导数在生活中的优化问题作用极大
高考数学 考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例
- 1 -考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1．（2011·安徽高考文科·Ｔ10）函数()()21n f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则n 可能是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【思路点拨】 代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案.【精讲精析】选A. 代入验证,当n=1时，)2()1()(232x x x a x ax x f +-=-=，则)143()(2+-='x x a x f ，由)143()(2+-='x x a x f =0可知，1,3121==x x ，结合图象可知函数应在（0，31）递增，在）（1,31递减，即在31=x 处取得最大值，由 ,21)311(31)31(2=-⨯⨯=a f 知a 存在. 2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R ，2)(>'x f ，则f （x ）＞2x+4的解集为（A ）（-1，1） （B ）（-1，+∞） （C ）（-∞，-1） （D ）（-∞，+∞）【思路点拨】先构造函数)42()()(+-=x x f x g ，求其导数，将问题转化为求)(x g 单调性问题即可求解． 【精讲精析】选B.构造函数)42()()(+-=x x f x g ，则=-)1(g 022)42()1(=-=+---f ，又因为2)(>'x f ，所以02)()(>-'='x f x g ，可知)(x g 在R 上是增函数，所以)42()(+>x x f 可化为0)(>x g ，即)1()(->g x g ，利用单调性可知，1->x ．选B.3．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数()()1nm f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则,m n 的值可能是- 2 -（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出)(x f 的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n 的取值.【精讲精析】选B.函数()()1nm f x ax x =-的导数11()()(1)(),m n m f x m n ax x x m n--'=-+--+则)(x f '在),0(n m m +上大于0，在)1,(n m m+上小于0，由图象可知极大值点为31，结合选项可得m=1,n=2. 二、填空题4.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值.【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值的时刻. 【精讲精析】答案：2由063)(2=-='x x x f 解得0=x 或2=x ，列表如下：∴当2=x 时，y 取得极小值.5．（2011·辽宁高考文科·Ｔ16）已知函数a x e x f x+-=2)(有零点，则a 的取值范围是 【思路点拨】先求)(x f '，判断)(x f 的单调性．结合图象找条件．本题只要使)(x f 的最小值不大于零即可．【精讲精析】选A ，)(x f '=2-x e ．由)(x f '0>得2-xe 0>， ∴2ln >x ．由)(xf '0<得，2ln <x ． ∴)(x f 在2ln =x 处取得最小值． 只要0)(min ≤x f 即可．∴02ln 22ln ≤+-a e，- 3 -∴22ln 2-≤a ．∴a 的取值范围是]22ln 2,(--∞6.（2011·江苏高考·Ｔ12）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_________【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t 的表达式，然后考虑单调性求解最值。
《导数在生活中的优化问题举例》的教学和反思
《导数在生活中的优化问题举例》的教学和反思作者：丁仕杰来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》2013年第11期摘要：利用导数解决实际应用问题是导数教学的一个难点，也是高考的热点，解决这个问题首先是要准确建模，其次是合理利用导数求最值。
本文通过容积一定的易拉罐的优化设计引导学生合理利用导数解决实际问题，并结合高考题引导学生对实际问题处理一般方法的掌握。
关键词：导数；优化；应用问题；建模中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1671—1580（2013）11—0036—02人教A版选修2-2的1.4节是《导数在生活中的优化问题举例》。
“优化问题”是现实生活中常碰到的问题，比如速度最快、距离最小、费用最低、用料最省、效率最高等。
而解决此类问题的方法多样，学生较为熟悉的是线性规划问题、二次函数最值问题或结合函数图像解决最值。
