数学分析(下)18-2隐函数组
数学分析教案(华东师大版)第十八章隐函数定理及其应用
第十八章隐函数定理及其应用教学目的：1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数；2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。
教学重点难点：本章的重点是隐函数定理；难点是隐函数定理的证明。
教学时数：14学时§1 隐函数一．隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法.隐函数及其几何意义: 以为例作介绍.1.2.隐函数的两个问题:ⅰ>隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性质.二.隐函数存在条件的直观意义:三.隐函数定理:Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理) 若满足下列条件:ⅰ> 函数在以为内点的某一区域D上连续;ⅱ> ; ( 通常称这一条件为初始条件);ⅲ> 在D内存在连续的偏导数ⅳ> .的某邻域()D内, 方程唯一地确定一个定义在则在点某区间内的隐函数⑴,时()且.在区间内连续 .⑵函数四.隐函数可微性定理:满足隐函数存在唯一性定理的条件, 又设在D内Th 2 设函数存在且连续 . 则隐函数. ( 证)在点满足隐函数存在例1 验证方程唯一性定理的条件, 并求隐函数的导数 . P149例1. 其中为由方程所确定例2的隐函数 . 求. P150例2 ( 仿)在点的某邻域内例3 ( 反函数存在性及其导数) 设函数有连续的导函数函数, 并求反函数的导数. P151例4五. 元隐函数: P149 Th3. 验证在点存在是例4§２隐函数组一．隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组入手介绍隐函数组，一般形式为*二.隐函数组定理:分析从上述线性方程组中解出和的条件入手, 对方程组*在一定条件下拟线性化, 分析可解出和的条件, 得出以下定理 .Th 1 ( 隐函数组定理) P153 Th 4.例1P154例1.三.反函数组和坐标变换:1.反函数组存在定理:Th 2 (反函数组定理) P155 Th 52.坐标变换: 两个重要的坐标变换.例2 , 3 P156—157例2 , 3 .§3 几何应用平面曲线的切线与法线: 设平面曲线方程为. 有一..,切线方程为法线方程为例1求Descartes叶形线在点处的切线和二.空间曲线的切线与法平面:曲线由参数式给出: .1.切线方程为.法平面方程为.的方程为2. 曲线由两面交线式给出: 设曲线点在上. 推导切线公式. [1]P209.切线方程为.法平面方程为.例2P161例2 .三.曲面的切平面与法线:的方程为, 点在上. 推导切面公设曲面式.1]P211.切平面方程为.法定义域线方程为.例3P162例3 .§4 条件极值一.条件极值问题: 先提出下例:的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高, 使例要设计一个容积为水箱的表面积最小 . 分别以、为: 在约束条件之下求函数二. 条件极值点的必要条件:之下求函数的极值 . 当满足约束条件设在约束条件的点存在条件时, 由方程的极限点, 有.代入, 就有, 、、、均表示相应偏导数在点的值 . )( 以下即—可见向量(, )与向量, )正交. 注意到向量, ), )与向量, )线性相关,即存在实数, 使(, ) + , ).亦即二.Lagrange乘数法:在约束条件之下的条件极值由上述讨论可见, 函数点应是方程组的解.倘引进所谓Lagrange函数为Lagrange乘数), ( 称其中的实数则上述方程组即为方程组以三元函数, 两个约束条件为例介绍Lagrange乘数法的一般情况 .四、用Lagrange乘数法解应用问题举例:求容积为的长方体形开口水箱的最小表面积 . P166例1例1抛物面被平面截成一个椭圆. 求该椭圆例2到坐标原点的最长和最短距离 . P167例2求函数在条件例3下的极小值. 并证明不等式, 其中为任意正常数.168 例3。
数学分析18.2隐函数定理及其应用之隐函数组
第十八章 隐函数定理及其定理1隐函数组一、隐函数组的概念 设方程组⎩⎨⎧==0v)u,y,G(x,0v)u,y,F(x,, 其中F,G 为定义在V ⊂R 4上的四元函数. 若存在平面区域D,E ⊂R 2,对于D 中每一点(x,y), 有唯一的(u,v)∈E, 使得(x,y,u,v)∈V, 且满足该方程组，则称由该方程组确定了隐函数组：⎩⎨⎧==y)g(x,v y)f(x,u , (x,y)∈D, (u,v)∈E, 并有⎩⎨⎧≡≡0y))g(x,y),f(x,y,G(x,0y))g(x,y),f(x,y,F(x,, (x,y)∈D.二、隐函数组定理分析：设概念中的F,G,u,v 都可微，分别对x,y 求偏导数可得：⎩⎨⎧=++=++0v G u G G 0v F u F F x v x u x x v x u x 和⎩⎨⎧=++=++0v G u G G 0v F u F F y v y u yy v y u y , 解出u x ,v x ,u y ,v y 的充分条件是vuv u G G F F ≠0，也可记作：)v (u,)G (F,∂∂≠0, 即 函数F,G 关于变量u,v 的函数行列式(或称雅可比行列式)不为0.定理18.4：(隐函数组定理)若(1)F(x,y,u,v)与G(x,y,u,v)在以P 0(x 0,y 0,u 0,v 0)为内点区域V ⊂R 4上连续； (2)F(x 0,y 0,u 0,v 0)=0, G(x 0,y 0,u 0,v 0)=0(初始条件)； (3)在V 上F, G 具有一阶连续偏导数； (4)J=)v (u,)G (F,∂∂在点P 0不等于0，则 1、存在点P 0的某一(四维空间)邻域U(P 0)⊂V ，在U(P 0)上方程组⎩⎨⎧==0v)u,y,G(x,0v)u,y,F(x,惟一地确定了一个定义在点Q 0(x 0,y 0)的某一(二维空间)邻域U(Q 0)的两个二元隐函数u=f(x,y), v=g(x,y) 使得当(x,y)∈U(Q 0)时，u 0=f(x 0,y 0), v 0=g(x 0,y 0)；(x,y,f(x,y),g(x,y))∈U(P 0), 且 F(x,y,f(x,y),g(x,y))≡0, G(x,y,f(x,y),g(x,y))≡0； 2、f(x,y), g(x,y)在U(Q 0)上连续；3、f(x,y), g(x,y)在U(Q 0)上有一阶连续偏导数，且x u ∂∂=-)v (x ,)G (F,J 1∂∂,x v ∂∂=-)x (u,)G (F,J 1∂∂; y u ∂∂=-)v (y,)G (F,J 1∂∂,y v ∂∂=-)y (u,)G (F,J 1∂∂.例1：讨论方程组⎩⎨⎧=++==+=01xy -v -u v)u,y,G(x,0y -x -v u v)u,y,F(x,222在点P 0(2,1,1,2)近旁能确定怎样的隐函数组，并任求一组隐函数组的偏导数.解：F,G 在R 4上连续，F(2,1,1,2)=0, G(2,1,1,2)=0. 求F,G 的所有偏导数 得：F u =2u, F v =2v, F x =-2x, F y =2v, G u =-1, G v =1, G x =-y, G y =-x. ∵在P 0处的所有六个雅可比行列式中，仅)v (x ,)G (F,∂∂=0. ∴只有x,v 难以肯定能否作为以y,u 为自变量的隐函数，其余任两个变量都可在P 0近旁作为以另两个变量为自变量的隐函数. 对原方程组分别求关于u,v 的偏导数，得⎩⎨⎧==0xy -yx -1-0y -2xx -2u u u u u ;⎩⎨⎧==0yx -xy -10y -2xx -2v v v v v ，解得 x u =y -x 21x u 22+,y u =-y -x 2yu 2x 22+; x v =y -x 21x v 22+,y v =-y-x 2yv2x 22-.例2：设函数f(x,y), g(x,y)具有连续偏导数，而u=u(x,y), v=v(x,y)是由方程组u=f(ux,v+y), g(u-x,v 2y)=0确定的隐函数，试求x u ∂∂,yv∂∂. 解：记F=f(ux,v+y)-u, G=g(u-x,v 2y), 则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛v uy xv u y x G G G G F F F F =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2122121212vyg g g v g -f 1xf f uf ; 从而有 J uv =21212vyg g f 1xf -=2xyvf 1g 2-2yvg 2+f 2g 1; J xv =21212vyg g -f uf =2yuvf 1g 2-f 2g 1;J uy =22121g v g f 1xf -=xv 2f 1g 2-v 2g 2+f 2g 1.∴x u ∂∂=-uvxvJ J =122212112g f +2yvg -g 2x yvf g yuvf 2g f -;y v ∂∂=-uv uy J J =122211221222g f +2yvg -g 2xyvf g -f g f xv -g v .三、反函数组与坐标变换设函数组u=u(x,y), v=v(x,y)是定义在xy 平面点集B ⊂R 2上的两个函数, 对每一点P(x,y)∈B, 由方程组u=u(x,y), v=v(x,y)有uv 平面上惟一的一点Q(u,v)∈R 2与之对应，我们称方程组u=u(x,y), v=v(x,y)确定了B 到R 2的一个映射(变换)，记作T. 这时映射T 可写成如下函数形式： T ：B →R 2, P(x,y)↦Q(u,v)，或写成点函数形式Q=T(P), P ∈B, 并 称Q(u,v)为映射T 下P(x,y)的象，而P 则是Q 的原象. 记B 在映射T 下的象集为B ’=T(B).若T 为一一映射(每一原象只对应一个象，且不同的原象对应不同的象), 则每一点Q ∈B ’, 由方程组u=u(x,y), v=v(x,y)都有惟一一点P ∈B 与之相对应，由此产生新的映射称为T 的逆映射(逆变换), 记作T -1, 有T -1：B ’→B, Q ↦P ,或P=T -1(Q), Q ∈B ’, 即存在定义在B ’上的函数组：x=x(u,v),y=y(u,v)，把它代入原函数组，恒有 u ≡u(x(u,v),y(u,v)), v ≡v(x(u,v),y(u,v)),这时称函数组x=x(u,v),y=y(u,v)为原函数组的反函数组.定理18.5：(反函数组定理)设函数组u=u(x,y), v=v(x,y)及其一阶偏导数在某区域D ⊂R 2上连续，点P 0(x 0,y 0)是D 的内点，且 u 0=u(x 0,y 0),v 0=v(x 0,y 0),P )y (x,)v (u,∂∂≠0,则在点P 0’(u 0,v 0)的某一邻域U(P 0’)上存在惟一的一组反函数x=x(u,v),y=y(u,v)，使得x 0=x(u 0,v 0),y 0=y(u 0,v 0), 且当(u,v)∈U(P 0’)时，有(x(u,v),y(u,v))∈U(P 0),及 u ≡u(x(u,v),y(u,v)), v ≡v(x(u,v),y(u,v)).