离散数学及答案

22．设代数系统<A,·,*>是环，则<A,·>是___________，<A,*>是___________。
23．在<Z7-{0},7>中，元素2的阶为___________，它生成的子群为___________，其中7为模7乘法。
24．设<A,≤>是一个___________，如果A中任意两个元素都有___________，则称<A,≤>为格。
A.3B.4
C.6D.8
8.在整数集Z上，下列定义的运算满足结合律的是（）
A. B.
C. D.
9.设<G， >是群，则下列陈述不正确的是（）
A. B.
C. D.
10.设 是函数，则下列陈述正确的是（）
A.若f不是入射的，则 不是入射的B.若g是入射的，则 也是入射的
C.若f是入Βιβλιοθήκη Baidu的，则 也是入射的D.若 不是入射的，则f也不是入射的
D．在A中有关于运算*的幺元不一定有左右幺元
13．题13图的最大出度是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
14．下列图是欧拉图的是（ ）
15．一棵树的3个4度点，4个2度点，其它的都是1度，那么这棵树的边数是（ ）
A．13B．14
C．15D．16
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
19．自由变元代入规则是指对某___________出现的个体变元可用个体常元或用与原子公式中所有个体变元不同的个体变元去代入，且___________。
20．设A=,B={2,4}，则 ( (A)=___________，A×B___________。
21．设A={1,2,3,4},A上的二元关系R={<1,2>,<2,4>,<3,3>},S={<1,3>,<2,4>,<4,2>}，则R2S=___________，(R-1)2=___________。
28.求公式 ∨ ∧ 的主合取范式和主析取范式。
29.设A={1,3,5,9,15,45}, 为整除关系。
（1）画出<A, >的哈斯图；
（2）求子集B=｛3,9,15｝的极大元，极小元，最大元，最小元。
四、证明题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
30.设 是一个群， 。
证明： 是 的子群。
31.设A={<a，b>｜a，b为正整数}，在A上定义二元关系~如下：<a，b>~<c，d>当且仅当|a－b|=|c－d|。
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均不得分。
16.命题公式 的成真指派为_________,成假指派为__________。
17.设 __________。
18.公式 的约束变元为__________,自由变元为_________。
19.整数集Z中的运算 定义如下： ，则 运算的幺元为_________;设a有逆元，则其逆元a-1为_________。
11.设简单图G所有结点的度数之和为36，由G的边数为（）
A.6B.9
C.12D.18
12.下列无向图不一定是树的是（）
A.结点数比边数多1的连通图B.每对结点之间都有通路的图
C.无回路但添加一条边则有回路的图D.无回路的连通图
13.设R1,R2是A上的两个关系，s为对称闭包，t为传递闭包，则下列描述正确的是（）
34.今有a，b，c，d，e，f，g共7人，已知下列事实：a会讲汉语和英语；b会讲英语和韩语；c会讲英语和意大利语；d会讲法语、俄语和意大利语；e会讲俄语和韩语；f会讲汉语；g会讲法语和汉语。试问这7个人应如何排座位（圆桌），才能使每个人和他身边的人交谈?
全国2012年4月高等教育自学考试
离散数学试题
4．在指定的解释下，下列公式为真的是（ ）
A．(x)(P(x)∨Q(x)),P(x):x=1,Q(x):x=2,论域:{1,2}
B．(x)(P(x)∧Q(x)),P(x):x=1,Q(x):x=2,论域:{1,2}
C．(x)(P(x)→Q(x)),P(x):x>2,Q(x):x=0,论域:{3,4}
A. B.
C. D.
14.下列必为欧拉图的是（）
A.有回路的连通图B.不可以一笔画的图
C.有1个奇数度结点的连通图D.无奇数度结点的连通图
15.设X=｛0｝，下列关于代数系统<P(X)， >的陈述正确的是（）
A.0是幺元B. 是幺元
C.｛0｝是幺元D.没有幺元
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
课程代码：
28.设A={1,6,9,12,18,36}，≤为整除关系。
（1）画出<A，≤>的哈斯图；（2）求子集B={6,12,18}的极大元、极小元、最大元、最小元。
29.求公式┑（P∧Q）→R的主析取范式和主合取范式。
32.设G是n个结点、n条边的简单连通图，且G中存在度数为3的结点。
证明：G中至少有一个度数为1的结点。
11．设A是偶数集合，下列说法正确的是（ ）
A．<A,+>是群B．<A,×>是群
C．<A,÷>是群D．<A,+>, <A,×>,<A,÷>都不是群
12．设*是集合A上的二元运算，下列说法正确的是（ ）
A．在A中有关于运算*的左幺元一定有右幺元
B．在A中有关于运算*的左右幺元一定有幺元
C．在A中有关于运算*的左右幺元，它们不一定相同
五、应用题（本大题共2小题，第35小题9分，第36小题6分，共15分）
35．符合化下列命题，并构造推理证明：三角函数都是周期函数，有些三角函数是连续函数，所以有些周期函数是连续函数。
36．两个等价关系的并集不一定是等价关系，试举例说明。
2010
全国2012年7月高等教育自学考试
离散数学试题
课程代码：02324
证明：~是一个等价关系。
32.设G是有n个结点、n+1条边的简单连通图，且G中存在度数为5的结点。
证明：G中至少有一个度数为1的结点。
五、综合应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
33.构造下列推理的证明。
如果他有时间并且他有很多钱，他必去过桂林。如果他没有很多钱，他一定不会买小轿车。他有时间。他买了小轿车。所以他去过桂林。
23.＜Ｚn，+＞是一个群，其中Zn={0,1,2, ,n-1}, = ,则当 =6时，
在＜Z6,+＞中，1的阶为___________,4的阶为___________。
24.设R=｛＜1，2＞，＜2，3＞，＜４，5＞｝和S=｛＜3，2＞，＜4，3＞，＜5，1＞｝是集合A=｛1，2，3，4，5｝上的两个关系，则 _________. =________。
D．(x)(P(x)→Q(x)),P(x):x>2,Q(x):x=0,论域:{3,4}
5．对于公式(x) (y)(P(x)∧Q(y))→(x)R(x,y)，下列说法正确的是（ ）
A．y是自由变元B．y是约束变元
C．(x)的辖域是R(x,y)D．(x)的辖域是(y)(P(x)∧Q(y))→(x)R(x,y)
