Approximate Analytical Model for Hertzian Elliptical Contact Problems
hertz-mindlin准则
hertz-mindlin准则
Hertz-Mindlin准则是EDEM中默认使用的接触模型，用于描述颗粒间的接触应力。
该准则认为，法向力和切向力都有阻尼分量，其中阻尼系数与恢复系数有关。
切向摩擦力遵循库仑摩擦定律，滚动摩擦力以独立于接触的方向性恒定扭矩模型实现。
Hertz-Mindlin准则可以将颗粒间的接触应力转化为正应力和剪切应力。
其中，和分别代表正应力和剪切应力，和分别代表颗粒间正向和切向上接触量，和分别为颗粒间正向黏结系数和切向黏结系数。
可通过对应岩石的物理学参数，设定球体颗粒黏结系数大小。
剪切应力大小与颗粒间的摩擦系数相关，当颗粒间的黏结强度被破坏后，颗粒间的运动遵循滑动接触，即符合摩擦效应。
Hertz-Mindlin准则在EDEM和离散元法中得到了广泛应用，可用于模拟材料的变形和破坏过程。
EDEM理论参考指南
scroll pump(涡旋真空泵)介绍
TECHNICAL REPORT
Analytical Study of Volumetric Scroll Pump for Liquid Hydrogen Circulating System
KEYWORDS: volumetric scroll pump, liquid hydrogen, suction process, circulating systems, pressure distribution, velocity distribution, pressure dependence
where α: Scroll coefficient (mm) β: Discrepancy of starting rolls angle (radian) γ : Radius of basic circle, α(π −β) (radian) θ : Crank angle (radian) λ: Position angle (radian).
In the present study, we mainly concentrate on the solution at the positions close to the end of the suction process. The analytical model has been reconstructed for predicting flow patterns and pressure distributions in the suction process under
Fig. 1 Process inside a scroll pump
接触应力的赫兹公式
接触应力的赫兹公式在材料力学中，赫兹公式是描述接触区域应力分布的重要公式。
它被广泛应用于机械工程、材料科学和地质学等领域。
本文将介绍赫兹公式的原理和应用，以及与接触应力相关的一些重要概念。
一、赫兹公式的原理赫兹公式由赫兹提出，他研究了两个弹性固体球体之间的接触问题，得到了一种近似计算接触应力分布的公式。
赫兹公式适用于两个理想弹性球体之间的完全接触情况，并且要求接触面积远大于球体半径。
根据赫兹公式，两个球体接触区域的应力分布可以用以下公式描述：$$\sigma=\frac{4F}{\pi a^2}$$其中，$\sigma$是接触区域的应力，$F$是施加在球体上的力，$a$是球体的半径。
该公式表明，接触区域的应力与施加在球体上的力成正比，与球体的半径的平方成反比。
二、应用范围赫兹公式可用于描述各种接触问题中的应力分布，例如刚体与弹性体的接触、两个弹性体之间的接触等。
在工程实践中，赫兹公式被广泛用于接触应力的计算和分析。
接触应力的分布对于许多工程问题具有重要意义。
在材料表面的微观接触区域，应力集中可能导致材料的破坏，因此准确地描述和计算接触区域的应力分布对于设计和优化工程结构至关重要。
三、与接触应力相关的概念1. 接触压力接触压力是指施加在接触区域上的垂直于接触面的力。
根据赫兹公式，接触压力可以通过施加在球体上的力除以接触面积来计算。
2. 接触区域接触区域是两个实体之间真实接触的区域，其中的应力分布受赫兹公式描述。
接触区域的大小与施加在球体上的力以及材料的硬度有关。
3. 接触刚度接触刚度是指接触区域的应力与应变的比值，也可以理解为接触区域对力的响应能力。
接触刚度与接触区域的几何形状、材料的物理特性等因素有关。
四、实例应用赫兹公式的应用十分广泛。
例如，在轴承设计中，赫兹公式可用于计算轴承球与滚道之间的接触应力分布，进而评估轴承的寿命和性能。
此外，在地质勘探中，赫兹公式可用于计算岩石之间的接触应力，以分析地下构造和地质灾害的潜在风险。
基于赫兹接触模型的发动机封严涂层碰磨力计算与优化
表面技术第53卷第5期热喷涂与冷喷涂技术基于赫兹接触模型的发动机封严涂层碰磨力计算与优化丁坤英，裴祥忠，刘子剑，王梦潇，贾治豪（中国民航大学 天津市民用航空器适航与维修重点试验室，天津 300300）摘要：目的提高航空发动机的推进效率，在压气机机匣上喷涂可以减少叶尖径向间隙的封严涂层。
叶尖与涂层之间的碰磨力会导致涂层脱落，且会击伤叶片，需要对碰磨力进行分析。
方法采用大气等离子喷涂技术制备4种不同硬度的AlSi-PHB（聚苯酯）封严涂层，通过表面硬度测试、弹性模量测试和高速碰磨试验，分别评价封严涂层的硬度、弹性模量，以及在高速碰磨过程中不同工况下涂层受到的碰磨力；基于赫兹接触模型对叶尖与涂层之间的碰磨力进行计算，通过激光共聚焦显微镜和扫描电子显微镜对碰磨后的涂层和叶尖进行分析，同时根据接触面形态特征和温度特征对赫兹模型进行优化。
结果碰磨力与涂层的硬度、叶尖转速、叶尖切入速率有关，复杂的接触表面形貌和摩擦升温会导致理论计算值与实验值之间出现偏差。