该反函数组在U(P 0’)上存在连续的一阶偏导数，且u x ∂∂=y v ∂∂/)y (x ,)v (u,∂∂,v x ∂∂=-y u ∂∂/)y (x ,)v (u,∂∂;u y ∂∂=x v ∂∂/)y (x ,)v (u,∂∂,v y ∂∂=-x u ∂∂/)y (x ,)v (u,∂∂. 即互为反函数组的雅可比行列式互为倒数.例3：平面上的点P 的直角坐标(x,y)与极坐标(r,θ)之间的坐标变换公式为：x=rcos θ,y=rsin θ, 讨论该函数组所确定的反函数组. 解：由于)θ(r,)y (x ,∂∂=rcos θsin θrsin θ-θcos =r, ∴除原点外，原函数组所确定的反函数组为：r=22y x +, θ=⎪⎩⎪⎨⎧<+>0x x yarctanπ0x x y arctan ，.例4：直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换公式为：x=rsin φcos θ, y=rsin φsin θ, z=rcos φ. 讨论该函数组所确定的反函数组. 解：∵)θφ,(r,)z y,(x ,∂∂=0rsin φ-cos φcos θ rsin φsin θ rcos φsin θsin φsin θrsin φcos θ rcos φcos θ sin φ-=r 2sin φ, ∴在r 2sin φ≠0, 即除去z 轴上的一切点，原方程组确定的反函数组为： r=222z y x ++, θ=arctan x y, φ=arccos rz .例5：设φ为二元连续可微函数, 对于函数组u=x+at, v=x-at, 试把弦振动方程a 222x φ∂∂=22tφ∂∂ (a>0)变换成以u,v 为自变量的形式.解：∵u x =v x =1, u t =v t =a, ∴)t (x ,)v (u,∂∂=-2a ≠0, ∴所设变换存在逆变换. 又du=u x dx+u t dt=dx+adt, dv=dx-adt, 由微分形式不变性得 d φ=φu du+φv dv=(φu +φv )dx+a(φu -φv )dt, 即φx =φu +φv , φt =a(φu -φv ). ∴以u,v 为自变量, 有φxx =u ∂∂(φu +φv )u x +v ∂∂(φu +φv )v x =φuu +φvu +φuv +φvv =φuu +2φuv +φvv ; φtt =a u ∂∂(φu -φv )u t +a v∂∂(φu -φv )v t =a 2(φuu -2φuv +φvv ). ∴a 2φxx -φtt =4a 2φuv =0.∴将弦振动方程变换为以u,v 作新自变量的方程为：vu φ2∂∂∂=0.注：此方程的解的形式为φ=f(u)+g(v)=f(x+at)+g(x-at).习题1、试讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+2z y x 2z y x 222在点(1,-1,2)的附近能否确定形如x=f(z), y=g(z)的隐函数组.解：令F(x,y,z)=x 2+y 2-2z 2, G(x,y,z)=x+y+z-2, 则(1)F,G 在点(1,-1,2)的某邻域内连续； (2)F(1,-1,2)=0, G(1,-1,2)=0满足初始条件；(3)F x =2x, F y =2y, F x =-z, G x =G y =G z =1均在点(1,-1,2)的邻域内连续； (4)(1,-1,2))y (x,)G (F,∂∂=)2,1,1(G )2,1,1(G )2,1,1(F )2,1,1(F y x y x ----=1122-=4≠0,∴原方程组在点(1,-1,2)的附近能确定形如x=f(z), y=g(z)的隐函数组.2、求下列方程组所确定的隐函数组的导数：(1)⎩⎨⎧=+=++az y x a z y x 222222, 求dx dy ,dx dz ；(2)⎩⎨⎧==0xu -v -y 0yv -u -x 22, 求x u ∂∂,x v ∂∂,y u ∂∂,dy dv； (3)⎩⎨⎧-=+=)y v ,x u (g v y)v f(ux,u 2, 求x u ∂∂,x v∂∂. 解：(1)设方程组确定的隐函数组为y=y(x), z=z(x).对方程组两边关于x 求导得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=++dx dzadx dy y 22x 0dx dz z 2dx dy y 22x ,解得：dxdy =2y 2x -a ,dx dz =-2z a.(2)设方程组确定的隐函数组为u=u(x,y), v=v(x,y).方程组关于x 求偏导得：⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂∂∂=∂∂∂∂0x u x -u -x v 2v -0x v y -x u 2u -1, 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=∂∂+=∂∂4uv -xy x 2u x v xy-4uv yu 2v x u 2； 方程组关于y 求偏导得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂∂∂=∂∂∂∂0y u x -y v 2v -10yv y -v -y u 2u -, 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=∂∂+=∂∂xy-4uv xv 2u y v 4uv -xy y 2v y u 2.(3)方程组关于x 求偏导得：⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+-∂∂=∂∂∂∂+∂∂+=∂∂x v 2yvg g x u g xv x v f x u xf uf x u211211, 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=∂∂-=∂∂1221111112211221g f -)2yvg -)(1xf (1)g xf (1g uf x v g f -)2yvg -)(1xf (1g f -)2yvg -(1uf x u.3、求下列函数组所确定的反函数组的偏导数：(1)⎩⎨⎧-=+=ucosv e y usinv e x uu , 求u x ,v x ,u y ,v y ；(2)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=3322v u z v u y v u x , 求z x . 解：(1)方程组关于u 求偏导得⎩⎨⎧-=+=cosv e y sinve x uu u u , 方程组关于v 求的偏导得⎩⎨⎧==usinv y ucosvx vv ,∴)v (u,)y (x ,∂∂=x u y v -x v y u =usinv(e u +sinv)-ucosv(e u -cosv)(1+e u sinv-e u cosv)u. 由反函数组定理得： u x =vy ∂∂/)v (u,)y (x ,∂∂=cosv)u e sinv e 1(usinv u u -+=cosv e sinv e 1sinv u u -+;v x =-u y ∂∂/)v (u,)y (x ,∂∂=cosv)ue sinv e 1(e -cosv uu u-+; u y =-v x ∂∂/)v (u,)y (x ,∂∂=cosv)u e sinv e 1(ucosv -u u -+=cosv e sinv e 1cosv -u u -+;v y =u x ∂∂/)v (u,)y (x ,∂∂=cosv)ue sinv e 1(sinv e uu u -++. (2)方程组关于x 求偏导得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=x 2x 2xxx xx vv 3u u 3z vv 2uu 20v u 1, 解得：z x =-3uv.4、设函数z=z(x,y)是由方程组x=e u+v , y=e u-v , z=uv(u,v 为参量)所定义的函数，求当u=0,v=0时的dz.解：∵dz=z x d x +z y d y =(u x v+uv x )dx+(u y v+uv y )dy, ∴当u=0, v=0时，dz=0.5、以u,v 为新的自变量变换下列方程： (1)(x+y)x z ∂∂-(x-y)y z∂∂=0, 设u=ln 22y x +,v=arctan xy ；(2)x 222x z ∂∂-y 222yz ∂∂=0, 设u=xy, v=y x.解：(1)∵x u ∂∂=22y x x +, y u ∂∂=22y x y +; x v ∂∂=-22yx y +, y v∂∂=22y x x +,∴x z ∂∂=x u u z ∂∂∂∂+x vv z ∂∂∂∂=u z y x x 22∂∂+-vz y x y 22∂∂+; y z ∂∂=y u u z ∂∂∂∂+y vv z ∂∂∂∂=u z y x y 22∂∂++vz y x x 22∂∂+; 代入原方程得： u z y x y)x (x 22∂∂++-v z y x y)y(x 22∂∂++-u z y x y)-y(x 22∂∂+-v z y x y)-x (x 22∂∂+=0, 化简得：u z ∂∂=vz∂∂.(2)∵x u ∂∂=y, y u∂∂=x; x v ∂∂=y 1, yv ∂∂=-2y x ,∴x z ∂∂=x u u z ∂∂∂∂+x v v z ∂∂∂∂= y u z ∂∂+v z y 1∂∂; y z ∂∂=y u u z ∂∂∂∂+y v v z ∂∂∂∂= x u z ∂∂-vzy x 2∂∂; ∴22x z ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x =y x u u z 22∂∂ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂∂x v v u z 2+x u v u z y 12∂∂ ⎝⎛∂∂∂+⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂x v v z 22 =y 2uz22∂∂+2v u z 2∂∂∂+v z y 1222∂∂;22y z ∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y z y =x y u u z 22∂∂ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂∂y v v u z 2+v z y 2x 3∂∂-y u v u z y x 22∂∂ ⎝⎛∂∂∂+⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂y v v z 22=x 2u z 22∂∂-v u z y 2x 222∂∂∂+v z y x 2242∂∂+vzy 2x 3∂∂; 代入原方程得： x 2(y 2u z 22∂∂+2v u z 2∂∂∂+v z y 1222∂∂22x z ∂∂)-y 2(x 2u z 22∂∂-v u zy 2x 222∂∂∂+v z y x 2242∂∂+vz y 2x 3∂∂)=0,化简得：2xy v u z 2∂∂∂=v z ∂∂, 即2u v u z 2∂∂∂=vz∂∂.6、设函数u=u(x,y)由方程组u=f(x,y,z,t), g(y,z,t)=0, h(z,t)=0所确定，求x u ∂∂,yu∂∂. 