高考数学试题解析 之专题14 复数 推理与证明 教师版 文
2024年高考数学(文)真题专练目录
第十九讲三视图以及表面积体积
第二十讲空间点线面的位置关系
专题09解析几何
第二十一讲直线与圆
第二十二讲椭圆
第二十三讲双曲线
第二十四讲抛物线
专题10概率与统计
第二十五讲统计初步
第二十六讲回归分析与独立性检验
第二十七讲概率
专题11算法初步
第二十八讲算法与程序框图
专题12推理与证明
第二十九讲推理与证明
专题13复数
第三十讲复数
专题14坐标系与参数方程
第三十一讲坐标系与参数方程
专题15基本不等式选讲
第三十二讲不等式选讲
2024年高考数学（文）真题专练目录
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五年真题热点练
专题01集合与常用逻辑用语
第一讲集合
第二讲常用逻辑用语
专题02函数及基本初等函数
第三讲函数的概念与性质
第四讲三种基本初等函数
第五讲函数与方程
第六讲函数的综合及其应用
专题数及其应用
第七讲导数的计算以及几何意义
第八讲导数的综合应用
专题04三角函数与解三角形
第九讲三角函数恒等变换
第十讲三角函数的图象以及性质
第十一讲解三角形
专题05平面向量
第十二讲平面向量的概念及运算
第十三讲向量的应用
专题06数列及其应用
第十四讲递推数列与数列求和
第十五讲数列的综合应用
专题07不等式及其应用
第十六讲不等式的性质与一元二次不等式
第十七讲二元一次不等式(组)与线性规划
第十八讲不等式的综合利用
高二数学推理与证明试题答案及解析
高二数学推理与证明试题答案及解析1.观察以下等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°·cos 60°＝，sin240°＋cos270°＋sin 40°·cos 70°＝，sin215°＋cos245°＋sin 15°·cos 45°＝.…写出反映一般规律的等式，并给予证明．【答案】sin2α＋cos2(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝【解析】反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)：sin2α＋cos2(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝.证明如下：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin α·cos(α＋30°)＝sin2α＋(cos α·cos 30°－sin α·sin 30°)2＋sin α·(cos αcos 30°－sin α·sin 30°)＝sin2α＋2＋sin α ·cos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sin α·cos α＋sin α·cos α－sin2α＝(sin2α＋cos2α)＝.2.观察下列恒等式：∵∴tanα－＝－①∴tan2α－＝－②tan4α－＝－③由此可知：tan＋2tan＋4tan－＝()A．－2B．－4C．－6D．－8【答案】D【解析】根据题意，由于观察下列恒等式：∵∴tanα－＝－①∴tan2α－＝－②tan4α－＝－③由此可知：tan＋2tan＋4tan－=2tan＋4tan-= -8tan=-8，故答案为D.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的运用，属于基础题。
2014年高考数学二轮复习精品资料-高效整合篇专题11 算法、推理与证明、复数(理)(教学案)
一．考场传真1.【2013年高考新课标1卷】设1z 、2z 是复数, 则下列命题中的假命题是 （ ） A.若120z z -=，则12z z = B.若12z z =，则12z z =C.若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅D.若12z z =，则2212z z =2.【2012年高考上海卷】若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ） A.2b =，3c = B.2b =-，3c = C.2b =-，1c =- D.2b =，1c =-3.【2013年高考浙江卷理】某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是59，则（ ） A.4=a B.5=a C.6=a D.7=a4.【2013年高考重庆卷理】执行如图2所示的程序框图，如果输出3s =，那么判断框内应填入的条件是（ ）A.6k ≤B.7k ≤C.8k ≤D.9k ≤5.【2013年高考新课标1卷】执行如图3所示的程序框图，如果输入的[]1,3t ∈-，则输出的s 属于（ ）A.[]3,4-B.[]5,2-C.[]4,3-D.[]2,5-6.【2012年高考湖北卷】定义在()(),00,-∞+∞ 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，(){}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞+∞ 上的如下函数：①()2f x x =；②()2x f x =；③()f x =；④()ln f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 （ ）A.①②B.③④C.①③D.②④7.【2013年高考四川卷理】设1P 、2P 、 、n P 为平面α内的n 个点.在平面α内的所有点中，若点P 到点1P 、2P 、 、n P 的距离之和最小，则称点P 为点1P 、2P 、 、n P 的一个“中位点”.例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点.现有下列命题： ①若三个点A 、B 、C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A 、B 、C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A 、B 、C 、D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是_______.（写出所有真命题的序号）8.【2013年高考湖北卷理】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1、3、6、10、 ，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+.记第n 个k 边形数为()(),3N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+， 正方形数 ()2,4N n n =，五边形数 ()231,522N n n n =-， 六边形数 ()2,62N n n n =-，………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算()10,24N =_________.9.【2013年高考江苏卷】设数列{}:1n a 、2-、2-、3、3、3、4-、4-、4-、4-、 、11(1),,(1)k k k k k ---⋅⋅⋅-个、，即当()()()1122k k k k n k N *-+<≤∈时，记()11k n a k-=-.记()12n n S a a a n N *=++⋅⋅⋅+∈.对于l N *∈，定义集合{},,1l n n p n S a n N n l *=∈≤≤是的整数倍且.（1）求集合11p 中元素的个数； （2）求集合2000p 中元素的个数.二．高考研究考纲要求.1.算法初步（1）算法的含义、程序框图①了解算法的含义，了解算法的思想；②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.（2）基本算法语句理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.2.推理与证明（1）合情推理与演绎推理.①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.（2）直接证明与间接证明.①了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.3.数系的扩充与复数的引入（1）复数的概念①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义.（2）复数的四则运算①会进行复数代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.命题规律1.题量、题型稳定：复数、算法程序框图都是高考中的基础题型，一般地，复数与算法程序框图在高考试题中出现两个题目，以填空题或选择题的形式出现，两者各占一题，每题5分；推理证明、新定义的题，在高考题中也经常出现，以填空、选择题的形式出现，一般作为选择、填空的最后一题，一般这些题在高考中出现一题或两题，其所占平均分值比例为10%~13%.2.知识点分布均衡、重难点突出：以2013年全国新课标卷数学高考《考试说明》为参考，可理解为有19个知识点，一般考查的知识点在60％左右，其中对复数、算法、推理与证明等知识点的考查比较全面，更注重知识点有机结合以及重难点的分布，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础，也是新课标高考中新增加的内容，也是新课标高考中新增加的元素.高考十分注重逻辑思维的考查，以循环结构为主，有的也考查条件结构，注重知识点的有机整合，强调知识点在学科内的综合，在考查中也渗透数列、函数以及统计等方面的内容.推理与证明是新课标中的重要内容.高考中也十分注重逻辑思维能力的考查，在推理部分，主要考查归纳推理、类比推理以及新定义，在考查时结合数列、函数以及几何部分的内容，命题时注重了数学学科重点内容的考查以及新定义的理解，并保持必要的深度；在证明部分，加强了直接证明与间接证明法以及数学归纳法在综合中的应用，考查学生的推理论证能力.复数是高中数学的一个基本组成部分.高考中注重复数概念、运算以及几何意义的考查，以复数的四则运算为基石，综合考查复数的概念以及几何意义的理解.3.设计新颖、形式多样、难易适度：复数、算法都是高考中的基础知识，在高考中的考查一般以容易题出现，考查的形式以选择题、填空题出现，考查学生对于复数相关概念以及几何形式的理解以及分析问题的能力、逻辑思维能力，这部分的难度基本控制在0.05~0.25之间；推理证明、新定义一般处于选择、填空题的最后一题，考查学生逻辑推理能力以及新定义的理解，属于较难题. 试题平均难度为0.29（其中选择、填空难度0.15～0.52，平均难度0.29，解答题难度在0.11～0.30，平均难度0.17）.一．基础知识整合算法与程序框图③顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.④不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法. ⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 2.程序框图（1）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形.一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明.（2）构成程序框的图形符号及其作用（3）算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.①顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构.顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤.在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作.②条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构条件P是否成立而选择执行A框或B框.无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行.一个判断结构可以有多个判断框.条件结构主要应用于一些需要依据条件进行判断的算法中，如分段函数的的求值、数据大小关系等问题中，常常用条件结构来设计算法.③循环结构的两种基本类型：（a）当型循环：当给定的条件成立时，反复执行循环体，直至条件不成立为止；（b）直到型循环：先第一次执行循环体，再判断给定的条件是否成立，若成立，跳出循环体；否则，执行循环体，直至条件第一次不成立为止.循环结构一般用于一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等问题常常用循环结构来解决.3.算法语句：（1）输入语句②输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开.（2）输出语句②输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符.（3）赋值语句①赋值语句的一般格式②赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；③赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的.赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量； ④赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式； ⑤对于一个变量可以多次赋值.注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式.如：2X =是错误的； ②赋值号左右不能对换.如“A B =”“B A =”的含义运行结果是不同的； ③不能利用赋值语句进行代数式的演算.（如化简、因式分解、解方程等）； ④赋值号“=”与数学中的等号意义不同. （3）条件语句分析：在IF —THEN —ELSE 语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF 表示条件语句的结束.计算机在执行时，首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN 后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE 后面的语句2.注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；END IF 表示条件语句的结束.计算机在执行时首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN 后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句.（4）循环语句循环结构是由循环语句来实现的.对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构.即WHILE语句和UNTIL 语句.（b）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止.这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND 语句后，接着执行WEND之后的语句.因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环.（b）直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句.分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）（1）当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环推理与证明1.合情推理：前提为真时，结论可能为真的推理叫做合情推理.（1）归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理叫做归纳推理，它是由部分到整体、由个别到一般的推理.（2）类比推理：根据两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，它是由特殊到特殊的推理.2.演绎推理：根据一般性的原理，推出某个特殊情况下的结论叫做演绎推理，它是由一般到特殊的推理.基本形式是三段论：（1）大前提，已知的一般性原理；（2）小前提，所研究的特殊情况；（3）结论.4.反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.5.数学归纳法：.数学归纳法：（1）当n 取第一个值0n （例如1n =）时，证明命题成立；（2）假设当n k =()0,k Nk n *∈≥时命题成立，并证明当1n k =+时，命题也成立，于是命题对一切n N *∈，0n n ≥，命题都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.运用数学归纳法证明命题分为两步：第一步是递推的基础，第二是递推的依据，这两步缺一不可的.复数1.复数的相关概念：（1）形如a bi +(),a b R ∈的数叫复数，其中i 叫做复数的虚数单位，且21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部.复数集用集合C 表示. （2）复数的分类：对于复数z a bi =+(),a b R ∈① 当0b =时，z 是实数； ② 当0b ≠时，z 是虚数； ③ 当0a =且0b ≠时，z 是纯虚数.（3）复数相等：若1z a bi =+(),a b R ∈，2z c di =+(),c d R ∈，则12z z =的充要条件是a c =且b d =.特别地：若0a bi +=(),a b R ∈的充要条件是0a b ==.2.复数的几何意义：（1）复平面：x 轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数；y 轴叫做虚轴，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.（2）复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内的点(),Z a b 一 一对应.（3）复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内所有以原点O 为起点的向量OZ一 一对应. （4）复数的模：向量OZ的模叫做复数z a bi =+(),a b R ∈的模，记作z 或a bi +，且||z =3.复数的四则运算：（1）共轭复数：实部相等，虚部互为相反数.若z a bi =+(),a b R ∈，则它的共轭复数z a bi =-.（2）复数的加法、减法、乘法、除法运算：除法法则：()()()()2222a bi c di a bi ac bd bc adi c di c di c di c d c d+-++-==+++-++； 4.重要性质：1i i =，21i =-， 3i i =-，41i =. 41ni=，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-.二．高频考点突破考点1 复数的与实系数方程之间的关系【例1】【广东省广州市2013届高三普通毕业班综合测试二】若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方2x +()20,px q p q R +=∈的一个解，则p q +=（ ）A.3-B.1-C.1D.3()2210i p i q -+-+=，化为复数的一般形式得()()2220p q p i ++--=，根据复数相【规律方法】根与实系数方程之间的关系体现在，一是根代入方程，相应的等式成立；二是体现在韦达定理上，即实系数一元二次方程()200,,,ax bx c a a b c R ++=≠∈的两根分别为1x 、2x ，则12b x x a +=-，12cx x a⋅=，不仅对0∆≥的情况成立，对0∆<的情形（即方程的根为虚根）也成立.【举一反三】【湖北省黄冈中学、黄石二中、鄂州高中2014届高三三校11月联考】已知复数32z i =-+（i为虚数单位)是关于x 的方程220x px q ++=（p 、q 为实数)的一个根，则p q +的值为 （ ）A.22B.36C.38D.42考点2 复数的概念与运算【例2】【广东省广州市海珠区2013届高三综合测试一】下面是关于复数21z i=-的四个命题：1p :2z =， 2:p 22z i =， 3:p z 的共轭复数为1i -+ 4:p z 的虚部为1，其中真命题为 （ ）A. 2p 、3pB.1p 、2pC.2p 、4pD.3p 、4p【规律方法】对于复数概念、几何意义等相关问题的求解，其核心就是要将复数化为一般形式，即z a bi =+(),a b R ∈，实部为a ，虚部为b .（1）复数的概念：①z 为实数0b ⇔=；②z 为纯虚数0a ⇔≠且0b =；③z 为虚数0b ⇔≠.（2）复数的几何意义：①z a bi z =+⇔在复平面内对应的点(),Z a b z ⇔在复平面对应向量(),OZ a b =；②复数z 的模z a bi =+=.（3）共轭复数：复数z a bi =+与z a bi =-互为共轭复数.【举一反三】【河南省郑州市四中2013届高三第十三次调考】对于任意复数(),z a bi a b R =+∈，i 为虚数单位，则下列结论中正确的是（ ）A.2z z a -=B.2z z z⋅= C.1zz= D.20z ≥考点3 算法与数列综合【例3】【2013年高考辽宁卷】执行如图4示的程序框图，若输入10n =，则输出的S = （ ）A.511 B.1011 C.3655D.7255【规律方法】若数列{}n a 为公差为()0d d ≠的等差数列，()1n n k k N a a *+⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭型数列求和一般是利用裂项法，裂项公式为1111n n k n n k a a kd a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，为了方便求出数列()1n n k k N a a *+⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和，可以采用将没数列中裂项后被减项写在一起，减数项写在一起，方便观察哪些项消去了，即1122111111111n k k n n kS kd a a kd a a kd a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12121111111n k k n k kd a a a a a a +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++-+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，但是在处理算法与数列求和问题时，一定要确定循环次数，即在数列中有求和的项数.【举一反三】【2013年高考福建卷理】阅读如图5所示的程序框图，若编入的10k =，则该算法的功能是（ ） A.计算数列{}12n -的前10项和 B.计算数列{}12n -的前9项和C.计算数列{}21n-的前10项和 D.计算数列{}21n-的前9项和考点4 判断条件的选择【例4】【广东省深圳市宝安区2014届高三调研考试】运行下图框图输出的S 是254，则①应为（ ）.A.5≤nB.6≤nC.7≤nD.8≤n【规律方法】等差数列{}n a 的求和公式：()()11122n n n a a n n dS na +-==+（d 为等差数列{}n a 的公差）；等比数列{}n a 的求和公式：()()1110,111n n n a q a a qS q q qq--==≠≠--（q 为等比数列{}n a 的公比）.在判断条件的选择上，需要注意两方面的问题：一是控制变量是增大还是减小，从而决定判断条件中对控制变量所使用的不等号；二是循环进行的次数，决定判断条件中临界值的选择. 【举一反三】【浙江省金华一中2014届高三10月月考】若框图（图7）所给的程序运行结果为5040S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是___________.考点5 算法与函数综合【例5】【湖北省孝感市2014届高三第一次统一考试】运行如图8所示的算法流程图，当输入的x值为（）时，输出的y值为4.A.1B.1-C.2-D.3-【规律方法】分段函数问题的求解主要在于根据自变量的不同取值确定相应的函数解析式，利用解析式来求解分段函数问题.对于分段函数的问题，一般有以下几种考查形式：①求分段函数值，根据自变量的取值选择合适的解析式进行计算，对于复合函数的求值，计算时遵循由内到外的原则；②由函数值求相应的自变量的取值，即令每个解析式等于相应的值求出自变量的值，并对自变量的取值是否在区间进行取舍；③求解分段函数不等式，对自变量在相应区间的取值下解不等式，并将解集与定义域取交集得到最终答案.【举一反三】【四川省资阳市2014届高三第一次诊断性考试】已知x R∈，根据如图9所示的程序框图，则不等式()12 2f x x≥-+的解集是____________.