本节课的教学目标是：1.通过生活中的优化问题的学习，使学生体会导数在解决生活中的优化问题的广泛作用和强大实力，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；2.通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高，突出导数的应用研究。
本节课的难点主要有两个：难点之一是数学建模问题；难点之二是学生的“用导数求函数最值”知识是否扎实。
教材主要在最值、利润、最大容量三个方面举例说明，这三道题虽然都来自实际生活，但内容相对陈旧，而且有些问题用导数过于牵强，不能很好地吸引学生眼球。
比如例题1，海报版面尺寸的设计问题，虽然与同学平时生活联系比较紧，但从目标函数来看，S（x）=2x+512x+8x>0，只要有点不等式知识的学生都会毫不犹豫地选择均值不等式快速简洁求解，而此处再考虑用导数去求解，显然繁琐，没有必要。
对于例题2，利润最大化的问题，材料比较新颖，但所选择的模型——球形的饮料盒，在现实生活中基本上是不存在的。
而实际上，现实生活中的饮料盒，大多都是方形（纸盒）和圆柱形的（易拉罐），因此我想能不能从中选择一个更合适问题切入呢？认真思考后，发现课本P37习题A组作业第3题其实就是这样一个很好的问题：圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高和直径应该怎样选择，才能使得所用材料最省？这道题与实际生活可能更符合些，但问题不够新颖，如果直接选用此题作为例题，可能不能有效地激发学生的学习兴趣和探究欲望。
2015高考总复习数学(文)课件：4.3 导数在生活中的优化问题举例
1.求参数的取值范围 与导数相关的参数范围问题是高考中考查的一个重点，大 多给出函数的单调性，属运用导数研究函数单调性的逆向问题，
解题关键在于灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想
方法，建立关于字母参数的不等关系. 2.用导数方法证不等式 用导数证不等式的一般步骤是：构造可导函数→研究单调 性或最值→得出不等关系→整理得出结论.
故 f(x)min＝f(x)极小值＝f(1)＝0.
又
1 1 f 2 ＝1－ln2，f(2)＝－2＋ln2，
1 lne3－ln16 3 f2－f(2)＝2－2ln2＝ ， 2
∵e
3
1 1 >16，∴f2－f(2)>0，即 f2>f(2). 1 f(x)max＝f2＝1－ln2.
1＋ 1＋4a 1 1 (1) 由于 ＝ 2a ＋ 2 2a 1＋4a 1 1 a2 ＝ 2a ＋ 2 1 4 a2＋a 在
1＋ 1＋4a 1＋ 1＋4a (0，＋∞)是减函数，而 ＝1 时，a＝2，故 2a 2a >1 的解集为(0,2)，从而实数 a 的取值范围为(0,2). 1＋ 1＋4a (2)解不等式 >1，而 a>0，通过分类讨论得出实 2a 数 a 的取值范围为(0,2).
a∈R.
(1)求函数 f(x)的单调区间； (2)是否存在实数 a，使得函数 f(x)的极值大于 0？若存在， 求 a 的取值范围；若不存在，说明理由.
解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， ax2－x－1 1 f′(x)＝x－ax＋1＝－ . x 1＋x ①当 a＝0 时，f′(x)＝ x ，∵x>0，∴f′(x)>0. ∴函数 f(x)单调递增区间为(0，＋∞). ax2－x－1 ②当 a≠0 时，令 f′(x)＝0，得－ ＝0. x ∵x>0，∴ax2－x－1＝0.∴Δ＝1＋4a.
数学：1.4《生活中的优化问题举例》教案(1)(新人教A版选修2-2)
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）教学目标：1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
2． 提高将实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学过程：一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。
二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具。
利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量w （单位：L ）与汽车的速度v （单位：km/h ）之间有一定的关系，汽油的消耗量w 是汽车速度v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：（1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m ）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G 表示每千米平均的汽油消耗量，那么w G s=，其中，w 表示汽油消耗量（单位：L ），s 表示汽油行驶的路程（单位：km ）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的最小值的问题通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间有如图所示的函数关系()g f v =。
高考数学(文)一轮课件【第15讲】最值与生活中的优化问题举例
第15讲 运用导数研究函数的最值与生活中的优化 问题举例
双 向 固 基 础
3．[教材改编] 做一个容积为 256 dm3 的底面为正方形的 无盖水箱，若要使用料最省，则它的高为________dm.
