高二数学人教版选修2-2课件：2.1.1合情推理(共23张PPT)
人教版高中数学选修1-2(A版)课件：第二章 2.1.1合情推理 (共82张PPT)
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
高中数学新课标人教A版选修2-2《2.1.1合情推理》课件
课前探究学习
课堂讲练互动第二十四页，编辑活于页星期规一：范点训十九练分。
三角形 三角形的两边之和大于第三边 三角形的中位线的长等于第三边长的一 半，且平行于第三边 三角形的三条内角平分线交于一点，且这 个点是三角形内切圆的圆心
四面体
课前探究学习
课堂讲练互动第二十五页，编辑活于页星期规一：范点训十九练分。
商与开方的类比．由此猜想 dn＝n c1c2c3…cn. 答案 n c1c2c3…cn
课前探究学习
课堂讲练互动第二十三页，编辑活于页星期规一：范点训十九练分。
题型三 平面图形与空间图形的类比 【例3】 三角形与四面体有下列相似性质：
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面 体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形． (2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段 的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角 形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图 形． 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填 写下表：
四面体的三个面的面积之 和大于第四个面的面积
三角形的中位线的长等于第三边 长的一半，且平行于第三边
四面体的中位面的面积等 于第四个面的面积的，且 中位面平行于第四个面
三角形的三条内角平分线交于一 四面体的六个二面角的平
点，且这个点是三角形内切圆的 分面交于一点，且这个点
圆心
是四面体内切球的球心
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课堂讲练互动第十七页，编辑于活星页期一规：点范十训九分练。
解 (1)由已知可得 a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想 an＝2n＋1－1，n∈N*. (2)由已知可得 a1＝a， a2＝2－1a1＝2－1 a，a3＝2－1a2＝32－－2aa，a4＝2－1a3＝34－－23aa. 猜想 an＝n－n－1－n－n1－a2a(n∈N*)．
【高中课件】人教B版选修22高中数学2.1.1合情推理1课件ppt.ppt
三棱锥
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四棱锥
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三棱柱
5Байду номын сангаас
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五棱锥
立方体
正八面体
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
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立方体
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正八面体
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五棱柱
截角正方体
尖顶塔
猜想 F+V-E=2 欧拉公式
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
18 =7+11, …，
1000＝29+971， 1002=139+863,
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,
推出该类事物的全部对象都具有这些特征
的推理,或者由个别事实概栝出一般结论
的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)
归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳
所得的结论超越了前提所包容的范围.
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚
属未知的现象,因而结论具有猜测性.
3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观
察、经验和实验的基础之上.
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分
析的基础上.提出带有规律性的结论.
需证明
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
三棱锥
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2019-2020人教A版数学选修2-2 第2章 2.1 2.1.1 合情推理课件PPT
_某__些__已__知__特__征__，推出另一 类对象也具有 这些特征 的
理，称为归纳推理(简称归纳)
推理称为类比推理(简称 _类__比___)
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特征
归纳推理是由 部分到整体、 类比推理是由特殊到特殊的
由 个别 到 一般的推理
推理
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思考：归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？ [提示] 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和 结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正 确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究 中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．
n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为 ________．
(3)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，满足Sn＝6－2an＋ 1(n∈N*)．
①求a2，a3，a4的值；
②猜想an的表达式．
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(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1nn＋ 2 1 (2)f3(x)＝1－x4x fn(x)＝1－2xn－1x [(1)12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3， 12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， … 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2 ＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1nn＋ 2 1.
x f5(x)＝f4(f4(x))＝1－18－ ×18－xx8x＝1－x16x，
根据前几项可以猜想fn(x)＝1－2xn－1x.]
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(3)[解] ①因为a1＝3，且Sn＝6－2an＋1(n∈N*)， 所以S1＝6－2a2＝a1＝3，解得a2＝32， 又S2＝6－2a3＝a1＋a2＝3＋32，解得a3＝34， 又S3＝6－2a4＝a1＋a2＋a3＝3＋32＋34， 解得a4＝38.
