亥姆霍兹漩涡定理
亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理
流体力学中有关涡旋的动力学性质的定理
流体力学中有关涡旋的动力学性质的一个著名定理。
它指出，在无粘性、正压流体中，若外力有势，则在某时刻组成涡线、涡面和涡管的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡线、涡面和涡管，而且涡管强度在运动过程中恒不变。
中文名亥姆霍兹定理外文名Helmholtz'stheorems
流体力学中有关涡旋的动力学性质的一个著名定理。
它指出，在无粘性、正压流体中，若外力有势，则在某时刻组成涡线、涡面和涡管的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡线、涡面和涡管，而且涡管强度在运动过程中恒不变。
意义
亥姆霍兹定理和开尔文定理合在一起全面地描述了在无粘性、正压、外力有势这三个条件下流体中涡旋的随体变化规律。
首先，流体运动的涡旋性是保持的，即某时刻有旋则永远有旋，某时刻无旋则永远无旋。
其次，对于有旋运动，涡线、涡管永远由相同的流体质点组成，并且涡管的强度不随时间改变，好像流体质点和涡旋强度冻结在涡线、涡管上，随涡线、涡管一起运动。
可见涡旋随体变化的最主要的性质是保持性或谓冻结性。
破坏涡旋保持性，使涡旋产生和消失的三个主要因素是：流体的粘性、流体的斜压性以及外力无势。
贸易风和船舶航行时船尾后面不断产生的涡旋便是斜压性、外力无势产生涡旋和粘性产生涡旋的两个例子。
2.4矢量场的环量及旋度分析
1 (er e ez ) r r z 1 (rFr ) 1 F Fz F (r ) r r r z
3) 在球面坐标系下： 1 1 (er e e ( ) ) r r r sin
1、散度的定义 在场空间 A(r ) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积 为 V ，则定义场矢量 A(r ) 在M 点处的散度为：
divA( r ) lim
s
A(r ) dS v
v 0
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
F (r ) lim
s
F (r ) dS V
V
d lim V V dV
由于 F 是通量源密度， 即穿过包围单位体积的闭合面的 通量，对 F 体积分后，为穿 出闭合面S的通量
式中：S为包围V的闭合面
则在一定体积V内的总的通量为：
F (r )dV
S
( A) dS
意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该 矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。
斯托克斯定理的证明： 由旋度的定义
S 0
c
lim
c
Α dl S
ˆn rot A e
c
A d l ( A) dS
)
c1
A dl ( A) dS1 A dl ( A ) dS2
旋度
ˆ S S n
A
矢量场除了有散度源外，还有另一种源—旋度源。
P
空间中，取一有向闭合路
1.18+亥姆霍兹定理
第 1 章矢量分析1.7 亥姆霍兹定理矢量场只有两种源: 散度源和旋度源1.无旋场:场的旋度处处为零0≡⨯∇F 0≡∇⨯∇Φ Φ-∇=∴F ⎰=⋅l l F 0d 线积分和路径无关无旋场是保守场由斯托克斯定理任一矢量场由散度源和旋度源其中之一产生由散度源和旋度源共同产生无旋场可以表示为另一个标量场的梯度一. 矢量场和源静电场为有散无旋场2.无散场场的散度处处为零0≡⋅∇F 无散场可以表示为另一个矢量场的旋度0≡⨯∇⋅∇A AF ⨯∇=∴恒定磁场为有旋无散场≡⋅⎰Sd S F 由散度定理静电场恒定磁场式中亥姆霍兹定理表明：二. 亥姆霍兹定理Helmholtz’s Theorem ττ''-∙∇'=Φ⎰'d r r r F r )(π41)(ττ''-⨯∇'=⎰'d r r r F r A )(π41)()()()(r A r r F ⨯∇+-∇=Φ若矢量场F 在无限空间中单值、连续可导，源分布在有限区域τ′中，则当矢量场的旋度和散度给定后，则矢量场F 可表示为在无限空间，矢量场可由其散度及旋度确定。