考点6 归纳推理【例6】【广东省珠海一中等六校2014届高三第一次联考】将石子摆成如图10的梯形形状.称数列5、9、14、a=；第n项20、 为“梯形数”.根据图形的构成，数列第6项6a=.n图10【规律方法】归纳推理主要用于与自然数有关的等式或不等式的问题中，一般在数列的推理中常涉及.即通过前几个等式或不等式出发，找出其规律，即找出一般的项与项数之间的对应关系，一般的有平方关系、立方关系、指数变化关系或两个相邻的自然数或奇数相乘等基本关系，需要对相应的数字的规律进行观察、归纳，一般对于的等式或不等式中的项的结构保持一致. 【举一反三】【山西省山大附中2014届高三9月月考】观察下列算式：113=， 5323+=，119733++=，1917151343+++=，… … … …若某数3m 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则=m _______考点7 类比推理【例7】【陕西省西安市长安区长安一中2014届高三第二次质量检测】对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则0OB OA OA OB ⋅+⋅=；将它类比到平面的情形是：若O 是ABC ∆内一点，有OBC OCA S OA S OB ∆∆⋅+⋅0OBA S OC ∆+⋅=；将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有__________________.【规律方法】类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：①线段的长度——平面几何中平面图形的面积——立体几何中立体图形的体积的类比；②等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换.【举一反三】【广东省佛山市南海区2014届高三8月质检】在等差数列{}n a 中，若m a p =，n a q =(),,1m n N n m *∈-≥，则m n nq mpa n m+-=-类比上述结论，对于等比数列{}()*0,n n b b n N >∈，若m b r =，()2,,n b s n m m n N*=-≥∈，则可以得到m n b += .考点8 新定义【例8】【福建省厦门市外国语学校2014届高三第一次月考】设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[],x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“关联函数”，区间[],a b 称为“关联区间”.若()234f x x x =-+与()2g x x m=+在[]0,3上是“关联函数”，则m 的取值范围为 （ ）A.9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B.[]1,0- C.(],2-∞-D.9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【规律方法】新定义主要应用于函数、解析几何以及数列中，一般先要理解题中的新定义，然后借助相应的方法进行求解.对于函数或数列不等式恒成立问题以及函数零点个数问题，一般采用分类讨论法或参数分离法求解；对于解析几何中的新定义，一般结合图象来量化问题，将问题中涉及的几何量利用图形直观地表示出来，从图形中得到准确解答.【举一反三】【2013年高考福建卷理】设S、T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数()y f x =满足：（i ）(){}T f x x S =∈；（ii ）对任意1x 、2x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A.A N *=，B N = B.{}13A x x =-≤≤，{}8010B x x x ==-<≤或C.{}01A x x =<<，B R = D.A Z =，B Q =考点9 数学归纳法【例9】【广东省五校协作体2014届高三第二次联考】已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（n 为正整数）.（1）令2nn n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）令1n n n c a n +=，12n n T c c c =+++ ，试比较n T 与251nn +的大小，并予以证明.式11122n n n a a --=+，在等式两边同时乘以12n -得到11221n n n n a a --=+，由2n n n b a =，由【规律方法】数学归纳法一般用于与自然数有关的命题、等式或不等式的证明，其解题步骤为：第二数学归纳法的证明步骤是：①归纳奠基：证明当取第一个自然数0n 时命题成立；②归纳递推：假设n k =()0,k Nk n *∈≥时，命题成立，证明当1n k =+时，命题成立；③由①②得出结论.利用数学归纳法来进行证明时，需要注意两个问题：一是验证时n 的初始值不一定为1，要视具体情况而定；二是由n k =到1n k =+时，所需的跨度，即式子两边增加了多少项.【举一反三】【江苏省扬州中学2014届高三开学考试】数列{}21n-的前n 项组成集合n A ={}()1,3,7,,21nn N *-∈ ，从集合n A 中任取()1,2,3,,k k n = 个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =+++ ．例如：当1n =时，{}11A =，11T =，11S =；当2n =时，{}21,3A =，113T =+，213T =⨯，213137S =++⨯=.（1）求3S ；（2）猜想n S ，并用数学归纳法证明.三．错混辨析1.忽视判别式∆适用的前提【例1】求实数m 的取值范围，使方程()()24120x m i x mi ++++=至少有一个实根.2.忽视对循环结构的合理分析【例2】如果执行如图11所示的程序框图，那么输出的S =（ ）A.1275B.2550C.5050D.25003.忽视数学归纳法中证题时的跨度 【例3】用数学归纳法证明：()111122234212n n n -++++>≥- .1.（原创题）在复数集C 上定义运算“⊗”：当12z z ≥时，1122z z z z ⊗=；当12z z <时，1212z z z z ⊗=，若113z i =+，21z i =+，33z i =-，则复数()123z z z ⊗⊗在复平面内所对应的点位于 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.（原创题）执行如图12所示的算法程序框图，若输出的y值满足12y ，则输入的x值的取值范围是.【解析】3.【广东省汕头四中2014届高三第一次月考】将全体正奇数排成一个三角形数阵：135791113151719按照以上排列的规律，第n 行()3n ≥从左向右的第3个数为.4.（原创题）已知平面坐标系内两点()11,A x y 、()22,B x y ，定义直角距离()1212,d A B x x y y =-+-.已知点()1,3P ，点Q 为直线20x y ++=上一点，则(),d P Q 的最小值是.12315x x x x =-+---=-++，利用绝对值的几何意义可知，5.【湖北省武汉市部分学校2014届高三11月联考】已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意0x >，都有()()f x f x x'>.（1）判断函数()()f x F x x=在()0,+∞上的单调性；（2）设1x 、()20,x ∈+∞，证明：()()()1212f x f x f x x +<+； （3）请将（2）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论.（3）推广：对任意2n ≥且n N *∈，若1x 、2x 、 、()0,n x ∈+∞，。
专题03 复数-备战2022年高考数学(文)母题题源解密(全国甲卷)(解析版)
专题03 复数1．已知2(1)32i z i -=+，则z = A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --【试题来源】2021年全国高考甲卷（文） 【答案】B【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解． 【解析】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅．故选B ．1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】若312i i z =++，则||=zA ．0B ．1C ．2D ．2【答案】C【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以22112z =+=．故选C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题． 2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】（1–i ）4= A ．–4 B ．4C ．–4iD ．4i【答案】A【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-. 故选A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】若)(1i 1i z +=-，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【解析】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题. 4．【2020年新高考全国Ⅰ卷】2i12i-=+ A ．1 B ．−1 C ．iD ．−i【答案】D【解析】2(2)(12)512(12)(i i i ii i 12)i i 5----===-++- 故选：D【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】设3i12iz -=+，则||z = A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】先由复数的除法运算（分母实数化）求得z ，再求||z 即可． 【解析】方法1：由题可得(3i)(12i)17i (12i)(12i)55z --==-+-，所以2217()()||255z =+-=，故选C ．方法2：由题可得2222|3i |10||2|12i 3(1|5)12z +-+-====+，故选C ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算、复数模的计算，是基础题．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设)i i (2z =+，则z =A ．12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i --【答案】 D【分析】根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念写出z 即可． 【解析】由题可得2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12i z =--，故选D ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误． 7．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i-D ．1i +【答案】D【解析】由题可得()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．复数问题每年必考，多以选择题的形式出现，而且是必拿分题，高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：①考查单纯的复数运算求解题；②考查复数的几何意义以及有关概念．熟练掌握复数的加、减、乘、除运算法则是关键：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：12i (i)(i)i (i)(i)z a b a b c d z c d c d c d ++-==++-22()i ac bd bc ad c d ++-+=2222i(i 0)ac bd bc adc d c d c d+-=++≠++． 注意：复数除法与作根式除法时的处理类似．