2011年高考数学难点、重点突破精讲精练专题四-数列中的应用问题(学生版)

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2011高考数学单元复习训练20：数列的综合运用

课时训练20 数列的综合运用【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.已知-9，a1,a2,a3,-1五个实数成等比数列，-9，b1,b2，-1四个实数成等差数列，则a2(b1-b2)等于（）A.-B.8C.-8D.±8【答案】B【解析】由已知得a2=-3,b1=-,b2=-,∴a2(b1-b2)=-3×(-)=8.2.在等差数列{a n}中，a1+a2+a3=3,a28+a29+a30=165，则此数列前30项的和等于（）A.810B.840C.870D.900【答案】B【解析】由已知得a2=1,a29=55,故S30==15(a2+a29)=840.3.已知{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，其公比q≠1，且b i＞0（i=1,2,3,…,n），若a1=b1,a11=b11,则（）A.a6=b6B.a6＞b6C.a6＜b6D.a6＞b6或a6＜b6【答案】B【解析】a6==b6.4.已知数列{a n}的通项公式a n=5n-1，数列{b n}满足b1=,b n-1=32b n,若a n+logλb n为常数，则满足条件的λ（）A.唯一存在，且值为B.唯一存在，且值为2C.至少存在1个D.不一定存在【答案】B【解析】b n=b1q n-1=()n-1=26-5n，∴a n=logλb n=5n-1+(6-5n)·logλ2为常数.∴5-5logλ2=0，即λ=2.5.若数列{a n}满足a n+1=若a1=,则a2 006的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】因a1=，故a2=2a1-1=,a3=2a2-1=,a4=2a3=.故{a n}是以3为周期的数列，a2 006=a2=.6.(2010福建厦门一中模拟，8)已知等比数列{a n}的首项为8，S n是其前n 项的和，某同学经计算得S1=8，S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为( )A.S1B.S2C.S3D.S4【答案】C【解析】由a1=8,知S1=8，若S2=20，则q=,此时S3==38,S4==65,故S3算错了.7.在如右图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，则a+b+c的值为( )A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】易知每列均为公比为的等比数列，即a=2×()2=0.5,b=2.5×()3=,c=3×()4=,a+b+c=1.二、填空题（每小题5分，共15分）8.一牧羊人赶着一群羊通过36个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只剩2只羊，牧羊人原来有_____________只羊.【答案】2解法一：（逆推）过最后一个关口有两只羊，则过第35个关口也是2只羊，依次类推，原来有2只羊.解法二：设原有羊x只，则过第n个关口有a n，则a1=+1,a n=a n-1+1,∴a n-2= (a n-1-2),{a n-2}为等比数列，∴a n=2+(x2-1)()n-1.依题意，2+（-1）()n-1=2x=2.9.64个正数排成8行8列，如下所示a11 a12 … a18a21 a22 … a28… … … …a81 a82 … a88在符号a ij（1≤i≤8,1≤j≤8）中，i表示该数所在的行数，j表示该数所在的列数，已知每一行都成等差数列，而每一列都成等比数列（且每列公比都相等），a11=,a24=1,a32=,则a ij的通项公式为a ij=_________________.【答案】j·（）i【解析】由题设第二行的公差为d，每一列的公比为q,则q=.解得d=或d=(舍，此时a21＜0＝),q=,∴a ij=a2j·（）i-2=［a24+(j-4)·］·（）i-2=j·（）i.10.三个实数6、3、-1排成一行，在6和3之间插入两个实数，3和-1之间插入一个实数，使得这6个数中的前三个，后三个分别成等差数列，且插入的3个数本身顺次成等比数列，那么所插入的这3个数的和可能是：①;②3;③;④7.其中正确的序号是（把正确的序号都填上）.【答案】①④【解析】设插入的三个数为x、y、z，则解得三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.已知A n（n,a n）为函数y1=图象上的点，B n(n,b n)为函数y2=x图象上的点，设c n=a n-b n,其中n∈N*.(1)求证：数列{c n}既不是等差数列也不是等比数列;(2)试比较c n与c n+1的大小.(1)证明：依题意，a n=,b n=n,c n=-n.假设{c n}是等差数列，则2c2=c1+c3,2(-2)=-1+-3.有2=+，产生矛盾，∴{c n}不是等差数列.假设{c n}是等比数列，则c22=c1c3,即（-2）2=（-1）（-3），有21=47，产生矛盾.∴{a n}也不是等比数列.(2)【解析】∵c n+1=-(n+1)＞0,c n=-n＞0,∴=.又∵0＜,0＜n＜n+1,∴+n+1,∴0＜＜1,∴＜1,即c n+1＜c n.12.设数列{a n}和{b n}满足a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,且数列{a n+1-a n}(n∈N*)是等差数列，数列{b n-2}(n∈N*)是等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）是否存在k∈N*,使a k-b k∈(0,)?若存在，求出k；若不存在，说明理由.【解析】(1)由已知a2-a1=-2,a3-a2=-1,d=-1-(-2)=1.∴a n+1-a n=(a2-a1)+(n-1)·1=n-3.n≥2,a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1)=(n-4)+(n-5)+…+(-1)+(-2)+6=.n=1也合适.∴a n=(n∈N*).又b1-2=4,b2-2=2.即q==，∴b n-2=(b1-2)·（）n-1,即b n=2+8·（）n.∴数列{a n}{b n}的通项公式为：a n=,b n=2+()n-3.(2)设f（k）=a k-b k=k2-k+7-8·（）k=(k-)2+-8·（）k.当k≥4时（k-）2+为k的增函数，-8·（）k也为k的增函数，而f(4)= .∴当k≥4时a k-b k≥.又f(1)=f(2)=f(3)=0,∴不存在k，使f(k)∈(0,).13.（2010全国大联考，22）已知正项数列{a n} 满足a1=a(0＜a＜1＝,且a n+1=.求证:(1)0＜a n+1＜；(2)a n=;(3)+…+＜1.证明：(1)∵y=,∴函数y=(0＜x＜1)是增函数.由已知a n+1=,0＜a n＜1,∴0＜a n+1＜.(2)∵a n+1=(n∈N*),∴1(n∈N*),即数列{}是首项为,公差为1的等差数列.∴=+(n-1),a n=(n∈N*).(3)由已知a n=(∵0＜a＜1),∴+…++…+=1-＜1.14.已知数列{a n}满足:a1=2,a n+1=2(1+)2a n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(An2+Bn+C)·2n,试推断是否存在常数A，B，C，使对一切n∈N*都有a n=b n+1-b n成立？说明你的理由;(3)求证：a1+a2+a3+…+a n≥2n+2-6.(1)【解析】由已知a n+1=2·（）2a n,即.∴数列{}是公比为2的等比数列,又=2,∴=2n.∴a n=2n ·n2.(2)【解析】∵b n+1-b n=［An2+(4A+B)n+2A+2B+C］·2n若a n=b n+1-b n恒成立，则n2=An2+(4A+B)n+2A+2B+C恒成立.∴故存在常数A、B、C满足条件.（3）证明：a1+a2+…+a n=(b2-b1)+(b3-b2)+…+(b n+1-b n)=b n+1-b1=［(n+1)2-4(n+1)+6］·2n+1-6=(n2-2n+3)·2n+1-6=［(n-1)2+2］·2n+1-6≥2n+2-6.。