【高中课件】人教B版高中数学选修22第2章2.1第1课时合情推理课件ppt.ppt
注意：(1)归纳是从特殊到一般，具体到抽象的推理形式．因 而，归纳所得的结论超越了前提所包括的范围．
(2)归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知 的现象，因而结论具有猜测的性质．
(3)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经 验或实验的基础上的。
(4)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到 的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提 出问题．
1．数表推理，抓关系
根据一组等式或一列数式，归纳猜想其构成规律， 是目前高考中常见类型，多以选择题、填空题方式呈 现．此类问题要求学生充分观察数表的结构特征，提 炼数表的变化本质，结合已有知识进行归纳推理．
2．算式推理，重归纳
对于算式推理，应根据条件先写出几个特殊的式 子，观察式子的特点，然后归纳出一般结论．
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点．
其中类比推理方法正确的有( )
A．(1) B．(1)(2)
C．(1)(2)(3) D．都不对
[答案] C
[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类 比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确 并不等价，方法正确结论也不一定正确．故选C.
四、归纳推理的常见类型及求解技巧 归纳推理是立足于观察、经验或实验的基础上的，因此结 论不一定完全正确．但在进行归纳推理的过程中，由特殊到一 般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现是十分有利的， 许多数学问题的解决都离不开归纳推理，下面举例说明归纳推 理的主要题型及求解技巧．
已知 a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，
计算 a2，a3，猜想 an＝( )
A．n
B．n2
C．n3 [答案] B
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.1 2.1.1 合情推理
栏 目 链 接
自 测 自 评
2．下面使用的类比推理中恰当的是( ) A．“若 m· 2＝n· 2，则 m＝n”类比得出“若 m· 0＝n· 0，则 m＝n” B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比得出“(a· b)c＝ac· bc” a＋b a b C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比得出“ c ＝c＋c(c≠0)” D．“(pq)n＝pn· qn”类比得出“(p＋q)n＝pn＋qn”
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基 础 梳 理
1 例：已知正三角形内切圆的半径是高的 ，把这 3 个结论推广到空间正四面体，类似的结论是 _________________________________________ ______________________．
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基 础 梳 理
分析：从方法的类比入手． 1 1 1 解析：原问题的解法为等面积法，即 S＝ ah＝3× ×ar⇒r＝ h， 2 2 3 1 1 1 类比问题的解法应为等体积法， V＝ Sh＝4× Sr⇒r＝ h，即正四面 3 3 4 1 体的内切球的半径是高的 . 4 1 答案：正四面体的内切球半径是高的 自 评
1． 已知 a1＝3， a2＝6 且 an＋2＝an＋1－an， 则 a33 为( A．3 C．6 B．－3 D．－6
)
解析：a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3， a7＝3，a8＝6，„，故{an}以 6 个项为周期循环出 现，a33＝a3＝3. 答案：A
解析：类比推理的结果不一定正确，只有选项 C 的类 比结果是正确的．故选 C. 答案：C
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自 测 自 评
x 3．设函数 f(x)＝ (x＞0)，观察： x＋2 x f1(x)＝f(x)＝ ， x＋2 x f2(x)＝f(f1(x))＝ ， 3x＋4 x f3(x)＝f(f2(x))＝ ， 7x＋8
【人教A版】选修2-2数学：2.1.1《类比推理》ppt课件
球的性质
球心与截面圆(不是大圆) 的圆心的连线垂直于截面 与球心距离相等的两截面 圆是等圆； 与球心距离不等的两截面 圆不等，距球心较近的截 面圆较大 球的切面垂直于经过切点 的半径； 经过球心且垂直于切面的 直线必经过切点
圆的性质 经过切点且垂直于切线的 直线必经过圆心 圆的周长 c＝πd 圆的面积 S＝πr
直径 ↔ 大圆，
周长 ↔ 表面积，
圆面积 ↔ 球体积， 等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所 示：
圆的性质
圆心与弦(不是直径)的中 点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦相 等； 与圆心距离不等的两弦不 等，距圆心较近的弦较长 圆的切线垂直于经过切点 的半径； 经过圆心且垂直于切线的 直线必经过切点
(3)类比的结果不一定可靠，但它却具有发现的功能．
2．合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察 分析 比较 ， 再 进 行 ________ 联想 、 ________ 、 ________ 、 ________
