数列求和专题训练
一、错位相减法
设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法。
例1;设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，
5313a b +=
（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a b ??
?
???
的前n 项和n S ． 例2;在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*
+==++-∈N ，，其中0λ>．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
二、裂项求和法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）1
1
1)1(1+-
=+=
n n n n a n （2）)1
21
121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n
（3）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n 等。
例3:； 求数列
???++???++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
数列求和（错位相减、裂项相消法）专题训练
1、{2}.n
n n ?求数列前项和
2、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令2
1
1
n n b a =
-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T .
3、已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1*
(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S
4、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =
2
1
1
n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 5、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'
()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1
1n n n b a a +=
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *
∈都成立的
最小正整数m ；
6、（本小题满分12分）等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +
∈ ，点
(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.
（1）求r 的值； （2）当b=2时，记 1
()4n n
n b n N a ++=
∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T 数列求和专项练习
1、(){213}.n
n n -?求数列
前项和 2、求数列1357
,,,,24816
???,212n n -的前n 项和.3、求数列
311?，421?，5
31
?，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S
4、已知数列{}n a 的通项公式为n
n a n ++=
11 求它的前n 项的和.
5、已知数列{n a }满足：}{,2)32()12(31
21n n n b n a n a a 数列+?-=-+++ 的前n 项和
n n n n W n b a n n S 项和的前求数列}{.222?-+=.
6、在数列{}n a 中，).2(122,12
1≥-=
=n S S a a n n
n 证明数列?
?????n s 1是等差数列，并求出S n 的表达式.
7、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （1）求n a 及n S ； （2）令211
n n b a =
-（n N +
∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T . 8、已知数列{}n a 中，11a =，且当2n ≥时，1()2
n n n S a S =-； （1）求n S ，n a
（2）求{}n S 的前n 项和n T
9、已知在数列{}n a 中，11a =，11112
n n n n a a n ++??=++ ??? （1）设n
n a b n
=
，求数列{}n b 的通项公式 （2）求数列{}n a 的前n 项和n S
10、已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4。 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1*
(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S
11、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ； （2）令b n =
2
1
1
n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 12、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'
()62f x x =-，数列{}n a 的
前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。 （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设1
1
n n n b a a +=
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的
最小正整数m ；
13、已知数列}{n a 的各项为正数，其前n 项和2
)2
1(
+=n n n a S S 满足， （I ）求)2(1≥-n a a n n 与之间的关系式，并求}{n a 的通项公式； （II ）求证
.211121<+++n
S S S 14、本小题满分12分）等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +
∈ ，点
(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.
（1）求r 的值； （2）当b=2时，记 1
()4n n
n b n N a ++=
∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T 15、数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足,)1(2,11n n a n S a +== （I ）求n a 与1-n a 的关系式，并求{n a }的通项公式； （II ）求和.11
11112
1
2322-++-+-=
+n n a a a W 16、（1）设12,,
,n a a a 是各项均不为零的n （4n ≥）项等差数列，且公差0d ≠，若将
此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．
（i ）当4n =时，求
1
a d
的数值； （ii ）求n 的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数n (4n ≥)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列
12b b ，，，n b ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．
17、已知函数f (x )＝m ·2x ＋t 的图象经过点A (1,1)、B (2,3)及C (n ，S n )，S n 为数列{a n }的前n
项和，n ∈N *.