， 12=5+7 ，
8=3+5， 14=7+7，
10=3+7，16=5+11 …
1000=29+971，
任何一种不不大于6旳偶数 都等于两个奇质数旳和.
2n p1 p2 (n N , n 3)
1002=139+863 …
经过更多特例旳检验, 从6开始,没有出现反例.
注意：归纳推理有可能是错旳！
证明：满足对于任意x1 , x2∈D,若x1< x2，有 f(x1) < f(x2)成立旳函数f(x)，是区间D上旳增函数.
大前提
任取x1 , x2 (,1),且x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 ) ( x12 2 x1 ) ( x22 2 x2 )
高中数学选修2-2-合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理知识集结知识元合情推理知识讲解1．合情推理的含义与作用【知识点的认识】1．定义：（1）推理：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理．（2）合情推理：前提为真时结论可能为真的推理叫做合情推理．2．合情推理包括：（1）归纳推理（2）类比推理．3．合情推理和演绎推理的区别：推理推理形式推理结论合情推理归纳推理部分→整体，个别→一般结论不一定正确，有待进一步证明类比推理特殊→特殊演绎推理一般→特殊在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．【命题方向】一般以选择题、填空题的形式出现，主要考查基础概念问题，注意与演绎推理的区分，以及掌握归纳和类比推理的特点及运用．例1：下列说法中正确的是（）A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程分析：合情推理的结论不一定正确可判定选项A，合情推理包含归纳推理与类比推理可判定选项B，归纳推理是从特殊到一般的推理过程可判定选项C，类比推理是从特殊到特殊的推理过程可判定选项D．解答：合情推理的结论不一定正确，有待证明，而演绎推理的结论是一定正确的，故选项A不正确；合情推理包含归纳推理与类比推理，故选项B不正确；所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，是从特殊到一般的推理过程，故选项C不正确；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，是从特殊到特殊的推理过程．故选项D正确．故选D．点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．例2：下面几种推理是合情推理的是（）（1）由圆的性质类比出球的有关性质；（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；（4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n﹣2）•180°．A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）分析：本题考查的是合情推理、演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，类比推理的是看是否符合类比推理的定义．解答：（1）为类比推理，在推理过程由圆的性质类比出球的有关性质．（2）为归纳推理，关键是看他直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°推出所有三角形的内角和都是180°，符合归纳推理的定义，即是由特殊到一般的推理过程．（3）不是合情推理，是由个别到全体的推理过程．（4）为归纳推理故选C．点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．例题精讲合情推理例1.甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是___。
合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理一、 知识讲解推理：由一个或几个事实（或假设）得出一个判断的思维方式前提为真，结论可能为真的推理称为合情推理.⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩归纳推理合情推理推理类比推理演绎推理（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全 部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般性的结论,这样的推理 称为归纳推理(简称归纳).特征：从特殊现象到一般现象归纳推理的一般步骤：已知条件 观察归纳 大胆猜想 检验猜想（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已 知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比). 归纳推理和类比推理的过程：从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想 检验猜想（3）演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论， 这种推理称为演绎推理．说明：１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论可表示为：大前提：M 是P小前提：S 是M结 论：S 是P二、典型例题例 根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中 有 个点.例 根据给出的数塔猜测123456×9+7等于1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=11111……例 证明函数f (x )=-x 2+2x 在(-∞,1]上是增函数.三：小结思考 设(),(),22x x x xa a a a f x g x --+-== 其中 0,1a a >≠且 （1）5=2+3，请你推测(5)f 能否用(2),2(3),(3)f g f g （）,来表示 ；（2）如果（1）中获得一个结论，请你推测能否将其推广.。
合理推理与演绎推理
【思路分析】可通过画当直线条数n为3，4，5时，分别计算出它们将平面分成
的区域数
S n ，从中发现规律，再归纳出结论。
【解析】设平面被n条直线分成
S 1 =1＋1=2； 当n=2时，
S n 部分，则 当n=1时，
S 2 =1＋1＋2=4； 当n=3时，
S 3 =1＋1＋2＋3=7；当n=4时，
S 4 =1＋1＋2＋3＋4=11．据此猜想，得
在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理。
合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类。
1.