在作根式除法时，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”；复数的除法是分子、分母都乘以分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”．虚数单位i 具有周期性，且最小正周期为4，有如下性质： （1）41424344ii,i 1,i i,i 1()n n n n n ++++==-=-=∈N ；（2）41424344ii i )i 0(n n n n n +++++++=∈N ．1．已知复数1i z a =-，22+i z =（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数．则实数a = A ．12-B ．12 C ．2-D ．3【试题来源】湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高三上学期月考（一） 【答案】A【分析】结合复数的乘法运算求出12z z ，进而结合纯虚数的概念即可求出结果．【解析】由已()()()()12i 2i 212i z z a a a =-+=++-是纯虚数，所以210a +=且20a -≠，可得12a =-，故选A ．2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()()21i 1i z -=+，则z = A ．1 B ．2 C ．2D ．3【试题来源】湖北省黄石市有色一中2021届高三下学期5月模拟考试 【答案】B【分析】根据复数的乘除法运算求出复数z ，然后根据复数的模的公式即可得出答案． 【解析】因为()()21i 1i z -=+，所以()()()()21i 1i 1i 1ii 2i 1i 1z ++===-+--+，所以112z =+=．故选B ．3．设i 为虚数单位，若复数()()i 2i x +-的实部与虚部相等，则实数x 的值为 A ．3 B ．13C ．12D ．1【试题来源】湖南省永州市第四中学2021届高三下学期高考冲刺（二） 【答案】B【分析】由复数乘法运算展开()()i 2i x +-，再由实部、虚部相等列方程求x 的值．【解析】由()()()i 2i 212i x x x +-=++-的实部与虚部相等， 所以212x x +=-，解得13x =．故选B4．若复数z 满足()1i 22i z -=-，则z = A ．13 B ．13 C ．5D ．5【试题来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期8月第二次学情调研 【答案】D【分析】根据条件求出复数z ，进而可求得z ． 【解析】由(1)i 22i z -=-得i i 22i z -=-，则2i12i iz -==--，所以()()22125z =-+-=．故选D ．5．i 是虚数单位，复数z 满足：1i iz=-，则z =A ．1i -B ．1i +C ．1i -+D ．1i --【试题来源】河南省洛阳市孟津县第一高级中学2021届高三下学期4月（文）调研试题 【答案】A【分析】先求z ，再求z ． 【解析】1i,1i izz =-∴=+，1z i ∴=-．故选A ． 6．设复数z 满足()12i 5z +=，则z = A ．5 B ．5 C ．3D ．1【试题来源】云南省曲靖市2021届高三二模（文） 【答案】B【分析】由()12i 5z +=用复数的除法求出z ，再求z ． 【解析】由()12i 5z +=，得()()()()512i 512i 12i 12i 12i 5z --===-+-，所以12z i =+，5z B ．7．25i3i+-的虚部为 A ．110B ．1310C ．1710D ．1310-【试题来源】河北省唐山市第十一中学2021届高三下学期3月调研 【答案】C【分析】利用复数的除法化简25i3i+-，即可知虚部． 【解析】25i (25i)(3i)117i 3i (3i)(3i)10++++==--+，故虚部为1710．故选C 8．已知i 是虚数单位，若复数z 满足2i 1iz=+，则z =． A ．2 B ．2 C ．22D ．4【试题来源】广东省江门市蓬江区培英高中2021届高三5月份数学冲刺试题 【答案】C【分析】先求出z ，然后根据复数的模求解即可 【解析】2i 1iz=+， ()2i 1i 22i z =+=-+，则4422z =+=，故选C 9．若复数1i z =-，则2|2|z z -= A ．0 B ．2 C ．4D ．6【试题来源】山东省菏泽市2021届高三二模 【答案】B【分析】根据复数的乘方运算以及减法运算求出22z z -，然后利用模长公式即可求出结果． 【解析】由题意可得()221i 2i z =-=-，则()()2221i 21i 2i 22i 2z z -=---=--+=-，所以2222z z -=-=．故选B ．10．设z C ∈，则“0z z +=”是“z 是纯虛数”的A ．充分但非必覂条件B ．必要但非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【试题来源】重庆市巴蜀中学2022届高三上学期适应性月考（一） 【答案】B【分析】先证明“0z z +="是“z 是纯虛数”的非充分条件；再证明“0z z +="是“z 是纯虛数”的必要条件．即得解．【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-， 若0z z +=，则0,a z =不一定是纯虛数， 所以“0z z +="是“z 是纯虛数”的非充分条件；若z 是纯虛数，则()i 0,i z b b z b =≠=-，一定有0z z +=成立． 所以“0z z +="是“z 是纯虛数”的必要条件；所以“0z z +="是“z 是纯虛数”的必要非充分条件．故选B11．已知i 是虛数单位，z 为复数，2+1i=z (3+i)，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】重庆市巴蜀中学2022届高三上学期适应性月考（一） 【答案】D【分析】先求出复数，即得解． 【解析】2i 11i 3i 22z -==-+，复平面内z 对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选D ． 12．若复数i1iz -=+，则z = A ．14B ．12 C ．22D ．2【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（一） 【答案】C【分析】利用复数的除法运算求出i 12z --=，结合复数的几何意义求出复数的模即可． 【解析】因为i(1i)i 1(1i)(1i)2z ----==+-，所以2||z =C13．若()1i 2i z +=，则z = A ．1i - B ．1i -- C ．1i +D ．1i -+【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（六）（文） 【答案】A【分析】先求出1i z =+，再由共轭复数的概念即可求解 【解析】()()()2i 1i 2i1i 1i 1i 1i z -===+++-， 所以1i z =-，故选A ． 14．若复数z 满足1i31iz z -+=+，则||z = A ．116B ．18C ．14D ．12【试题来源】重庆市第一中学2021届高三下学期第二次月考 【答案】D【分析】令i z x y =+(,)x y R ∈，由题设易得42i i x y -=-求x 、y ，进而可求||z ． 【解析】若i z x y =+(,)x y R ∈，则1i342i i 1iz z x y -+=-==-+， 所以0x =，12y =，即i 2z =， 所以1||2z =．故选D 15．i 是虚数单位，复数z 满足i 13i z ⋅=+，则||z = A ．10 B ．10 C ．8D ．22【试题来源】福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测 【答案】B【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，然后利用复数模的公式求||z ． 【解析】因为i 13i z ⋅=+，所以()13i i13i 3i i i iz ++===-⋅， 所以()22||3110z =+-=．故选B ．16．在复平面内，平行四边形ABCD 的三个顶点，A ，B ，C 对应的复数分别为12i -+，3i -，12i +(i 为虚数单位)，则点D 对应的复数为 A ．35i -+ B ．1i - C ．13i +D ．3i -+【试题来源】江西省景德镇一中2022届高三7月月考（理） 【答案】A【分析】先利用复数的几何意义写出各点的坐标，再利用平行四边形构造相等向量列方程组求解． 【解析】由题知，()1,2A -，()3,1B -，()1,2C ，设(),D x y ． 则()4,3AB =-，()1,2DC x y =--． 因为ABCD 为平行四边形，所以AB DC =．由14,23x y -=⎧⎨-=-⎩，解得3,5x y =-⎧⎨=⎩， 所以点()3,5D -对应的复数为35i -+．故选A ． 17．复数2i2i-+的共轭复数是 A ．34i 55-- B ．34i 55-+ C ．34i 55-D ．34i 55+【试题来源】四川省绵阳中学2022届高三上学期第一次质量检测 【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数2i2i-+，结合共轭复数的定义可得出结果． 【解析】因为()()()22i 2i 34i 2i 2i 2i 55--==-+-+，因此，复数2i2i -+的共轭复数是34i 55+．故选D ．18．已知复数i1iz =+，则它的共轭复数z = A ．1i2+ B ．1i2- C ．1i +D ．1i -【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，再由共轭复数的定义即可求解．【解析】因为i i(1i)1i =1i (1i)(1i)2z -+==++-，所以1i 2z -=，故选B ． 19．已知i 为虚数单位，复数1z 、2z 满足122z z ==，1248i2iz z +-=-，则12z z = A ．4- B ．4i - C ．4iD ．4【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（二） 【答案】D【分析】设12i,i z a b z c d =+=+，根据题设有22224,0,4a b c d a c b d +=+=-=-=，进而求12z z 即可． 【解析】()()()()1248i 2i 20i 4i2i 2i 5z z ++-===-+，设12i,i z a b z c d =+=+，则有22224,0,4a b c d a c b d +=+=-=-=，解得2,2,0b d a c ==-==， 所以122i,2i z z ==-，则124z z =，故选D ．20．已知方程210(,)ax bx a b ++=∈R 在复数范围内有一根为1i +，则复数z a bi =+在复平面上对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】重庆市南开中学2021届高三下学期第七次质量检测 【答案】D【分析】把1i +代入已知方程，结合复数的运算及复数相等条件求得a ，b ，再由复数的几何意义可得选项． 【解析】因为方程210(,)ax bx a b ++=∈R 在复数范围内有一根为1i +，所以()()21110i a b i ++++=， 整理得()2+10a b i b ++=，所以112a b ==-，，所以12z a bi i =+=-，所以复数z a bi =+在复平面上对应的点在第四象限，故选D ． 21．已知复数1121i,1z z z =-⋅=，则复数2z 的虚部为 A ．12 B ．12-C ．1D ．1-【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高三下学期高考适应性月考卷（五）（理） 【答案】B【分析】根据条件可知211z z =，化简复数后求2z 的虚部．【解析】因为1121i,1z z z =+⋅=，所以211i 1i 1i (1i)(1i)2z --===++-，所以其虚部为12-．故选B ． 22．已知复数()()2i 2i z m =+-为纯虚数，则m =A ．1-B ．1C ．4-D ．4【试题来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）【答案】C【分析】根据导数的乘法运算化简复数z ，再根据纯虚数的定义即可求解．【解析】()422i z m m =++-为纯虚数，则4m =-．故选C ．23．若复数z 满足i i z z ⋅=-，则|i |z -=A ．22B ．2C ．1D ．