任一矢量场均可表示为一个无旋场和一个无散场之和。
)(r F δq =∙∇0=⨯∇F ττττ''⨯∇⨯∇+''∙∇∇-=⎰⎰d )(π41d )(π41)(rr r F r F r F 2π40π41rq rq r a =+∇-=例：已知无限大空间矢量场，，解：已知矢量场的散度和旋度时，矢量场的解可唯一求得。
试求该矢量场。
由亥姆霍兹定理：本章主要内容1.1 矢量运算1.2 标量场和矢量场1.3 正交坐标系与微分元1.4 标量场的方向导数和梯度1.5 矢量场的通量与散度1.6 矢量场的环量与旋度1.7 亥姆霍兹定理。
亥姆霍兹速度分解
亥姆霍兹速度分解1. 介绍亥姆霍兹速度分解是一种将流体运动分解为旋转和无旋转两个部分的方法。
它是由德国物理学家亥姆霍兹在19世纪提出的，对于理解流体力学中的复杂运动有着重要的意义。
本文将详细介绍亥姆霍兹速度分解的原理、应用以及相关的数学推导。
2. 原理亥姆霍兹速度分解的基本思想是将流体中的速度场分解为两个独立的分量：旋转分量和无旋转分量。
旋转分量描述了流体中的涡旋运动，而无旋转分量则描述了流体中的线性平移运动。
2.1 旋转分量旋转分量是指流体中的涡旋运动，它描述了流体中的旋转和循环运动。
旋转分量的速度场满足以下条件： - 速度场的散度为零，即速度场中的每个点的流出流入速度相等； - 速度场的涡旋为非零值，即速度场中存在旋转。
2.2 无旋转分量无旋转分量是指流体中的线性平移运动，它描述了流体中的直线运动。
无旋转分量的速度场满足以下条件： - 速度场的散度为非零值，即速度场中的每个点的流出流入速度不相等； - 速度场的涡旋为零，即速度场中不存在旋转。
3. 数学推导亥姆霍兹速度分解的数学推导基于矢量分析中的亥姆霍兹定理。
亥姆霍兹定理指出，对于一个矢量场，可以将其分解为散度场和旋度场的和。
根据亥姆霍兹定理，流体中的速度场可以分解为无旋转分量和旋转分量的和。
具体的数学推导过程如下： 1. 假设流体中的速度场为V，可以将其分解为散度场（无旋转分量）和旋度场（旋转分量）的和：V = V_s + V_r； 2. 由亥姆霍兹定理可知，散度场和旋度场满足以下关系： - 散度场的散度为速度场的散度：∇·V_s = ∇·V； - 旋度场的旋度为速度场的旋度：∇×V_r = ∇×V； 3. 根据以上关系，可以得到散度场和旋度场的具体表达式： - 散度场：V_s = (1/4π) ∫(∇·V)/|r-r’| dV’； - 旋度场：V_r = (1/4π) ∫(∇×V)/|r-r’| dV’；4. 将散度场和旋度场代入速度场的分解式中，即可得到速度场的亥姆霍兹分解。
《电磁场理论》1.6 亥姆霍兹定理
u0
2
4）有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分
F (r ) Fl (r ) FS (r ) u(r ) A(r )
无旋场部分 无散场部分
无旋场与无散场可以看成是两种基本的矢量场，任一矢量场 都可以分解为无旋场部分与无散场部分之和，也就是说，任一矢 量场都可以表示为一标量场的梯度与另一矢量场的旋度之和。 4 F (r ) Fl (r ) Fs (r )
2)无源有旋场
若矢量场 F (r ) 在某区域V内，处处 F 0 ，但在 某些位置或整个空间内，有 F J 0 ，则称在该 区域V内，场 F (r ) 为有旋无源场。 2 说明：式中 J 为矢量场漩涡源密度。
F 0
重要性质：
S
F (r ) dS F (r )dV 0
由散度定理
AdV
V
S
A dS
S
A ndS
设 A ( 和 为空间区域内两个任意的标量函数）
A ( ) 2
2
A n n
dS 得格林第一恒等式 ( )dV V S n
说明：
F (r ) u (r ) A(r )
1）矢量场 F 可以用一个标量函数的梯度和一个矢量 函数的旋度来表示。此标量函数由 F 的散度和 F 在 边界S上的法向分量完全确定；而矢量函数则由 F 的旋度和 F 在边界面S上的切向分量完全确定；
2）由于 [u (r )] 0, [ A(r )] 0 ，因而一个 矢量场可以表示为一个无旋场与无散场之和，即
