离散数学习题与解答

作业题与解答

第一章

19 (2)、(4) 、(6)

21 (1)、(2) 、(3)

19、(2)

解答: (p→┐p)→┐q 真值表如下:

所以公式(p→┐q)→┐q 为可满足式

19、(4)

解答: (p→q)→(┐q→┐p) 真值表如下:

所以公式(p→q)→(┐q→┐p)为永真式

19、(6)解答: ((p→q)∧(q→r))→(p→r) 真值表如下:

所以公式((p→q)∧(q→r))→(p→r)为永真式21、(1)解答: ┐(┐p∧q)∨┐r 真值表如下:

所以成假赋值为:011

21、(2)

解答: (┐q∨r)∧(p→q)真值表如下:

所以成假赋值为:010,100,101,110

21、(3)解答: (p→q)∧(┐(p∧r)∨p)真值表如下:

所以成假赋值为:100,101

第二章5、(1) (2) (3) 6、(1) (2) (3) 7、(1) (2) 8、(1) (2) (3)

5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值

(1) (┐p→q)→(┐q∨p)

?┐(┐p→q) ∨(┐q∨p)

?┐(┐(┐p) ∨q) ∨(┐q∨p)

?(┐p ∧┐q) ∨(┐q∨p)

?(┐p ∧┐q) ∨(p ∧┐q)∨(p ∧q)

?m0 ∨m 2∨m3，

所以00，10，11 为成真赋值。

(2) (┐p→q)∧(q∧r)

?(┐┐p∨q)∧(q∧r)

?(p∨q)∧(q∧r)

?(p∧q∧r)∨(q∧r)

?(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(┐p∧q∧r)

?(p∧q∧r)∨(┐p∧q∧r)

?m3∨m 7，

所以011，111 为成真赋值。

(3) (p∨(q∧r))→(p∨q∨r)

?┐(p∨(q∧r))∨(p∨q∨r)

?(┐p∧(┐q∨┐r))∨(p∨q∨r)

?(┐p∧┐q)∨(┐p∧┐r)∨(p∨q∨r)

?(┐p∧┐q)∨((┐p∧┐r)∨(p∨q∨r))

?(┐p∧┐q)∨((┐p∨p∨q∨r)∧(┐r∨p∨q∨r) )

?(┐p∧┐q)∨(1∧1)

?(┐p∧┐q)∨1

?1

?m0∨m1∨m 2∨m3∨m4∨m5∨m 6 ∨m 7，

所以000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 为成真赋值。7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式(1) (p∧q)∨r

?( p∧q∧r)∨( p∧q∧┐r)∨(p∧r)∨(┐p∧r)

?( p∧q∧r)∨( p∧q∧┐r)∨(p∧r∧q)∨(p∧r∧┐q)∨(┐p∧r∧q)∨(┐p∧r∧┐q)

?( p∧q∧r)∨( p∧q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(┐p∧┐q∧r)

?m1∨m3∨m5∨m6∨m7 由主析取范式和主合取范式之间的关系，所以公式的主合取范式为：

(p∧q)∨r ?M0∧M2∧M4

(2) (p→q)∧(q→r)

?(┐p∨q)∧(┐q∨r)

?(┐p∧(┐q∨r))∨(q∧(┐q∨r))

?(┐p∧┐q)∨(┐p∧r)∨(q∧┐q)∨(q∧r)

?(┐p∧┐q)∨(┐p∧r)∨(q∧r)

?(┐p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)

∨(┐p∧┐q∧r)∨(p∧q∧r)∨(┐p∧q∧r)

?(┐p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)

∨(p∧q∧r)

?m0∨m1∨m3∨m7

由主析取范式和主合取范式之间的关系，所以公式的

主合取范式为：(p→q)∧(q→r) ?M2∧M4∧M5∧M6

8、求下列公式的主合取范式，再用主合取范式求主析取范式(1) (p∧q)→q

?┐(p∧q )∨q

?(┐p∨┐q )∨q

?┐p∨(┐q∨q)

?┐p∨1

?1 该公式无主合取范式，所以公式的主

析取范式为：(p∧q)→q ?m0∨m1∨m2∨m3 (2)