归纳 ，然后提出________ 猜想 的推理，我们把它们统称为合情 ________ 推理． 整体 ，由具体到 ________ 抽象 ， 3 ．归纳推理是由部分到 ________ 一般 ，从个别事实中概括出________ 一般结论的思维模式． 由特殊到______ 两类不同 的事物之间进行对比，找出若干 类比推理是在__________ 相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在 相同或相似 之处的一种推理模式． _____________
典例探究学案
事物的相似性与类比
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集
合；球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合．这两个定 义很相似．于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质．试将平 面上的圆与空间中的球进行类比．
【优质课件】人教B版选修22高中数学2.1.1合情推理2优秀课件.ppt
4)利用平面向量的本定理类比得到空间向量的 基本定理.
例1：类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体性质的猜想．
A
Ｂ c2=a2+b2
a
c
s1 o s2 s3
Ｃb
Ａ
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
例3：(2005年全国)计算机中常用的十六进 位制是逢１６进１的计算制，采用数字０９和字母Ａ-Ｆ共１６个计数符号，这些符 号与十进制的数的对应关系如下表；
- 方程.
---------------------------------------------------------
--------.
利用圆的性质类比得出球的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2
中小学精编教育课件
2.1.1.2合情推理-类比推理
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发 明了锯 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇.
3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许 多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已 知生物的生存,等等.
球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积
等,距圆心较近的弦较长
不相等,距球心较近的面积较大
人教B版高中数学选修1-2课件高二：2.1.1合情推理
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探究四
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z S 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
随堂练习
UITANG LIANXI
【典型例题 2】 已知椭圆具有性质:若 M,N 是椭圆 C 上关于原点对称
的两个点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 PM,PN 的斜率都存在,并记为
积的12.
错因分析:错解一“三角形周长”的类比错误,错解二“12”的类比错误.三
提示:类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的.归纳推理是由特 殊到一般的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理.两种推理在探索未知数 学领域都具有重要作用.
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1-49
Sn=S0+S30
n
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S0= 5 -
+
3 5
4S0 33
4n 9
+
42S0 35
S0.
+
433S70+…+43n2-1n-S10
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UITANG LIANXI
探究四 易错辨析
(包括定义、定理、公理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验等. (2)合情推理的结论具有偶然性,既可能为真,也可能为假. (3)合情推理不能作为数学证明的工具,但它能为我们提供证明的思路
人教版高中数学选修2-2第二章2.1.1合情推理
推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.新课导入铜、铁、铝、金、银等都能导电.一切金属都能导电.从所研究的对象全体中抽取一部分进行观测或试验以取得信息，从而对整体做出推断，是归纳推理.带齿的草叶、锯蝗虫的牙齿潜水艇鱼的外形、沉浮原理仿生学类比推理合情推理是指“合乎情理”的推理.数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.教学目标【知识与能力】1.了解合情推理的含义.2.能用归纳和类比进行推理，做出猜想.【过程与方法】结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．【情感态度与价值观】合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法的作用.教学重难点重点了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理.难点用归纳和类比进行推理，做出猜想.归纳推理——猜想这些猜想是怎么得出的呢？观察下列等式3+7=10，3+17=20，13+17=30，归纳出一个规律：偶数=奇质数+奇质数通过更多特例的检验,从6开始,没有出现反例.