1.6 亥姆霍兹定理和格林定理
一、矢量场的分类
1-4亥姆霍兹定理
— — Helmholtz Theorem
(1)总结了 (标量、矢量 )场的基本性质
(2)散度方程和旋度方程— — 矢场的基本微分方程
(3)闭合面通量和闭合线环流— — 矢场基本积分方程
(4)标量场性质完全可以由它的梯度来表明
r
rr
F = 两个特殊的场分量之和＝F无旋＋F无散r
＝ − ∇U＋∇ × A
两个恒等式(可逆 )
(1)标量场梯度的旋度为零
r r ∇Ur= F无旋 保守r性
∫Q F无旋 • dl ≡ 0 Q∇ × F无旋 ≡ 0
C
— — 逆定理…？
(2)矢量场旋度的散度为零
r ∇ • (∇r × A) ≡ 0 ∇ • F无散 ≡ 0 — — 逆定理 … ？
亥姆霍兹定理(公理 )
定理的本质：
S
C
Helmholtz Theorem
Fr＝
−
∇U＋∇
×
r A
微分、积分方程
Helmholtz Theorem
r
rr
F = 两个特殊的场分量之和＝F无旋＋F无散 r
＝ − ∇U＋∇ × A
矢场的基本微分方程
— — 散度方程和旋度方程
矢场的基本积分方程 — — 闭合面通量和闭合线环流
r
rr
F = 两个特殊的场分量之和＝F无散＋F无旋
矢场的基本微分方程
— — 散度方程和旋度方程
r
rr
r
{ ∇ • Fr = ∇ • (Fr无散＋Fr无旋) = ∇ • Fr无旋 = ? ∇ × F = ∇ × (F无散＋F无旋 ) = ∇ × F无散 = ?
矢场的基本积分方程 — — 闭合面通量和闭合线环流
电磁场与电磁波第5讲旋度和旋度定理零恒等式亥姆霍兹定理y-文档资料
直角坐标系下证明： A ＝ 0
ˆx a C urlA x A x ˆy a y A y ˆz a z A z
A A A y x d i v A A = z x y z
A A A A A A y x z z ˆx ˆy ˆz y x C urlA ＝a － － a － a z z x y x y
S
V 0
v
A A A y x d i v A A = z x y z
3. 散度定理
i v A d V d S d A
V S
2
主要内容
1. 矢量场的旋度 2. 斯托克斯定理 3. 两个零等式 4. 亥姆霍兹定理
3
1. 矢量场的旋度
旋涡 旋涡源 环量 旋度
F 0a n d F g ; i i F 0a n d F G s s F F ga n d F F G i s
再由两个零等式:
F V ;F A i s F V A
26
二阶微分算子
27
例子： 已知一个矢量函数 :
x
x
x
最大方向旋度（大小和方向）定义为矢量的旋度
ˆ C u r l A A l i m a n
s 0 s p o i n tM
l Ad
C
s
m a x
？旋度的方向
aˆ
z
空间矢场在任一点的旋 度矢量的方向是该点取 最大方向旋度的方向， 它的模是该点取最大方 向旋度的大小。 8
（3）方向旋度
25
矢量场的散度是流量源强度的度量，而矢量场的旋度是旋 涡源强度的度量。当流量源强度和旋涡源强度均给定时， 可知该矢量场将被确定。由此，任何一个一般矢量场 F可 以分解为无旋部分 Fi 和无散部分 Fs
旋涡理论
(r
a2 r
)
2
vr
r
V0
cos (1
a2 r2
)
v
1 r
V0 sin (1
a2 r2
)
2
r
柱面上(r = a):
v
vr 0
2V0 sin
2 a
v 0
sin 4 aV0
6.1.4 点涡 (vortex)
流场中坐标原点处有一根无穷长的直涡线，方向垂直
于图平面，则该涡线与图平面的交点即为一个点涡。
位于（0，0）点涡：
vr
0，
v
2 r
vr dr
v rd
2
v dr
vr rd
2
ln
r
v
Γ顺时针方向，若逆时针，上式加负号。
第5章 旋涡理论
内容：介绍描述旋涡运动的基本方法和旋涡运动的
基本定理。
包括：（1）旋涡运动的基本概念。
（2）旋涡运动的基本定理。 汤姆逊（Thomson）定理 拉格朗日（Lagrange）定理 亥姆霍兹（Helmholtz）定理 毕奥沙伐（Biot——Savart）定理
4
1、涡线：流场中的一条曲线。 其上所有流体
d
J：表征流场中旋涡的强弱和分布面积大小的物理量。
