随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第二章习题讲解
2-1 已知随机过程0()cos X t A t ω=,其中0ω为常数,随机变量A 服从标准高斯分布。求000,3,2t πωπω=三个时刻
()X t 的一维概率密度?
解:2
2
1~(0,1)..........()2A a A N f a e π
-
=
212
11
()~(0,1)(0)2t X x X t A N f x e
π
-==?
=;,
2
223203A 1
2()
~(0,)()24
2X t x X t N f x e πωπ
ωπ
-==?;=, 00
2323()
0()()
t X t f x x πωπ
ωδ===,;
(离散型随机变量分布律)
2-2 如图2.23所示,已知随机过程()X t 仅由四条样本函数组
成,出现的概率为1131
,,,8484。
t
()
X t 1
234561
t 2
t 1()x t 2()x t 3()x t 4()
x t o
图2.23 习题2-2
在1
t 和2
t 两个时刻的分布律如下:
1
ζ 2
ζ 3
ζ 4
ζ
1
()X t 1 2 6 3 2
()X t 5 4 2 1 12
12
(,)k k p t t
1/8 1/4 3/8 1/4
求 ? 1212[()],[()],[()()]
E X t E X t E X t X t ()411
29
[()]8
k k k E X t x p t ===
∑221
[()]8
E X t =
()()(){}
1
2
1212121122[()()],,X k k E X t X t R t t k k p X t k X t k ====∑∑
2-23
[][]12()cos (0,1)(;),()()(,)X X X t A t XH A U f x t E X t D X t R t t =+~随机过程,其中(均匀分布)。求,,?[][][][][][][][]
[][][]()()()22
2
2
1212221121222()cos cos ()()()()cos cos cos cos 12
(,)cos cos cos cos cos cos 1cos c 232o X XY
D a
E X t E A t XH t EA XH
D X t
E X t E X t D X t D A t XH D A t D XH t
t DA R t t E A t XH X a D X b D Y abC EA EA A t XH t t XH t t XH t =+=?+??=-??
=+=+=?=
++????+==+=+++公式:+b =Y方法:
()2212s cos cos 2
XH t t t XH +++
()()
()()22cos 0
22~,322cos 022
~,cos 0()2
1
22,cos 2cos cos cos c 2
1322,(;)cos o 2
s 2X k t k t t
X t U XH XH k t k t t X t U XH XH t k t X t XH
k t k XH x XH t k t k XH x XH f x t t x X t t t t π
π
πππ
π
πππ
πππππππππδ-
+<<
+>+<<+<=
+==-+<<+<<-++<<+<+++<=-对某一固定时刻对某一固定时刻概率密度用冲激函数表示
()
,20
H t k x XH else π
π???
??
??=+=??
??
2-4 已知随机过程()X t A Bt =+,其中,A B 皆为随机变量。①求随机过程的期望[()]E X t 和自相关函数12(,)X R t t ?②若已知随机变量相互独
立,它们的概率密度分别为()A f a 和()B f b ,求()
X t 的一维概率密度(;)X f x t
第②问
方法一:用雅克比做(求随机变量函数的分布) 步骤:
t 时刻,()X t A Bt =+为两个随机变量的函数 ①设二维的随机矢量
12X A Bt X A
=+??
=?(题目要求的)(自己设的量,可以是其它量)
②求反函数
③求雅克比行列式J ,得到|J| ④利用公式1
2
X X 12(,)(,)AB x x f b J f a =?
()AB ()AB A B f f a f b ?=相互独立
⑤由联合概率密度求边缘概率密度()1
X f x ⑥t 为变量,则得到(;)X f x t
,A B
,(,)()()
()
01()1
()()11()11(,;)(,)(,)()()
1(;)(,;)()(),(;)AB A B XY AB AB A B X XY A B X A B f a b f a f b A Y t X t A Bt J X t Y t Y t t B t t t x y x y
f x y t f a b f y f y f t t t t x y
f x t f x y t dy f A dy y f t t
f x t y J a +∞+∞
-∞
-∞
∴=?=?=+???==--?
?==-???
--=?=?=??-===??∴?
?
与独立()1()()A B x a f a f d a t t
+∞-∞
-=???
()()()();1X A B A B a b
x a f x t f a f d t t f x bt f b d ∞
-∞∞
-∞
-??
=? ???
=-???
方法二: 用特征函数定义和性质(独立变量和的
特征函数等于各特征函数的乘积)做 (特征函数和概率密度一一对应)
()()()()()()()()()()()()()()()()()(),;;;;;ju juX t ju A Bt ju a bt
X AB ju a b A B x
X X ju A B j A B ux
X t B X x A f a f b Q u t E e
E e e f a b dadb
e
dadb
x Q u t e d db
e
dx
f bt f Q u b f x t t f x t e dx
f x bt f b d f x b f b x x b
t b d ++∞
+∞
++-∞
-∞
+∞+∞
+-∞
-∞+∞+∞
-∞
-∞
+∞
-∞
-∞
+∞
+-∞∞
∞∞
-??