结论通过优化叶尖和涂层的接触系数，同时考虑摩擦升温对涂层弹性模量的影响，可将不同工况下碰磨力计算值与测量值之间的偏差控制在1%~11%，这项研究对于指导航空发动机封严涂层的设计具有重要意义。
关键词：封严涂层；大气等离子喷涂；高速碰磨；赫兹模型；摩擦升温；优化系数中图分类号：TG174.4 文献标志码：A 文章编号：1001-3660(2024)05-0184-10DOI：10.16490/ki.issn.1001-3660.2024.05.019Calculation and Optimization of Impact and Wear Forces ofEngine Sealing Coatings Based on Hertz Contact ModelDING Kunying, PEI Xiangzhong, LIU Zijian, WANG Mengxiao, JIA Zhihao(Tianjin Key Laboratory of Civil Aircraft Airworthiness and Maintenance,Civil Aviation University of China, Tianjin 300300, China)ABSTRACT: The aircraft engine sealant coating can effectively improve the air tightness of the aircraft engine and improve the fuel utilization efficiency. However, due to the existence of friction between the blades and the coating, the coating often peels off and causes damage to the blades, resulting in economic losses. Therefore, it is necessary to analyze the friction between the blade and the coating.In this paper, four kinds of aluminum-silicon polyphenylene ester sealed coatings with different polyphenylene ester contents were prepared by atmospheric plasma spraying (APS). The hardness and elastic modulus of the coatings were obtained by a hardness test and an elastic modulus test, and the cross-sectional microstructures of the four coatings were observed with a scanning electron microscopy (SEM). It was found that the hardness of the coatings was related to the non-metallic phase收稿日期：2023-05-25；修订日期：2023-11-15Received：2023-05-25；Revised：2023-11-15基金项目：中央高校基本科研业务经费项目（3122019189）Fund：Basic Research Funds for Central Universities (3122019189)引文格式：丁坤英, 裴祥忠, 刘子剑, 等. 基于赫兹接触模型的发动机封严涂层碰磨力计算与优化[J]. 表面技术, 2024, 53(5): 184-193. DING Kunying, PEI Xiangzhong, LIU Zijian, et al. Calculation and Optimization of Impact and Wear Forces of Engine Sealing Coatings Based第53卷第5期丁坤英，等：基于赫兹接触模型的发动机封严涂层碰磨力计算与优化·185·content of the coatings. More pores, cracks and polyphenylene ester content resulted in smaller coating hardness, and the elastic modulus of the coatings increased with the increase of coating hardness.A high-speed bruising test machine was used to analyze the bruising force between the blade and the coating, and fourbruising conditions were designed to conduct high-speed bruising tests on four coatings and the maximum normal bruising force during the bruising process was recorded; the maximum normal contact load on the coating during the bruising process was calculated based on the Hertzian