解：方程组关于x 求偏导数得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂∂+∂∂+=∂∂0x t h x z h 0x tg xz g x t f x z f f x ut z t zt z x , 解得：x u ∂∂=f x ; 方程组关于y 求偏导数得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂0y t h y z h 0y tg y z g g y t f y z f f y u t z t zy t z y ,解得：y u∂∂=f y + ⎝⎛∂∂ t),z ( f) ,h (/⎪⎪⎭⎫∂∂)t (z,)h (g,g y .7、设u=u(x,y,z), v=v(x,y,z)和z=z(s,t), y=y(s,t), z=z(s,t)都有连续的一阶偏导数，证明：)t (s,v)u,(∂∂=)t (s,)y (x ,)y (x ,v)u,(∂∂∂∂+)t (s,)z (y,)z (y,v)u,(∂∂∂∂+)t (s,)x (z,)x (z,v)u,(∂∂∂∂. 证：原式右端=t s t s y x y xy y x x v v u u +tst s z y z yz z y y v v u u +tst s x z x z x x z z v v u u =s y s x s y s x y v x v y u x u ++ t y t x t y t x y v x v y u x u +++s z s y s z s y z v y v z u y u ++ t z t y t z t y z v y v z u y u +++s x s z s x s z x v z v x u z u ++t x t z tx t z x v z v x u z u ++=(u x x s +u y y s +u z z s )(v x x t +v y y t +v z z t )-(u x x t +u y y t +u z z t )(v x x s +v y y s +v z z s )=u s v t -u t v s =tst s v v u u =)t (s,v)u,(∂∂=左端. 8、设u=tanx y , v=sinxy. 证明：当0<x<2π, y>0时，u,v 可以用来作为曲线坐标，解出x,y 作为u,v 的函数，画出xy 平面上u=1,v=2所对应的坐标曲线，计算)y (x ,v)u,(∂∂和v)u,()y (x ,∂∂并验证它们互为倒数.证：∵u x =-xsin y2, u y =tanx 1; v x =-x sin ycosx 2, v y =sinx 1;∴)y (x ,v)u,(∂∂=yx y x v v u u =-sinxy. 当0<x<2π, y>0时，u x , u y , v x , v y 都连续，且)y (x ,v)u,(∂∂<0, 由反函数组定理， 知存在反函数组x=x(u,v), y=y(u,v)，从而u,v 可以用作为曲线坐标. 由u=tanx y , v=sinx y 得，x=arccos vu , y=22u -v . u=1, v=2分别对应xy 平面上坐标曲线y=tanx, y=2sinx, 如图.又)v (u,y)x ,(∂∂=2222222u -v v u -v u-v u -1v u v u -1v 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-v 1=-y sinx 与)y (x ,v)u,(∂∂=-sinx y 互为倒数.9、将以下式中的(x,y,z)变换成球面坐标(r,θ,φ)的形式：△1u=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2z u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂, △2u=22x u ∂∂+22y u ∂∂+22z u ∂∂. 解：将⎪⎩⎪⎨⎧===rcos θz sin φ rsin θy cos φ rsin θx 看成由⎪⎩⎪⎨⎧===z z ρsinφy ρcosφx ①和⎪⎩⎪⎨⎧===φφrsin θρrcos θz ②复合而成. 对变换①有2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2z u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2ρu ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+22φu ρ1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2z u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂; 对变换②有2ρu ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2z u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+22φu ρ1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2r u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+222φu θsin r 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂; ∴△1u=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2z u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2r u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+222φu θsin r 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂. 又对变换①有22x u ∂∂+22y u ∂∂+22z u ∂∂=22ρu ∂∂+ρu ρ1∂∂+222φu ρ1∂∂+22z u ∂∂; 对变换②有22ρu ∂∂+22z u ∂∂=22r u ∂∂+r u r 1∂∂+222θu r 1∂∂; ∵r=22z ρ+,θ=arctan z ρ, ∴ρu ∂∂=ρr r u ∂∂∂∂+ρθθu ∂∂∂∂=r ρr u ⋅∂∂+2r z θu ⋅∂∂=sin θr u ∂∂+θu r cos θ∂∂;∴△2u=22x u ∂∂+22yu ∂∂+22z u ∂∂=22r u ∂∂+r u r 2∂∂+222θu r 1∂∂+θu sin θr cos θ2∂∂+2222φu θsin r 1∂∂.10、设u=2r x , v=2r y , w=2rz , 其中r=222z y x ++. (1)试求以u,v,w 为自变量的反函数组. (2)计算)z y,(x ,w)v,u,(∂∂. 解：(1)∵u 2+v 2+w 2=4222r z y x ++=2r 1, ∴r 2=222wv u 1++; ∴x=ur 2=222w v u u ++, y=vr 2=222w v u v ++, y=wr 2=222w v u w ++. (2))z y,(x ,w)v,u,(∂∂=422444422444422r z 2r r 2yz r 2xz r 2yz r y 2r r 2xy r 2xz r 2xy r x 2r ---------=-6r 1.。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)-第十八章至第二十章(圣才出品)
（18-2）
则可使上述切平面存在，并满足与 z＝0 相交成直线的要求．
图 18-1
由此可见，条件（18-2）对于隐函数的存在性是很重要的．
3．隐函数定理
（1）隐函数存在惟一性定理
若函数 F（x，y）满足下列条件：
①F 在以
为内点的某一区域
上连续；
②
（通常称为初始条件）；
③F 在 D 内存在连续的偏导数
与之相对应，由此所产生的新映射称为映射 T 的逆映射（逆变换），记作 ，即
或 亦即存在定义在 B′上的一个函数组
把它代入（18-4）而成为恒等式：
这时又称函数组（18-5）是函数组（18-4）的反函数组．
（2）反函数组定理
设函数组（18-4）及其一阶偏导数在某区域
上连续，点
点，且
（18-5） （18-6） 是 D 的内
则在点
的某一邻域
上存在惟一的一组反函数（18-5），使得
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且当
时，有
以及恒等式（18-6）此外，反函数组（18-5）在
上存在连续的一阶偏导数，且
三、几何应用 1．平面曲线的切线与法线 设平面曲线由方程
（18-7）
，在
上，方程组（18-3）
惟一地确定了定义在点
的某一（二维空间）邻域
上的两个二元隐函
数
使得
且当
时，
（2） （3）
在
上连续；
在
上有一阶连续偏导数，且
3．反函数组与坐标变换 （1）设函数组
（18-4）
是定义在 xy 平面点集 平面上惟一的一点
上的两个函数．对每一点
数学分析(下)18-1隐函数
江西财经大学统计学院隐函数是函数关系的另一种表现形式.讨论隐函数的存在性、连续性与可微性,不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.§1隐函数返回四、隐函数求导数举例一、隐函数概念二、隐函数存在性条件分析三、隐函数定理一、隐函数概念江西财经大学统计学院则成立恒等式.,0))(,(I x x f x F κR,,I J x I ÌÎ若存在、使得对任一有惟一确定的y J Î与之对应, 能使(,),x y E Î且满足方程(1) , 则称由方程(1) 确定了一个定义在, 值域含于I J ,,,)(J y I x x f y ÎÎ=的隐函数. 如果把此隐函数记为(,)0.(1)F x y =江西财经大学统计学院122=+y x 取值范围取值范围．．例如由方程可确定如下两个函数个函数：：注2不是任一方程都能确定隐函数, 0),(=y x F 例如显然不能确定任何隐函数显然不能确定任何隐函数．．0122=++y x 注1隐函数一般不易化为显函数隐函数一般不易化为显函数，，也不一定需要)(x f y =化为显函数化为显函数．．上面把隐函数仍记为，这与它能否用显函数表示无关与它能否用显函数表示无关．．注3隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的2江西财经大学统计学院二、隐函数存在性条件分析条件时条件时，，由方程(1) 能确定隐函数, 并使)(x f y =),(y x F 要讨论的问题是要讨论的问题是：：当函数满足怎样一些该隐函数具有连续该隐函数具有连续、、可微等良好性质? )(x f y =),(y x F z =(a)把上述看作曲面与坐标0=z 平面的交线的交线，，故至少要求该交集非空故至少要求该交集非空，，即),(000y x P $.)