[答案] 4
256 [解析] 设底面边长为 x，则高为 h＝ x2 ，其表面积为 256×4 256 2 2 S＝x ＋4× x2 ×x＝x ＋ x . 256×4 则 S′＝2x－ x2 ， 令 S′＝0， 则 x＝8.当 x<8 时， S′<0； 当 x>8 时，S′>0.所以 S 在 x＝8 时取得极小值，也是最小 256 值，用料最省，故高 h＝ ＝4(dm)． 64
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第15讲 运用导数研究函数的最值与生活中的优化 问题举例
双 向 固 基 础
[答案] (1)×
(2)√
(3)√
(4)×
(5)×
[解析] (1)函数在某区间上有极值，则不一定有最值．如 函数 f(x)＝x3－3x 在 R 上只有极值没有最值． (2)根据最值的概念知命题正确． (3)二次函数的极值也是最值． 1 (4)对于 f(x)＝ x＋x－1，f′(x)＝ ＋1≥0 在区间(0， 2 x ＋∞)上恒成立，所以 f(x)为增函数，且定义域为[0，＋∞)， 所以 f(x)的最小值为 f(0)＝－1.对于 g(x)＝ x－x－1，令 g′(x) 1 1 1 1 ＝ －1＝0，得 x＝ .当 x∈(0， )时，g′(x)>0；当 x∈( ， 4 4 4 2 x 1 ＋∞)时，g′(x)<0，所以 g(x)在区间(0，4)上是增函数，在区 间
双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题
导数与微分在实际问题中的应用
导数与微分在实际问题中的应用导数与微分是微积分的重要概念，在实际问题中有着广泛的应用。
导数描述了函数在某一点处的变化率，微分则可以用来近似计算函数在某一点附近的变化。
本文将从实际问题的角度探讨导数与微分的应用。
一、速度与加速度导数可以描述物体的速度和加速度。
以物体在直线上的运动为例，如果我们已知物体位移随时间的变化关系，可以通过对位移函数进行求导，得到速度函数。
速度函数可以告诉我们物体在不同时间点的瞬时速度。
同理，对速度函数再求导，可以得到加速度函数。
加速度函数则描述了物体在不同时间点的瞬时加速度。
通过对位移函数、速度函数和加速度函数的分析，我们可以了解物体在运动过程中的行为特点，并做出相应的预测和决策。
二、最优化问题导数与微分在最优化问题中具有重要作用。
最优化问题是指在一定约束条件下，求解使得目标函数取得极大值或极小值的问题。
经济学、工程学等领域中充满了最优化问题。
通过对目标函数求导，我们可以找到使目标函数取极值的临界点。
通过对导数的符号分析，我们可以判断这个临界点是极大值还是极小值。
此外，微分也可以帮助我们对目标函数进行逼近，在找到准确解之前提供近似解。
三、图像的研究导数与微分在研究函数的图像特性方面发挥着重要作用。
我们可以通过导数来分析函数的单调性、凹凸性以及极值点等信息。
导数的正负可以告诉我们函数的增减情况，导数的变化可以告诉我们函数的凹凸情况，导数为零的点则是函数的极值点。
微分可以用来计算函数的局部线性逼近，进一步揭示函数的特性。
通过对函数图像的分析，我们可以了解函数在不同区间上的行为，这对于解决实际问题具有指导意义。
四、物理学中的应用导数与微分在物理学中应用广泛。
经典力学中，牛顿的运动定律指出物体的加速度与作用在物体上的力成正比。
通过对物体速度函数的导数，可以求解物体的加速度。
力学中的匀速直线运动、自由落体运动等问题都可以通过导数和微分的方法进行分析和求解。
此外，导数与微分还在电磁学、热学等物理学领域中有着广泛的应用。
1.4生活中的优化问题举例(三).ppt1
半径为 6cm时,利润最大 .
y 换一个角度: 如果 我 们不用导 数工具 ,直接 从函数的图象 (图 r3 2 1.4 4)上观察,你有什么发现? f r 0.8π 3 r 从图象上容 易看出,当 r 3 时,
f 3 0,即瓶子半径是 3cm 时, 饮料的利润与饮料瓶的成本恰
解：⑴P(x) = R(x) – C(x) = – 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x2 + 60x +3275 (其中 xN 且 x[1, 20]). ⑵∵ P( x ) = – 30x2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) ∴当 1< x < 12 时, P( x ) > 0, P(x)单调递增, 当 12 <x < 20 时, P( x ) < 0 , P ( x ) 单调递减. ∴ x = 12 时, P(x)取最大值,即年建造 12 艘船时, 公司 造船的年利润最大. ⑶由 MP(x ) = – 30( x – 1) 2 + 3305 (xN 且 x[1, 20]). ∴当 1< x ≤ 20 时，MP (x)单调递减. MP (x)是减函数说明:随着产量的增加,每艘利润与前一 台比较,利润在减少.