大胆猜想任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数的和.10=3+7 ，20=3+17，30=13+17.)3,(221≥∈+=*n N n p p n 3212p p p n ⋅+=陈氏定理每幅地图可以用四种颜色着色，使得有共同边界的相邻区域上着不同色.1852年，英国人弗南西斯·格思里为地图着色时，发现了四色猜想.522+1=4294967297猜想：是质数n22+1.⨯=6416700417新的猜想：形如221n+（5n ≥）的数都是合数.6782222+1,2+1,2+1后来人们发现都是合数.12222+1=5,2+1=17,34222+1=257,2+1=65537,都是质数已知数列的第一项（）试归纳出这个数列的通项公式.{}n a n1n+1na a =1,a =1+a且⋅⋅⋅n =1,2,3,例1由某类事物的部分对象具有某些这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理.分析：数列的通项公式表示的是数列的第n 项与序号n 之间的对应关系.为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项.{}n a n a 解：当n=1时，1a =1;当n=2时，211a ==1+123112a ==131+2当n=3时，当n=4时，411 3a==141+3观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数.由此猜想，这个数列的通项公式为n 1a=.n我们通过归纳得到了关于数列通项公式的一个猜想.类比推理——火星上是否有生命火星地球围绕太阳运行；绕轴自转；有大气层；一年中有四季变更；温度适合地球上某些生物的生存；对比两者某些相似特征.火星也可能有生命的存在试着类比球体和圆圆的概念和性质圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦.与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长以点(a,b)为圆心，r 为半径的圆的方程为().222(x -a)+y -b =r 2222(x -a)+(y -b)+(z -c)=r 球的表面积球的体积球心与截面圆（非过球心截面圆）圆心连线垂直于截面圆与球心距离相等的两截面圆面积相等；与球心距离不等的两截面圆面积不等，距圆心较近的截面圆面积较大.以点(a,b,c)为球心，r 为半径的球的方程为球的类比概念和性质“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.”——数学家波利亚“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密.”——开普勒由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.例2类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.分析：实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算，都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且“0”和“1”分别在加法和乘法中占有特殊的地位.因此我们可以从上述4个方面来类比这两种运算.a +b =b +a ab =ba ()()a +b +c =a +b +c ()()ab c =a bc (2)从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即解:(1)两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数.从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使得方程a+x=0()≠ax=1a0都有唯一解.x=-a1x=a(4)在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；乘法中的1与加法中的0类似，即任意实数与1的积都等于原来的数.即a+0=a a1=a你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？例3类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类对比对象.如图，与相对应的，是四面体P-DEF 的3个面在一个顶点处构成3个直二面角；与的直角边边长a,b 相对应的，是四面体P-DEF 的面，和面积;与的斜边边长c 相对应的，是四面体P-DEF 的面的面积S.Rt △ABC Rt △ABC △DEF 123S ,S 和S Rt △ABCRt △PEF △FPD 和△DPEA B C a b c PE DF1S 2S 3S (1)(2)由此，我们可以类比中的勾股定理，猜想出四面体P-DEF 四个面的面积之间的关系.Rt △ABC解：如图.我们知道，在中.由勾股定理，得Rt △ABC 222c =a +b 于是，类比直角三角形的勾股定理，在四面体P-DEF 中，我们猜想2222123S =S +S +S 推理过程概括：从具体问题出发观察、分析比较、联想归纳、类比提出猜想归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.例4如图，有三跟针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1. 每次只能移动1个金属片；2. 较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测：把n 个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？132分析：我们从移动1，2，3，4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次数.解：当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针.移动1次当n=2时，利用2号针做“中间针”移动：①把第1个金属片从1号针移动到2号针；②把第2个金属片从1号针移动到3号针；③把第1个金属片从2号针移动到3号针.