最优化建模方法与技巧.ppt

2、运输模型的例子——选址问题 、运输模型的例子 选址问题
某公司有6个建筑工地，位置坐标为(ai, bi) (单位：公里), 水泥日用量di (单位：吨）
i a b d １ 1.25 1.25 3 ２ 8.75 0.75 5 ３ 0.5 4.75 4 ４ 5.75 5 7 ５ 3 6.5 6 ６ 7.25 7.75 11
i ci1 （料场 A） ） ci 2 （料场 B） ）
1 3 0 2 5 0 3 0 4 4 7 0 5 0 6 6 1 10
总吨公里数为136.2 总吨公里数为136.2
选址问题： 选址问题：非线性规划问题
2）改建两个新料场，需要确定新料场位置(xj,yj)和 运量cij ，在其它条件不变下使总吨公里数最小。
= ( xi (0) − x j (0) + vt (cos π (α i + ∆α i ) / 180 − cos π (α j + ∆α j ) /180) 2 + ( yi (0) − y j (0) + vt (sin π (α i + ∆α i ) /180 − sin π (α j + ∆α j ) /180) 2
6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。 请你对这个避免碰撞的飞机管理问题建立数学模型，列出 计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01 度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。 设该区域内4个顶点的坐标为 (0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。 记录数据为： 飞机编号 1 2 3 4 5 新进入 横坐标x 150 85 150 145 130 0 纵坐标y 40 85 155 50 150 0 方向角（度） 243 236 220.5 159 230 52
买入价(元 桶 买入量(桶 天 辛烷值(%) 硫含量 硫含量(%) 原油类别 买入价 元/桶) 买入量 桶/天) 辛烷值 A B C 45 35 25 ≤5000 ≤5000 ≤5000 12 6 8 0.5 2.0 3.0
1:1
汽油类别 甲 乙 丙
加工费: 4元/桶
能力: <= 14000桶/天
卖出价(元 桶 卖出价 元/桶) 70 60 50
需求量(桶 天 辛烷值(%) 硫含量 硫含量(%) 需求量 桶/天) 辛烷值 3000 ≥10 ≤1.0 2000 ≥8 ≤2.0 1000 ≥6 ≤1.0
安排生产计划，在满足需求的条件下使利润最大
甲(3000) A/45 X1 X4 X7
乙(2000) X2 X5 X8
丙(1000) X3 X6 X9
决策变量和参数 我们称对应决策者可控的量称为决策变量,决策变 量的取值确定了系统的最终性能,也是决策者采用决策 的依据。在系统中还有一些量,它不能由决策者所控制, 而是由系统所处的环境所决定,我们称之为参数。在一 些问题的建模过程中，确定变量经常是第一步的同时 也可能是最困难的工作。 约束条件 约束条件决定了决策变量和参数之间的关系。约束 集界定决策变量可以取某些值而不能取其他的值。比 如对应生产问题, 任何活动中,时间和物品不能为负数。 当然,也有一些优化问题不带约束条件,我们称之为无 约束优化问题。而在实际问题中,决策变量带有约束是 普遍的。有时一些问题的约束可能非常复杂。
假设：料场 和工地之间 有直线道路
1)现有 2 料场，位于 A (5, 1), B (2, 7), 记(xj,yj),j=1,2, 日储量 ej 各有 20 吨。
目标： 制定每天的供应计划，即从 A, B 两料场分别向
各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。
min
决策变量：ci j (料场j到工地i的 s.t . 运量）~12维 线性规划模型
在约10000米的高空某边长为160公里的正方形区域内， 经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速 度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一驾 欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立 即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞， 则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角， 以避免碰撞。现假定条件如下： 1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里； 2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度； 3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里； 4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离 应在60公里以上； 5）最多需考虑6架飞机；
0 <t < 0.282 2 min dij (t ) > 64, i = 1,L 6, j = 1,L 6, i ≠ j.
所以，我们可以得到如下的最优化问题：
min A = ∑ | ∆α i |
i =1
6
s.t.
0 <t < 0.282
2 min dij (t ) > 64, i = 1,L 6, j = 1,L 6, i ≠ j.