(,0),(0000x f y y x F ==，满足连续是合理的连续是合理的．．0P )(x f y =0x ),(y x F (b)为使在连续连续，，故要求在点)y=x)f(xy=(xf可导，，即曲线在(c)为使在可导江西财经大学统计学院三、隐函数定理定理18.1 ( 隐函数存在惟一性定理)设方程(1) 中),(y x F 的函数满足以下四个条件满足以下四个条件：：),(000y x P 2R ÌD (i)在以为内点的某区域上连续上连续；；(ii)( 初始条件)；0),(00=y x F D ),(y x F y (iii)在内存在连续的偏导数；00(,)0.y F x y ¹(iv) 则有如下结论成立则有如下结论成立：：江西财经大学统计学院00(),(,),y f x x x x a a =Î-+;0))(,(,)())(,(0ºÎx f x F P U x f x 在上连续上连续．．)(2x f o),(00a a +-x x 惟一地确定了一个隐函数它满足它满足：：00()f x y =),(00a a +-Îx x x , 且当时, 使得证首先证明隐函数的存在与惟一性首先证明隐函数的存在与惟一性．．证明过程归结起来有以下四个步骤( 见图18－1 )：D P U Ì)(0)(0P U 存在某邻域，在内由方程(1)1+yy(a) “一点正, 一片正 ” 由条件 (iv), 不妨设Fy ( x0 , y0 ) > 0. 因为 Fy ( x, y) 连续，所以根据保号性，$ b > 0 , 使得yy0 +by0y0 - bS ++ ++ + ++++++++++++++·+++++++++++++++++++++O x0-b x0 x0 +b x(a) 一点正,一片正Fy(x, y) > 0, (x, y)Î S,其中 S = [ x0 - b , x0 + b ] ´[ y0 - b , y0 + b ] Ì D.江西财经大学 统计学院(b) “正、负上下分 ”因 Fy ( x, y) > 0, ( x, y)Î S , 故 " x Î[ x0 - b , x0 + b ], 把 F ( x, y) 看作 y 的函数，它在 [ y0 - b , y0 + b ] 上严格增，且连续 ( 据条件 (i) )． 特别对于函数 F ( x0, y), 由条 件 F ( x0, y0 ) = 0 可知F ( x0 , y0 + b ) > 0,y+y0 +b·＋＋＋y0___· 0y0 - b_·O x0-b x0 x0 +b x(b) 正、负上下分F ( x0 , y0 - b ) < 0.江西财经大学 统计学院(c) “同号两边伸”因为 F ( x, y0 - b ) , F ( x, y0 + b ) 关于 x 连续，故由(b) 的结论，根据保号性，$a (0 < a £ b ), 使得F ( x, y0 + b ) > 0 , F ( x, y0 - b ) < 0 , x Î( x0 - a , x0 + a ). (d) “利用介值性”y y0+by0＋＋·＋＋·y0- b· － － － －O x0-a x0 x0+a x(c) 同号两边伸" xˆ Î ( x0 - a , x0 + a ) , 因 F ( xˆ , y) 关于 y 连续, 且严格增，故由 (c) 的结论，依据介值性定理, 存在惟江西财经大学 统计学院一的 yˆ Î ( y0 - b , y0 + b ), 满足 F ( xˆ , yˆ ) = 0. 由 xˆ 的任意性, 这 就证得存在惟一的隐函数:y = f ( x),ìï x Î I = ( x0 - a , x0 + a ), í ïî y Î J = ( y0 - b , y0 + b ).yy0 + by0· ＋＋＋＋ U (P0 )·y0 - by = f (x) ·－－－－O x0-a x0 x0+a x(d) 利用介值性若记 U (P0 ) = I ´ J , 则定理结论 1o 得证．下面再来证明上述隐函数的连续性:即 " x Î ( x0-a , x0+a ) , 欲证上述 f ( x) 在 x 连续.江西财经大学 统计学院如图 18－2 所示, "e > 0, 取ye 足够小，使得y0 +b y +e.＋＋＋＋y0 - b £ y - e < y + e £ y0 + b ,y.P.0其中 y = f ( x). 由 F ( x, y) 对 y 严格增，而y -e y0 -b.－－－－O x-d x x +dxF ( x, y) = 0,图 18－2推知F(x, y-e )< 0 , F(x, y+e )> 0 .类似于前面 (c) ，$d > 0, 使得江西财经大学 统计学院( x - d , x + d ) Ì ( x0 - a , x0 + a ), 且当 x Î ( x - d , x + d ) 时，有F(x, y -e ) < 0, F(x, y + e ) > 0. 类似于前面 (d) ，由于隐函数惟一，故有y -e < f (x) < y + e , xÎ(x -d , x +d ), 因此 f ( x) 在 x 连续. 由 x 的任意性, 便证得 f ( x) 在 ( x0-a , x0+a ) 上处处连续．江西财经大学 统计学院注1 定理 18.1 的条件 (i) ～ (iv) 既是充分条件, 又是一组十分重要的条件. 例如： ① F ( x, y) = y3 - x3 = 0, Fy (0,0) = 0, 在点 (0, 0) 虽 不满足条件 (iv)，但仍能确定惟一的隐函数 y = x. ② F ( x , y) = ( x2 + y2 )2 - x2 + y2 = 0 (双纽线), 在点 (0, 0) 同样不满足y条件 (iv); 如图18－3 所示, 在该点无论多Ox么小的邻域内, 确实图 18－3江西财经大学 统计学院不能确定惟一的隐函数. 注 2 条件 (iii) 、 (iv) 在证明中只是用来保证在邻 域 U (P0 ) 内 F ( x, y) 关于 y 为严格单调．之所以采 用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验， 二则是在后面的定理 18.2 中它们还将起到实质性 的作用． 注3 读者必须注意, 定理 18.1 是一个局部性的隐 函数存在定理．例如从以上双纽线图形看出: 除了 (0,0), (1, 0), (-1, 0) 三点以外, 曲线上其余各点处都江西财经大学 统计学院存在局部隐函数 y = f ( x) ( 这不难用定理 18.1 加 以检验，见后面第四段的例１)． 注4 在方程 F ( x, y) = 0 中, x 与 y 的地位是平等 的. 当条件 (iii) 、 (iv) 改为“ Fx ( x, y) 连续, 且 Fx ( x0 , y0 ) ¹ 0 ” 时，将存在局部的连续隐函数 x = g( y).江西财经大学 统计学院定理 18.2 ( 隐函数可微性定理 ) 设函数 F ( x, y) 满足定理 18.1 中的条件 (i) ～ (iv), 在 D 内还存在连续的 Fx ( x, y) . 则由方程 F ( x , y ) = 0 所确定的隐 函数 y = f ( x) 在 I 内有连续的导函数，且f ¢( x) = - Fx ( x, y) , ( x, y) Î I ´ J .(2)Fy(x, y)( 注: 其中I = ( x0 - a , x0 +a ) 与 J = ( y0 - b , y0 + b )示于定理18.1 的证明 (d) ).江西财经大学 统计学院江西财经大学统计学院()()y f x ,y y f x x J.=+D =+D Î.0),(,0),(=D +D +=y y x x F y x F 使用微分中值定理,使得,)10(<<$q q 0(,)(,)F x x y y F x y =+D +D -,,I x x x ÎD +证设则由条件易知F 可微可微，，并有(,)y F x x y y y,q q ++D +D D (,)x F x x y y xq q =+D +D D),(y y x x F y D +D +D q qF)x(y,存在二阶连续偏导数时，，所得隐函注1 当存在二阶连续偏导数时注2 利用公式(2) , (3) 求隐函数的极值:江西财经大学统计学院设在以点为内点的某区域上,),,(0000z y x P 3R ÌD ,0),,(000=z y x F .0),,(000¹z y x F z 则存在某邻域在其内存在惟一的在其内存在惟一的、、连,)(0D P U Ì续可微的隐函数，且有),(y x f z =注3由方程0),,(=z y x F (5)),(y x f z =确定隐函数的相关定理简述如下的相关定理简述如下：：F 的所有一阶偏导数都连续的所有一阶偏导数都连续，，并满足F江西财经大学统计学院0)(22222=+-+y x y x 解令它有连续的,)(),(22222y x y x y x F +-+=.2)(4,2)(42222y y x y F x y x x F y x ++=-+=求解分别得到,0),(0),(0),(0),(îíì==îíì==y x F y x F y x F y x F y x 与四、隐函数求导数举例例1 试讨论双纽线方程()().y f x x g y ==或所能确定的隐函数2 6224)－4由公式(2) 求得22=¢y类似于例1 的方法, 求出曲线上使的点为对方程两边微分，，得解法1 ( 形式计算法) 对方程两边微分因此在点P附近能惟一地确定连续可微的隐函数yfyxF(8) =x-()),(=.0(,)z z x y =(,)0F x z y z --=例5 设是由方程复习思考题4. 试对例3 的两种解法(形式计算法与隐函数法) 作一比较, 指出两者各有哪些优缺点? 江西财经大学统计学院江西财经大学统计学院作业P162：3（1）（3）（5）；5。
数学分析18隐函数定理及其应用总练习题