4 、旋速度环量：
C C vsds C v cosds C v ds
亥姆霍兹定理
一个矢量场的旋度。
F 0
F A
A
称为矢量场
F
的矢量位。
二、拉普拉斯运算
1、标量拉普拉斯运算
u 2u
在直角坐标系中的表示
2u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
在圆柱坐标系中的表示
2u
1
u
1
§1.5 亥姆霍兹定理
一、两个零恒等式 1、零恒等式Ⅰ
定理：标量场的梯度的旋度为零。
u 0
逆定理：若矢量场是一个无旋场，则该矢量场可表示为一
个标量场的梯 度。
A 0
A u
u 称为矢量场 A的标量位。
2、零恒等式Ⅱ
定理：矢量场的旋度的散度为零。 A 0
逆定理：若一个矢量场是无散场，则该矢量场可表示为另
2u
2
2 Az z 2
在球坐标系中的表示
2 2
u r
1
r 2 sin
s in
u
1
r 2 sin 2
u
2
2、矢量拉普拉斯运算
2 A ( A) ( A)
在角坐标系下：
2 A
ex2 Ax
ey2 Ay
ez2 Az
三、亥姆霍兹定理
表述一：
在空间有限区域 内的矢量场 A(r) ，由其散度、旋度
和边界条件唯一确定。
表述二：
在曲面 S 所围空间 内有定义的有界、连续矢量函数，
1.5亥姆霍兹定理
唯一
4
2、证
F A
：
可表示为一个无旋场 F 1 （有散场）和一个有旋场 F 2
（无散场 ）之和：
设在无限空间中一个既有散度又有旋度的矢量场，
即
（1） 对无旋场 F 1 0
处处为零，
FF 1 F 2
（1-5-6）
已知
电荷密度 矢量 F的通量源密度 在电磁场中 电流密度 J 矢量 的旋度源密度 F
场域边界条件 （矢量
场域边界条件
F
唯一地确定）
7
2016/1/7
1、证矢量场由其散度和旋度唯一确定： 它们具有相同的散度和旋度。
设在无限空间中存在两个矢量函数 F、 G ，
g 0
2016/1/7
F G
令 F Gg （1-5-2） 则 F (G g ) G g
（3）综合（1）与（2），则
（1-5-8）
FF 1 F 2 A
证毕
2016/1/7 6
应用：静电场是无旋场，可以表示为标量 场的梯度，这个标量场就是电位；用标量 场的电位间接表示矢量的电场，在数学处 理上将带来许多便利。
亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。
４
（1-5-3）
2
对 （1-5-2） 两边取旋度
F G
F (G g ) G g
g 0
g
根据矢量恒等式
则令
0
（1-5-4）
2016/1/7
是在无限空间中取值的任意标量函数。
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亥姆霍兹漩涡定理
亥姆霍兹漩涡定理是流体力学中的一个重要定理，用于描述流体运动中的速度分布和涡量的关系。
该定理由德国物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹在19世纪提出。
亥姆霍兹漩涡定理表明，在不可压缩、稳定的流体中，速度场可以分解为无旋和有旋两个分量。
其中无旋分量代表了流体的局部膨胀与收缩情况，而有旋分量则代表了流体的旋转和涡旋结构。
亥姆霍兹漩涡定理的数学表示为：任意矢量场V(x,y,z)可以分
解为两个分量：无旋场和有旋场。
V(x,y,z) = φ(x,y,z) + ∇ × A(x,y,z)
其中，φ(x,y,z)是无旋场，表示速度场中的膨胀和收缩情况，
符合拉普拉斯方程∇²φ = 0；
∇ × A(x,y,z)是有旋场，表示速度场中的旋转和涡旋结构，符
合泊松方程∇² A = - ∇ · (∇ × V)。
亥姆霍兹漩涡定理的物理意义是将流体速度场分解为一个无旋分量和一个有旋分量，使得对流体运动的分析更加简洁和方便。
无旋分量主要描述了流体的局部运动特性，例如膨胀、收缩和压缩；而有旋分量主要描述了流体的旋转和涡旋结构，例如涡流、旋涡和旋转流。
亥姆霍兹漩涡定理在流体力学和电磁学等领域具有广泛的应用，
对于分析和预测流体运动和涡旋结构等问题起到了重要的作用，也为相关工程实践和科学研究提供了基础和理论支持。