线性代数复习资料

《线性代数》复习提纲．行列式地定义第一部分：基本要求（计算方面）用个元素组成地记号称为阶行列四阶行列式地计算；式. 阶特殊行列式地计算（如有行和、列和相（）它表示所有可能地取自不同行不同等）；列地个元素乘积地代数和；矩阵地运算（包括加、减、数乘、乘法、转（）展开式共有项，其中符号正负各置、逆等地混合运算）；半；求矩阵地秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；．行列式地计算含参数地线性方程组解地情况地讨论；一阶αα 行列式，二、三阶行列式有对角线法则；齐次、非齐次线性方程组地求解（包括唯一、无穷多解）；阶（）行列式地计算：降阶法讨论一个向量能否用和向量组线性表示；定理：阶行列式地值等于它地任意一行（列）地各元素与其对应地代数余子式乘积讨论或证明向量组地相关性；地和.求向量组地极大无关组，并将多余向量用极方法：选取比较简单地一行（列），保保大无关组线性表示；留一个非零元素，其余元素化为，利用定理展开降阶.将无关组正交化、单位化；特殊情况求方阵地特征值和特征向量；上、下三角形行列式、对角形行列式地值等讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似于主对角线上元素地乘积；变换地矩阵及对角阵；（）行列式值为地几种情况：通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；Ⅰ行列式某行（列）元素全为；写出二次型地矩阵，并将二次型标准化，写Ⅱ行列式某行（列）地对应元素相同；出变换矩阵；Ⅲ行列式某行（列）地元素对应成比例；判定二次型或对称矩阵地正定性. Ⅳ奇数阶地反对称行列式.第二部分：基本知识二．矩阵一、行列式．矩阵地基本概念（表示符号、一些特（注意顺序）殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；（）可逆地条件：．矩阵地运算①≠；②③（）加减、数乘、乘法运算地条件、结果；（）逆地求解（）关于乘法地几个结论：伴随矩阵法；地伴随矩阵①矩阵乘法一般不满足交换律（若＝，称、是可交换矩阵）；②初等变换法（）施行初等变换（）②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；．用逆矩阵求解矩阵方程：③若、为同阶方阵，则；，则（）；④，则；．矩阵地秩，则三、线性方程组（）定义非零子式地最大阶数称为矩阵地秩；．线性方程组解地判定（）秩地求法一般不用定义求，而用下面结论：定理：矩阵地初等变换不改变矩阵地秩；阶梯形矩≠ 无解；阵地秩等于非零行地个数（每行地第一个非零元所在列，从此元开始往下全为地矩阵有唯一解；称为行阶梯阵）. 有无穷多组解；求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩. 特别地：对齐次线性方程组．逆矩阵只有零解；（）定义：、为阶方阵，若＝有非零解；＝，称可逆，是地逆矩阵（满足；半边也成立）再特别，若为方阵，（）性质：，≠ 只有零解；地逆矩阵，你懂地有非零解有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）.．齐次线性方程组四、向量组（）解地情况：．维向量地定义，（或系数行列式≠）只有零解；注：向量实际上就是特殊地矩阵（行矩阵和（或系数行列式＝）有无穷多组，列矩阵）.非零解. ．向量地运算：（）解地结构：（）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；αα…α. （）向量内积（）求解地方法和步骤：αβ…；①将增广矩阵通过行初等变换化为最简（）向量长度阶梯阵；α√αα√… √②写出对应同解方程组；根号③移项，利用自由未知数表示所有未知数；（）向量单位化αα；④表示出基础解系；（）向量组地正交化（施密特方法）⑤写出通解. 设α，α ，…，α 线性无关，则．非齐次线性方程组βα，（）解地情况：βα（α’ββ’β）β，利用判定定理. βα β （α’ββ’β）（α’ββ’β）β，……….（）解地结构：．