(p?q)→r

?┐((┐p∨q)∧(p∨┐q))∨r

?((p∧┐q)∨(┐p∧q))∨r

?(((p∨(┐p∧q)) ∧(┐q∨(┐p∧q)))∨r

?((p∨┐p)∧(p∨q)∧(┐q∨┐p)∧(┐q∨q))∨r

?((p∨q)∧(┐q∨┐p))∨r

?(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q∨r)

?M0∧M6 由主合取范式和主析取范式之间的关系，所以

公式的主析取范式为：(p?q)→r ?m1∨m2∨m3∨m4∨

m5∨m7

(3) ┐(r→p)∧p∧q

?┐(┐r∨p)∧p∧q

?(r∧┐p)∧p∧q

?r∧(┐p∧p)∧q

?r∧0∧q?0

M0∧M1∧M2∧M3∧M4∧M5∧M6∧M7

该公式无主析取范式

第三章14 (2)、(4)、(5) 15 (1)、(2) 16 (1)

14、在自然推理系统P 中构造下面推理的证明

(2) 前提：p→q, ┐(q∧r), r

结论：┐p

证明：①┐(q∧r) 前提引入

②┐q∨┐r ①置换

③r 前提引入

④┐q ②③析取三段论

⑤p→q 前提引入

⑥┐p ④⑤拒取式

（4）前提：q→p, q s, s t, t∧r

结论：p∧q

证明：①s t 前提引入

②(s→t)∧(t→s) ①置换

③t→s ②化简

④t∧r 前提引入

⑤t ④化简

⑥s ③⑤假言推理

⑦q s 前提引入

⑧(s→q)∧(q→s) ⑦置换

⑨s→q ⑧化简

⑩q ⑥⑨假言推理

q→p 前提引入

p ⑩假言推理

p∧q ⑩合取（5）前提：p→r, q→s, p∧q

结论：r∧s

证明:

①p∧q 前提引入

②p ①化简

③q ①化简

④p→r 前提引入

⑤r ②④假言推理

⑥q→s前提引入

⑦s ③⑥假言推理

⑧r∧s ⑤⑦合取

15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面各推理：

(1) 前提：p→(q→r), s→p, q

结论：s→r

证明：①s 附加前提引入

②s→p 前提引入

③p ①②假言推理

④p→(q→r) 前提引入

⑤q→r ③④假言推理

⑥q 前提引入

⑦r ⑤⑥假言推理

(2) 前提：(p∨q)→(r∧s), (s∨t)→u

结论：p→u

证明：

①p 附加前提引入

②p∨q ①附加

③(p∨q)→(r∧s) 前提引入

④r∧s ②③假言推理

⑤s ④化简

⑥s∨t ⑤附加

⑦(s∨t)→u 前提引入

⑧ u ⑥⑦假言推理

16、在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理：

(1) 前提：p→┐q, ┐r∨q, r∧┐s

结论：┐p

证明:

①p 结论否定引入

②p→┐q 前提引入

③┐q ①②假言推理

④┐r∨q 前提引入

⑤┐r ③④析取三段论

⑥r∧┐s 前提引入

⑦r ⑥化简

⑧┐r∧r ⑤⑦合取(矛盾)

⑧为矛盾式，由归谬法可知，推理正确。

第四章5、(1) (2) (3) (4) 10、(2) (4) 11、(2) (6)

5、在一阶逻辑中将下列命题符号化：

(1) 火车都比轮船快。

?x?y(F(x)∧G(y)→H(x,y))，

其中，F(x)：x 是火车，G(y)：y 是轮船，H(x,y):x 比y 快。

(2) 有的火车比有的汽车快。

?x?y(F(x)∧G(y)∧H(x,y))，其中，

F(x): x 是火车，G(y)：y 是汽车，H(x,y):x 比y 快。

(3) 不存在比所有火车都快的汽车。

┐?x(F(x)∧?y(G(y)→H(x,y)))

或?x(F(x)→?y(G(y)∧┐H(x,y)))，

其中，F(x): x 是汽车，G(y)：y 是火车，H(x,y):x 比y 快。

(4) 说凡是汽车就比火车慢是不对的。

┐?x?y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) 或

?x?y(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y) )，

其中，F(x): x 是汽车，G(y)：y 是火车，H(x,y):x 比y 慢。

10、给定解释I 如下：

（a）个体域D=N（N 为自然数）。

（b）D 中特定元素 =2。

（c）D 上函数(x,y)=x＋y，(x,y)=x·y。

D 上谓词(x,y)：x=y。

(2) ?x?y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x))

?x?y((x+2=y)→(y+2=x))，真值为0。

(4) ?xF(f(x,x),g(x,x))

?x(x+x=x·x),真值为1。

11、判断下列各式的类型

(2) ?x(F(x)→F(x)) →?y(G(y)∧┐G(y))) 此谓词公式前件

永为真，而后件永为假，即公式为(1→0)

,此公式为矛盾式，所以原谓词公式为矛盾式。

(6) ┐(?xF(x)→?yG(y))∧?yG(y) 此谓词公式是命题公式┐(p

→q)∧q 的代换实例，而该命题公式是矛盾式，所以此

谓词公式是矛盾式。

第五章15 (1)(2)(3)(4) 20 (1) (2) 23 (1) (2)

15、在自然推理系统F 中构造下面推理的证明：

(1) 前提: ?xF(x)→?y((F(y)∨G(y))→R(y)), ?xF(x)

结论：?xR(x)

证明：①?xF(x) →?y((F(y)∨G(y)) →R(y)) (前提引入)

②?xF(x) (前提引入)

③?y((F(y)∨G(y)) →R(y)) (①②假言言推理)

④ F(c) (② EI 规则)

⑤ F(c)∨G(c) →R(c) (③ UI 规则

⑥ F(c)∨G(c) (④附加律)

⑦ R(c) (⑤⑥假言言推理)

⑧?xR(x) (⑦ EG 规则)

(2) 前提：?x(F(x)→(G(a)∧R(x)))，?xF(x)

结论：?x(F(x)∧R(x))

证明：

①?xF(x) 前提引入

② F(c) ①?-

③?x(F(x)→(G(a)∧R(x))) 前提引入

④ F(c)→(G(a)∧R(c)) ④?-

⑤ G(a)∧R(c) ②④假言推理

⑥ R(c) ⑤化简

⑦ F(c)∧R(c) ②⑥合取

⑧?x(F(x)∧R(x)) ⑥?+

(3) 前提：?x(F(x)∨G(x))，┐?xG(x)

结论：?xF(x)

证明: ①┐?xG(x) 前提引入

②?x┐G(x) ①置换

③┐G(c) ②?-

④?x(F(x)∨G(x))前提引入

⑤F(c)∨G(c) ④?-

⑥F(c) ③⑤析取三段论

⑦?xF(x) ⑥?+

(4) 前提: ?x(F(x)∨G(y)), ?x(┐G(x)∨┐R(x)), ?xR(x)

结论：?xF(x)

证明：①?xR(x) 前提引入

② R(c) ①?-

③?x(┐G(x)∨┐R(x)) 前提引入

④┐G(c)∨┐R(c) ③?-

⑤┐G(c) ②④析取三段论

⑥?x(F(x)∨G(y)) 前提引入

⑦F(c)∨G(c) ⑥?-

⑧F(c) ⑤⑦析取三段论

⑨?xF(x) ⑧?+

20、在自然推理系统F 中，构造下面推理的证明：

(可以使用附加前提证明法)

(1) 前提：?x(F(x)→G(x))

结论：?xF(x)→?xG(x)

证明：①?xF(x) 附加前提

② F(y) ①?-

③?x(F(x)→G(x)) 前提引入

④ F(y)→G(y) ③?-

⑤ G(y) ②④假言推理

⑥?xG(x) ⑤?+

(2) 前提：?x(F(x)∨G(x))

结论：┐?xF(x)→?xG(x)

证明：①┐?xF(x) 附加前提

②?x┐F(x) ①等值演算

③┐F(c) ②?-

④?x(F(x)∨G(x)) 前提引入

⑤ F(c)∨G(c) ④?-

⑥ G(c) ③⑤析取三段论

⑦?xG(x) ⑥?+

23、在自然推理系统F 中，证明下面推理： (1)每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。

设F(x):x 为有理数，R(x):x 为实数，G(x):x 是整数。

前提：?x(F(x)→R(x))，?x(F(x)∧G(x)) 结论：

?x(R(x)∧G(x))