归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类
事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一
般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般
的推理，归纳推理简称归纳。
(2). 类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这 些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的 推理，类比推理简称类比。
完全归纳是指没有办法穷尽 全部被研究的对象，得出的
的特征进行归纳。归纳是指 通过对特例的分析来引出普
陈述，结论是从前提中通过 推理而获得的猜想，是普遍
结论只能算猜想结论的正确 与否有待于进一步证明或举
遍结论的一种推理形式，它 由推理的前提和结论两部分
性的陈述、判断。归纳分为 完全归纳与不完全归纳，不
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2.1 合情 推理与演
绎推理
2023
01 一.推理的概念：根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判 断，这种思维方式叫做推理。从结构上说，推理一般由两部分 组成，一部分是已知的事实（或假设）叫做前提，一部分是由 已知推出的判断，叫做结论。
高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案
高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案第一章：合情推理概述1.1 推理的定义与分类引导学生理解推理的定义介绍合情推理与演绎推理的区别与联系举例说明合情推理在数学中的应用1.2 合情推理的方法介绍归纳推理、类比推理、归纳猜想等合情推理方法通过具体例子讲解各种合情推理方法的步骤与特点引导学生掌握合情推理的方法并能够运用到实际问题中第二章：演绎推理的基本形式2.1 演绎推理的定义与特点引导学生理解演绎推理的定义与特点强调演绎推理的逻辑严密性与结论的必然性2.2 演绎推理的基本形式介绍演绎推理的三段论形式及其结构引导学生理解假言推理、选言推理等演绎推理的基本形式通过例题讲解各种演绎推理形式的应用与解题步骤第三章：演绎推理的应用3.1 演绎推理在数学证明中的应用引导学生理解演绎推理在数学证明中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在证明题中的应用与步骤3.2 演绎推理在解决实际问题中的应用介绍演绎推理在解决实际问题中的应用范围与方法通过具体例子讲解演绎推理在实际问题解决中的步骤与技巧第四章：合情推理与演绎推理的综合应用4.1 合情推理与演绎推理的综合案例分析提供综合案例，要求学生运用合情推理与演绎推理的方法进行分析与解答引导学生理解合情推理与演绎推理在不同情境下的作用与重要性4.2 合情推理与演绎推理的综合练习提供综合练习题目，要求学生运用合情推理与演绎推理的方法进行解答引导学生通过练习巩固合情推理与演绎推理的知识与技能第五章：推理能力培养5.1 推理能力的培养方法介绍推理能力的培养方法与技巧引导学生掌握推理能力的培养方法并能够运用到实际学习中5.2 推理能力的学习与应用提供推理能力的学习与应用题目，要求学生进行练习与解答引导学生通过练习与应用提高自己的推理能力并能够运用到实际问题中第六章：数学归纳法与合情推理6.1 数学归纳法的概念与步骤介绍数学归纳法的定义与基本步骤通过具体例子讲解数学归纳法的应用与解题技巧6.2 数学归纳法在合情推理中的应用引导学生理解数学归纳法在合情推理中的作用与重要性提供合情推理题目，要求学生运用数学归纳法进行解答与证明第七章：演绎推理与数学证明7.1 演绎推理在数学证明中的作用强调演绎推理在数学证明中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在数学证明中的应用与步骤7.2 演绎推理在证明题中的综合应用提供证明题目，要求学生运用演绎推理的方法进行解答与证明引导学生通过练习巩固演绎推理在数学证明中的知识与技能第八章：逻辑推理与演绎推理8.1 逻辑推理的基本概念介绍逻辑推理的定义与基本概念强调逻辑推理在演绎推理中的重要性8.2 逻辑推理在演绎推理中的应用提供演绎推理题目，要求学生运用逻辑推理的方法进行解答与证明引导学生通过练习与应用提高逻辑推理在演绎推理中的能力第九章：演绎推理与问题解决9.1 演绎推理在问题解决中的作用强调演绎推理在问题解决中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在问题解决中的应用与步骤9.2 演绎推理在实际问题解决中的综合应用提供实际问题题目，要求学生运用演绎推理的方法进行解答与解决引导学生通过练习与应用提高演绎推理在问题解决中的能力第十章：总结与提高10.1 合情推理与演绎推理的总结对本课程的合情推理与演绎推理进行总结与回顾强调合情推理与演绎推理在数学学习与问题解决中的重要性10.2 推理能力的进一步提高提供推理能力提高的练习与题目，要求学生进行解答与实践引导学生通过练习与实践不断提高自己的推理能力，并能够运用到实际学习中。
合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理1.合情推理2.演绎推理(1)定义：根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.概念方法微思考1.合情推理所得结论一定是正确的吗？提示合情推理所得结论是猜想，不一定正确，用演绎推理能够证明的猜想是正确的，否则不正确.2.合情推理对我们学习数学有什么帮助？提示合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.3.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论，在用其进行推理时，大前提是否可以省略？提示大前提是已知的一般原理，当已知问题背景很清楚的时候，大前提可以省略.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.