contact model. The test values of the high speed contact test were compared with the theoretical calculated values, and it was found that the calculated values of the Hertzian contact model were always larger than the test values. In order to make the Hertzian contact model more accurate for the calculation of the contact force between the blade and the coating, the coefficients of the contact coefficient in the Hertzian contact model were optimized. The coefficients Δ" and β of the Hertzian contact model were optimized according to the adhesion of the blade tip and the average line roughness of the coating surface after the grinding test by means of a laser confocal microscope and a scanning electron microscope. The elasticity coefficients E* in the Hertzian model were optimized by the effect of temperature change on the elastic modulus of the coating material during the bruising process.The optimized coefficients were substituted into the Hertzian contact model to recalculate the maximum normal contact load on the coating during the high speed bruising process, and the results of the optimized Hertzian contact model, the results of the Hertzian contact model before the optimized coefficients and the high speed bruising test values were compared. The results show that the actual contact between the blade and different coatings and the thermal aggregation effect caused by high blade speed are the main reasons for the deviation between the calculated results before the optimized factor and the test values. The Hertzian model after the optimization factor is closer to the experimental test value than the Hertzian model before the optimization factor, and the deviation from the test value is within 1%-11%. The reason for the deviation may be related to the coupling effect between the tangential force and the normal force.KEY WORDS: sealing coating; atmospheric plasma spraying; high speed impact and wear; hertz model; friction heating;optimization coefficient随着航空工业的迅速发展，对于飞机发动机提出了越来越高的要求，更大的推力、更高的效率和更低的油耗是发动机研制和设计的目标[1-2]。
一种应用于轮轨滚动接触的非赫兹型简化计算模型
２０２１年６月第１２卷第３期高 速 铁 路 技 术ＨＩＧＨＳＰＥＥＤＲＡＩＬＷＡＹＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹＮｏ．３，Ｖｏｌ．１２Ｊｕｎ．２０２１ 收稿日期：２０２０ １０ ０６作者简介：李粮余（１９８２ ），男，高级工程师。