??
===???
?
====--=-?
??
???
????
取a=-bt
2-5 已知()X t 为平稳过程,随机变量0()Y X t =。判断随机过程()()Z t X t Y =+的平稳性?
()X ()m X X t R τ?平稳、
()()0?E Y t E X t ??==?????? ()2X E Z t m =????
()()()()()()()()()()()()()()()()()
12122
1212002001200,,,Z X X X Z t t t R t t E X t Y X t Y E X t X t X t X X X t X R R t R t E X R t t t ττ??=++??
??=+++????=+?
≠++?
随机过程
()()Z t X t Y
=+非平稳
2-6 已知随机过程0()()cos()Y t X t t ω=+Φ,其中随机过程()X t 宽平稳,表示幅度;角频率0ω为常数;随机相位Φ服从(,)ππ-的均匀分布,且与过程()X t 相互独立。①求随机过程()Y t 的期望和自相关函数?②判断随机过程()Y t 是否宽平稳?
①Φ与过程()X t 相互独立
()0cos()t X t ω?+Φ与相互独立
[][]
[][]00()()cos()()cos()0E Y t E X t t E X t E t ωω=+Φ=+Φ=
()[][][][]()
101202120102120112020()cos()()cos()()()cos()cos()(,1
cos 2
)()cos()cos()Y X E X t t X t t E X t X t t t E X t R t t R X t E t t τωωτωωωωω+Φ?+Φ?+Φ+Φ=?+==Φ+Φ=
2-8 已知平稳过程()X t 的自相关函数为 ()4cos cos3X R e
τ
τπτπτ
-=+,
求过程的均方值和方差?
112()4cos ()0()cos30
X X X R e
R R τ
τπτ
τπτ
-=∞==X1X2=非周期部分m 周期偶函数m
22(0)5X X X R m σ=-=
()X t
2-10 已知过程
()cos sin X t A t B t
=-和
()cos sin Y t B t A t
=+,其中随机变量,A B 独立,均值
都为0,方差都为5。①证明()X t 和()Y t 各自平稳且联合平稳;②求两个过程的互相关函数?
①
()()(),5sin XY R t t X t Y t ττ
?+=、联合平稳 []()[]2
()0,5cos ()5X E X t R t t E X t X t ττ??=+==<∞
???平稳
[]()[]2
()0,5cos ()5Y E Y t R t t E Y t Y t ττ??=+==<∞???平稳
2-11 已知过程()X t 和()Y t 各自平稳且联合平稳,且()()()Z t X t Y t =+。①求()Z t 的自相关函数()Z R τ?②若()X t 和()Y t 独立,求()Z R τ?③若()X t 和()Y t 独立且均值均为0,求()Z R τ 第①问
()()()()()()()()()()()
Z X Y XY YX X X Y Y XY R E Z t Z t R R R R R R R R ττττττττττ=+????
=++++++-=
两个联合平稳的过程的互相关函数 ()()YX XY R R ττ=-
第②问 两平稳过程独立
()()()()1212E X t Y t E X t E Y t ?=????????????
()()XY YX X Y R R m m ττ?== ()()()()2Z X Y XY R R R R ττττ=++
第③问 ()X t 和()Y t 独立且均值均为0 ()()()Z X Y R R R τττ=+
2-12 已知两个相互独立的平稳过程()X t 和()Y t 的自相关函数为
20()2cos X R e
τ
τωτ
-=
(
)2
()9exp 3Y R ττ=+-
令随机过程,其中A 是均值为2,方差为9的随机变量,且与()X t 和()Y t 相互独立。求过程()Z t 的均值、方差和()()()Z t AX t Y t =自相关函数?
随机变量A ,与()X t 和()Y t 相互独立
()()()E Z t EA E X t E Y t =????????????
[()]()0[()]0X E X t R E Z t =±∞=∴=,
()
()
22
222220(,)[()()][()()()()][]()()
[][co ][]92()26s 9exp 3Z X Y Z R t t E Z t Z t E A X t X t Y t Y t E A R R E A D A R e
E A τ
ωτττττττττ-+=+=++==++=-=+?
[()](0)260Z D Z t R ==
可以证明过程()Z t 平稳
2-14 已知复随机过程 ()
1()exp i i i Z t A j t ω∞
==∑
式中(1,
,)i A i n =为n 个实随机变量,(1,
,)i i n ω=为
n 个实数。求当i A 满足什么条件时,()Z t 复平
稳?
复过
程
()
Z t 复平稳条件
()()()
+j ,Z z
Z Z m t m m m R t t R ττ=???