(√)(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N＋).(×)(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.(×)题组二教材改编2.已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A.a n＝3n－1B.a n＝4n－3C.a n＝n2D.a n＝3n－1答案 C解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a n＝n2.3.在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则存在的等式为________________.答案b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)解析利用类比推理，借助等比数列的性质，b29＝b1＋n·b17－n，可知存在的等式为b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋).题组三易错自纠4.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确答案 C解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误.5.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 则正确的结论是________.(填序号) 答案 ①④解析 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交. 6.观察下列关系式：1＋x ＝1＋x ；()1＋x 2≥1＋2x ，()1＋x 3≥1＋3x ，……，由此规律，得到的第n 个关系式为________. 答案 (1＋x )n ≥1＋nx解析 左边为等比数列，右边为等差数列，所以第n 个关系式为(1＋x )n ≥1＋nx (n ∈N ＋).题型一 归纳推理命题点1 与数式有关的的推理例1 (1)(2018·郑州模拟)《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是( )A.18B.17C.16D.15 答案 B解析 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号 “”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，故选B.(2)观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0182<________. 答案4 0352 018解析 由题意得，不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数，所以猜想的分母是2 018，分子组成了一个以3为首项，2为公差的等差数列，所以a 2 017＝3＋(2 017－1)×2＝4 035.命题点2 与图形变化有关的推理例2 (2018·马鞍山模拟)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构.也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n ＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为( )A.81B.121C.364D.1 093 答案 C解析 由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1， 所以，n ＝1时，a 1＝1； n ＝2时，a 2＝3＋1＝4； n ＝3时，a 3＝3×4＋1＝13； n ＝4时，a 4＝3×13＋1＝40； n ＝5时，a 5＝3×40＋1＝121； n ＝6时，a 6＝3×121＋1＝364，故选C.思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解. (2)与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.(3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.跟踪训练1 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A.21B.34C.52D.55答案 D解析由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.题型二类比推理例3(1)已知{a n}为等差数列，a1 010＝5，a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝5×2 019.若{b n}为等比数列，b1 010＝5，则{b n}类似的结论是()A.b1＋b2＋b3＋…＋b2 019＝5×2 019B.b1b2b3…b2 019＝5×2 019C.b1＋b2＋b3＋…＋b2 019＝52 019D.b1b2b3…b2 019＝52 019答案 D解析在等差数列{a n}中，令S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019，则S＝a2 019＋a2 018＋a2 017＋…＋a1，∴2S＝(a1＋a2 019)＋(a2＋a2 018)＋(a3＋a2 017)＋…＋(a2 019＋a1)＝2 019(a1＋a2 019)＝2 019×2a1 010＝10×2 019，∴S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝5×2 019.在等比数列{b n}中，令T＝b1b2b3…b2 019，则T＝b2 019b2 018b2 017 (1)∴T2＝(b1b2 019)(b2b2 018)(b3b2 017)…(b2 019b1)＝(b21 010)2 019，∴T＝b1b2b3…b2 019＝(b1 010)2 019＝52 019.(2)祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出祖暅：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图所示，其中图(1)是一个半径为R的半球体，图(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体.(圆柱和圆锥的底面半径和高均为R)利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：在xOy 坐标系中，设抛物线C 的方程为y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)，将曲线C 围绕y 轴旋转，得到的旋转体称为抛物体.利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4 答案 B解析 构造如图所示的直三棱柱，高设为x ，底面两个直边长为2,1，若底面积相等得到：2x ＝π×12，x ＝π2.下面说明截面面积相等，设截面距底面为t ，矩形截面长为a ，圆形截面半径为r ， 由左图得到，a 2＝1－t1，∴a ＝2(1－t )，∴截面面积为2(1－t )×π2＝(1－t )π，由右图得到，t ＝1－r 2(坐标系中易得)， ∴r 2＝1－t ，∴截面面积为(1－t )π， ∴二者截面面积相等， ∴体积相等.∴抛物体的体积为V 三棱柱＝Sh ＝12×2×1×π2＝π2.故选B.思维升华 类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方).数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等.跟踪训练2 在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间中，则三棱锥中的类似结论为____________________.答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1.题型三 演绎推理例4 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N ＋).证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列.(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)思维升华 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提，若前提是显然的，则可以省略.跟踪训练3 某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行.某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶.已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( ) A.今天是周六B.今天是周四C.A 车周三限行D.C 车周五限行答案 B解析 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E 车明天可以上路，E 车周四限行，所以今天不是周三；因为B 车昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因为A ，C 两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周二和周六，所以今天是周四.故选B.1.“对数函数是非奇非偶函数，f (x )＝log 2|x |是对数函数，因此f (x )＝log 2|x |是非奇非偶函数”，以上推理( ) A.结论正确 B.大前提错误 C.小前提错误 D.推理形式错误答案 C解析 本命题的小前提是f (x )＝log 2|x |是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f (x )＝log 2|x |不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的才是对数函数.故选C. 2.(2018·重庆模拟)中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年.算筹记数的方法是：个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出，如7738可用算筹表示为.1～9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则2log 643的运算结果可用算筹表示为( )答案 D解析 根据题意，2log 643＝36＝729， 用算筹记数表示为，故选D.3.下列推理是归纳推理的是( )A.M ，N 为定点，动点P 满足||PM |－|PN ||＝2a <|MN |(a >0)，则动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线B.由a 1＝2，a n ＝3n －1求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列{a n }的前n 项和S n 的表达式C.由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇答案 B解析A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求.B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出S n的表达式，属于归纳推理，符合要求.C选项由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求.D选项用的是演绎推理，不符合要求.故选B.4.观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102.