2011年高考数学难点最后突破专题讲义13

2011年高考数学难点最后突破专题讲义13难点13 数列的通项与求和数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项。

通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法.●难点磁场(★★★★★)设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项.(1)写出数列{a n }的前3项.(2)求数列{a n }的通项公式(写出推证过程)(3)令b n =)(2111+++n n n n a a a a(n ∈N *)，求lim ∞→n (b 1+b 2+b 3+…+b n －n ).●案例探究［例1］已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x )=(x －1)2，且a 1=f (d －1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q +1)，b 3=f (q －1)，(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，都有nn c c b c b c +++ 2111=a n +1成立，求lim∞→n nn S S 212+. 命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n 项和，实质上是该数列前n 项和与数列{a n }的关系，借助通项与前n 项和的关系求解c n 是该条件转化的突破口.错解分析：本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a 1、b 1、d 、q ，计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.技巧与方法：本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{d n }，运用和与通项的关系求出d n ，丝丝入扣.解：(1)∵a 1=f (d －1)=(d －2)2，a 3=f (d +1)=d 2， ∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ，∵d =2，∴a n =a 1+(n －1)d =2(n －1)；又b 1=f (q +1)=q 2，b 3=f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(qq b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2， ∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1(2)令nnb c =d n ，则d 1+d 2+…+d n =a n +1,(n ∈N *), ∴d n =a n +1－a n =2, ∴n n b c =2,即c n =2·b n =8·(－2)n －1；∴S n =38［1－(－2)n ］. ∴2lim ,1)21(2)21()2(1)2(121222212212-=--+-=----=+∞→++n n n n n nn n n S SS S［例2］设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n =23(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n =4n +3; (1)求数列{a n }的通项公式；(2)把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列{d n }的通项公式为d n =32n +1;(3)设数列{d n }的第n 项是数列{b n }中的第r 项，B r 为数列{b n }的前r 项的和；D n 为数列{d n }的前n 项和，T n =B r －D n ，求lim∞→n 4)(n na T . 命题意图：本题考查数列的通项公式及前n 项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力.知识依托：利用项与和的关系求a n 是本题的先决；(2)问中探寻{a n }与{b n }的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.错解分析：待证通项d n =32n +1与a n 的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r 与n 的关系，使T n 中既含有n ，又含有r ，会使所求的极限模糊不清.技巧与方法：(1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n 与r 的关系，正确表示B r ，问题便可迎刃而解.解：(1)由A n =23(a n －1)，可知A n +1=23(a n +1－1)， ∴a n +1－a n =23 (a n +1－a n )，即n n a a 1+=3，而a 1=A 1=23(a 1－1)，得a 1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{a n }的通项公式a n =3n .(2)∵32n +1=3·32n =3·(4－1)2n =3·［42n +C 12n ·42n －1(－1)+…+C 122-n n ·4·(－1)+(－1)2n］=4n +3，∴32n +1∈{b n }.而数32n =(4－1)2n =42n +C 12n ·42n －1·(－1)+…+C 122-n n ·4·(－1)+(－1)2n =(4k +1)， ∴32n ∉{b n }，而数列{a n }={a 2n +1}∪{a 2n }，∴d n =32n +1. (3)由32n +1=4·r +3，可知r =43312-+n ，∴B r =)19(827)91(9127,273433)52(2)347(1212-=-⋅-=+⋅-=+=++++nn n n n D r r r r ，89)(lim ,3)(,433811389)19(827821349444241212=∴=+⋅-⋅=---⋅+=-=∴∞→++n n n n n n n nn n n r n a T a D B T ●锦囊妙计1.数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同.因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性.2.数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧≥-=-2,1,11n S S n S n n3.求通项常用方法①作新数列法.作等差数列与等比数列.②累差叠加法.最基本形式是：a n =(a n －a n －1+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1. ③归纳、猜想法.4.数列前n 项和常用求法 ①重要公式1+2+…+n =21n (n +1) 12+22+…+n 2=61n (n +1)(2n +1)13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=41n 2(n +1)2②等差数列中S m +n =S m +S n +mnd ，等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n .③裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项：等)!1(1!1)!1(1,C C C ,ctg2ctg 2sin 1,!)!1(!,111)1(111+-=+-=-=-+=⋅+-=++-n n n ααn n n n n n n n rn r n n nα④错项相消法 ⑤并项求和法数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法. ●歼灭难点训练一、填空题1.(★★★★★)设z n =(21i -)n，(n ∈N *)，记S n =｜z 2－z 1｜+｜z 3－z 2｜+…+｜z n +1－z n ｜，则lim ∞→n S n =_________.2.(★★★★★)作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________.二、解答题3.(★★★★)数列{a n }满足a 1=2，对于任意的n ∈N *都有a n ＞0,且(n +1)a n 2+a n ·a n +1－na n +12=0，又知数列{b n }的通项为b n =2n －1+1.(1)求数列{a n }的通项a n 及它的前n 项和S n ； (2)求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)猜想S n 与T n 的大小关系，并说明理由.4.(★★★★)数列{a n }中，a 1=8,a 4=2且满足a n +2=2a n +1－a n ,(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n =｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a n ｜,求S n ;(3)设b n =)12(1n a n -(n ∈N *),T n =b 1+b 2+……+b n (n ∈N *),是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N *均有T n ＞32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 5.(★★★★★)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =(m +1)－ma n .对任意正整数n 都成立，其中m 为常数，且m ＜－1.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比q =f (m )，数列{b n }满足：b 1=31a 1,b n =f (b n －1)(n ≥2,n ∈N *).试问当m 为何值时，)(3lim )lg (lim 13221n n n n n n b b b b b b a b -∞→∞→+++=⋅ 成立？6.(★★★★★)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145. (1)求数列{b n }的通项b n ； (2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论. 7.(★★★★★)设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式：3tS n －(2t +3)S n －1=3t (t ＞0,n =2,3,4…).