第十八章 隐函数定理及其定理总练习题1、方程：y 2-x 2(1-x 2)=0在哪些点的邻域内可惟一地确定连续可导的隐函数y=f(x).解：由y 2=x 2(1-x 2)知1-x 2≥0, ∴|x|≤1; 且y 2=x 2(1-x 2)≤22221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x =41, ∴|y|≤21. 记F=y 2-x 2(1-x 2), 则F, F x =2x 3-2x(1-x 2)=4x 3-2x, F y =2y; 由F y ≠0得y ≠0, 即x ≠0且x ≠±1. 令D={(x,y)||x|≤1,|y|≤21且y ≠0 }, 则F 在D 内每一个邻域内有定义, 且F, F x , F y 在D 上处处连续. 又由F(x,y)=0, F y ≠0知 原方程在D 上唯一确定隐函数y=f(x).2、设函数f(x)在区间(a,b)内连续，函数φ(y)在区间(c,d)内连续，而且φ’(y)>0, 问在怎样条件下，方程φ(y)=f(x)能确定函数y=φ-1(f(x)). 并研究例子(1)siny+shy=x; (2)e -y =-sin 2x.解：记F(x,y)=φ(y)-f(x), 由F y =φ’(y)>0知, 若f[(a,b)]∩φ[(c,d)]≠Ø, 就存在点(x 0,y 0), 满足F(x 0,y 0)=0, 即 可在(x 0,y 0)附近确定隐函数y=φ-1(f(x)).(1)设f(x)=x, φ(y)=siny+shy, 由f,φ在R 上连续且φ’(y)=cosy+chy>0, 又 f(R)∩φ(R)=R ≠Ø, ∴原方程可确定函数y=y(x). (2)∵f(x)=-sin 2x ≤0, φ(y)=e -y >0, ∴f(R)∩φ(R)=Ø, ∴原方程不能确定函数y=y(x).3、设f(x,y,z)=0, z=g(x,y), 试求dx dy ,dxdz . 解：对方程组f(x,y,z)=0, z=g(x,y)关于x 求导得： f x +f y dx dy +f z dx dz =0, dx dz =g x +g y dx dy , 解得：dx dy =-yz y x z x g f f g f f ++; dx dz =y z y y x x y g f f gf g f +-.4、已知G 1(x,y,z), G 2(x,y,z), f(x,y)都可微，g i =G i (x,y,f(x,y)), i=1,2.证明：),(),(21y x g g ∂∂=zyxz y xy xG G G G G G f f 2221111--. 证：∵g 1x =G 1x +G 1z f x , g 1y =G 1y +G 1z f y ; g 2x =G 2x +G 2z f x , g 2y =G 2y +G 2z f y∴),(),(21y x g g ∂∂=yx y xg g g g 2211=(G 1x +G 1z f x )(G 2y +G 2z f y )-(G 1y +G 1z f y )(G 2x +G 2z f x )=G 1x G 2y +G 1x G 2z f y +G 1z G 2y f x -G 1y G 2x -G 1y G 2z f x -G 1z G 2x f y =zyxz y xy xG G G G G G f f 2221111--.5、设x=f(u,v,w), y=g(u,v,w), z=h(u,v,w), 求x u ∂∂,y u ∂∂,zu ∂∂. 解：方程组对x 求导得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂001x w h x v h xu h x wg x v g xu g x w f x v f x uf w v u w v uw v u , 解得：x u ∂∂=),(),(w v h g ∂∂/),,(),,(w v u h g f ∂∂. 同理可得： y u ∂∂=),(),(w v f h ∂∂/),,(),,(w v u h g f ∂∂;z u ∂∂=),(),(w v g f ∂∂/),,(),,(w v u h g f ∂∂.6、试求下列方程所确定的函数的偏导数x u ∂∂,yu ∂∂. (1)x 2+u 2=f(x,u)+g(x,y,u); (2)u=f(x+u,yu). 解：(1)方程两边对x 求导得：2x+2u x u ∂∂=f x +f u x u ∂∂+g x +g u xu ∂∂, 解得：x u ∂∂=uu x x g f u xg f ---+22; 两边对y 求导得：2u y u ∂∂=f u y u ∂∂+g y +g u y u ∂∂,解得：y u∂∂=uu y g f u g --2.(2)方程两边对x 求导得：x u ∂∂=f 1(1+x u ∂∂)+yf 2x u ∂∂, 解得：x u∂∂=2111yf f f --; 两边对y 求导得：y u ∂∂=f 1y u ∂∂+ f 2(u+y y u ∂∂), 解得：y u ∂∂=2121yf f uf --.7、据理说明：在点(0,1)近旁是否存在连续可微的f(x,y)和g(x,y), 满足f(0,1)=1, 且g(0,1)=-1, 且[f(x,y)]3+xg(x,y)-y=0, [g(x,y)]3+yf(x,y)-x=0.解：设⎩⎨⎧=-+==-+=0),,,(0),,,(33x yu v v u y x G y xv u v u y x F , 则 (1)F,G 在以P 0(0,1,1,-1)为内点的R 4内连续; (2)F,G 在R 4内具有连续一阶偏导数; (3)F(P 0)=0, G(P 0)=0;(4)),(),(P v u G F ∂∂=02233P v y xu =9≠0.由隐函数组定理知，方程组在P 0附近唯一地确定了在点(0,1)近旁连续可微的两个二元函数u=f(x,y),v=g(x,y). 满足f(0,1)=1, g(0,1)=-1且 [f(x,y)]3+xg(x,y)-y=0, [g(x,y)]3+yf(x,y)-x=0.8、设(x 0,y 0,z 0,u 0)满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)()()()()()()()()()()()(u H z h y h x h u G z g y g x g u F z f y f x f ,这里所有的函数假定有连续的导数.(1)说出一个能在该点邻域上确定x,y,z 为u 的函数的充分条件； (2)在f(x)=x, g(x)=x 2, h(x)=x 3的情形下，上述条件相当于什么？解：(1)设⎪⎩⎪⎨⎧=-++==-++==-++=0)()()()(),,,(0)()()()(),,,(0)()()()(),,,(u H z h y h x h u z y x H u G z g y g x g u z y x G u F z f y f x f u z y x F , 则F ,G ,H ,在R 4内连续且具有一阶连续偏导数； F (x 0,y 0,z 0,u 0)=0,G (x 0,y 0,z 0,u 0)=0,H (x 0,y 0,z 0,u 0)=0, 当),,(),,(P z y x H G F ∂∂≠0时，原方程组能在P 0(x 0,y 0,z 0,u 0)邻域内确定x,y,z 作为u 的函数.(2)上述条件相当于2022000111z y x z y x ≠0, 即x 0,y 0,z 0两两互异.9、求由下列方程所确定的隐函数y=f(x)的极值. (1)x 2+2xy+2y 2=1；(2)(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2) (a>0).解：(1)令F(x,y)=x 2+2xy+2y 2-1, 则F x =2x+2y, F y =2x+4y, 令dx dy =-yx y x 4222++=0, 有x=-y, 代入原方程得：x 2-2x 2+2x 2=1, 解得x=±1.∴隐函数y=f(x)有稳定点±1, 且f(1)=-1, f(-1)=1.又22dxy d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++x y x y x y x 2)(2)2(122. 从而)1,1(22-dxyd =1>0, )1,1(22-dx yd =-1<0,∴当x=1时有极小值-1, x=-1时有极大值1. (2)(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2) (a>0).令F(x,y)=(x 2+y 2)2-a 2(x 2-y 2), 则F x =4x(x 2+y 2)-2a 2x, F y =4y(x 2+y 2)+2a 2y,令dx dy =-ya )y +2y(x x a -)y +2x(x 222222+=0, 有x=0或y 2=2a 2-x 2.当x=0时，y=0, F y =0, 不符合题意，舍去.将y 2=2a 2-x 2代入原方程得：4a 4=a 2(2x 2-2a2), 解得x=±83a.又f(83a)=±81a, f(-83a)=±81a. ∴隐函数y=f(x)的稳定点有： P 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a 81,83, P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 81,83, P 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 81,83, P 4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a 81,83. 由22dx y d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =-[]2222222222ya )y +2y(x y]a )y +][2y(x a -)y 2y 2x(2x )y +[2(x ++'++ +[]2222222222ya )y +2y(xx]a -)y +][2x(x y a )y 2y 2y(2x )y +(x y [2+'+'++',且在稳定点P i (i=1,2,3,4)均有x 2+y 2=2a 2及y ’(P i )=0，代入上式有：i P dx y d 22=-iP y a 2x 22, 即22dx y d 与y 异号, ∴ia a dx yd ⎪⎪⎭⎫⎝⎛±81,8322<0, ia a dxyd ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±81,8322>0,即在点P 1, P 3取得极大值a 81,在点P 2, P 4取得极小值-a 81.10、设y=F(x)和函数x=φ(u,v), y=ψ(u,v), 那么由方程ψ(u,v)=F(φ(u,v))可以确定函数v=v(u). 试用u,v, du dv , 22du v d 表示dx dy , 22dxyd .解：由x=φ(u,v), y=ψ(u,v), ∴dx dy =u u ∂∂∂∂ϕψ=dudv du dvvu vu ϕϕψψ++. 于是 22dx y d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++du dv du dv du v d du dv du dv du dv v u v u v vv vu uv uu ϕϕϕϕψψψψψ -222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+du dv du v d du dv du dv du dv du dv v u v vv vu uv uu v u ϕϕϕϕϕϕϕψψ.11、试证：二次型f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+2Dyz+2Ezx+2Fxy 在单位球面x 2+y 2+z 2=1上的最大值和最小值恰好是矩阵φ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛C D E D B F E F A 的最大特征值和最小特征值.试：记L(x,y,z,λ)=Ax 2+By 2+Cz 2+2Dyz+2Ezx+2Fxy-λ(x 2+y 2+z 2-1), 列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==-++==-++==-++=④1③02222②02222①02222222z y x L z Dy Cz Ex L y Dz By Fx L x Ez Fy Ax L z y xλλλλ, 由①x+②y+③z 得：Ax 2+By 2+Cz 2+2Dyz+2Ezx+2Fxy-λ(x 2+y 2+z 2)=0, 又由④得f(x,y,z)=λ.