证明：①?x(F(x)∧G(x)) 前提引入

② F(c)∧G(c) ①?-

③ F(c) ②化简

④ G(c) ②化简

⑤?x(F(x)→R(x)) 前提引入

⑥ F(c)→R(c) ⑤?-

⑦ R(c) ③⑥假言推理

⑧ R(c)∧G(c) ④⑦合取

⑨?x(R(x)∧G(x)) ⑧?+

(2) 有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有

理数、也不是无理数。

设：F(x):x 为有理数，G(x):x 为无理数，R(x)为实数， H(x)为虚数前提：?x((F(x)∨G(x))→R(x)), ?x(H(x)→┐R(x)) 结论：?x(H(x)→(┐F(x)∧┐G(x)))

证明：①?x((F(x)∨G(x)→R(x)) 前提引入

② F(y)∨G(y))→R(y) ①?-

③?x(H(x)→┐R(x)) 前提引入

④H(y)→┐R(y)③?-

⑤⑥⑦⑧┐R(y)→┐(F(y)∨G(y))

H(y)→┐(F(y)∨G(y))

H(y)→(┐F(y)∧┐G(y))

?x(H(x)→(┐F(x)∧┐G(x)))

②置换

④⑤假言三段论

⑥置换

⑦?+

第六章31， 32、(1)(2)(3)， 41， 42，45

31、设A、B 为任意集合，证明：

(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)

证明：由于

(A-B)∪(B-A)= (A∩～B)∪(B∩～A)

=((A∩～B)∪B)∩((A∩～B)∪～A)

=((A∪B)∩(～B∪B))∩((A∪～A)∩(～B∪～A))

=(A∪B)∩(～B∪～A)

=(A∪B)∩～(B∩A)

=(A∪B)∩～(A∩B)

=(A∪B)-(A∩B)

所以原式成立。

32、设A、B、C 为任意集合，证明：

（1）(A-B)-C=A-(B∪C)

证明：由于 (A-B)-C = (A∩～B)∩～C

= A∩(～B∩～C)

= A∩～(B∪C) = A – (B∪C) 所以原式成立。

（2）(A-B)-C=(A-C)- (B-C)

证明：由于 (A-C)- (B-C)= (A∩～C)∩～(B∩～C)

=(A∩～C)∩(～B∪C)

= ((A∩～C)∩～B)∪((A∩～C)∩C)

=(A∩～C)∩～B

=(A∩～B)∩～C

=(A-B)∩～C

=(A-B)-C 所以原式成立。

（3）(A-B)-C=(A-C)- B

证明: 由于(A-B)-C =(A∩～B)∩～C

=(A∩～C)∩～B

=(A-C)- B 所

以原式成立。

41、设A、B、C 为任意集合，证明： A

∩C?B∩C ∧ A-C?B-C ?A?B

证明：?x∈A

(1) 若x∈C

则x∈A∩C，而A∩C?B∩C

所以 x∈B∩C

因此 x∈B

(2) 若x?C

则x∈A-C ，而A-C?B-C

所以 x∈B-C

因此 x∈B

综上所述，A?B

42、设A、B、C 为任意集合，证明： A∪

B=A∪C ∧A∩B=A∩C ?B=C

证明：(1)先证B?C

?x∈B

①若x∈A

则x∈A∩B，而A∩B=A∩C

所以 x∈A∩C

因此 x∈C

②若x?A

则x∈A∪B ，而A∪B=A∪C

所以 x∈A∪C

因此 x∈C 综

上所述知B?C

(2)再证C?B 同理可证

所以B=C

45、设A、B 为任意任意集合，证明：

(1)P(A)∩P(B)=P(A∩B)

(2)P(A)∪P(B)?P(A∪B)

(3)针对(2)举一反例，说明P(A)∪P(B)=P(A∪B)对某些集合

A 和

B 是不成立的。

证明：(1) ①先证P(A)∩P(B)?P(A∩B)

?x∈P(A)∩P(B)

则 x∈P(A) ∧ x∈P(B)

所以 x?A ∧ x?B

所以 x?A∩B 所

以 x∈P(A∩B)

因此 P(A)∩P(B)?P(A∩B)