(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1=1,b n =f (11-n b )(n =2,3,4…)，求数列{b n }的通项b n ；(3)求和：b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1.参考答案难点磁场解析：(1)由题意，当n =1时，有11222S a =+，S 1=a 1， ∴11222a a =+，解得a 1=2.当n =2时，有22222S a =+，S 2=a 1+a 2，将a 1=2代入，整理得(a 2－2)2=16，由a 2＞0，解得a 2=6.当n =3时，有33222S a =+，S 3=a 1+a 2+a 3，将a 1=2，a 2=6代入，整理得(a 3－2)2=64，由a 3＞0，解得a 3=10.故该数列的前3项为2，6，10.(2）解法一：由(1）猜想数列{a n }.有通项公式a n =4n －2.下面用数学归纳法证明{a n }的通项公式是a n =4n －2，(n ∈N *）.①当n =1时，因为4×1－2=2，，又在(1)中已求出a 1=2，所以上述结论成立.②假设当n =k 时，结论成立，即有a k =4k －2，由题意，有k k S a 222=+，将a k =4k －2.代入上式，解得2k =k S 2，得S k =2k 2，由题意，有11222++=+k k S a ，S k +1=S k +a k +1，将S k =2k 2代入得(221++k a )2=2(a k +1+2k 2)，整理得a k +12－4a k +1+4－16k 2=0，由a k +1＞0，解得a k +1=2+4k ，所以a k +1=2+4k =4(k +1)－2，即当n =k +1时，上述结论成立.根据①②，上述结论对所有的自然数n ∈N *成立.解法二：由题意知n n S a 222=+，(n ∈N *).整理得，S n =81(a n +2)2,由此得S n +1=81(a n +1+2)2，∴a n +1=S n +1－S n =81［(a n +1+2)2－(a n +2)2］.整理得(a n +1+a n ）(a n +1－a n －4)=0，由题意知a n +1+a n ≠0，∴a n +1－a n =4，即数列{a n }为等差数列，其中a 1=2，公差d =4.∴a n =a 1+(n －1)d =2+4(n －1)，即通项公式为a n =4n －2.解法三：由已知得n n S a 222=+,(n ∈N *)①，所以有11222++=+n n S a ②，由②式得11222++=+-n n n S S S ，整理得S n +1－22·1+n S +2－S n =0，解得n n S S ±=+21，由于数列{a n }为正项数列，而2,211>+∴=+n n S S S ，因而n n S S +=+21，即{S n }是以21=S 为首项，以2为公差的等差数列.所以n S =2+(n －1)2=2n ,S n =2n 2，故a n =⎩⎨⎧≥-=-=-)2(,24)1(,21n n S S n n n 即a n =4n －2(n ∈N *).(3)令c n =b n －1，则c n =)2(2111-+++n n n n a a a a.1)1211(lim )(lim ,1211)121121()5131()311(,121121)]11212()11212[(21212121=+-=-+++∴+-=+--++-+-=+++=-++++--=-+-+--+=∞→∞→n n b b b n n n c c c n b b b n n n n n n n n n nn 歼灭难点训练一、,)22(|)21()21(|||:.1111+++=---=-=n n n n n n i i z z c 设解析22)22(1221])22(1[2121--=--=+++=∴nn n n c c c S 221222221lim +=+=-=∴∞→n n S 答案：1+22 2.解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列{a n }，可得a n =12-n a ，正三角形的内切圆构成等比数列{r n }，可得r n =12163-n a ,∴这些圆的周长之和c =lim ∞→n 2π(r 1+r 2+…+r n )=233π a 2，面积之和S =lim ∞→n π(n 2+r 22+…+r n 2)=9πa 2 答案：周长之和233πa ，面积之和9πa 2二、3.解：(1）可解得11+=+n na a n n ，从而a n =2n ，有S n =n 2+n ， (2)T n =2n +n －1.(3)T n －S n =2n －n 2－1，验证可知，n =1时，T 1=S 1，n =2时T 2＜S 2；n =3时，T 3＜S 3;n =4时，T 4＜S 4；n =5时，T 5＞S 5；n =6时T 6＞S 6.猜想当n ≥5时，T n ＞S n ，即2n ＞n 2+1可用数学归纳法证明(略）.4.解：(1）由a n +2=2a n +1－a n ⇒a n +2－a n +1=a n +1－a n 可知{a n }成等差数列，d =1414--a a =－2,∴a n =10－2n . (2)由a n =10－2n ≥0可得n ≤5，当n ≤5时，S n =－n 2+9n ，当n ＞5时，S n =n 2－9n +40，故S n =⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤+-540951 922n n n n n n(3)b n =)111(21)22(1)12(1+-=+=-n n n n a n n)1(2)]111()3121()211[(2121+=+-++-+-=+++=∴n nn n b b b T n n ；要使T n ＞32m 总成立，需32m＜T 1=41成立，即m ＜8且m ∈Z ，故适合条件的m 的最大值为7.5.解：(1）由已知S n +1=(m +1)－ma n +1S n =(m +1)－ma n ②,由①－②，得a n +1=ma n －ma n +1，即(m +1)a n +1=ma n 对任意正整数n 都成立.∵m 为常数，且m ＜－1∴11+=+m ma a n n ，即{1+n n a a }为等比数列. (2)当n =1时，a 1=m +1－ma 1，∴a 1=1，从而b 1=31. 由(1)知q =f (m )=1+m m，∴b n =f (b n －1)=111+--n n b b (n ∈N *,且n ≥2)∴1111-+=n n b b ，即1111=--n n b b ，∴{n b 1}为等差数列.∴nb 1=3+(n －1)=n +2， 21+=∴n b n (n ∈N *). 910,101,11lg 1)211151414131(3lim )(3lim ,1lg ]1lg 21[lim )lg (lim ,)1(132211-=∴=+∴=+=+-+++-+-=++++=++-=⋅∴+=∞→-∞→∞→∞→-m m m m m n n b b b b b b m mm m n n a b m m a n n n n n n n n n n 由题意知而 6.解：(1)设数列{b n }的公差为d ，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1452)110(1010111d b b 解得b 1=1,d =3, ∴b n =3n －2.(2)由b n =3n －2,知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n ) =log a ［(1+1)(1+41)…(1+231-n )］，31log a b n +1=log a 313+n . 因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小，取n =1时，有(1+1)＞3113+⋅取n =2时，有(1+1)(1+41)＞3123+⋅… 由此推测(1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n①若①式成立，则由对数函数性质可判定：当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1， ② 当0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +1，③下面用数学归纳法证明①式. (ⅰ)当n =1时，已验证①式成立. (ⅱ)假设当n =k 时(k ≥1），①式成立，即：313)2311()411)(11(+>-+++k k .那么当n =k +1时，333322223323331)1(3)1311)(2311()411)(11(1)1(343)23(1313,0)13(49)13()13)(43()23(]43[)]23(1313[).23(1313)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(++>++-+++++=+>+++∴>++=+++-+=+-++++++=+++>-++-+++k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k 因而这就是说①式当n =k +1时也成立.由(ⅰ）(ⅱ）可知①式对任何正整数n 都成立. 由此证得：当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1；当0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +1.7.解：(1)由S 1=a 1=1,S 2=1+a 2，得3t (1+a 2)－(2t +3)=3t . ∴a 2=tt a a t t 332,33212+=+. 又3tS n －(2t +3)S n －1=3t ，① 3tS n －1－(2t +3)S n －2=3t②①－②得3ta n －(2t +3)a n －1=0. ∴t t a a n n 3321+=-,n =2,3,4…,所以{a n }是一个首项为1公比为tt 332+的等比数列； (2)由f (t )=t t 332+=t132+,得b n =f (11-n b )=32+b n －1.可见{b n }是一个首项为1，公差为32的等差数列.于是b n =1+32(n －1)=312+n ; (3)由b n =312+n ,可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和35，公差均为34的等差数列，于是b 2n =314+n ,∴b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－b 4b 5+…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1=b 2(b 1－b 3)+b 4(b 3－b 5)+…+b 2n (b 2n －1－b 2n +1) =－34 (b 2+b 4+…+b 2n )=－34·21n (35+314+n )=－94 (2n 2+3n )。