由①,②,③知λ是对称矩阵φ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D E D B F E F A 的特征值.又f 在有界闭集{f(x,y,z)|x 2+y 2+z 2=1}上连续，∴有最大值,最小值存在. ∴最大值和最小值恰好是矩阵φ的最大特征值和最小特征值.12、设n 为正整数, x,y>0. 用条件极值方法证明：2n n y x +≥ny x ⎪⎭⎫⎝⎛+2.证：记L(x,y,λ)=2n n y x ++λ(x+y-a), 列方程组得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+==+==+=--a y x L ny L nx L n y n x λλλ020211, 解得：x=y=2a. ∵当x →∞或y →∞时, 2n n y x +→∞,∴2n n y x +必在唯一的稳定点(2a ,2a )处取得最小值na ⎪⎭⎫⎝⎛2, 即2n n y x +≥na ⎪⎭⎫ ⎝⎛2=ny x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2.13、求出椭球22a x +22by +22c z =1在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积.解：椭球面上任一点(x,y,z)处的切平面方程为：22a x (X-x)+22b y (Y-y)+22cz(Z-z)=0, 切平面在坐标轴上的截距分别为：x a 2,y b 2,zc 2. 则椭球面在第一卦限部分上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积为V=xyzc b a 6222. ∴问题转化为求函数V 在条件22a x +22by +22c z =1 (x>0,y>0,z>0)下的最小值. 记L(x,y,z,λ)=xyz c b a 6222+λ(22a x +22by +22c z -1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==+-==+-==+-=01026026026222222222222222222222cz b y a x L cz xyz c b a L b yz xy c b a L axyz x c b a L z x x λλλλ, 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===333c z b y a x ,∴最小体积V m =abc c b a 6)3(3222=23abc.14、设P 0(x 0,y 0,z 0)是曲面F(x,y,z)=1的非奇异点，F 在U(P 0)可微，且为n 次齐次函数.证明：此曲面在P 0处的切平面方程为：xF x (P 0)+yF y (P 0)+ zF z (P 0)=n. 证：∵F 为n 次齐次函数, 且F(x,y,z)=1，∴xF x +yF y +zF z =nF=n. 曲面在P 0处的切平面方程为：F x (P 0)(x-x 0)+F y (P 0)(y-y 0)+F z (P 0)(z-z 0)=0 即xF x (P 0)+yF y (P 0)+ zF z (P 0)=x 0F x (P 0)+y 0F y (P 0)+ z 0F z (P 0)=n, 得证！。
数学分析第十八章隐函数定理及其应用
F (x, y0 ) 0, F (x, y0 ) 0.
A’ +++++++B’
P0
A−−−−−−−B
如图，在矩形ABBA的AB边上F 0, AB上F 0,因此,
x (x0 , x0 ), 唯一y ( y0 , y0 )使F (x, y) 0. 即方程F (x, y) 0唯一地确定了定义在区间(x0 , x0 )
2. 若F在点P0可微,且 (Fx (P0 ), Fy (P0 )) (0,0),
则z F (x, y)在点P0的切平面与z 0相交于直线l. 从而 z F (x, y) 在点P0与z 0相交成平面曲线.
若要求y f (x)可微, 则由链式法则
Fx
(P0
)
Fy
(P0
)
dy dx
定理 18.3 若满足下列条件 :
(i) F (x1,, xn, y)在以P0 (x10,, xn0, y0 )为内点的区域D Rn1上连续, (ii) F (x10,, xn0, y0 ) 0, (iii) 偏导数Fx1,, Fxn , Fy在D内存在且连续, (iv) Fy (x10,, xn0, y0 ) 0, 则在点P0的某邻域U (P0 ) D内，方程F (x1,, xn, y) 0唯一地确定了 一个定义在Q0 (x10,, xn0 )的某邻域U (Q0 ) Rn内的n元连续函数(隐函数), y f (x1,, xn ),使得 1）当 (x1,, xn ) U (Q0 )时, (x1,, xn, f (x1,, xn )) U (P0 ), 且
4z
§18.2 隐函数组 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件
*点击以上标题可直接前往对应内容隐函数组概念设有一组方程(,,,)0,(1)(,,,)0,F x y u vG x y u v =⎧⎪⎨=⎪⎩则称由(1) 确定了隐函数组之对应, 其中定义在4R .V ⊂F G 与使得对于任给的(,),x y D ∈()u,v E 与∈有唯一的(,),(,),(,),(,),u u x y x y D u v E v v x y =⎧⎪∈∈⎨=⎪⎩后退前进目录退出2,R ,D E ⊂若存在(,,,),(1),x y u v V ∈且满足方程组能使并有(,,(,),(,))0,(,).(,,(,),(,))0,F x y u x y v x y x y DG x y u x y v x y ≡⎧⎪∈⎨≡⎪⎩关于隐函数组的一般情形( 含有m + n 个变量的m 个方程所确定的n 个隐函数)，细讨论．首先来看看, 若由方程组(1) 能确定两个可微的隐函数(,)(,),u u x y v v x y ==与足何种条件呢? 在本章不作详G F 、应满则函数不妨先设都可微, 由复合求导法, 通过对(1)G F 、分别求关于x 与关于y 的偏导数, 得到0,(2)0;x u x v x x u x v x F F u F v G G u G v ++=⎧⎨++=⎩0,(3)0.y u y v y y u y v y F F u F v G G u G v ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩能由(2) 与(3) 唯一解出的充要),(),(y y x x v u v u 与条件是雅可比( Jacobi ) 行列式不等于零，即def 0.(4,)()(,)u v u v F F F G J G G u v ∂=≠==∂由此可见，只要具有连续的一阶偏导数，G F 、其中是满足(1) 的某一,00≠P J 00000(,,,)P x y u v 初始点, 内(4)式成立．根据以上分析, 便有雅可比（Jacobi, C.G.J.1804-1851,德国）下述隐函数组定理.且,)(0P U ∃则由保号性定理，使得在此邻域定理18.4（隐函数组定理）隐函数组定理(i) 在以点为内点的某区域上连续;),,,(00000v u y x P 4R V ⊂(ii) (初始条件);0)()(00==P G P F (iii) 在V 内存在连续的一阶偏导数；(iv).0),(),(00≠∂∂=P P v u G F J 满足下列条件：设方程组(,,,)0,(,,,)0,F x y u vG x y u v =⎧⎪⎨=⎪⎩则有如下结论成立：定理18.4（隐函数组定理）⎩⎨⎧∈∈==;)(),(,)(),(,),(,),(00W U v u Q U y x y x v v y x u u (,,(,),(,))0,(,,(,),(,))0,F x y u x y v x yG x y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩.)(),(0Q U y x ∈且满足000000(,),(,)u u x y v v x y ==以及1必定存在邻域,)()()(000V W U Q U P U ⊂⨯=其中()()0000000(,),(,),1Q x y W u v U P ==使得在上方程()0U Q 唯一确定了定义在上的两个二元隐函数.定理18.4（隐函数组定理）2o(,),(,)u x y v x y 在上连续. 0()U Q 3o(,),(,)u x y v x y 在上存在一阶连续偏导数, 且有0()U Q ∂∂⎧=-⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩1(,),(,)1(,).(,)v F G x J u x v F G y J u y ∂∂⎧=-⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩1(,),(,)1(,);(,)u F G x J x v u F G y J y v 本定理的详细证明从略( 第二十三章有一般隐函数定理及其证明), 下面只作一粗略的解释:①由方程组(1) 的第一式确定隐(,,,)0F x y u v =函数(,,),u x y v ϕ=且有,,.x x u y y u v v u F F F F F F ϕϕϕ=-=-=-(,,)(,,(,,),)0.H x y v G x y x y v v ϕ==(,,)u x y v ϕ=②将代入方程组(1) 的第二式, 得(,,(,))(,).u x y v x y u x y ϕ==(,),v v x y =③再由此方程确定隐函数并代回至这样就得到了一组隐函数(,),(,).u u x y v v x y ==通过详细计算, 又可得出如下一些结果:,;x x u x v u v v H G G H G G ϕϕ=+=+x v x u v x ϕϕ∂=+∂1(,);(,)y v y u F G v y J y v ϕϕ∂∂=+==-∂∂L x v x u x u u u v v F F G G F F G G ϕϕ+=--⋅==+L 1(,),(,)F G J x v ∂-∂x v x u u v F F H F F H ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭1(,)1(,),.(,)(,)v F G v F G x J u x y J u y 同理又有∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂(,,)(,,(,,),)0.H x y v G x y x y v v ϕ==(,,(,))(,).u x y v x y u x y ϕ==()()()0,18.4iv 0,,P F G y v 若将定理条件改为注∂≠∂()()()1,,,.y y u v v v u x ==能确定的隐函数组是则方程组例1 设有方程组22240,(5)50.xy yz x y yz z ++=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩0(1,2,1)P -试讨论在点的近旁能确定怎样的隐函0P 数组？