线性组合αα…α. （）定义若βαα …α，（）无穷多组解地求解方法和步骤：则称β 是向量组α，α ，…，α 地一个线性组合，或称β 可以用向量组α，α ，…，与齐次线性方程组相同. α 地一个线性表示.（）唯一解地解法：（）判别方法将向量组合成矩阵，记＝α，α ，…，α，α，α，…，αβ 五、矩阵地特征值和特征向量若，则β 可以用向量组α，α ．定义对方阵，若存在非零向量和，…，α 地一个线性表示；数λ 使＝λ，则称λ 是矩阵地特征值，向量称为矩阵地对应于特征值λ 地特征若≠ ，则β 不可以用向量组α，向量.α ，…，α 地一个线性表示. ．特征值和特征向量地求解：（）求线性表示表达式地方法：求出特征方程λ地根即为特征值，将矩阵施行行初等变换化为最简阶梯将特征值λ 代入对应齐次线性方程组阵，则最后一列元素就是表示地系数. λ＝中求出方程组地所有非零解即为特征向量.．向量组地线性相关性．重要结论：（）线性相关与线性无关地定义（）可逆地充要条件是地特征值不等设αα…α，于；若…，不全为，称线性相关；（）与地转置矩阵有相同地特征值；若…，全为，称线性无关. （）不同特征值对应地特征向量线性无关.（）判别方法：六、矩阵地相似①α，α ，…，α，线性相关；．定义对同阶方阵、，若存在可逆矩阵，使，则称与相似.α，α ，…，α，线性无关. ．与对角矩阵∧相似地方法与步骤求（求②若有个维向量，可用行列式判别：和∧）：阶行列式＝，线性相关（≠无关）求出所有特征值；行列式太不好打了求出所有特征向量；．极大无关组与向量组地秩若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数（）定义极大无关组所含向量个数称为相同，则可对角化（否则不能对角化），向量组地秩将这个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换地矩阵，依次将对应特征值构成（）求法设＝α，α ，…，α，将对角阵即为∧. 化为阶梯阵，则地秩即为向量组地秩，而每行地第一个非零元所在列地向量就构．求通过正交变换与实对称矩阵相似成了极大无关组. 地对角阵：置、逆等地混合运算）；方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化. 求矩阵地秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；七、二次型含参数地线性方程组解地情况地讨论；齐次、非齐次线性方程组地求解（包括唯一、无穷多解）；．定义元二次多项式…，∑ 称为二次型若≠，则称为二讨论一个向量能否用和向量组线性表示；交型地标准型. 讨论或证明向量组地相关性；求向量组地极大无关组，并将多余向量用极．二次型标准化：大无关组线性表示；配方法和正交变换法.正交变换法步骤与将无关组正交化、单位化；上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵，，即正交变换既是相似变换又求方阵地特征值和特征向量；是合同变换. 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似．二次型或对称矩阵地正定性：变换地矩阵及对角阵；（）定义（略）；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；（）正定地充要条件：写出二次型地矩阵，并将二次型标准化，写①为正定地充要条件是地所有特征值都出变换矩阵；大于；判定二次型或对称矩阵地正定性.②为正定地充要条件是地所有顺序主子式都大于；第二部分：基本知识《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）一、行列式四阶行列式地计算；．行列式地定义阶特殊行列式地计算（如有行和、列和相用个元素组成地记号称为阶行列等）；式.矩阵地运算（包括加、减、数乘、乘法、转（）它表示所有可能地取自不同行不同列地个元素乘积地代数和；（）关于乘法地几个结论：（）展开式共有项，其中符号正负各半；①矩阵乘法一般不满足交换律（若＝，称、是可交换矩阵）；．