22 【试题来源】湖南省新高考2021届高三下学期考前押题《最后一卷》【答案】A【分析】先根据复数的除法运算化简复数z ，再由模长公式计算即可求解．【解析】因为i i z z ⋅=-，所以()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 2z +-+===--+， 所以1i 11i i 222z ---==--， 故22112|i |222z ⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ． 24．设若1z 、2z 、3z 为复数，则下列命题中正确的是A ．若23z z =，则23z z =±B ．若1213z z z z =，则23z z =C ．若23z z =，则1213z z z z =D ．若2121z z z =，则21z z = 【试题来源】预测05 算法、复数、推理与证明-【临门一脚】2021年高考数学（理）三轮冲刺过关【答案】C【分析】取特殊值法可判断AD 错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC ．【解析】由复数模的概念可知，23z z =不能得到23z z =±，例如23,11i i z z =+=-，A 错误；由1213z z z z =可得123()0z z z -=，若10z =，则230z z -=不一定成立，即23z z =不一定成立，B 错误； 因为2121||||z z z z =，1313||||z z z z =，而23z z =，所以232||||||z z z ==，所以1213z z z z =，C 正确；取121,1z i z i =+=-，显然满足2121z z z =，但12z z ≠，D 错误．故选C25．已知复数z 的共轭复数是z ，若312i z z -=+，则z =A ．22B ．12C ．52D ．52 【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三适应性（九）【答案】A【分析】设i,,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，代入原式，利用复数相等求出,a b ，进而可得答案．【解析】设i,,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，由312i z z -=+可得24i 12i a b -+=+，则12a =-，12b =， 所以2222z a b =+=，故选A ． 26．复数()2i i +的虚部是A ．2iB ．i -C ．2D ．1-【试题来源】广东省七校联合体2021届高三下学期第三次联考（5月）【答案】C【分析】利用复数的乘法运算化简复数()2i i +，再根据复数虚部的定义求解即可．【解析】因为()2+i i 12i =-+，所以虚部为2．故选C ．27．已知复数1z i =+，设复数22z w z =，则w 的虚部是 A ．1- B ．1C ．iD ．i -【试题来源】陕西省2021届高三下学期教学质量检测测评（六）（理）【答案】A【分析】根据复数的运算法则，求得1w i =--，结合复数的基本概念，即可求解．【解析】由题意，复数1z i =+， 根据复数的运算法则，可得2222(1)2(1)(1)1(1)2z i i i i w i z i i i i----=====--+-⋅， 所以复数w 的虚部是1-．故选A ． 28．复数45i z =-（其中i 为虚数单位），则2i z +=A ．7B ．5C ．7D ．25【试题来源】内蒙古赤峰二中2021届高三三模（理）【答案】B【分析】由复数加法求得2i z +，然后由复数模的运算求解．【解析】因为45i z =-，所以i 23i 4z +=-，所以()222435i z +=+-=，故选B ．29．已知i 为虚数单位，复数21i +的共轭复数为z ，则z 的虚部为 A ．1-B ．1C ．i -D ．i【试题来源】（理）-学科网2021年高三5月大联考考后强化卷（新课标Ⅰ卷）【答案】B【分析】先对21i+化简，求出复数z ，从而可求出其共轭复数z ，进而可求出z 的虚部 【解析】由题可得22(1i)1i 1i (1i)(1i)-==-++-，所以1i z =+，其虚部为1，故选B ．30．设复数z 满足()1i i z m -=+()m R ∈，若z 为纯虚数，则实数m =A ．1B ．-1C ．2D ．-2【试题来源】江苏省跨地区职业学校单招2020届高三下学期一轮联考【答案】A【分析】将i 1i m z +=-利用复数的除法运算化简，再令实部等于0，虚部不等于0即可求解 【解析】由()1i i z m -=+可得()()()()()i 1i 11i i 11i 1i 1i 1i 222m m m m m m z ++-+++-+====+--+， 所以1010m m -=⎧⎨+≠⎩，可得1m =，故选A ． 31．已知i 为虚数单位，若复数2i i ia z =-+ (a R ∈)为实数，则a = A ．2-B ．1-C ．1D ．2【试题来源】广东省揭阳市2021届高考数学模拟考精选题试题（一）【答案】D【分析】先对2i i ia z =-+化简，然后由虚部为零可求出a 的值 【解析】因为()222i i i 12i i 12i iz a a a -=+=--+=-+-为实数， 所以2a =；故选D32．法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的公式()cos isin cos isin nx x nx nx +=+推动了复数领域的研究．根据该公式，可得4ππcos isin 88⎛⎫+= ⎪⎝⎭． A ．1B ．iC ．1-D ．i -【试题来源】福建省2021届高三高考考前适应性练习卷（二）【答案】B【分析】根据已知条件将4ππcos sin 8i 8⎛⎫+ ⎪⎝⎭化成i ππcos sin 22+，根据复数的运算即可． 【解析】根据公式得4i i i ππππcos sin cos sin 8822⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，故选B ． 33．已知复数z 满足121z i i =+-(其中i 为虚数单位)，则z = A ．3B ．22C ．2D ．10【试题来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（二）【答案】D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简求得z ，然后利用复数模的公式计算．【解析】因为()()1i 12i 3i z =-+=+， 所以22||=3110z +=．故选D ． 34．若复数z 满足()23i 1i z ⋅-=-，复数z 的虚部是A ．5i 13 B ．513 C ．113D ．1i 13 【试题来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（文）押题试题（一）【答案】C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简可得．【解析】由()23i 1i z ⋅-=-，得()()()()1i 23i 1i 5i 51i 23i 23i 23i 131313z -+-+====+--+ 所以复数z 的虚部是113故选C 35．若复数1=-i z i ，则|z |= A ．2B ．1C ．2D ．22【试题来源】四川绵阳南山中学2021届高三高考适应性考试（理）【答案】D【分析】首先化简复数z ，再求复数的模．【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i +-+====-+--+， 所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D 36．若复数1=-i z i ，则z = A ．14 B 2C ．12D ．2 【试题来源】四川绵阳南山中学2021届高三高考考适应性考试（文） 【答案】B 【分析】化简122i z =-+，再求||z 得解． 【解析】由题得(1)111(1)(1)222i i i i i z i i i +-+====-+--+， 所以22112()()222z =-+=．故选B 37．已知复数z 满足()()1i 2i i z -=+，则z =A ．1B ．2C ．52D ．102【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高三上学期入学考试【答案】D【分析】()2i i 1iz +=-，利用复数的运算求出复数z ，从而求出z ． 【解析】()()()()()2i i 12i 1i 3i 1i 1i 1i 2z +-++-+===--+， 所以223110222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ． 38．已知复数z 满足z (1﹣i )=2+i 2021，则zi 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】全国2021届高三高考数学（文）演练试卷（一）【答案】B【分析】利用复数的乘法、除法运算即可求解．【解析】由z (1﹣i )=2+i 2021，则()()()()2020212213131111222i i i i i i z i i i i i +++⋅++=====+---+， 3122zi i =-+，所以zi 在复平面内对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，点位于第二象限．故选B 39．若复数z 满足23i 13z z -=，则z = A ．23i -B ．23i +C ．32i -D ．32i +【试题来源】全国100所普通高等学校招生全国统一考试2021届高三 数学（理）冲刺卷试题【答案】A【分析】由题意得1323iz =-，根据复数代数形式的除法运算和共轭复数的概念即可求出答案． 【解析】因为23i 13z z -=，所以()()()1323i 1323i 23i 23i z +==--+()1323i 23i 13+==+， 所以23i z =-，故选A ．40．已知复数12i z =-，21i z b =+(其中i 是虚数单位，b ∈R )，若12z z ⋅为实数，则b = A ．2-B ．12 C ．1 D ．2 【试题来源】贵州省凯里市第一中学2021届高三三模《黄金三卷》（文）【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘法运算法则化简12z z ⋅，再根据复数为实数的充要条件即可得出．【解析】因为12i z =-，21i z b =+()()()2122i 1i 22i i i 221i z z b b b b b ⋅=-⋅+=+--=++-，因为12z z ⋅为实数，210b ∴-=，解得12b =．故选B.。
2018版高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数131归纳与类比课件理
A.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π
＋__V_O_－__AB_C_·_O→_D__＝__0__. 答案
解析
线段长度类比到空间为体积，再结合类比到平面的结论，可得空间中的
结论为 VO－BCD·O→A＋VO－ACD·O→B＋VO－ABD·O→C＋VO－ABC·O→D＝0.
(2) 求 1＋ 1＋ 1＋… 的 值 时 ， 采 用 了 如 下 方 法 ： 令
跟踪训练2 在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以
得到结论：
＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为
______________________.
Phaa＋Phbb＋Phcc
Phaa＋Phbb＋Phcc＋Phdd＝1
_______________.
＋…＋21n
答案
解析
(2)(2016·抚顺模拟)观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是________.
183
答案
解析
由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和， ∴“x”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.
题型二 类比推理
例 5 (1)(2017·西安质检)对于命题：如果 O 是线段 AB 上一点，则|O→B|O→A
每一个事物 到的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性， 结论：任个意别d∈M，d也具一有般某属性.