并计算各隐函数在点处的导数. 2224,(,,)5(,,),xy yz F x y z x y yz z G x y z ++⎧=⎪⎨+-+=⎪⎩0P 解易知点满足方程组(5) . 设它们在上有连续的各阶偏导数. 3R 0P 在点关于所有变量的雅可比矩阵,F G再考察0x y z P x y z F F F G G G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦224.424--⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦022(,)40,(,)42P F G x y -∂==≠∂-由于042(,)80,(,)44P F G z x --∂==≠∂--024(,)0,(,)24P F G y z -∂==∂-022222P y x z yz xy x z y z ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦(),(),(),();x x z z z y y y z x x y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩与0P 因此由隐函数组定理可知, 在点近旁可以唯一地确定隐函数组:但不能肯定y , z 可否作为x 的两个隐函数.00d (,)(,)(,)d (,)P P x F G F G z y z x y ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭00d (,)(,)(,)d (,)P P y F G F G x z z x y ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩3o 0P 运用定理18.4 的结论, 可求得隐函数在点处的导数值: 00,4=-=(8)2;4-=-=00d 41(,)(,),(,)d 82(,)P P z F G F G y x y z x ⎛⎫∂∂=-== ⎪∂∂⎝⎭00d 0(,)(,)0.(,)d 8(,)P P x F G F G z y y z x ⎛⎫∂∂=-== ⎪∂∂⎝⎭⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩140.yy P x =-<*注通过详细计算, 还能求得这说明处取极大值, ()2x x y y ==-在0P 在点的任意小邻域内, 对每一个x 的值, 会有多个y 的值与之对应. 也会有多个z 的值与之对应. 0P 近旁不能唯一确定以x 作为自变量的隐函数组. 类似地, 对每一个x 的值, 从而知道所以方程组(5) 在点例2 设函数具有连续的偏导数, (,),(,)f x y g x y 2(,),(,)0u f ux v y g u x v y =+-=(,)(,)u u x y v v x y ==与是由方程组,.u v x y∂∂∂∂所确定的隐函数组. 试求x y u v x y u v F F F F G G G G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦2(,),(,),F u f ux v y G g u x v y =-+=-解设有由此计算所需之雅可比行列式: 1212212121.2u f f x f f g v g g v yg ----⎡⎤=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦121212uvx f f J g v yg --=12122xv u f f J g v yg --=-122121uy x f f J g v g --=于是求得2122122,v yg xyvf g f g =-+12212,yuvf g f g =--2221221.v g xv f g f g =-+12212,xv J yuvf g f g u +∂=-=注计算隐函数组的偏导数( 或导数) 比较繁琐, 要学懂前两例所演示的方法( 利用雅可比矩阵和这里特别需要雅可比行列式), 掌握其中的规律.“ 精心＋细心＋耐心”.反函数组与坐标变换().B T B '=象集为T 1?T -何种条件时,存在逆变换即存在(),;Q T P P B =∈B 写成点函数形式, 即为并记的设有一函数组2(,),(,),(,)(R ),(6)u u x y v v x y x y B ==∈⊂它确定了一个映射( 或变换) :(,)(,).P x y Q u v a 2:R ,T B →现在的问题是: 函数组(6) 满足(,)(,)Q u v P x y a 1((),),P T Q Q B -'=∈或1:,T B B -'→亦即存在一个函数组(,),(,),(,),(7)x x u v y y u v u v B '==∈((,),(,)),((,),(,)).u u x u v y u v v v x u v y u v ≡≡使得满足这样的函数组(7) 称为函数组(6) 的反函数组. 它的存在性问题可化为隐函数组的相应问题来处理.定理18.5（反函数组定理）为此, 首先把方程组(6) 改写为(,,,)(,)0,(8)(,,,)(,)0.F x y u v u u x yG x y u v v v x y =-=⎧⎨=-=⎩然后将定理18. 4 应用于(8) , 即得下述定理.000000(,)(,),(,),0.(,)P u v u u x y v v x y x y ∂==≠∂000(,)P x y D 导数,是的内点, 设(6) 中函数在某区域上具有连续的一阶偏2R D ⊂且2(,),(,),(,)(R )(6)u u x y v v x y x y B ==∈⊂定理18.5（反函数组定理）则在点的某邻域内, 存在唯一000(,)P u v '0()U P '000000(,),(,);x x u v y y u v ==((,),(,)),((,),(,)).u u x u v y u v v v x u v y u v ≡≡的一组反函数(7) , 使得0(,)(),u v U P '∈且当时有此外, 反函数组(7) 在内存在连续的一阶0()U P '(,)(,),(,)(,)x y F G u v J x y x y ∂∂==∂∂偏导数; 若记(,),(,),(,)(7)x x u v y y u v u v B '==∈0((,),(,))()x u v y u v U P ∈以及则有(,)(,)(,)(,)x F G F G u y x y u ∂∂∂=-∂∂∂同理又有,,.y x x x y x y x yu v u x y y v J u J v J ∂∂∂=-=-=∂∂∂(9)⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭(,)(,),(,)(,)x y F G u v J x y x y ∂∂==∂∂11,0y y x y x y y u v J J v -=-=-这里由(9) 式进一步看到:2(,)1(,)y y x xx y v u x y u v v u J -∂=∂-22(,)1.(,)x y y xx yx y x y u v u v J u v x y J J -∂===∂此式表示: 互为反函数组的(6) 与(7) , 它们的雅可比行列式互为倒数, 这和以前熟知的反函数求导公式相类似. 组(6) 的雅可比行列式看作对应物.,,,y y x x x y x y x y x yv u v u x x y y u J v J u J v J ∂∂∂∂==-=-=-∂∂∂∂于是可把一元函数的导数和函数:cos ,sin .T x r y r θθ==例3 平面上点的直角坐标与极坐标之(,)r θ(,)x y 间的坐标变换为试讨论它的逆变换.解由于因此除原点(r = 0) 外, 在其余一切点处, T 存在1:T-逆变换(,)(,)x y r θ∂=∂cos sin ,sin cos r r r θθθθ-=arccot ,0,arccot ,0.x y y x y y θ或⎧>⎪⎪=⎨⎪π+<⎪⎩arctan ,0,arctan ,0,y x x y x x θ⎧>⎪⎪=⎨⎪π+<⎪⎩22,r x y =+18.5定理同样适用于二元函数组1:T -()()(),,,,,,,,.x x u v w y y u v w z z u v w ===例4 空间直角坐标与球坐标之间(,,)x y z (,,)ρϕθsin cos ,:sin sin ,cos .x T y z ρϕθρϕθρϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩的坐标变换为( 见图18－5 ) ⋅ρ(,,)x y z yz Oθϕ图18－5(,,)(,,)x y z ρϕθ∂∂2sin ,ρϕ=由于sin cos cos cos sin sin sin sin cos sin sin cos cos sin 0ϕθρϕθρϕθϕθρϕθρϕθϕρϕ-=-222arccos ,arctan .zy x y z x ρϕθρ=++==2sin 0ρϕ≠因此在( 即除去Oz 轴上的一切点) 时, T 1:T -存在逆变换22222(0),(10)a a x t ϕϕ∂∂=>∂∂例5 设有一微分方程(弦振动方程) :(,)x t ϕ其中具有二阶连续偏导数. :,T u x at v x at =+=-坐标变换之下, 将变成何种形式? 试问此方程在(,)1,,20,(,)x x t t u v u v u v a a x t ∂===-==-≠∂d d d d d ,x t u u x u t x a t =+=+解据题意, 是要把方程(10) 变换成以u ,v 作为自变量的形式. 故T 的逆变换存在, 而且又有d =d +d u v u v ϕϕϕ依据一阶微分形式不变性, 得到并由此推知现在按此目标计算如下: 首先有d d d .v x a t =-=()d ()d ,u v u v x +a t ϕϕϕϕ+-,().x u v t u v a ϕϕϕϕϕϕ=+=-最后得到以u , v 为自变量的微分方程为2240,xx tt uv a a ϕϕϕ-==()()xx u v x u v x u v u vϕϕϕϕϕ∂∂=+++∂∂()()tt u v t u v t a u a v u vϕϕϕϕϕ∂∂=-+-∂∂xx ϕtt ϕ继续求以u , v 为自变量的与的表达式:2(2).uu uv vv a ϕϕϕ=-+2,uu vu uv vv uu uv vv ϕϕϕϕϕϕϕ=+++=++20.u vϕ∂=∂∂即数学分析第十八章隐函数定理及其应用高等教育出版社复习思考题1. 验证: 定理18.4 的结论可以写成3o 1.x y x y u v u v x y x y u u F F F F G G v v G G -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2. 验证: 由定理18.5 的(9) 式(教材中为(13) 式)1, 1.x u x v y u y v u x v x u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂∂∂∂∂可以推得。
数学分析由方程组确定的隐函数的求导法
u y v x
ux yv,
yu xv.