基金项目：四川省重点研发项目（２０１９ＹＦＧ０４６０）；中国中铁科研项目（ＫＳＷＱ２０４０１０）引文格式：李粮余，田春香，周佳仪，等．一种应用于轮轨滚动接触的非赫兹型简化计算模型［Ｊ］．高速铁路技术，２０２１，１２（３）：６－１３．ＬＩＬｉａｎｇｙｕ，ＺＨＯＵＪｉａｙｉ，ＴＩＡＮＣｈｕｎｘｉａｎｇ，ｅｔａｌ．ＡＮｏｎ ＨｅｒｔｚＳｉｍｐｌｉｆｉｅｄＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎＭｏｄｅｌＡｐｐｌｉｅｄｔｏＷｈｅｅｌ ｒａｉｌＲｏｌｌｉｎｇＣｏｎｔａｃｔ［Ｊ］．ＨｉｇｈＳｐｅｅｄＲａｉｌｗａｙＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２０２１，１２（３）：６－１３．文章编号：１６７４—８２４７（２０２１）０３—０００６—０８ＤＯＩ：１０．１２０９８／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７４－８２４７．２０２１．０３．００２一种应用于轮轨滚动接触的非赫兹型简化计算模型李粮余１ 田春香１，２ 周佳仪２ 安博洋２ 王 平２（１．中铁二院工程集团有限责任公司， 成都６１００３１；２．西南交通大学高速铁路线路工程教育部重点实验室， 成都６１００３１）摘 要：本文基于经典的ＳＴＲＩＰＥＳ接触模型，提出一种求解轮轨非赫兹滚动接触行为的快速计算方法。
相比于ＳＴＲＩＰＥＳ接触模型，该方法采用变化的渗透量比例系数，并且采用ＦａＳｔｒｉｐ算法求解切向接触问题。
为了验证所提方法的有效性，本文运用该方法模拟一系列轮轨滚动接触行为，并与ＳＴＲＩＰＥＳ模型和ＣＯＮＴＡＣＴ程序进行对比。
结果表明，相比于ＳＴＲＩＰＥＳ接触模型，本文所提方法能够得到更准确的接触边界、法向压应力和蠕滑曲线，并且考虑了切向应力的非线性分布。
该方法可进一步应用于车辆轨道动力学和轮轨磨损计算中以提高分析精度。
支持向量回归在轮轨Hertz弹性接触计算中的应用
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维普资讯
２０ 年第 ２期 ０７
２ ０７年 ３月 １ ０ ０日 机 乍 电 忙 础
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研 究 开 发
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含正交各向异性夹层的Kirsch问题的弹性解
第 39 卷第 6 期2023 年12 月结构工程师Structural Engineers Vol. 39 ， No. 6Dec. 2023含正交各向异性夹层的Kirsch问题的弹性解AHEHEHINNOU OUGBE ANSELME1，2高梦园1，2，*（1.浙江大学土木工程系，杭州 310058； 2.浙江大学平衡建筑研究中心，杭州 310007）摘要针对含有正交各向异性圆环的Kirsch问题，利用级数展开求解材料内部的弹性控制方程，获得了两种不同荷载下各向异性圆环嵌入无限基体的位移/应力解析表达式，其中圆环材料的形态分别考虑为径向各向异性、环向各向异性、横观各向同性。
在该理论退化验证良好的基础上，对各向异性材料进行力学分析。
结果表明：不同形态的圆环对孔口周围的应力分布有较大的影响。
另外，随着各向异性圆环的厚度增大，圆环和基体之间界面处的应力值也增大。
关键词拓展Kirsch问题，正交各向异性材料，二维弹性解，应力集中Elastic Solutions of Kirsch Problem with OrthogonalAnisotropic InterlayerAHEHEHINNOU OUGBE ANSELME1，2GAO Mengyuan1，2，*（1.School of Civil Engineering，Zhejiang University， Hangzhou 310058， China；2.Center for Balance Architecture，Zhejiang University， Hangzhou 310007， China）Abstract The elastic governing equations within the material are solved through the utilization of a series expansion for the Kirsch problem，incorporating an orthogonal anisotropic hollow layer. Analytical expressions for the displacement/stress of anisotropic hollow layers embedded in an infinite matrix are obtained for two different loads.The material morphology of the hollow layer is considered to be radially anisotropic，circumferentially anisotropic，and transversely isotropic.A mechanical analysis of the anisotropic materials is performed based on the well-verified theoretical degradation. The results show that the various configurations of the hollow layers have a great effect on the stress distribution around the orifice.In addition，as the thickness of the anisotropic circular hole increases，the stress value at the interface between the circular hole and the substrate increases.Keywords expanding the kirsch problem，orthotropic materials，two-dimensional elastic solution，stress concentration0 引言钻井工程中井壁失稳问题是比较棘手的井下事故，井壁失稳通常表现为井眼漏失和井壁坍塌［1-2］。