根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63等于()A.192B.202C.212D.222答案 C解析因为13＋23＝32,13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，等式的右端依次为(1＋2)2，(1＋2＋3)2，(1＋2＋3＋4)2，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212，故选C.5.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为()A.丙酉年B.戊申年C.己申年D.己酉年答案 D解析天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则80÷10＝8，则2029的天干为己，80÷12＝6余8，则2029的地支为酉，故选D.6.甲、乙、丙、丁四名同学一起去向老师询问数学学业水平考试成绩等级.老师说：“你们四人中有2人A等，1人B等，1人C等，我现在给甲看乙、丙的成绩等级，给乙看丙的成绩等级，给丙看丁的成绩等级”.看后甲对大家说：“我知道我的成绩等级了”.根据以上信息，则()A.甲、乙的成绩等级相同B.丁可以知道四人的成绩等级C.乙、丙的成绩等级相同D.乙可以知道四人的成绩等级 答案 D解析 由题意，四个人所知的只有自己看到的，以及甲最后所说的话，甲知道自己的等级，则甲已经知道四个人等级，其甲、乙的成绩等级不一定是相同的， 所以A 是不对的，乙、丙的成绩等级不一定是相同的，所以C 是不正确的， 丁没有看任何人的成绩等级，所以丁不可能知道四人的成绩等级，所以B 是不对的， 只有乙可能知道四人的成绩等级，所以D 是正确的.7.(2019·上饶模拟)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，则其四维测度W ＝________. 答案 3πr 4解析 二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；观察发现S ′＝l ，三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S ，∴四维空间中“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，猜想其四维测度W ，则W ′＝V ＝12πr 3，∴W ＝3πr 4.8.已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 22≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4；…照此规律，当n ∈N ＋，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a nn ≥______.答案na 1a 2…a n解析 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n (n ∈N ＋，n ≥2).9.已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2 019(x )的表达式为________.答案 f 2 019(x )＝x1＋2 019x解析 f 1(x )＝x 1＋x ，f 2(x )＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x1＋2x 1＋x 1＋2x＝x 1＋3x ，…，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))＝x 1＋(n ＋1)x， 归纳可得f 2 019(x )＝x 1＋2 019x. 10.如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c 2＝a 2＋b 2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，截面面积为S ，类比平面的结论有________.答案 S 2＝S 21＋S 22＋S 23解析 三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S 2＝S 21＋S 22＋S 23.11.(2019·郑州调研)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： 223＝223，338＝338，4415＝4415， 5524＝5524，……， 则按照以上规律，若88n ＝ 88n 具有 “穿墙术”，则n ＝________. 答案 63解析 ∵223＝2222－1＝223， 338＝3332－1＝338， 4415＝4442－1＝4415， 5524＝5552－1＝5524， ∴按照以上规律88n ＝88n ，可得n ＝82－1＝63. 12.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2 018这2 017个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为________.答案 336解析 因为这些整数能被2除余1且被3除余1，所以这些数组成的数列的通项a n ＝6n ＋1，设6n ＋1≤2 018，所以6n ≤2 017，所以n ≤33616. 所以此数列的项数为336.13.(2018·黄山模拟)为了提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设原信息为a 1a 2a 3，传输信息为h 1a 1a 2a 3h 2，其中h 1＝a 1⊕a 2，h 2＝h 1⊕a 3，⊕运算规则为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如：原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息出错的是( )A.01100B.11010C.10110D.11000答案 D解析 A 选项原信息为110，则h 1＝a 1⊕a 2＝1⊕1＝0，h 2＝h 1⊕a 3＝0⊕0＝0，所以传输信息为01100，A 选项正确；B 选项原信息为101，则h 1＝a 1⊕a 2＝1⊕0＝1，h 2＝h 1⊕a 3＝1⊕1＝0，所以传输信息为11010，B 选项正确；C 选项原信息为011，则h 1＝a 1⊕a 2＝0⊕1＝1，h 2＝h 1⊕a 3＝1⊕1＝0，所以传输信息为10110，C 选项正确；D 选项原信息为100，则h 1＝a 1⊕a 2＝1⊕0＝1，h 2＝h 1⊕a 3＝1⊕0＝1，所以传输信息为11001，D 选项错误；故选D.14.