4 3 S 3 S S 3 h h 3h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h h 3
l′ = 3
S S S S =0, ∴ h = , 当 h < 时， l ′ <0, h > 时，l′>0. 2 4 4 4 h 3 3 3
导数在解决实际问题中的作用教案
章节 1.4 课题导数在解决实际问题中的作用学习目标1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．重、难点利用导数解决生活中的一些优化问题．学法指导观察发现、启发引导、演示实验、探索交流相结合的教学方法学习过程预习检测1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为__________．2．利用导数解决优化问题的实质是____________．授课问题设置例1、海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？分析：思考1：版心面积为定值128dm2，海报的面积是否也为定值？思考2：设版心的高为x，则海报的面积为多少？海报四周空白的面积为多少？思考3：设海报四周空白的面积为S(x)，则S(x)的最简表达式如何？其定义域是什么？思考4：如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？128(4)(2)xx128(4)(2)128xxx512()28,0S x x xx达标检测题 练习2:在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?解：设箱底边长为x cm ，则箱高，260x h -= 箱子容积h x x V 2)(=26032x x -=(0＜x ＜60)．22360)('x x x V -=,02360)('2=-=x x x V 令 解得 0=x (不合题意，舍去) ,40=x 当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0. ∴函数V (x)在x=40处取得极大值,这个极大值就是函数V (x)的最大值. 答：当箱箱底边长为40cm 时,箱子容积最大,最大值为16000cm 3 . 课堂小结 主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
导数在生活中的优化问题举例含答案
生活中的优化问题举例1、如图所示，设铁路50=AB ，C B 、之间的距离为10， 现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，公路 费用为4，问在在AB 上何处修筑公路至C ，可使运费由A 至C 最省？2、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为10海里/小时，燃料费每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？3、已知B A 、两地相距200km ，一条船从A 地逆水到B 地，水速为h km /8，船在静水中的速度为()08/v v h vkm ≤<，若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当h km v /12=时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？4、已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线24x y -=在x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长。
5、扇形AOB 中，半径2,1π=∠=AOB OA ，在OA 的延长线上有一动点C ，过C 点作CD 与弧AB 相切于点E ，且与过点B 所作的OB 的垂线交于点D ，问当点C在什么位置时，直角梯形OCDB 的面积最小？6、从长为32cm 、宽为20cm 的矩形薄铁板的四角剪去边长相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？7、某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为t t 52+-(百万元)()50≤≤t(1)、若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)、现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额约为x x x 33123++-(百万元)；请设计一个资金分配方案，使公司由此获得的收益最大。
导数在生活中的应用
1导数在生活中的应用一、【课堂三维目标】1.通过本节的学习，能够利用导数的知识解决实际问题中的一些优化问题；2.通过利用导数解决实际问题的过程，体会建模思想；3.感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，培养学生分析问题、解决问题以及数学建模的能力。
二、【教学重点和难点】教学重难点：如何建立数学模型来解决实际中的优化问题三、【教学过程】活动（一）：复习回顾求函数)(xfy=在区间[]b a,上的最值的一般步骤：活动（二）：【例题精讲】生活中我们常遇到如用料最省、利润最大、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，今天就可以运用前面所学导数知识来解决一些生活中的优化问题。
活动一：导数在几何问题中的应用（面积和体积等最值）例1：在边长为cm60的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？小结：（1）利用导数解决生活中优化问题的基本思路：（2）利用导数解决优化问题的一般步骤：变式1：（2011江苏高考17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为cm60的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设xcmFBAE==（1）若广告商要求包装盒侧面积)(2cmS最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积)(3cmV最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