基于Hertz接触力模型的惯性平台内框架组件失稳倒台动力学建模与仿真分析
Ｋｅ ｒ ｓ ｆ ｉ ｌ ｍｅ ｔｍｅｈ ｄ；ｒ ｎ ｉ ｇ ａ ａ ｕ ｏ ｉ ｓ ｂ ｌ ｙ；ｉ ｎ ｒｇ ｍｂ ｌ ｃ ｍｐ ｎ ｎ ；ｄ ｎ ｍｉ ｍｏ ｅ ｉ ｇ ｙ ｗｏ ｄ ： ｉ ｔ ｅｅ ｎ ｔ ｏ ｕ ｎ ｎ ｗ ｙ ｄ ｅ ｔ ｎ ｔ ｉ ｔ ｎ ｅ ａ ｉ ｎ ｅ ｉ ａ ｏ ｏ ｅ ｔ ｙ ａ ｃ ｄｌ ； ｎ
振
动
与
冲
击
第 ３ 卷第 ｌ １ ４期
Ｊ ０ＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩ ＢＲＡ Ⅱ０Ｎ ＡＮＤ Ｈ０Ｃ Ｓ Ｋ
基于 Ｈ ｒ 接触力模型的惯性平台内框架组件失稳倒台动力学建模与仿真分析 ｅｔ ｚ
高 准 ，屈孝池 ，张天孝 ，杨朋军 ，弓 靖
７ ００ ） １ １０
（ 中国航天科技集 团公司 第 十六研究所 ， 西安
摘 要 ：针对惯性平台内框架失稳倒台故障， Ｈ ｒ 接触力模型建立内框架组件倒台时的动力学模型， 基于 ｅｚ ｔ 全面分
析了倒台时内框架与挡块的碰撞力 变化 过程 。之后使用 Ａ ｓｓ ｒｂｎ ｈ仿真软件 ， ｎｙ ｋ ｅｃ Ｗｏ 建立并分 析平 台内框架 失稳倒 台的 动力学模型。计算出在倒 台过程中挡块 的应 力分 布云图。将两者相 比较 ， 明了所建立 的动力学模型 以及各项分析 的正 证
ｐ ｏ ｅ ｔ ｏ ｒ ｃ ｎ ｓ ｆｔ ｅ ｄ ｎ ｍｉ ｄ １ ｒｖ ｈｅ ｃ ｒｅ ｔ ｅ ｓ ｏ ｈ ｙ ａ ｃ ｍｏ ｅ ．Ｔｈ ｅ ｕ ｔｐｒｖ ｄ ｓ ｕ ｓｕ ｅ ｅｅ ｃ ｏ ｔ ｅ ｆ ｔ ｒ ｅ ｉｎ ｏ ｎ ｒｉｌｐ ａｆｒ ｅ ｒ ｓ ｌ ｏ ｉ ｅ ｅ ｆ ｌｒ ｆｒ ｎ ｅ ｔ ｈ ｕ ｕ ｅ ｄ ｓｇ ｆｉ ｅ ｔａ ｌｔｏ ｍ．
（ ｈ ６ ｎｔｕｅ ｈｉ Ａ ｒ ｐｃ ｃ ｎｅａｄＴ ｃｎｌｇ ｏ ｏａｏ ， ｉｎ７ ００ Ｃ ｉａ Ｔ ｅ１ Ｉｓｔｔ，Ｃ ａ ｅ ｓａｅＳｉ ｃ ｎ ｅｈ ｏ ｙＣ ｒ ｒ ｉ Ｘ’ １ １０， ｈｎ ） ｉ ｎ ｏ ｅ ｏ ｐ ｔｎ ａ
刚体碰撞的Hertz接触力模型比较分析
ｗ ｉ ｔ ｈ ｌ ｒ ａ ｇ ｅ ｒ ｅ ｃ ｏ ｖ ｅ ｒ ｙ ｃ ｏ ｅ ｆ ｉ ｆ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ ｒ ｋ ｃ ｎ ａ ｐ ｒ ｏ ｖ ｉ ｄ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｔ ｉ ｃ ｌ ａ ｂ ｃｋ ａ ｇ ｒ ｏ ｕ ｎ ｄ ｆ ｏ ｒ ｃ ｈ ｏ ｏ ｓ ｉ ｎ ｇ ａ ｍａ ｓｏ ｎ ￣ｌ ｅ ｃ ｏ ｎ ｔ ｃｔ ａ
摘
要： 对 以 Ｈｅ ｒ ｔ ｚ 接 触理 论 为 基 础 的 四 种接 触 力模 型 进 行 了比较 分 析 ， 并 通 过 两球 一 次 对心 碰撞 过 程 数 值 模 拟 结 果 来
进 一步说 明不 同接触 力模型 的特性 ，仿 真结果表 明：与纯 弹性接 触力模 型相 比， Ｈｕ ｎ ｔ — Ｃ ｒ ｏ ｓ ｓ ｌ ｅ ｙ（ Ｈ — ｃ ）接 触力模 型 、
机 械 设 计 与 制 造
Ｍａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｅ ｒ ｙ Ｄｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ＆ Ｍａ ｎ ｕ ｆ ａ ｃ ｔ ｕｒ ｅ
第 ８期 ２ ０ １ ７年 ８月
刚体碰撞 的 Ｈ ｅ ｒ ｔ ｚ 接 触 力模 型 比较分析
黄剑锋 ， 余 涛， 陈江义
４ ５ ０ ０ ０ １ ） （ 郑州大学 机械工程学 院， 河南 郑州
Ｆ ｌ ｏ ｒ ｅ ｓ ｍｏ ｅｌ ｄ ａ Ｆ ｅ ｍｏ ｒ ｅ ｃ ｏ ｎ ｓ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｔ ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｃｔ ａ ｕ ｌ ａ ｃ ｏ ｎ ｔ ｃｔ ａ ｃ ｏ ｌ ｌ ｓｉ ｉ ｏ ｎ ｓ ｉ ｔ ｕ ｔｉ ａ ｏｎ ｉ ｎ ｗｈ ｉ ｃ ｈ ｔ ｈ ｅ ｅ ｎ ｅ ｒ ｇ ｙ ｄ ｉ ｓ ｓ ｉ ｐａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｃ ｏ ｎ ｓ ｉ ｄ ｅ ｒ ｅ ｄ ． Ａｍｏ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ ｏ ｄ ｍ ｅ ｌ ｓ ｗ ｉ ｔ ｈ ｅ ｎ ｅ ｒ ｙ ｇ ｄ ｉ ｓ ｓ ｉ ｐａ ｔｉ ｏ ｎ ，ｔ ｈ ｅ Ｈ— Ｃ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ａ ｎ ｄ Ｌ — Ｎ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ａ ｒ ｅ ｎ ｚ ｏ Ｆ ｅ ｓ ｕ ｉ ｔ ａ ｂ ｌ ｅ ｔ ｏ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｃ ｏ ｌ ｌ ｓｉ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