一质点从坐标原点出发，按如图的运动轨迹运动，每步运动一个单位，例如第3步结束时该质点所在位置的坐标为(0,1)，第4步结束时质点所在位置的坐标为(－1,1)，那么第2 018步结束时该质点所在位置的坐标为________.答案 (16，－22)解析 当运动：1＋1＋2＋2步时，坐标为(－1，－1)；当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4步时，坐标为(－2，－2)；当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6步时，坐标为(－3，－3)；……当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n ＋n (n 为偶数)步时，坐标为⎝⎛⎭⎫－n 2，－n 2. 而1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n ＋n ≤2 018，即n (n ＋1)≤2 018(n ∈N ＋)，解得n ≤44.当n ＝44时，该点的坐标为(－22，－22)，共走了1 980步，此时还需向右走38步，故最终坐标为(16，－22).15.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )A.6B.7C.8D.9答案 C解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N ＋)层的点数为6(n －1).设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N ＋)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6·n (n －1)2＝3n 2－3n ＋1，由题意，得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层.16.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得AC ＝DB ＝14AB ，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 做相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为S n ，现给出有关数列{S n }的四个命题：①数列{S n }不是等比数列；②数列{S n }是递增数列；③存在最小的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n >2 019；④存在最大的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n <2 019.其中真命题的序号是________.(请写出所有真命题的序号)答案 ①②④解析 由题意，得图1中的线段为a ，S 1＝a ，图2中的正六边形的边长为a 2， S 2＝S 1＋a 2×4＝S 1＋2a ， 图3中的最小正六边形的边长为a 4， S 3＝S 2＋a 4×4＝S 2＋a ， 图4中的最小正六边形的边长为a 8， S 4＝S 3＋a 8×4＝S 3＋a 2， 由此类推，S n －S n －1＝a 2n －3(n ≥2)， 即{S n }为递增数列，且不是等比数列，即①，②正确；因为S n ＝S 1＋(S 2－S 1)＋(S 3－S 2)＋…＋(S n －S n －1)＝a ＋2a ＋a ＋a 2＋…＋a 2n －3＝a ＋2a ⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12＝a ＋4a ⎝⎛⎭⎫1－12n －1<5a (n ≥2，n ∈N ＋)， 又S 1＝a <5a ，所以存在最大的正数a ＝2 0195， 使得对任意的正整数n ，都有S n <2 019， 即④正确，③错误.。
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陈氏定理
2n p1 p2 p3
歌德巴赫猜想 四色定理 牛顿发现万有引力 门捷列夫发现元素周期律等等
应用归纳推理可以 发现新事实,获得新结论!
思考题组一:
1.对于数列1,3,5,7,…,由此你猜想出第n 个数是2_n___1.
凸五边形内角
和为 540
一 第一个数为2
第二个数为4 第三个数为6
般
第n个 数为2n.
第四个数为8
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳 推理(简称归纳).
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳 推理(简称归纳).
2.1.1合情推理——归纳推理
铜能导电
铝能导电
金能导电 银能导电
部分
一切金属 都能导电.
蛇类是用肺呼吸的
鳄鱼是用肺呼吸的 海龟是用肺呼吸的
爬行动 物都是 用肺呼
整 体 蜥蜴是用肺呼吸的
吸的
个别 三角形内角和
为 180
凸四边形内角
和为360
凸n边形 内角和为
n 2180 .
发现它们都是素数，于是费马就猜想：形 如 Fn 22n 1 的数都是素数。
否定一个猜想只需举出一个反例即可！
F5 225 1 4294967297 6416700417
另外,德国数学家希尔伯特1900年在巴黎提出 的著名的“希尔伯特23个问题”。有的尚未解决, 但却极大地促进了数学这门学科的发展和健全.
a1 1 an 2an1 1(n 1)
从这个递推公式出发,可以证明上述通 项公式是正确的.
本课小结 1、归纳推理的含义 2、归纳推理的特点与过程 3、归纳推理的作用
作业
1、作业本:2.1.1合情推理(一) 2、实习作业：(利用网络资源)
孪生素数猜想 ;叙拉古猜想 ; 蜂窝猜想; 费马最后定理; 七桥问题;欧拉回路
当1 n 6时,2n1 (n 1)2 ;当n 7时,2n1 (n 1)2 ;
当n 7时,2n1 (n 1)2.