2.类比推理
由于
具有某些类似的特征，在此基础上，根据 两类不同对象
另一类对象
的其他特征，推断
也具有类似的其他特征，我们把这种推理 一类对象
过程称为类比推理.简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理. 类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d； B：具有属性a′，b′，c′； 结论：B具有属性d′. (a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)
2020版高考数学一轮复习 第11章 算法复数推理与证明 第2讲 课后作业 理(含解析)
第11章 算法复数推理与证明 第2讲A 组 基础关1．(2018·榆林模拟)已知复数z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，则z 1z 2＝( ) A ．8－6i B ．8＋6i C ．－8＋6i D ．－8－6i 答案 B解析 z 1z 2＝6－8i －i＝(6－8i)·i＝8＋6i.2．(2019·青岛模拟)在复平面内，复数z ＝4－7i2＋3i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B 解析 z ＝4－7i2＋3i＝4－7i2－3i13＝－13－26i 13＝－1－2i ，其共轭复数z ＝－1＋2i对应的点(－1,2)在第二象限．3．(2018·河南省天一大联考)已知复数z ＝2－3i ，若z 是复数z 的共轭复数，则z ·(z ＋1)＝( )A ．15－3iB ．15＋3iC ．－15＋3iD ．－15－3i答案 A解析 依题意，z ·(z ＋1)＝(2－3i)(3＋3i)＝6＋6i －9i ＋9＝15－3i.4．(2019·广东测试)若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1 答案 C解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝2－i 1－2i 1＋2i1－2i＝－3i3＝－i.故选C.5．已知m 为实数，i 为虚数单位，若m ＋(m 2－4)i>0，则m ＋2i2－2i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1 答案 A解析 因为m ＋(m 2－4)i>0，所以m ＋(m 2－4)i 是实数，所以⎩⎨⎧m >0，m 2－4＝0，故m ＝2.所以m ＋2i 2－2i＝2＋2i 2－2i ＝1＋i1－i＝i. 6．(2018·成都市第二次诊断性检测)若虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值是( )A.32B.33C.12 D.3 答案 D解析 因为(x －2)＋y i 是虚数， 所以y ≠0，又因为|(x －2)＋y i|＝3， 所以(x －2)2＋y 2＝3.因为y x是复数x ＋y i 对应点的斜率，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝tan ∠AOB ＝3，所以y x 的最大值为 3.7．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )． 对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，则b ＝0且a ≠0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∈/ R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.8．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．答案 －2解析 ∵a ∈R ，a －i2＋i＝a －i2－i 2＋i 2－i ＝2a －1－a ＋2i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.9．(2018·合肥模拟)设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．答案 1解析 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝－1＋c i ， 因为z 2＝z 1－i z 1，所以－1＋c i ＝(a ＋b i)－i(a －b i)＝(a －b )＋(b －a )i ，所以⎩⎨⎧a －b ＝－1，b －a ＝c ，所以c ＝1，所以z 2的虚部为1.10．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 20221＋i ，则复数z 在复平面内对应点的坐标为________．答案 (0,1)解析 因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0， 而2022＝4×505＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 20221＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i1＋i＝－1＋i1－i 1＋i1－i ＝2i2＝i ，对应的点为(0,1)．B 组 能力关1．(2018·华南师大附中模拟)欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知e a i 为纯虚数，则复数sin2a ＋i1＋i在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析 由题意得e a i＝cos a ＋isin a 是纯虚数，所以⎩⎨⎧cos a ＝0，sin a ≠0，所以sin2a ＝2sin a cos a ＝0，sin2a ＋i 1＋i ＝i 1＋i ＝i 1－i 2＝1＋i 2，其在复平面内对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12在第一象限． 2．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i的“错位共轭”复数为( )A ．－36－12iB ．－32＋32iC.36＋12i D.32＋32i 答案 D解析 由(z －i)⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i ＝1，可得z －i ＝132－12i ＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i.故选D.3．(2019·西安模拟)已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z 等于( )A ．2－2iB ．2＋2iC ．－2＋2iD ．－2－2i答案 A解析 由题意得b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0， 整理得(b 2＋4b ＋4)＋(a ＋b )i ＝0，所以⎩⎨⎧ b ＋22＝0，a ＋b ＝0，所以⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2，所以z ＝2－2i.4．已知复数z 在复平面内对应的点在第三象限，则z 1＝z ＋|z |在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 令z ＝a ＋b i(a <0，b <0)，则|z |＝a 2＋b 2>|a |，z 1＝z ＋|z |＝(a 2＋b 2＋a )－b i ，又a 2＋b 2＋a >0，－b >0，所以z 1在复平面内对应的点在第一象限．5．已知复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i(a ∈R )的对应点在复平面的第二象限，则|1＋a i|的取值范围是________．答案 [1，5)解析 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎨⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2.所以|1＋a i|＝1＋a 2∈[1，5)．6．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7解析 由复数相等的充要条件，可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.。
教育最新K122019高考数学一轮复习第11章复数算法推理与证明第2讲算法与程序框图分层演练文
第2讲 算法与程序框图一、选择题1．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为2，则输入x 的最大值是( )A ．5B ．6C ．11D ．22解析：选D ．执行该程序可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>3，12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－2≤3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >8，x ≤22，即8<x ≤22，所以输入x 的最大值是22．2．(2018·新疆第二次适应性检测)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C ．依题意，结合题中的程序框图，注意到sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＝3＋32＜3，sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＋sin 4π6＝32＋3＞3，因此输出的n 的值为5，选C ．3．(2018·太原模拟)执行如图所示的程序框图，已知输出的s ∈[0，4]．若输入的t ∈[0，m ]，则实数m 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D ．由程序框图得s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ＜14t －t 2，t ≥1，图象如图所示．由图象得，若输入的t ∈[0，m ]，输出的s ∈[0，4]，则m 的最大值为4，故选D ．4．(2017·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C．由程序框图可知，N的取值依次为19，18，6，2，故输出N的值为2．5．运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线y＝x上，则判断框中可填写的条件是( )A．i>6 B．i>7C．i>8 D．i>9解析：选D．要使输出的点恰有5次落在直线y＝x上，则i＝2，3，4，…，9都不满足判断框内的条件，i＝10满足判断框内的条件，则判断框内可填写的条件是i>9，故选D．6．(2018·郑州第一次质量预测)我们可以用随机模拟的方法估计π的值，下面的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0，1)内的任何一个实数)．若输出的结果为781，则由此可估计π的近似值为( )A．3．119 B．3．124C．3．132 D．3．151解析：选B．根据题意，本题可以转化为在平面直角坐标系中，在{(x，y)|0<x<1，0<y<1}中随机产生1 000个点，其中满足{(x，y)|x2＋y2<1}的点有781个．根据几何概型概率计算公式可得7811 000＝14×π×121，由此可估计π的近似值为3．124．故选B ．7．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为()A ．35B ．20C ．18D ．9解析：选C ．根据程序框图有：n ＝3，x ＝2，v ＝1，i ＝2≥0，所以v ＝1×2＋2＝4，i ＝1≥0，所以v ＝4×2＋1＝9，i ＝0≥0，所以v ＝9×2＋0＝18，i ＝－1<0，不满足条件，跳出循环，输出v ＝18．8．(2018·东北四市教研联合体模拟)庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．这句话描述的是一个数列问题．现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈⎝⎛⎭⎪⎫1516，6364，则输入的n 的值为()A ．7B ．6C ．5D ．4解析：选C ．由程序框图，可知：S ＝12＋122＋123＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， 因为1516<S <6364，所以1516<1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <6364， 即4<n <6．又n ∈Z ，所以n ＝5．故选C ．9．(2018·福州综合质量检测)执行如图所示的程序框图，若输入的m ＝168，n ＝112，则输出的k ，m 的值分别为()A ．4，7B ．4，56C ．3，7D ．3，56解析：选C ．对第一个当型循环结构，第一次循环：k ＝1，m ＝84，n ＝56，m ，n 均为偶数；第二次循环：k ＝2，m ＝42，n ＝28，m ，n 均为偶数；第三次循环：k ＝3，m ＝21，n ＝14，因为m 不是偶数，所以结束第一个循环．又m ≠n ，所以执行第二个当型循环结构，第一次循环：d ＝|21－14|＝7，m ＝14，n ＝7，m ≠n ；第二次循环：d ＝|14－7|＝7，m ＝7，n ＝7，因为m ＝n ，所以结束循环，输出k ＝3，m ＝7，故选C ．10．如图，给出的是计算12＋14＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )A ．i ＞100，n ＝n ＋1B ．i ＞100，n ＝n ＋2C ．i ＞50，n ＝n ＋2D ．i ≤50，n ＝n ＋2解析：选C ．经第一次循环得到的结果是⎩⎪⎨⎪⎧S ＝12，n ＝4，i ＝2，经第二次循环得到的结果是⎩⎪⎨⎪⎧S ＝12＋14，n ＝6，i ＝3，经第三次循环得到的结果是⎩⎪⎨⎪⎧S ＝12＋14＋16，n ＝8，i ＝4.据观察S 中最后一项的分母与i 的关系是分母＝2(i －1)， 令2(i －1)＝100，解得i ＝51，即需要i ＝51时输出．故图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句分别是i ＞50，n ＝n ＋2． 11．(2018·福州五校联考)定义[x ]为不超过x 的最大整数，例如[1．3]＝1．执行如图所示的程序框图，当输入的x 为4．7时，输出的y 值为()A ．7B ．8．6C ．10．2D ．11．8解析：选C ．当输入的x 为4．7时，执行程序框图可知，4．7－[4．7]＝0．7，即4．7－[4．7]不等于0，因而可得y ＝7＋([4．7－3]＋1)×1．6＝10．2，输出的值为10．2，故选C ．12．(2018·湖南五市十校联考)执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为( )A ．－3B ．13C ．－12D ．2解析：选D ．第1次循环，a ＝－3，i ＝2；第2次循环，a ＝－12，i ＝3；第3次循环，a ＝13，i ＝4；第4次循环，a ＝2，i ＝5；…所以周期为4，故最后输出的a 的值为2．二、填空题13．执行如图所示的程序框图，则输出的s 的值为________．解析：由程序框图可知k ＝1，s ＝2；k ＝2，s ＝32；k ＝3，s ＝53．此时k ＜3不成立，故输出s ＝53．答案：5314．下列程序执行后输出的结果是________．i＝11⇒S＝11×1，i＝10；i＝10⇒S＝11×10，i＝9；i＝9⇒S＝11×10×9，i＝8；i＝8<9退出循环，执行“PRINT S”，故S＝990．答案：99015．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，则该算法流程图输出的结果是________．解析：由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图可知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出的结果为10．答案：1016．输入x＝5，运行如图所示的程序之后得到的y等于________．解析：由题意，得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪（x －1）2，x ≥0， 所以f (5)＝(5－1)2＝16． 答案：16。