2011届高三数学专题复—“数列与不等式”专题

2011届高三数学专题复习“数列与不等式”专题【考情分析】1．数列在高考中，一般设计一个客观题和一个解答题，主要考查数列和不等式部分的基本知识，对基本运算能力要求较高，解答题常常综合考查函数、方程、不等式等知识．难度较大，尤其是数列、函数和不等式的综合考题，又加入了逻辑推理能力的考查，成为了近几年数列考题的新热点．2．数列与不等式部分的重点为：等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前项和；不等式的性质、解法和两个重要不等式的应用；该部分重点考查运算能力和逻辑推理能力，考查函数与方程思想、化归于转化思想及分类讨论思想．【知识整合】1．等差数列与等比数列的综合等差数列与等比数列都是高考命题的重点知识，考题经常将它们综合在一起综合考查等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高．例1．设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（）A．B． C．D．答案：A解析：设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和．例2．等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列．若=1，则=（）（A）7 （B）8 （3）15 （4）16解析：4，2，成等差数列，，即，，，因此选C．点评：该类题目综合考查了等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和公式等，基础性较强，综合程度较小，要求具有较熟练的运算能力．2．函数与不等式综合不等式与函数有着密切的联系，其中线性规划求目标函数的最值是近几年高考的热点问题之一，经常以选择题或填空题出现．有不少关于最值方面的问题，通常用二次函数的配方法求最值或用均值不等式求最值，考题经常以与不等式有关的实际应用问题出现．在应用不等式解决实际问题时，要注意以下四点：①理解题意，设变量．设变量时一般把要求最值的变量定为自变量； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； ③在定义域内，求出函数的最值； ④正确写出答案．例３．设x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ． 4答案：A解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z （a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by （a>0，b>0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6,而=，故选A ．点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答．例4．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0．3万元和0．2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是万元．x22 yO -2 z=ax+by3x-y-6=0x-y+2=0答案：70解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得目标函数为．二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：作直线，即．平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．联立解得．点的坐标为．（元）．点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题．用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一．例5．设为实数，函数．(1)若，求的取值范围；(2)求的最小值；(3)设函数，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式的解集．解析：（1）若，则；（2）当时，，100200 300100200 300 400500yxlM当时，，综上；（3）时，得，当时，；当时，△>0，得：；讨论得：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．3．函数与数列的综合高考试题中经常将函数与数列综合在一起，设计综合性较强的解答题，考查数列的概念、性质、通项及求和公式等主干知识和分析问题、解决问题的逻辑推理能力．例6．知函数．（Ⅰ）设是正数组成的数列，前n项和为，其中．若点(n∈N*)在函数的图象上，求证：点也在的图象上；（Ⅱ）求函数在区间内的极值．解析：(Ⅰ)证明：因为所以，由点在函数的图象上,，又，所以，是的等差数列，所以,又因为,所以,故点也在函数的图象上．(Ⅱ)解:,令得．当x变化时,﹑的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,0)f(x)+0-f(x)↗极大值↘注意到,从而①当,此时无极小值；②当的极小值为,此时无极大值；③当既无极大值又无极小值．点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．4．数列与不等式、简易逻辑等的综合数列是培养推理论证能力的极好载体，将数列的知识与推理证明的方法交织在一起进行考查，是新课程高考中的一个亮点，常常荣归纳、猜想、数学归纳法、分类讨论、等价转化等数学思想和方法于一体，对能力的要求较高．例7．设若是与的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．答案：B解析：因为，所以，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．例8．设数列满足为实数．（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；（Ⅱ）设，证明：；（Ⅲ）设，证明：．解析：(1)必要性：，又，即．充分性：设，对用数学归纳法证明，当时，．假设，则，且，，由数学归纳法知对所有成立．(2) 设，当时，，结论成立．当时，，,由（1）知，所以且，，，．(3)设，当时，，结论成立，当时，由（2）知，，．点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高．５．数列与概率的综合数列与概率的综合考查，虽然不是经常但很有新意，这种命题也体现了在知识交汇处命题的指导思想．例9．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B．点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复．