A. B. ∨P
C. ∨ D.
3.下列等价式正确的是（）
A. B.
C. D.
4.设A(x):x是鸟，B(x):x会飞，命题“有的鸟不会飞”符号化为（）
A. ∧ B. ∧
C. D.
5.设X= ，则下列陈述正确的是（）
A. B.
C. D.
6.设 ,则有（）
A. B.
C. D.
7.设A=｛a,{b,c}｝,则其幂集P（A）的元素总个数为（）
6．设论域为{1,2}，与公式(x)A(x)等价的是（ ）
A．A(1)∨A(2)B．A(1)→A(2)
C．A(1)∧A(2)D．A(2)→A(1)
7．设Z+是正整数集，R是实数集，f:Z+→R,f(n)=log2n,则f（ ）
A．仅是入射B．仅是满射
C．是双射D．不是函数
8．下列关系矩阵所对应的关系具有反对称性的是（ ）
A．（x）P(x)→R(y)
B．(x)┐P（x）(x)(P(x)→Q(x))
C．(x)(y)(P(x)∧Q(y))→(x)R(x)
D．(x)(P(x,y)→Q(x,z))∨(z)R(x,z)
3．下列式子为重言式的是（ ）
A．(┐P∧R)→QB．P∨Q∧R→┐R
C．P∨(P∧Q)D．(┐P∨Q)(P→Q)
25．若一条___________中，所有的___________均不相同，称为迹。
三、计算题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
26．给定论域D={1,2}，f(1)=2,f(2)=1,S(1)=F,S(2)=T,G(1,2)=T,G(2,1)=T,在该赋值下，求式子x(S(f(x))∧G(x,f(x)))的真值。
31．求题31图的最小生成树。
四、证明题（本大题共3小题，第32小题8分，第33、34小题各6分，共20分）
32．用推理方法证明(A∨B)→(C∧D),(D∨F)→E├A→E。
33．证明：设<G,·>是一个群，则对于任意a,b∈G，必存在惟一的x∈G使得a·x=b。
34．设图G有n个结点，n+1条边，证明：G中至少有一个结点度数≥3。
一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设P:他看电影，Q:他学习，将命题“他在学习或在看电影”符号化正确的是（）
A.P QB.P∧Q
C.P∨QD.Q P
2.下列命题公式不是永真式的是( )
16．请写出表示德摩根律的两个命题公式等价定理___________，___________。
17．n个命题变元的___________称为小项，其中每个变元与它的否定不能同时出现，但两者必须___________。
18．前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以___________，简称___________规则。
20.设f(x)=2-x,g(x)=2x2+1，那么复合函数 =_________, =________。
21.设A=｛<1，3>，<3，5>，<4，4>｝，B=｛<1,3>,<4,5>,<5,5>｝,那么 =_______,
ran =__________。
22.如题22图所示的格中，b的补元是_________,c的补元是_________。
A． B．
C． D．
9．设R1和R2是集合A上的相容关系，下列关于复合关系R1R2的说法正确的是（ ）
A．一定是等价关系B．一定是相容关系
C．一定不是相容关系D．可能是也可能不是相容关系
10．下列运算不满足交换律的是（ ）
A．a*b=a+2bB．a*b=min(a,b)
C．a*b=|a-b|D．a*b=2ab
27．请通过等值演算法求┐(P∧Q)→(P∨Q)的主析取范式。
28．设A={1,2,3,4}，给定A上二元关系R={<1,1>,<1,2>,<2,4>,<4,2>}，求R的传递闭包。
29．对题29图所示格，找出它的所有的4元子格。
30．用矩阵的方法求题30图中结点ui，u5之间长度为2的路径的数目。
25.Kn是 个结点的完全图，则K5有_______条边，每个结点的度数为__________。
三、计算题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）
26.构造命题公式 ∧ ∨ 的真值表。
27.设 是A= 上的二元关系。
（1）画出R的关系图；
（2）写出R的关系矩阵；
（3）说明R是否具有自反、反自反、对称、反对称性质。
全国
课程代码：02324
一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．下列句子不是命题的是（D）
A．中华人民共和国的首都是北京B．张三是学生
C．雪是黑色的D．太好了！
2．下列式子不是谓词合式公式的是（B）