高考数学一轮复习 第十二章算法初步、推理与证明、复数12.2《基本算法语句》收尾精炼 理 新人教A版.pdf
2014届高考一轮复习收尾精炼： 基本算法语句 一、选择题 1．给出程序如图所示，若该程序执行的结果是3，则输入的x值是( )． A．3 B．－3 C．3或－3 D．0 2．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )． A．1,3B．4,1C．0,0D．6,0 3．(2012杭州联考)将两个数a＝8，b＝17交换，使a＝17，b＝8，下面语句正确的是( )． A. B.C. D. 4．计算机执行下面的程序后，输出的结果是( )． A．1,3 B．4, 1 C．6,18 D．6,0 5．对赋值语句，描述正确的是 ( )． 可以给变量提供初值；赋值号左、右不能对换；可以给一个变量重复赋值；不能给一个变量重复赋值． A． B．C． D． 6．对该程序判断正确的是( )． A．求从1 000到1这1 000个自然数的和 B．求从1到1 000这1 000个自然数的和 C．求从1到1 000这1 000个自然数的积 D．求从1 000到1这1 000个自然数的积 7．下面为一个求20个数的平均数的程序，则在横线上应填的语句为( )． A．i＞20B．i＜20C．i＞＝20D．i＜＝20 二、填空题 8．运行下列程序，则其输出的结果为__________． 9.下列程序是求一个函数的函数值的程序，在键盘上输入一个自变量x的值，输出它的函数值． 若执行的结果为3，则输入的x值为__________． 10．运行下面程序框内的程序，在两次运行中分别输入－4和4，则运行结果依次为__________． 三、解答题 11．阅读下面的程序，试求其输出的结果是多少． 12．设计算法求1＋＋＋…＋的值，画出程序框图，并编写程序．一、选择题 1．C 解析：该算法对应的函数为y＝|x|，已知y＝3，则x＝±3. 2．B 解析：由语句知a＝1＋3＝4，b＝1. 3．B 解析：由赋值语句可知B正确． 4．C 解析：A＝A×B＝2×3＝6，B＝A×B＝6×3＝18. 5．D 解析：不可以给一个变量重复赋值． 6．B 解析：由S＝S＋i， i＝i＋1，知该程序是求从1到1 000这1 000个自然数之和． 7．A 解析：加完第20个数后有i＝21.故选A. 二、填空题 8. 解析：第1次循环： S＝，n＝4，i＝2；第2次循环：S＝，n＝8，i＝3； 第3次循环：S＝，n＝16，i＝4； 第4次循环：S＝，n＝32，i＝5； 第5次循环：S＝，n＝64，i＝6； 第6次循环：S＝，n＝128，i＝7. 满足条件结束循环，输出S的值为. 9． 4或－3 解析：此函数解析式为y＝当y＝3时，x＝4或x＝－3. 10．－1,20 解析：当x＝－4时，y＝－＝－2，y＋1＝－1；当x＝4时，y＝3＋42＝19，y＋1＝20. 三、解答题 11．解：该程序是一当型循环结构，计数变量是k，当k≤10时运行循环体． 其功能是计算S＝1＋2＋4＋6＋8＋10的值， 易知S＝31，即输出的结果为31. 12．解：程序框图： 程序：。
建省高考数学试题大汇编—第15部分 复数与推理证明
福建省各地高考数学最新试题大汇编—第15部分 复数与推理证明一、选择题：1.(福建省福州市2011年3月高中毕业班质量检查理科)如果复数z =(a 2－3a +2)+(a －1)i 为纯虚数,则实数a 的值 ( C ).A.等于1或2B.等于1C.等于2D.不存在 2．(福建省厦门市2011年高三质量检查文科)在复平面内，复数121ii+-对应的点位于（ B ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(福建省厦门市2011年高三质量检查理科)i 是虚数单位，集合21{,,},A i t A R i=则的元素个数为（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．34．(福建省莆田市2011年高中毕业班质量检查理科)复数(1)(z i i i =-+为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ C ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．(福建省古田县2011年高中毕业班高考适应性测试文科)复数2=（ A ）A．iB．iCiDi6、(福建省三明市2011年高三三校联考文科)已知复数2121,21,3z z i z bi z 若-=-=是实数，则实数b 的值为( D )A ．6-B ．0C ．61D ．6 7、(福建省三明市2011年高三三校联考文科)如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点。
一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点。
若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点;若停在偶数点上，则跳两个点。
该青蛙从5这点跳起，经2011 次跳后它将停在的点是( A )A ． 1B ．2C ．3D ．48．(福建省三明市2011年高三三校联考理科) 0=a 是复数),(R b a bi a ∈+为纯虚数的（ B ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题：9. (福建省福州市2011年3月高中毕业班质量检查文科已知复数iiz -+=11（i 是虚数单位），则=||z 1 .10. (福建省福州市2011年3月高中毕业班质量检查文科将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的一2个数称为某行某列的数，记作),(*N j i a ij ∈，如第2行第4列的数是15，记作2415a =，则有序数对()2882,a a 是. （51，63）1 4 5 16 ……23 6 15 …… 9 8 7 14 …… 10 11 12 13 …… …… …… …… ……11按照这种规律继续填写，2011出现在第 3 行第 1508 列。
高考数学一轮复习 第十二章算法初步、推理与证明、复
12.5 数学归纳法考纲要求1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法是证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取______时命题成立．(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥k 0，k ∈N *)时命题成立，证明当______时命题也成立． 2．应用数学归纳法时特别注意：(1)数学归纳法证明的对象是与______有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．1．用数学归纳法证明3n≥n 3(n ∈N ，n ≥3)，第一步应验证( )． A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3 D ．n ＝42．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n ＋1＝2n ＋2－1(n ∈N *)的过程中，在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( )．A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋22D ．1＋2＋22＋233．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2，则( )．A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋144．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ＞1)”，由n ＝k (k ＞1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是__________．5．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a na n ＋1，则数列的前5项为__________，猜想它的通项公式是__________．一、用数学归纳法证明恒等式【例1】n ∈N *，求证：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12).方法提炼用数学归纳法证题的关键是第二步由n ＝k 到n ＝k ＋1的过渡，要设法将待证式与归纳假设建立联系，即借助于已经学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把n ＝k ＋1时的表达式拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明．请做演练巩固提升2二、用数学归纳法证明不等式【例2】设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1a n(n ＝1,2，…)．(1)证明：a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立； (2)令b n ＝a nn(n ＝1,2，…)，判断b n 与b n ＋1的大小，并说明理由． 方法提炼用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式．事实上，在合理运用归纳假设后，可以使用证明不等式的任何方法证明目标式成立．请做演练巩固提升3三、用数学归纳法证明几何问题【例3】用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线的条数为f (n )＝12n (n －3)(n ≥3)．方法提炼用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成k ＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析；事实上，将n ＝k ＋1和n ＝k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧．请做演练巩固提升1四、归纳—猜想—证明【例4】设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2，3，….(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； (2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2. 方法提炼“归纳—猜想—证明的模式”，是不完全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式，这种方法在解决探索性、存在性问题时起着重要作用，它的证题模式是先由归纳推理发现结论，然后用数学归纳法证明结论的正确性，这种思维方式是推动数学研究与发展的重要方式．请做演练巩固提升5数学归纳法解题步骤要求【典例】(14分)(2012湖北高考)(1)已知函数f (x )＝rx －x r＋(1－r )(x ＞0)，其中r 为有理数，且0＜r ＜1，求f (x )的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数．若b 1＋b 2＝1，则1212b ba a ≤a 1b 1＋a 2b 2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)′＝αx α－1. 规范解答：(1)f ′(x )＝r －rx r －1＝r (1－x r －1)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)内是减函数； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数．故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.(4分)(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r≤rx ＋(1－r )．① 若a 1，a 2中有一个为0，则1212bba a ≤a 1b 1＋a 2b 2成立；若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1, 于是在①中令x ＝a 1a 2，r ＝b 1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a2b 1≤b 1·a 1a 2＋(1－b 1)，即11112bb a a -≤a 1b 1＋a 2(1－b 1)，亦即1212b ba a ≤a 1b 1＋a 2b 2.综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 2＝1，总有1212bba a ≤a 1b 1＋a 2b 2.②(8分)(3)(2)中命题的推广形式为：设a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数． 若b 1＋b 2＋…＋b n ＝1，则1212bba a …n bn a ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .③用数学归纳法证明如下：(ⅰ)当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 1，③成立．(10分)(ⅱ)假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则1212bba a …k bk a ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即1－b k ＋1＞0，于是1212b b a a …11k k b b k k a a ++＝(1212b b a a …k b k a )11k b k a ++＝11212111111121k k k k k k b b b b b b b b k k a a a a +++++----+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭L .(12分)因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k1－b k ＋1＝1，由归纳假设可得1211111112k k k k b b b b b b kaa a +++---L ≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k1－b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k1－b k ＋1，从而1111211122121111k k k k b bbb bbk k k k k k a b a b a b a a a a a b +++-+++⎛⎫+++≤⋅ ⎪-⎝⎭L L .又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得1111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭L ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k1－b k ＋1·(1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而112121k k bbbbk k a a a a ++L ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1.故当n ＝k ＋1时，③成立．由(ⅰ)(ⅱ)可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．(14分) 答题指导：解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时，有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：1．归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难．2．证明n ＝k 到n ＝k ＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法．