【思维方法】【例1】已知等比数列的首项为，公比满足．又已知，，成等差数列．（1）求数列的通项．（2）令，求证：对于任意，都有解析：（1）∵∴∴∵∴∴（2）证明：∵，∴．【分析】转化思想是数学中的重要思想，把复杂的问题转化成清晰的问题是我们解题的指导思想．本题中的第（２）问，采用裂项相消法，将式子进行转化后就可以抵消很多项，从而只剩下首末两项，进而由n的范围证出不等式．【例2】在数列中，，，其中．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．解析：（Ⅰ），，．由此可猜想出数列的通项公式为．以下用数学归纳法证明．（1）当时，，等式成立．（2）假设当时等式成立，即，那么．这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．（Ⅱ）解：设，①②当时，①式减去②式，得，．这时数列的前项和．当时，．这时数列的前项和．（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：．③由知，要使③式成立，只要，因为．所以③式成立．因此，存在，使得对任意均成立．【分析】分类讨论思想是数学中的重要思想，本题以数列的递推关系式为载体，综合考查了等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，第2问体现了对运用分类讨论的考查．【例3】设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相较于E、F两点．(Ⅰ)若,求k的值；(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值．解析：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，DFByAOE直线的方程分别为，．如图，设，其中，且满足方程，故．①由知，得；由在上知，得．所以，化简得，解得或．（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，．又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．解法二：由题设，，．设，，由①得，，故四边形的面积为，当时，上式取等号．所以的最大值为．【分析】方程与函数思想是数学中的重要思想，该题对于k的求解就是通过建立k的方程，然后解出的；而对于四边形的面积的求解，是通过构造面积关于k的函数关系，然后根据均值不等式来解决其最值问题．【专题演练】1．公差不为零的等差数列的前项和为．若是的等比中项, ,则等于A． 18 B． 24 C． 60 D． 902．等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别用S n和T n表示，若，则的值为( )A B C D3．已知函数，则不等式的解集是（）A． B．C． D．4．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则(a＋b)2cd的最小值是________．5．设数列的前项和为，点均在函数的图象上．则数列的通项公式为．6．命题实数满足，其中，命题实数满足或，且是的必要不充分条件，求的取值范围．7．已知二次函数的二次项系数为 a ，且不等式的解集为（1 , 3）．（l）若方程有两个相等的根，求的解析式；（2）若的最大值为正数，求 a 的取值范围．8．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数：（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【参考答案】1．答案：C解析：由得得,再由得:则,所以,故选C ．2．答案：A 解析：∵；． ∴．3．答案：C 解析：依题意得或所以或解得：，故选C ．4．答案：4 解析：∵(a ＋b)2cd ＝(x ＋y)2xy ≥(2xy)2xy ＝4． 5．答案：解析：由题意得，即．当n ≥2时， ;当n=1时，×-2×1-1-6×1-5．所以．6．解析：设，=因为是的必要不充分条件，所以，且推不出而，所以，则或即或．7．解析：（1）因为的解集为（1，3），所以且．因而（1）由方程得：（2）因为方程（2）有两个相等的根．所以，即．解得：（舍去）或，将代入（1）得的解析式为：，（2），有a < 0，可得的最大值为，所以 > 0，且a < 0．解得：，故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是．8．解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m，则-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360，由已知xa=360,得a=，所以y=225x+．(II)．当且仅当225x=时，等号成立．即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．。

2011年高考数学试题分类汇编十数列

十、数列一、选择题1．（天津理4）已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．110【答案】D2．（四川理8）数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若则32b =-，1012b =，则8a = A ．0 B ．3C ．8D ．11【答案】B【解析】由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==3．（四川理11）已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=A ．3B ．52C ．2D ．32【答案】D 【解析】由题意1(2)()3f x f x +=,在[22,2]n n -上，2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim 1333213nn n n nn f x n f x n f x a S S --=======⇒=⇒=-4．（上海理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i =），则{}n A 为等比数列的充要条件为 A ．{}n a 是等比数列。

B ．1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列。

C ．1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列。

D ．1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同。

2011年高考数学第一轮复习各个知识点攻破3-5数列的综合应用.

高三总复习
数学 (大纲版)
1 设数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝an＋，(n＝1,2,3，…) an (1)证明：an> 2n＋1对一切正整数 n 成立； an (2)令 bn＝ (n＝1,2,3，…)，判断 bn 与 bn＋1 的大小， n 并说明理由．
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数学 (大纲版)
(1)证明：由递推公式得
解： (1)2009 年底的住房面积为 1200(1 ＋ 5%) － 20 ＝
1240(万平方米)， 2010年底的住房面积为1200(1＋5%)2－20(1＋5%)－20
＝1282(万平方米)，
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数学 (大纲版)
∴2009年底的住房面积为 1240万平方米，2010年底的住房面积为1282万平方米． (2)2028年底的住房面积为 1200(1＋5%)20－20(1＋5%)19－20(1＋5%)18－…－20(1 ＋5%)－20＝1200(1＋5%)20－20× 方米)， ≈2522.64(万平
所以，数列{an}的前n项和Sn＝
所以不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*皆成立．
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[ 拓展提升 ]
假设此题没有第 (1) 问，而只有 (2) 、 (3)
问．摆在面前的问题是：如何转化得到一个新的等比数列．下面介绍待定系数法．待定系数法：由题可设 an ＋ 1 ＋ A(n ＋ 1) ＋ B ＝ 4(an ＋ An ＋B)．展开得an＋1＝4an＋3An＋3B－A.比较an＋1＝4an－3n＋ 1 得
(3)证明：不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*皆成立．
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[解]
(1)由题设an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝

高三数学 2011版《6年高考4年模拟》：第六章数列第二节数列的应用

第六章数列第二节数列的应用第一部分六年高考题荟萃2010年高考题一、选择题1.（2010江西理）5.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（）A ．62 B. 92 C. 122 D. 152 【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。

考虑到求导中，含有x 项均取0，则()'0f 只与函数()f x 的一次项有关；得：412123818()2a a a a a a ⋅⋅==。

2.（2010江西理）4.2111lim 1333nx →∞⎛⎫++++=⎪⎝⎭（）A. 53B. 32 C. 2 D. 不存在【答案】B【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。

1133lim ()1213nn →+∞-=-3.（2010北京理）（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m=（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 【答案】C4.（2010四川理）（8）已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则limnn na S →∞=（A ）0 （B ）12（C ） 1 （D ）2 解析：由112n n S S a +=+,且2112n n S S a ++=+作差得a n ＋2＝2a n ＋1又S 2＝2S 1＋a 1，即a 2＋a 1＝2a 1＋a 1 ⇒ a 2＝2a 1 故{a n }是公比为2的等比数列S n ＝a 1＋2a 1＋22a 1＋……＋2n －1a 1＝(2n －1)a 1则11121lim lim (21)2n n n n n n a a S a -→∞→∞==- 【答案】B5.（2010天津理）（6）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（A ）158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）158【答案】C【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。

2011届高考数学数列的综合运用第二轮专题复习教案

2011届高考数学数列的综合运用第二轮专题复习教案
第50课时数列的综合运用
一、填空题
1、已知实数满足，则的取值范围是
2、已知（，）是直线与圆的交点，则的取值范围为.
3、对于在区间上有意义的两个函数和，如果对任意，均有,那么我们称和在上是接近的．若与在闭区间上是接近的，则的取值范围是__
4、一只半径为R的球放在桌面上，桌面上一点A的正上方相距（＋1）R处有一点光源O，OA与球相切，则球在桌面上的投影――椭圆的离心率为
5、方程（为常数，）的所有根的和为___
6、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定为的（）
A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点（非重心）
C．重心D．AB边的中点
7、设有限集合，则叫做集合A的和，记作若集合，集合P的含有3个元素的全体子集分别为，则=.．
二、解答题
8、数列满足：.（1）分别求的值；
（2）设，证明数列是等比数列，并求其通项公式；
（3）在（2）条件下，求数列前100项中所有偶数项的S。

9、设数列的前项和为,已知(为常数,且),,设.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和;
(3)若不等式对任意及恒成立,求实数的取值范围.
10、已知为二次函数，不等式的解集为，且对任意，恒有. 数列满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)设，求数列的通项公式；
(3)若(2)中数列的前项和为，求数列的前项和.。

2011-2020年高考数学真题分类汇编专题17 数列的概念与数列的通项公式(学生版)

专题17数列的概念与数列的通项公式年份题号考点考查内容2013卷1理14数列前n 项和n S 与n a 关系的应用主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n 项与其前n 项和的关系2014卷2文16已知递推公式求通项公式主要考查已知数列递推公式求首项，考查运算求解能力卷1理17数列前n 项和n S 与n a 关系的应用主要考查数列第n 项与前n 项和关系、等差数列的判定及通项公式、探索性问题2016卷3文17已知递推公式求通项公式主要考查由递推公式求通项、等比数列定义、通项公式，考查运算求解能力卷3理17数列前n 项和n S 与n a 关系的应用主要考查数列利用前n 项和n S 与n a 关系求通项公式、等比数列定义及前n 项和公式，考查运算求解能力2018卷1理14数列前n 项和n S 与n a 关系的应用主要考查数列利用前n 项和n S 与n a 关系求通项公式、等比数列定义及前n 项和公式，考查运算求解能力2020卷2理12周期数列周期数列，数列的新定义问题0/年高考项和或前项为重点，别是数列前用，难度为中档题，题型为选择填空小题或解答*探求规律考点54数列概念与由数列的前几项求通项公式1．(2020全国Ⅱ理12)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列12n a a a 满足0,11,2,i a i ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足),2,1( i a a i m i 的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()1,2,,1mi i k i C k a a k m m 是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0-1序列中，满足11,2,3,45C k k的序列是()A ．11010B ．11011C ．10001D ．110012．(2011天津)已知数列{}{}n n a b 与满足11(2)1nn n n n b a b a ，1*13(1),,22n n b n N a 且．(Ⅰ)求23,a a 的值；(Ⅱ)设*2121,n n n c a a n N ，证明{}n c 是等比数列；(Ⅲ)设n S 为{}n a 的前n 项和，证明*21212122121().3n n n n S S S S n n N a a a a 考点55已知递推公式求通项公式1．(2014新课标Ⅱ，文16)数列}{n a 满足2,1181a a a nn ，则 1a ________．2．(2013新课标Ⅰ，理14)若数列{n a }的前n 项和为S n ＝2133n a ，则数列{n a }的通项公式是n a =______．3．(2015江苏)数列}{n a 满足11 a ，且11 n a a n n (*N n )，则数列}1{na 前10项的和为．4．(2016•新课标Ⅲ，文17)已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a ，211(21)20nn n n a a a a ．(1)求2a ，3a ；(2)求{}n a 的通项公式．考点56数列的前n 项和n S 与n a 关系的应用1．(2020江苏20)已知数列*{}()n a n N 的首项11a ，前n 项和为n S ．设与k 是常数．若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a 成立，则称此数列为“k ”数列．(1)若等差数列是“1 ”数列，求的值；(2)若数列{}n a 是“323”数列，且0n a ，求数列{}n a 的通项公式；(3)对于给定的，是否存在三个不同的数列{}n a 为“3 ”数列，且0n a ？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．2．(2018•新课标Ⅰ，理14)记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若21n n S a ，则6S ．3．(2016•新课标Ⅲ，理17)已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a ，其中0 ．(1)证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；(2)若53132S，求．4．(2014新课标Ⅰ，理17)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ，11n n n a a S ，其中为常数．(Ⅰ)证明：2n n a a ；(Ⅱ)是否存在，使得{n a }为等差数列？并说明理由．考点57数列性质1．(2012福建)数列 n a 的通项公式cos12n n a n，前n 项和为n S ，则2012S =___．2.(2011浙江)若数列2(4)()3n n n中的最大项是第k 项，则k =____________．3．(2014湖南)已知数列{n a }满足*111,||,.nn n a a a p n N (Ⅰ)若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值；(Ⅱ)若12p，且{21n a }是递增数列，{2n a }是递减数列，求数列{n a }的通项公式．。