移动3次当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，归结为n=2的情形移动：①把上面两个金属片从1号针移动到2号针；②把第3个金属片从1号针移动到3号针；③把上面两个金属片从2号针移动到3号针.当n=4时，把上面3个金属片作为一个整体移动：①把上面3个金属片从1号针移动到2号针；②把第4个金属片从1号针移动到3号针；③把上面3个金属片从2号针移动到3号针.移动7次移动15次至此，我们得到依次移动1，2，3，4个金属片所需的次数构成的数列：1,3,7,1512341=2-1,3=2-1,7=2-1,15=2-1由此我们猜想：若把n 个金属片从1号针移动到3号针，最少需要移动次，则数列的通项公式为n a {}n a ()∈n *n a =2-1n N 观察发现有如下规律：探究：把n个金属片从1号针移动到3号针，怎样移动才能达到最少的移动次数呢？归纳：对n个金属片都适用的移动方法.当移动n个金属片时，可分为以下3个步骤：①把上面（n-1）个金属片从1号针移动到2号针；②把第n个金属片从1号针移动到3号针；③把上面（n-1）个金属片从2号针移动到3号针.那第（n-1）个金属片如何移动呢？①把上面（n-2）个金属片从1号针移动到2号针；②把第（n-1）个金属片从1号针移动到3号针；③把上面（n-2）个金属片从2号针移动到3号针.类比推理得到递推公式：1*2n-1a =1,a =2a +1(n N ,n >1).且这是我们根据n=1,2,3,4时的移动方法，归纳推理出来.合情推理是冒险的、有争议的和暂时的.——波利亚合情推理的结果的正确与否，并不完全依赖于前提条件．在合情推理中，灵感也是一种重要的思维形式．课堂小结由某类事物的部分对象具有某些特征推出该类事物全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理.由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.随堂练习0,0,1,a b a b >>+=1118a b ab++≥1.设求证：2.如图，在△ABC 中，AC > BC , CD 是AB 上的高，求证：∠ACD > ∠BCD.指出上面证明过程中的错误.A C D B证明：在△ABC 中，因为CD⊥AB，AC ＞BC 所以AD>BD,于是∠ACD ＞∠ BCD.练习答案1.证明：a >0,b >0,a +b =1,31=a +b 2ab ∴⨯12ab ∴≤111111++=(a +b)(+)+a b ab a b ab 1122ab ab ab≥+448≥+=当且仅当a=b 时等号成立.111++8a b ab≥所以，2. 根据AD > BD ，不能推出∠ACD > ∠BCD.因为在同一个三角形中，才有大边对大角，AD 和BD 不是同一个三角形的边.A C D B ACD BCD ∴∠>∠正确的证法：在△ABC 中，∴AC > BC ，∵∠A > ∠BCD AB ⊥90,90B BCD A ACD ∴∠+∠=︒∠+∠=︒习题答案1.由，猜想.1234a =a =a =a =1n a =12.相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数.3.设分别表示四面体和的体积，则111222O-P Q R O-P Q R V V 和111O-P Q R 222O-P Q R 111222O-P Q R 111O-P Q R 222V OP OQ OR =++V OP OQ OR。
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an a1q n1
an amq
n m
(q 1) na1 Sn a1 (1 q n ) 1 q (q 1)
等差数列
中项
等比数列
任意实数a、b都有等 当且仅当a、b同号时才 差中项 ，为 a b 有等比中项 ，为 ab
2
n+m=p+q时, am+an= ap+aq
推测：当
n 2时，有
-
例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测; 把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3
7.利用等差数列性质类比等比数列性质
等差数列 定义 等比数列
an an1 d（n 2)
an : an1 q （n 2)
an a1 (n 1)d 通项公式 an am (n m)d
n(a1 an ) Sn 2 前n项和 n( n 1) na1 d 2
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
类比推理：类比就是在两类不同的事物之间进行 对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他 方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式， 类比推理是否正确是需要证明的。
观察、比较 联想、类推 猜测新的结论
欧拉公式
6 8 9 10 12 12
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱柱
五棱锥
立方体
正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔
7 7
9
15 15
16
10 9
练习：
1 1 1 f (n) 1 ... (n N ) 计算得 2 3 n
3 5 7 f (2) , f (4) 2, (8) , f (16) 3, (32) ... 2 2 2
④ห้องสมุดไป่ตู้
⑤ a // b a1 b1 , a2 b2 ( R) ⑤ a // b a b , a b , a b ( R) 1 1 2 2 3 3
a b a1b1 a2b2
④ a b a1b1 a2b2 a3b3
则
① a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ② a b (a1 b1 , a2 b2 ) ② a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ③ a (a1 , a2 )( R) ③ a (a1 , a2 , a3 )( R)
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30， 改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