xx6060xx优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案解决数学模型作答1活动二：导数在经济问题中的应用 （一）费用成本等最省问题：例2：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使圆柱形金属饮料罐的容积最大？（二）利润、收益最大问题：例３：在经济学中,生产x 单位产品的成本称为成本函数,记为()x C ,出售x 单位产品的收益称为收益函数,记为()x R , ()()x C x R -称为利润函数,记为()x P .(1)设(),10005003.010236++-=-x x x x C 那么生产多少单位产品时,边际成本()x C '最低 ?(2)设()100050+=x x C ，产品的单价x p 01.0100-=，怎样定价可使利润最大？变式：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是28.0r π分，其中r 是瓶子的半径（单位是厘米），已知每出售ml 1的饮料，制造商可获利2.0分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为cm 6。
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导数在生活中的优化问题作用极大
优化问题是社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中有关求利润最大、用料最
省、效率最高等问题通常称为优化问题。
利用导数解决生活中的优化问题是的一般步骤：
（1）分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题是
中变量间函数关系式 )(xfy，根据实际问题写出定义域；
（2）求函数)(xfy=的导数)(''xfy，解方程0)('xf，得出定义域内的实根，
确定极值点；
（3）比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，得出所求函数的最大（小）值；
（4）还原到原实际问题中作答。
例1. 用总长148 m的钢条制作一个长方体容器的框架如果所制作容器的底面的一边
比另一边长05 m，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积
解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为（x+05） m，高为
4
)5.0(448.14xx
=32－2x（m）
设容积为y m3，则y=x（x+05）（32－2x）（0＜x＜16），
整理，得y=－2x3+22x2+16x
所以y′=－6x2+44x+16
令y′=0，即－6x2+44x+16=0，
所以15x2－11x－4=0
解得x=1或x=－154（不合题意，舍去）
从而在定义域（0，16）内只有x=1处使得y′=0
由题意，若x过小（接近0）或过大（接近16）时，y值很小（接近0）
因此，当x=1时，y有最大值且ymax=－2+22+16=18，
此时，高为32－2×1=12
答：容器的高为12 m时，容积最大，最大容积为18 m3
例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材
料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得2VhR，则
S(R)= 2πR2VR+ 2πR2=2VR+2πR2
令 22()VsRR+4πR=0
解得，R=32V，从而h=2VR=23()2VV=34V=23V
即 h=2R
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
例3.烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟
囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20km，其中一
座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最
小
解：不失一般性，设烟囱A的烟尘量为1，则烟囱B的烟尘量为8并设AC=)200(xx
xCB20
，
于是点C的烟尘浓度为)200()20(822xxkxky，
其中k为比例系数
332333
/
)20()80001200609(2)20(162xxxxxkxkxky
令0/y，有08000120060923xxx，
即0)4003)(203(2xx
解得在（0，20）内惟一驻点320x
由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，
在惟一驻点320x处，浓度y最小，即在AB间距A处km320处的烟尘浓度最小
例4．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函
数关系式为qp8125．求产量q为何值时，利润L最大？
分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量
q
的函数关系式，再用导数求最大利润．
解：收入211252588Rqpqqqq，
利润221125(1004)2110088LRCqqqqq(0100)q
1
214Lq
令0L，即12104q，求得唯一的极值点84q
答：产量为84时，利润L最大
例5.某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提
高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的
产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?
解法一 设相同的时间内,生产第x(x∈N*,1≤x≤10)档次的产品利润y最大.
依题意,得y=［8+2(x-1)］［60-3(x-1)］
=-6x2+108x+378
=-6(x-9)2+864(1≤x≤10),
显然,当x=9时,ymax=864(元),
即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元.
解法二 由上面解法得到y=-6x2+108x+378.
求导数,得y′=-12x+108.
令y′=-12x+108=0,
解得x=9.因为x=9∈［1,10］,y只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产
第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.
总之，利用导数解决实际问题是应注意：
（1） 利用导数解决实际问题，关键在于建立适当的数学模型（即函数关系）。
（2） 确定函数定义域是求解的关键，就注意把不符合实际意义的值舍去。
（3）