2011年高考试题数学数列

2011年高考试题数学数列(2011年高考天津卷理科4)已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和,*n N ∈,则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．110 【答案】D.(2011年高考江西卷理科5)已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m n S S S +=+,且11=a ,那么=10a ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55 答案：A(2011年高考广东卷理科12)设n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =答案：25 (2011年高考广东卷理科11)等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = .【答案】10 (2011年高考重庆卷理科11)在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++=(2011年高考江苏卷13)设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________【答案】33 7．(2011年高考北京卷理科11)在等比数列{a n }中，a 1=12，a 4=-4，则公比q=______________；12...n a a a +++=____________。

【答案】—2 2121--n (2011年高考山东卷理科20)等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S . (2011年高考辽宁卷理科17)已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 .2.na n =- 11{}.22n n n n a nn S --=的前项和 2011年高考浙江卷理科19)已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S （Ⅱ）记1231111...n nA S S S S =++++，212221111...nn B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小.[ 【解析】（Ⅰ）(1)a n a na na +-==，1)(1)(1)222n n n n n d an a a --+=+=（Ⅱ）1111...n n A S S S S =++++2121(1)(1)1a n n a n ++=-++12221111...n n B a a a a -++++21(1)2n =- (2011年高考安徽卷理科18)在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a +=⋅求数列{}n b 的前n 项和n S . (2011年高考全国新课标卷理科17)等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和. 解析：（Ⅰ）a n =13n （Ⅱ ）12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 1{}nb 的前n 项和为21n n -+(2011年高考江西卷理科18) 已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足1(0)a a a =>，111b a -=，222b a -=，333b a -=. （1）若1a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 唯一，求a 的值. .解：（1）()1,221≥±=-n a n n （2）31=a 。

2011高考数学分类解析数列文

2011高考数学分类解析—数列一、选择题1. (全国大纲文)6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差为22,24k k d S S +=-=，则k=A ．8B ．7C ．6D ．5【解析】D2. （辽宁文）5．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【解析】B3. （江西文）5.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（） A.18 B.20 C.22 D.24 【解析】：B20,10,0,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S4. （四川文）9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6=（A ）3 × 44（B ）3 × 44+1（C ）44（D ）44+1【解析】：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ．5. （重庆文）1．在等差数列{}n a 中，22a =，3104,a a =则＝A ．12B ．14C ．16D ．18【解析】D6. （安徽文）（7）若数列}{n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a nn 则（A ）15 （B ）12 （C ）-12 （D ）-15 【解析】A7. （湖北文）9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为A ．1升B ．6766升 C ．4744升 D ．3733升【解析】B二、填空题1. （天津文）11．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，*n N ∈，若32016,20,a S ==则10S 的值为_______【解析】1102. （北京文）12．在等比数列{a n }中，a 1=12，a 4=4，则公比q=______________；a 1+a 2+…+a n =_________________. 【解析】2 2121--n 3. （辽宁文）15．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1，则a 5=____________．【解析】—14. （福建文）16．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及常数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c=a+x （b-a ），这里，x 被称为乐观系数。

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第 1 页共 11 页专题04数列中的应用问题【名师导航】数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础.高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏.一般情况下都是一个客观题和一个解答题，分值占整个试卷的10%左右. 数列在实际问题中也有广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险等问题，其中，以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体和有着高等数学背景的数列解答题是未来高考的一个新的亮点。【考纲知识梳理】数列的综合应用 1、解答数列应用题的步骤：（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意；（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么；（3）求解——求出该问题的数学解；（4）还原——将所求结果还原到实际问题中。 2、数列应用题常见模型（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差；（2）等比数列：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比。注：银行储蓄单利公式及复利公式所属模型分别是：

单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和(1)naarn，属于等差模型；

复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和(1)nnaar，属于等比模型。（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，

应考虑是na与1na的递推关系，还是前n项和nS与1nS之间的递推关系。【热点难点精析】以等差数列为模型的实际应用 ※相关链接※ 1、解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化。然后用等差数列知识求解。这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。 2、解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是：从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：第 2 页共 11 页

※例题解析※ 〖例〗气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,

第n天的维修保养费为,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止,一共使用了多少天? 以等比数列为模型的实际应用 ※相关链接※ 1、函数的实际应用问题中，有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，合理应用。 2、与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题。这都与等比数列有关。 ※例题解析※ 〖例〗我国是一个人口大国，随着时间推移，老龄化现象越来越严重，为缓解社会和家庭压