当 D J 0 时，
u D1 xu yv , x D x2 y2
v D2 yu xv , x D x2 y2
将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
u xv yu , y x 2 y 2
(F (F ,G ,G )) (( xy ,v ,v )) (F (F ,G ,G )) (u (u , ,xy ))
(u (u ,v ,v ))
uu xy (( F F ,G ,G ))
(u (u ,v ,v ))
vv xy (F (F ,G ,G ))
反函数组和坐标变换定理185反函数组定理设函数及其一阶偏导数在某区域上连续点则在点的某邻域内存在唯一的一组反函数使得直角坐标与极坐标间的变换为所以除原点外在一切点上都能确定出反函数组由于直角坐标与球坐标变换其jacobian行列式为所以在的一切点可唯一确定出的函数隐函数的求导法则分下列几种情况常用解法
Fu Fx Fu Fx (F ,G ) D2 ( u, x ) Gu G x Gu G x
u D1 1 ( F , G ) . J ( x, v ) x D
v D2 1 ( F , G ) . J ( u, x ) x D
并有
Fx Fv u 1 ( F , G ) G x Gv , x J ( x, v ) Fu Fv G u Gv
v 1 ( F , G ) Fu Fx x J ( u, x ) Gu G x
u 1 ( F , G ) F y Fv y J ( y, v ) G y Gv v 1 ( F , G ) Fu F y y J ( u, y ) Gu G y
高中数学(人教版)隐函数组课件
u 1 (F ,G ) y vv y L ; y J ( y, v )
§2 隐函数组
隐函数组概念
隐函数组定理
反函数组与坐标变换
隐函数组概念
隐函数组定理
反函数组与坐标变换
隐函数组概念
F ( x , y , u, v ) 0, (1) G ( x , y , u, v ) 0, 其中 F 与 G 定义在 V R 4 . 若存在 D, E R 2 , 使得对于任给的 ( x , y ) D, 有唯一的 (u, v ) E 与 之对应, 能使 ( x, y, u, v ) V , 且满足方程组 (1),
及其证明 ), 下面只作一粗略的解释:
§2 隐函数组
隐函数组概念
隐函数组定理
反函数组与坐标变换
① 由方程组 (1) 的第一式 F ( x , y , u, v ) 0 确定隐
函数 u ( x , y, v ), 且有
x Fx Fu , y Fy Fu , v Fv Fu .
P0 近旁不能唯一确定以 x 作为自变量的隐函数组.
§2 隐函数组
隐函数组概念
隐函数组定理
反函数组与坐标变换
例 2 设函数 f ( x , y ), g( x , y ) 具有连续的偏导数,
u u( x , y ) 与 v v( x , y ) 是由方程组
u f ( ux , v y ) , g( u x , v 2 y ) 0
设有一组方程
则称由 (1) 确定了隐函数组 u u( x , y ), ( x , y ) D, ( u, v ) E , v v ( x , y ),
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-隐函数定理及其应用(圣才出品)
5．设以 u，v 为新的自变量变换下列方程：
解：（1）因 所以
将
代入原方程，并化简得，
所以
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将上述
代入原方程，并化简得
即
6．设函数 u＝u（x，y）由方程组 u＝f（x，y，z，t），g（y，z，t）＝0，h（z，t） ＝0 所确定，求
解之得
3．求下列函数所确定的反函数组的偏导数：
解：（1）因
所以由反函数组定理，得
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（2）关于 x 求偏导数得
解之得
4．设函数 z＝z（x，y）是由方程组 函数，求当 u＝0，v＝0 时的 dz．
解：因
（u，v 为参量）所定义的 所以当 u＝0，v＝0 时 dz＝0．
证明：因为
所以
7．求由下列方程所确定的隐函数的偏导数：
求 z 对于 x，y 的一阶与二阶偏导数；
求
解：（1）令
，则
（2）把 z 看成 x，y 的函数，两边对 x 求偏导数，得 原方程两边关于 y 求偏导数，得
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，故
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在点（1，－1，2）的附近能否确定形如 x＝f（x），y＝g（z）的隐函数组？
解：令
则
①F，G 在点（1，－1，2）的某邻域内连续；
②F（1，－1，2）＝0，G（1，－1，2）＝0；
③
均在点（1，－1，2）的邻域内连续；
故由隐函数组定理知，在点（1，－1，2）的附近所给方程组能确定形如 x＝f（z），y ＝g（z）的隐函数组．
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§2隐函数组
隐函数组的存在性、连续性与可微性是
函数方程组求解问题的理论基础. 利用隐
函数组的一般思想, 又可进而讨论反函数
组与坐标变换等特殊问题.
一、隐函数组概念
二、隐函数组定理
三、反函数组与坐标变换
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一、隐函数组概念
设有一组方程
(,,,)0,(1)(,,,)0,F x y u v G x y u v =ìïí=ïî
则称由(1) 确定了隐函数组
之对应, 能使(,,,),(1),x y u v V Î且满足方程组其中定义在若存在2,R ,
D E Ì4R .V ÌF G 与使得对于任给的(,),x y D Î()u,v E 与Î有惟一的
(,),(,),(,),(,),u u x y x y D u v E v v x y =ìïÎÎí=ïî
并有
(,,(,),(,))0,(,).(,,(,),(,))0,F x y u x y v x y x y D G x y u x y v x y ºìïÎíºïî
关于隐函数组的一般情形( 含有m + n 个变量的m 个方程所确定的n 个隐函数)，在本章不作详细讨论细讨论．．
首先来看看, 若由方程组(1) 能确定两个可微的隐函数, 则函数(,)(,)u u x y v v x y ==与G F 、应满足何种条件呢?
不妨先设都可微, 由复合求导法, 通过对(1)G F 、分别求关于x 与关于y 的偏导数, 得到
0,
(2)0;
x u x v x x u x v x F F u F v G G u G v ++=ìí++=î0,
(3)0.
y u y v y y u y v y F
F u F v
G G u G v ++=ìïí++=ïî
能由(2) 与(3) 惟一解出的充要
),(),(v u v u 与
二、隐函数组定理
,
)(),(!,)(),(00W U v u Q U y x Î$Î"即有îíìÎÎ==;)(),(,)(),(,
),(,),(00W U v u Q U y x y x v v y x u u (,,(,),(,))0,(,,(,),(,))0,
F x y u x y v x y
G x y u x y v x y ºìíºî.)(),(0Q U y x Î则有如下结论成立则有如下结论成立：：
且满足000000(,),(,)u u x y v v x y ==以及
o
1必定存在邻域,)()()(000V W U Q U P U Ì´=其中000000(,),(,),Q x y W u v ==使得
2o
(,),(,)u x y v x y 在上连续. ()U Q
①由方程组(1) 的第一式确定隐(,,,)0F x y u v =
通过详细计算, 又可得出如下一些结果:
例1 设有方程组
22240,(5)50.xy yz x y yz z ++=ìïí+-+=ïî
2
224,
(,,)5(,,),
xy yz F x y z x y yz z G x y z ++ì=ïí+-+=ïî0(1,2,1)P -试讨论在点的近旁能确定怎样的隐函0P 数组数组？？并计算各隐函数在点处的导数. 0P 解易知点满足方程组(5) . 设
它们在上有连续的各阶偏导数. 再考察3
R ,F G
24 (,)
F G-¶
3o P
运用定理18.4 的结论, 可求得隐函数在点处
*注通过详细计算, 还能求得
例2 设函数具有连续的偏导数, (,),(,)f x y g x y
由此计算所需之雅可比行列式:
2J yuvf g f g u +¶
三、反函数组与坐标变换设有一函数组
2(,),(,),(,)(R ),(6)u u x y v v x y x y B ==ÎÌ它确定了一个映射( 或变换) :
(),;Q T P P B =ÎB 写成点函数形式, 即为并记的().B T B ¢=象集为现在的问题是: 函数组(6) 满足
T 1?T -何种条件时,
存在逆变换即存在(,)(,).
P x y Q u v a 2
:R ,T B ®
(,)(,)Q u v P x y a 1((),),
P T Q Q B -¢=Î或1:,
T B B -¢®亦即存在一个函数组
(,),(,),(,),(7)x x u v y y u v u v B ¢==Î((,),(,)),((,),(,)).u u x u v y u v v v x u v y u v ºº使得满足
这样的函数组(7) 称为函数组(6) 的反函数组. 它的存在性问题可化为隐函数组的相应问题来处理.
为此, 首先把方程组(6) 改写为
则在点的某邻域内, 存在惟一(,)P u v ¢()U P ¢
则有
由(9) 式进一步看到:
例3 平面上点的直角坐标与极坐标之(,)r q (,)x y
22
例4 空间直角坐标与球坐标之间(,,)x y z (,,)r j q
2sin0
r j¹
因此在( 即除去Oz 轴上的一切点) 时,
解据题意, 是要把方程(10) 变换成以u,v 作为自
,().x u v t u v a j j j j j j =+=-
复习思考题
作业P169：2（2）；3（2）；6。