6＝3+3， 8＝3+5， 10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11, 18 =7+11, …， 1000＝29+971， 1002=139+863,
歌德巴赫猜想的提出过程：
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)
归纳推理由部分到整体，由个别到一般 的推理，结论未必为真,需证明
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
成等差数列
n+m=p+q时, aman= apaq
成等比数列
Sm , S2m Sm , S3m S2m Sm , S2m Sm , S3m S2m
高考真题 （2004广东，15）
SPAB PA PB 由图(1)有面积关系: SPAB PA PB PA PB PC VP ABC PA PB PC 则由图(2)有体积关系: V
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦 球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15
2
1
3
练习1：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的， 海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、 鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。 由此猜想： 所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 练习2：三角形的内角和是180度，凸四边形的 内角和是360度，凸五边形的内角和是540 度，…… 由此猜想： 凸n边形的内角和是(n-2) ×1800
P ABC
B
B
B
A
B
C
P
C
P A 图(2) A
A
图(1)
以上几个例子均是根据两个(或两类)对象之 间在某些方面的相似或相同,推演出它们在 其它方面也相似或相同,像这样的推理通常 称为类比推理.(简称:类比法)
注：（1）类比推理是由一类对象特征到另一类对象特 征的推理。 （2）类比推理的一般模式为: A类事物具有性质a,b,c,d,
三棱柱
五棱锥
立方体
正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔
多面体
三棱锥 四棱锥
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 6 8 9 10 12 12
三棱柱
五棱锥
立方体
正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔
猜想 F+V-E=2
多面体
三棱锥 四棱锥 4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 10
⑥ a b a b a b 0 ⑥a b a b a b a b 0 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3
⑦ | a | a12 a22
⑦ | a | a12 a22 a32
6.利用圆的性质类比得出球的性质 球的概念和性质 圆的概念和性质
2 2 1 2 2 2 2 2 3 练习3： , , , 3 3 1 3 3 2 3 3 3
b bm , (a，b，m均为正实数). 由此猜想： a am
归纳推理：从个别事实中推演出一般性的结论.
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
问题情境 1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水 艇. 3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的 特征; 1)火星也绕太阳运行、绕轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的 生存,等等.
知识结构
合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 间接证明 演绎推理 比较法
归纳推理 类比推理
直接证明
综合法 分析法 反证法
数学归纳法
2.1.1合情推理
歌德巴赫猜想:
“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”
即:偶数＝奇质数＋奇质数
歌德巴赫猜想: 即:偶数＝奇质数＋奇质数 “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质 数之和”
科学家猜想;火星上也可能有生命存在.
4.利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.
5.利用平面向量的性质类比得空间向量的性质
平面向量
若 a (a1 , a2 )， b (b1 , b2 )则
① a b (a1 b1 , a2 b2 )
空间向量
若a (a1 , a2 , a3 ) ， b (b1 , b2 , b3 )
B类事物具有性质a ,b ,c , (a,b,c与a ,b ,c 相似或相同)
' ' ' ' ' '
所以B类对象具有性质d
'
小结：
归纳推理：归纳推理的前提是几个已知的特殊现 象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该 结论超越了前提所包容的范围，是从特殊到一般 得命题的猜测，是否正确是需要证明的。
例1:已知数列{an}的第1项a1=1且an +1
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.
an = 1 + an
例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.
多面体
三棱锥 四棱锥
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 4 5 6 6 8 9