3．不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证． 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题．1．平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，则这n 个圆将平面分成不同的区域有( )．A ．2n 个B ．2n个C ．n 2－n ＋2个D ．n 2＋n ＋1个2．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )．A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立3．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )．A ．f (1)＜1成立，则f (10)＜100成立B ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立D ．若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立4．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验的第一个值为n 0＝__________.5．设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明：{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1.参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)第一个值n 0(n 0∈N *) (2)n ＝k ＋1 2．(1)正整数 基础自测 1．C 2．C 3．D4．2n－1 解析：当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1＋…＋12n ＋1－1＜n ＋1，∴左边增加的项的项数为2n ＋1－1－2n ＝2n ＋1－1－2n ＝2n－1项． 5．12，13，14，15，16 a n ＝1n ＋1 考点探究突破【例1】证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12.左边＝右边．(2)假设n ＝k 时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k，则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．【例2】(1)证明：当n ＝1时，a 1＝2＞2×1＋1，不等式成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＞2k ＋1成立． 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋12＝a k 2＋1a k2＋2＞2k ＋3＋1a k2＞2(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，a k ＋1＞2(k ＋1)＋1成立． 综上，a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立．(2)解：∵b n ＋1b n ＝a n ＋1n ＋1a nn＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1an2·nn ＋1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋1·n n ＋1 ＝2(n ＋1)n (2n ＋1)n ＋1＝2n (n ＋1)2n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122－14n ＋12＜1.故b n ＋1＜b n .【例3】证明：(1)∵三角形没有对角线， ∴n ＝3时，f (3)＝0，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥3)时，命题成立，即f (k )＝12k (k －3)，则当n ＝k ＋1时，凸k 边形由原来的k 个顶点变为k ＋1个顶点，对角线条数增加k －1条．∴f (k ＋1)＝f (k )＋k －1＝12k (k －3)＋k －1＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]．∴当n ＝k ＋1时命题成立，由(1)，(2)可知对任何n ∈N 且n ≥3，命题恒成立． 【例4】解：(1)由a 1＝2，得a 2＝a 12－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 32－3a 3＋1＝5，由此猜想a n 的一个通项公式：a n ＝n ＋1(n ≥1)． (2)证明：用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立． ②假设当n ＝k 时不等式成立， 即a k ≥k ＋2，那么，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3， 也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2. 根据①和②，对于所有n ≥1，都有a n ≥n ＋2. 演练巩固提升1．C 解析：n ＝2时，分成4部分，可排除D ；n ＝3时，分成8部分，可排除A ；n ＝4时，分成14部分，可排除B ，故选C.2．B 解析：n 为正偶数，若n ＝k ，则下一个正偶数为n ＝k ＋2，故选B. 3．D 解析：f (4)≥16，说明当k ＝4时，f (k )≥k 2成立．f (k )≥k 2成立时，f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立，说明n ＝k 时f (n )≥n 2成立能推出n ＝k ＋1时，f (n )≥n 2成立，根据数学归纳法可得当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立．4．4 解析：∵凸多边形要有对角线，至少也是四边形，∴n 0＝4. 5．证明：先证必要性． 设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d·a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N *都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3①两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ， 则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k＝k －1a 1a k，②1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，③将②代入③，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1， 得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k .将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后， 得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N *，都有a n ＝a 1＋(n －1)d . 所以{a n }是公差为d 的等差数列．。
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2012年高考数学试题解析 分项版之专题14 复数 推理与证明 教师版 文 一、选择题: 1. （2012年高考新课标全国卷文科2）复数z＝－3+i2+i的共轭复数是 （A）2+i （B）2－i （C）－1+i （D）－1－i
2.（2012年高考山东卷文科1）若复数z满足(2)117i(izi为虚数单位)，则z为 (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i 【答案】A
【解析】iiiiiiiiz5352515)2)(2()2)(711(2711.故选A.
3.（2012年高考辽宁卷文科3）复数11i (A) 1122i (B)1122i (C) 1i (D) 1i
4.(2012年高考广东卷文科1)设i为虚数单位，则复数34ii= A -4-3i B -4+3i C 4+3i D 4-3i 【答案】D
【解析】因为34ii=(34)()1ii43i,故选D. 【考点定位】本题考查复数的四则运算,属容易题. 5.(2012年高考天津卷文科1)i是虚数单位，复数534ii= （A）1-i （B）-1+I （C）1+I （D）-1-i 【答案】C
【解析】复数iiiiiiii1171717)4)(4()4)(35(435，选C. 6．(2012年高考北京卷文科2)在复平面内，复数103ii对应的点的坐标为 A． (1 ,3) B．(3,1) C．(-1,3) D．(3 ,-1) 【答案】A 【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。
iiiiiiiiiii3110301091030)3)(3()3(1031022，实部为1，虚部为3，对应复平面上
的点为(1,3)，故选A． 7.（2012年高考安徽卷文科1）复数z 满足()2ziii，则z（ ） （A）1i （B）1i （C）13i （D）12i
8. (2012年高考湖南卷文科2)复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
9. (2012年高考浙江卷文科2) 已知i是虚数单位，则31ii= A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i 【答案】D
【解析】31ii(3)(1)2412(1)(1)2iiiiii. 【命题意图】本题主要考查了复数的四则运算法则，通过利用分母实数化运算求解。 10. (2012年高考福建卷文科1)复数（2+i）2等于 A.3+4i B.5+4i C.3+2i D.5+2i
11.(2012年高考全国卷文科12)正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，13AEBF。动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为 （A）8 （B）6 （C）4 （D）3 【答案】B 【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞6次即可.
12. (2012年高考上海卷文科15)若12i是关于x的实系数方程20xbxc的一个复数根，则（ ） A．2,3bc B.2,1bc C.2,1bc D.2,3bc
13. (2012年高考陕西卷文科4)设,Rab，i是虚数单位，则“0ab”是“复数i
ba
为纯虚数”的（ B ）A．充分不必要条件 B。必要不充分条件 C 。充分必要条件 D。既不充分也不必要条件
14. (2012年高考江西卷文科1)若复数z=1+i (i为虚数单位) z是z的共轭复数 ， 则2z+z²的虚部为
A 0 B -1 C 1 D -2 【答案】A 【解析】考查复数的基本运算 15. (2012年高考江西卷文科5)观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4 ， |x|+|y|=2的不同整数解（x,y）的个数为8， |x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12 ….则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为 A.76 B.80 C.86 D.92 【答案】B 【解析】本题主要为数列的应用题，观察可得不同整数解的个数可以构成一个首先为4，公差为4的等差数列，则所求为第20项，可计算得结果.
16. (2012年高考上海卷文科18)若2sinsin...sin777nnS（nN），则在
12100,,...,SSS中，正数的个数是（ ）
A．16 B.72 C.86 D.100
二、填空题: 17. （2012年高考江苏卷3）设abR，，117ii12iab（i为虚数单位），则ab的值为 ▲ ．
18. (2012年高考上海卷文科1)计算：31ii （i为虚数单位） 【答案】 12i 【解析】31ii242i=12i. 【考点定位】本小题考查复数的四则运算,属容易题,复数是高考的热点内容之一,年年必考.
19. (2012年高考湖北卷文科12)若=a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=____________. 【答案】3
【解析】由题意知:3bi()(1)abii,所以由复数相等的定义知3ab且bab,
解得0,3ab,所以a+b=3. 【考点定位】本小题考查复数相等的含义.复数的运算及复数相等是复数的重点内容之一,也是高考的重点内容,年年必考,以选择或填空题的形式出现. 20. (2012年高考湖北卷文科17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3， 6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测： （Ⅰ）b2012是数列{an}中的第______项； （Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）
21. (2012年高考福建卷文科16)某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.
现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为____________。 22. (2012年高考陕西卷文科12)观察下列不等式 213122
231151233，
222111512343
……照此规律，第五个．．．不等式为 1+212+213+214+215+216<116
三、解答题: 23.(2012年高考北京卷文科20)（本小题共13分） 设A是如下形式的2行3列的数表， a b c d e f 满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0. 记ri（A）为A的第i行各数之和（i=1,2），Cj（A）为第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。 对如下数表A，求k（A）的值
设数表A形如 其中-1≤d≤0，求k（A）的最大值； （Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A ，求k(A)的最大值。
24. (2012年高考福建卷文科20)（本小题满分13分） 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。 （1）sin213°+cos217°-sin13°cos17° （2）sin215°+cos215°-sin15°cos15° （3）sin218°+cos212°-sin18°cos12° （4）sin2（-18°）+cos248°- sin（-18°）cos48° （5）sin2（-25°）+cos255°- sin（-25°）cos55° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。、 25. (2012年高考上海卷文科23)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
对于项数为m的有穷数列na，记12max,,...,kkbaaa（1,2,...,km），即kb为
12,,...,kaaa中的最大值，并称数列nb是na的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列
是1，3，3，5，5. （1）若各项均为正整数的数列na的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的na；
（2）设nb是na的控制数列，满足1kmkabC（C为常数，1,2,...,km），求证：kkba（1,2,...,km）；
（3）设100m，常数1,12a，若(1)22(1)nnnaann，nb是na的控制数列，求1122()()baba100100...()ba. 【解析】