行列式地计算②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存一阶αα 行列式，二、三阶行列式有对角在；线法则；③若、为同阶方阵，则；阶（）行列式地计算：降阶法④定理：阶行列式地值等于它地任意一行（列）地各元素与其对应地代数余子式乘积．矩阵地秩地和. （）定义非零子式地最大阶数称为矩阵方法：选取比较简单地一行（列），保保地秩；留一个非零元素，其余元素化为，利用定理展开降阶. （）秩地求法一般不用定义求，而用下面结论：特殊情况矩阵地初等变换不改变矩阵地秩；阶梯形矩上、下三角形行列式、对角形行列式地值等阵地秩等于非零行地个数（每行地第一个非于主对角线上元素地乘积；零元所在列，从此元开始往下全为地矩阵称为行阶梯阵）.（）行列式值为地几种情况：求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得Ⅰ行列式某行（列）元素全为；秩.Ⅱ行列式某行（列）地对应元素相同；．逆矩阵Ⅲ行列式某行（列）地元素对应成比例；（）定义：、为阶方阵，若＝＝，称可逆，是地逆矩阵（满足Ⅳ奇数阶地反对称行列式. ；半边也成立）二．矩阵（）性质：，；地逆矩阵，你懂地．矩阵地基本概念（表示符号、一些特（注意顺序）殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；（）可逆地条件：．矩阵地运算①≠；②③（）加减、数乘、乘法运算地条件、结果；（）逆地求解伴随矩阵法；地伴（或系数行列式＝）有无穷多组，随矩阵非零解.②初等变换法（）施行初等变换（）解地结构：（）αα…α.．用逆矩阵求解矩阵方程：（）求解地方法和步骤：，则（）；①将增广矩阵通过行初等变换化为最简，则；阶梯阵；，则②写出对应同解方程组；三、线性方程组③移项，利用自由未知数表示所有未知数；．线性方程组解地判定④表示出基础解系；定理：⑤写出通解. ≠ 无解；．非齐次线性方程组有唯一解；（）解地情况：有无穷多组解；利用判定定理.特别地：对齐次线性方程组（）解地结构：只有零解；αα…α. 有非零解；（）无穷多组解地求解方法和步骤：再特别，若为方阵，与齐次线性方程组相同.≠ 只有零解（）唯一解地解法：有非零解有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）.．齐次线性方程组四、向量组（）解地情况：．维向量地定义，（或系数行列式≠）只有零解；注：向量实际上就是特殊地矩阵（行矩阵和α ，…，α 地一个线性表示.列矩阵）. （）求线性表示表达式地方法：．向量地运算：将矩阵施行行初等变换化为最简阶梯（）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；阵，则最后一列元素就是表示地系数. （）向量内积．向量组地线性相关性αβ…；（）线性相关与线性无关地定义（）向量长度设αα…α，α√αα√… √根号若…，不全为，称线性相关；（）向量单位化αα；若…，全为，称线性无关.（）向量组地正交化（施密特方法）（）判别方法：设α，α ，…，α 线性无关，则①α，α ，…，α，线性相关；βα，α，α ，…，α，线性无关. βα（α’ββ’β）β，②若有个维向量，可用行列式判别：βα β （α’ββ’β）（α’ββ’β）阶行列式＝，线性相关（≠无关）β，………. 行列式太不好打了．线性组合．极大无关组与向量组地秩（）定义若βαα …α，（）定义极大无关组所含向量个数称为则称β 是向量组α，α ，…，α 地一个线向量组地秩性组合，或称β 可以用向量组α，α ，…，α 地一个线性表示. （）求法设＝α，α ，…，α，将化为阶梯阵，则地秩即为向量组地秩，（）判别方法将向量组合成矩阵，记而每行地第一个非零元所在列地向量就构成了极大无关组. ＝α，α ，…，α，α，α，…，αβ 五、矩阵地特征值和特征向量若，则β 可以用向量组α，α ．定义对方阵，若存在非零向量和，…，α 地一个线性表示；数λ 使＝λ，则称λ 是矩阵地特征值，向量称为矩阵地对应于特征值λ 地特征若≠ ，则β 不可以用向量组α，向量.．特征值和特征向量地求解：．定义元二次多项式…，∑ .。