问题分析：
对题目的分析可知本题是一个最优化问题，要求对每架飞 机的飞行角度进行调整以便避免相撞，由于仅仅在平面区 域中考虑，所以每架飞机的调整角度是一个实数。因此本 问题的决策变量非常明确。目标的要求是使得调整的角度 尽可能的小，所以，目标函数也可以非常简单的表达出来， 即
min A = ∑ | ∆α i |
| ∆α i |≤ 30°, i = 1,L , 6.
cij [( x j − ai ) 2 + ( y j − bi ) 2 ]1/ 2 ∑∑
j =1 i =1
2
6
∑
j =1 6
2
cij = d i , cij ≤ e j ,
i = 1,..., 6 j = 1, 2
∑
i =1
cij ≥ 0, i = 1,..., 6, j = 1, 2
用例中数 据计算， 最优解为
一般的运输问题可以表述如下： 一般的运输问题可以表述如下：
要把某种物资从 m 个发点 Ai , i = 1,2,L, m ， 调运给需要这种物资的 n 个收点 B j , j = 1,2,L, n 已知 ∑ ai = ∑ b j ，从 Ai 运一个单位的产品到 B j
i =1 i =1 m n
的运价为 cij . 现在需要确定一个调运方案， 现在需要确定一个调运方案，即确定由 Ai 到 B j 的运输量 xij , i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n ，在满 足供需要求的条件下，使总运输费用最省. 足供需要求的条件下，使总运输费用最省.
最优化问题建模方法与技巧
温罗生博士 2012年4月
内容提要
• • • • • • • 优化问题引例和基本结构 运输模型的例子——线性和非线性规划 飞行管理问题——复杂的约束 钻井布局问题——整数变量的使用 —— 确定性和随机性——简单和复杂的例子 单目标和多目标——风险投资组合问题 思考及练习
1、优化问题引例（原油生产计划）和基本结构 、优化问题引例（原油生产/25
目标： 总利润最大
max z = 70 ⋅ 3000 + 60 ⋅ 2000 + 50 ⋅1000 − 4 ⋅ 6000 − 45( x1 + x2 + x3 ) − 35( x4 + x5 + x6 ) − 25(x7 + x8 + x9 ) = 356000 − min f
因此，要两架飞机不碰撞，应该满足
2 min dij (t ) > 64. t >0
因为题目要求仅仅在目标区域内考虑控制问题，即时间 不需要在（0，+∞）上考虑，但是确定t的取值范围不是 容易的事情，一个简单的处理办法是由于考虑的区域为 160公里，而飞机的时速为800公里，因此，穿过对角线 所用的时间约为0.282.因此上面的约束可以大致的表达 为
min s.t.
cij [( x j − ai ) 2 + ( y j − bi ) 2 ]1/ 2 ∑∑
j =1 i =1
2
6
决策变量： ci j，(xj,yj)~16维
∑
j =1 6
2
cij = d i , i = 1,..., 6
非线性规划模型
∑
i =1
cij ≤ e j ,
j = 1, 2
cij ≥ 0, i = 1,..., 6, j = 1, 2
约束
含量限制
非负限制
12 x3 + 6 x6 + 8 x9 ≥ 6 ⋅ 1000 0.5 x1 + 2 x 4 + 3x7 ≤ 3000 0.5 x 2 + 2 x5 + 3 x8 ≤ 2 ⋅ 2000 0.5 x3 + 2 x6 + 3x9 ≤ 1000 x≥0
为一定的目的做一些事情,我们可能要考虑有哪些重 要的因素,这些因素和要完成的目标之间有什么样的关系. 也就是说,我们在做一个决定时,会注意下面的三个要点: 目的是什么?有哪些重要的因素?这些因素和你的目标之 间有什么样的关系? 对应于前面的三个要点,便是建立最优化问题数学模 型的三个要素:目标函数，决策变量，约束条件。 目标函数 对应决策者而言,对其有利的程度必须定量的测度, 在商业应用中，有效性的测度经常是利润或者成本, 但 对于政府，更经常的使用投入产出率来测度。表示有效 性测度的经常称为目标函数.目标函数要表出测度的有效 性, 必须说明测度和导致测度改变的变量之间的关系。 一般地，数学模型很少有能表达变量和有效性测度之间 的精确关系的。实际上，运筹学分析者的任务就是找出 实际上， 实际上 对测度有最重要影响的变量， 对测度有最重要影响的变量，然后找出这些变量和测度 之间的数学关系。 之间的数学关系。这个数学关系也就是目标函数。
xi (t ) = xi (0) + vt cos(α i + ∆α i ) , i = 1,L , 6 yi (t ) = yi (0) + vt sin(α i + ∆α i )