费马素数猜想 ——一个错误的猜想
一种有趣且有很长历史的数叫费马素数， 这些数是由法国数学家费马在研究数列 Fn 22n 1 的前五项：F0 3 F1 5 F2 17 F3 257 F4 65537
归
合 情 推
2.由三角形内角和为 18,0凸 四边形内角和
为 ,凸36五0边 形内角和为
, 540
纳 推 理
理
猜想:凸n边形内角和为(n 2) 180 .
3.地球上有生命，火星具有一些与地球类 似的特征，猜想:火星上也有生命.
类比 推理
演绎 4.因为所有人都会死，苏格拉底是人，
推理 所以苏格拉底会死.
1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了.
n 请你试着推测：把 个圆环从1号针移到3号针,最少需要移
动多少次?
2
1
3
n 设 an为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则 n＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3.
2任.取两条平行线 ,l在1, l直2 线 上任l取1 三个点依
次记作 ,在直A1,线B1,C上1 任取三个l点2 依次记
作 .连接A2, B2，,C记2 交点为A1B2;,连A2接B1
,记
交点P为 ;连接A1C2,,A记2C交1 点为 .你能R发现什么
规律B1呢C2 ,?B2C1
Q
传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一 根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, 把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡” 的作用.
❖ 教学总结:
❖ (1)教学时间在重点班差不多,其他可能最后一 题来不及;
❖ (2)对特别情况特点的归纳以及归纳思想的掌 握为教学重点.
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时，a2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时， a1 ＝1 第1个圆环从1到3. n ＝2时， a2 ＝3 前1个圆环从1到2;
归纳推理的过程： 归纳推理的特点:
实验观察
(1)从特殊到一般；
大胆猜想
(2)具有创造性； (3)具有或然性。
验证猜想
合情推理是冒险的， 有争议的和暂时的．
－－波利亚
思考题组二:
1.已知数列｛an｝的第一项 a1 =1, 且请归an纳1 出 1这a个nan数( 列n ＝的1通,2项,3公，式···为), _a_n____1n__.
探究题:
数列an 满足
,
猜想此数列的通项公式.
x1 1
x2 0
x3
1 3
x4
1 2
x5
3 5
2
x6
3
x1
1
1 1
x2
0
0 2
x3
1 3
1 3
x4
1 2
2 4
猜想:
an
n2 n
x5
3 5
3 5
24 x6 3 6
福 尔 摩 柯南 斯
我们来推测诸葛亮“先生”的推理过 程: 1.今夜恰有大雾
2.曹操生性多疑 3.弓弩利于远战
草船借箭必将成功
4.北军不善水战
已知 判断
新的 判断
前提ห้องสมุดไป่ตู้
结论
根据一个或几个已知的判断来确定一个 新的判断的思维过程就叫推理.
1.由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，
猜想:一切金属都能导电.
第2个圆环从1到3; 前1个圆环从2到3.
n＝3时， a3 ＝7 前2个圆环从1到2;
第3个圆环从1到3; 前2个圆环从2到3.
2
1
3
从 a1 1, a2 3,a3 7, a4 15, ,我们猜 想其通项公式为
an 2n 1(n N *)
根据以上分析,我们可得以下递推公式
2.观察右图,可以发现: _1__3___5____ __2_n__1___n_2__.
1=12，
1+3=4=22，
1+3+5=9=32，
1+3+5+7=16=42，
1+3+5+7+9=25=52，
……
(第2题)
3.对任意的正整数 n ,猜想 2n1与 (n 1)2 的大小关系.
即是由部分到整体,由个别到一般的推理.
你能举出归纳推理 的例子吗?
观察下列等式
3+7=10， 10=3+7，
3+17=20， 20=3+17，
13+17=30， 30=13+17. 归纳出一个规律：
偶数=奇质数+奇质数
通过更多特例的检验, 从6开始,没有出现反例.
大胆猜想:
任何一个不小于6 的偶数都等于两个 奇质数的和.