力，决定采用养老储备金制度，公民在就业的第一年交纳养老储备金，数目为1a，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此，历年所交纳的储备金数目是一个公差为d 的等差数列。与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。这就是说，如果固定利率为r(r>0),那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就

变为111nar，第二年所交纳的储备金就变为221,,nar以nT表示到第n年所累计的储备金总额。

（1）写出nT与1nT（n≥2）的递推关系式；（2）求证：nnnTAB，其中nA是一个等比数列，nB是一个等差数列。 2、正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连接正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示。现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段。则这10条线段的长度的平方和是（）第 3 页共 11 页

A． B． C． D． 3、如图，在杨辉三角中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为Sn，则S19等于( )

A.129 B.172 C.228 D.283 4、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块……依次类推，每一层都用去了前一层剩下的一半多一块,如果到第九层恰好砖用完,那么共用去砖的块数为 A.1018 B.1020 C.1022 D.1024 5、 (理)用n个不同的实数a1,a2,a3,…,an,得到n!个不同的排列，每个排列为一行，可写出一个n!行的数阵.第i行为ai1,ai2,ai3,…,ain,记bi=-ai1+2ai2-3ai3+…+(-1)nnain,i=1,2,3,…，n!.例如：用1，2，3可得数阵(如下图).由于每行都是1，2，3的一个排列，其中1作排头的有A22=2个，于是每一列中1，2，3都分别出现2次，所以此数阵每一列各数之和都是(1+2+3)×2=12,所以b1+b2+b3+…+b6=-12+2×12-3×12=-24.那么用1,2,3,4,5,形成的数阵中b1+b2+b3+…+b120等于 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 A.-3 600 B.1 800 C.-1 080 D.-720 6、弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能得少，那么剩下的弹子有( ) A.3 B.4 C.8 D.9

7、一种跳格游戏，某人从格外只能进入第一格，在格中每次可向前跳1格或2格，那么从格外跳到第8格的跳法种数为第 4 页共 11 页

A.21 B.26 C.17 D.13 5、一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占据内存是原来的2倍，那么开机后，该病毒占据64MB(1MB=210KB)内存需经过的时间为( ) 8、某人从2001年起，每年1月1日到银行存人a元一年定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年1月1日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为( ) A.a(1+p)7 B.a(1+p)8

C.[(1+p)7-(1+p)] D.[(1+p)8-(1+p)] 9、将n2个正整数1,2,3,…,n2填入到n×n个方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做n阶幻方.下图就是一个3阶幻方.定义f(n)为n阶幻方对角线上数的和.例如f(3)=15,那么f(4)是( ) 8 1 6 3 5 7 4 9 2 A.32 B.33 C.34 D.35 10、某班试用电子投票系统选举干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1,2,…,k.规定：同意按“1”，不合意（含弃权）按“0”.令

aij= 其中i=1,2,„，k,且j=1,2,„,k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为„（） A.a11+a12+„a1k+a21+a22+„+a2k B.a11+a21+„+ak1+a22+„+ak2 C.a11a12+a21a22+„+ak1ak2 D.a11a21+a12a22+„+a1ka2k 11、对于一个有限数列P=(P1,P2,…,Pn)，P的蔡查罗和(蔡查罗为一数学家)定义为

(S1+S2+…+Sn)，其中Sk=P1+P2+…+Pk(1≤k≤n)，若一个99项的数列(P1,P2,…,P99)的蔡查罗和为1 000，那么100项数列(1,P1,P2,…,P99)的蔡查罗和为 A.991 B.992 C.993 D.999 12、用n个不同的实数a1,a2,…,an可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,…,ain，记bi=-ai1+2ai2-3ai3+…+(-1)nnam，i=1,2,3,…,n!.例如：用1，2，3可得数阵如下图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1+b2+…+b6=-12+2×12-3×12=-24，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…+b120等于（）

A.-3 600 B.1 800 C.-1 080 D.-720 14、某医院购买一台医疗设备价格为ａ万元，实行分期付款，每期付款数相同，每月为一期，第 5 页共 11 页

如果按月利率８‰，每月复利一次,若6个月付清，共付ｘ万元，若12个月付清,共付ｙ万元，则ｘ、ｙ满足( ) A.ｘ＝ｙ B.ｘ＜ｙ C.ｘ＞ｙ D.ｘ≥ｙ

15、对于一个有限数列P=(P1,P2,…,Pn)，P的蔡查罗和(蔡查罗为一数学家)定义为(S1 +S2+…+Sn)，其中Sk=P1+P2+…+Pk(1≤k≤n)，若一个99项的数列(P1,P2,…,P99)的蔡查罗和为1 000，那么100项数列(1,P1,P2,…,P99)的蔡查罗和为 A.991 B.992 C.993 D.999 16、某林厂年初有森林木材存量S m3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x m3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是( )

A. B. C. D. 17、一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，逐层每边增加一个花盆，若第n层与第n+1层花盆总数分别为f(n)和f(n+1)，则f(n)与f(n+1)的关系为( ) A.f(n+1)-f(n)=n+1 B.f(n+1)-f(n)=n C.f(n+1)=f(n)+2n D.f(n+1)-f(n)=1 18、如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形两直角边再分别连接着一个正方形，如此继续下去，共得到127个正方形.若最后得到的正方形的边长为1，则初始正方形的边长为_____________.

19、图(1)(2)(3)(4)分别包含1个、5个、13个、25个第十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”,则f(n)= ___________.

20、已知数列{an}(n=1,…,2 010),圆C1:x2+y2-4x-4y=0和圆C2:x2+y2-2anx-2a2 011-ny=0,若圆C2平分圆C1的周长,则数列{an}的所有项的和为________________ 21、如图,把正三角形ABC分成若干个全等的小正三角形,且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数,使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等.设点A为第一行,…BC为第n行,记点A上的数为a1,1,…第i行中第j个数为ai,j(1≤j≤i).