+=??X Y 复常数, ①()()[]()11
exp exp z i i i i i i m t E A j t j A t E ωω∞∞
==??==????∑∑ []0[()][]0i i E A E Z t t E A ≠=只要,中就存在“”。令
②
()()()()()()
()1
111
2
11,exp exp exp exp i i j j j i j i j j i j j i i j i j Z E R t t E Z t Z A j t A j t j j t j t j A t E A j E A ωωωτωωτττωωτ∞
∞
==∞
∞
==∞
∞
==*
-?+-++??+????+=+??
??
=?????=??
∑∑∑∑∑∑
[]0................,1,2,
,[]0,......i i k i k E A A A i k n
E A A i k =??=??=≠??
与间应满足条件:
2-16 已知平稳过程
()
X t 的均方可导,
()()Y t X t '=。证明(),()X t Y t 的互相关函数和()Y t 的自相
关函数分别为
()
()X
XY dR R d τττ=
22()
()X Y d R R d τττ=-
[]'
000022
2
()()()()()..()()()()()lim ()()()()lim lim ()()Y t t XY XY XY XY t XY X R E X t Y t X t t X t E l i m Y t t E X t t Y t X t Y t t R t R R R t dR d R d d ττττττττττττττττ
?→?→?→?→??=+??
+?-??
=+??
???
+?+-+=?-?---?==??=-=-
-。
0001()[()()]()()()..()()()()lim ()()()lim XY t t X X X t R E X t Y t X t t X t E X t l i m t X t X t t X t X t E t R t R dR t dt
τττττττττ?→?→?→=+++?-+?
?=?????
++?-+??
=?????+?-==?
若()X t 为宽平稳(实)过程,则'
()X t 也是宽平稳(实)过程,且
()X t 与'()X t 联合宽平稳。
()22()()()()
()XY YX XY X Y d R d R d R d R R d d d d τττττττττ
===--
--=-
2-17 已知随机过程()X t 的数学期望
2[()]4E X t t =+,求随机过程2()()Y t tX t t '=+的期望?
[]'
'
'
2
[()][()]42E X t E X t t t ??==+=??
[]2()3E Y t t =
2-18 已知平稳过程
()
X t 的自相关函数
21()2exp 2X R ττ??
=- ???
。求:①其导数()()Y t X t '=的自相
关函数和方差?②()X t 和()Y t 的方差比?
(
)
2
12
2
2
2()
()21X Y d R R e d ττττ
τ
--
==-
不含周期分量 ()()220202Y Y X X R R σσ====
补充题:若某个噪声电压()X t 是一个各态历经过程,它的
一个样本函数为()2cos 4X t t π??
=+ ??
?,求该噪声的直流分量、交流平均功率
解:直流分量()E X t ????、交流平均功率()D X t ????
各态历经过程 可以用它的任一个样本函数的时间平均来代替整个过程的统计平均
()1
1
()lim lim 0221()()()()2cos 4()()2c lim 21l os im 2cos 22cos 44T
T
T T T T T
X T
T T T T E X t X t dt dt T
T
R X t X t dt
T X t t X t X t t t d T t πτπττττπ--→∞→∞-→∞-→∞??+ ???+????+?++ ? ???????
==???
????
?=+=??==???
?????==
再利用平稳过程自相关函数的性质
()()()02X X D X t R R =-∞=????
方法二:
()()()222
2
2
2
()()()2cos ()01
1()lim
li 24m 22T
T
T T T T X t X t D X t E X t E X t X t X t dt dt T
X t T
t π--→∞→∞
??+ ???=-=-??????????
=??
==?
??
?????=
01()()t
Y t X d t
λλ=
?01)(1
()t Y t X d t
t λλ=*=?变上限积分2-19 已知随机过程()cos3X t V t =,其中V 是均值和方 差皆为1的随机变量。令随机过程
求()Y t 的均值、自相关函数、协方差函数和方差?
解:
1. 求均值,利用[()][()]b
b
a a E X t dt E X t dt
=??
随机过程的积分运算与数学期望运算的次序可以互换
()[][]000()111()cos3sin 33t t
t E Y t E X d d d t t E X E V t t t
λλλ
λλλ??===????????
=???
2.求自相关函数 12
1212112200
121221
0011(,)[()()][()()]
[()()]t t Y t t R t t E Y t Y t E X d X d t t E X X d d t t λλλλλλλλ==????1212
1
=
120012
1212
2
1212
cos3[()()]11sin 3()()3sin 3sin 3(,)[]
33sin 3sin 3sin 3sin 399t t Y V t
Y t X d d t t t
V t V t R t t E t t t t EV t t t t t t V E Y t Y t λλλλ===
===??1212
做法二:2=
3. 求互协方差函数
[]11212212[()(,)(,)sin3si 3()9]n Y Y C t t E Y t E Y t R t t t t t t =-=
12
1
4. 求方差 ()[],t Y C t t D Y t =????是关于的方差一元函数
()[]2
222
sin sin 3sin 39933t t V D Y t
t
V t D t D t ??===
????????
方法二: