非稳态传热计算方法及举例
传热学传热学--第三章 第三节 一维非稳态导热问题
传热学--第三章第三节一维非稳态导热问题§3 — 3 一维非稳态导热的分析解本节介绍第三类边界条件下：无限大平板、无限长圆柱、球的分析解及应用。
如何理解无限大物体，如：当一块平板的长度、宽度>> 厚度时，平板的长度和宽度的边缘向四周的散热对平板内的温度分布影响很少，以至于可以把平板内各点的温度看作仅是厚度的函数时，该平板就是一块“无限大”平板。
若平板的长度、宽度、厚度相差较小，但平板四周绝热良好，则热量交换仅发生在平板两侧面，从传热的角度分析，可简化成一维导热问题。
一、无限大平板的分析解已知：厚度的无限大平板，初温t0，初始瞬间将其放于温度为的流体中，而且>t0，流体与板面间的表面传热系数为一常数。
试确定在非稳态过程中板内的温度分布。
解：如图3-5 所示，平板两面对称受热，所以其内温度分布以其中心截面为对称面。
对于x 0 的半块平板，其导热微分方程：(0<x< , )定解条件：t(x,0)= t0(0 x )（边界条件）（边界条件）引入过余温度：则（0<x< , ）(3-9)(x,0)= (0 x ) （初始条件）（边界条件）（边界条件）对偏微分方程分离变量求解得：（3-10 ）其中离散值是下列超越方程的根，称为特征值。
其中Bi 是以特征长度为的毕渥数。
由此可见：平板中的无量纲过余温度与三个无量纲数有关：以平板厚度一半为特征长度的傅立叶数、毕渥数及即：（3-12)二、非稳态导热的正规状况阶段1 、平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度的关系前述得到的分析解是一个无穷级数，计算工作量大，但对比计算表明，当Fo>0.2 时，采用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的误差小于1% ，因此，当Fo>0.2时，采用以下简化结果：（3-13 ）其中特征值之值与Bi 有关。
由上式（3-13 ）可知：Fo>0.2 以后平板中任一点的过余温度(x ，τ) 与平板中心的过余温度(0 ，τ)=（τ ）之比为：（3-14 ）此式反映了非稳态导热过程中一种很重要的物理现象：即当Fo>0.2 以后，虽然(x ，τ) 与（τ ）各自均与τ 有关，但其比值则与τ 无关，而仅取决于几何位置（x/ ）及边界条件（Bi ）。
传热学 第3章-非稳态导热分析解法
第三章 非稳态导热分析解法1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；② 集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。
2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。
如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。
§3—1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间而作周期性变化1）物体的温度随时间而趋于恒定值如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。
首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。
热传导-非稳态热传导
体积为 V 表面积为 A 物性 r, l, c 初始温度 t0 >t∞
2. 数学描写
1）控制方程
t a 2t Φ
rc
空间导数为零
dt Φ
d rc
初始条件 0, t t0 (不需要边界条件）
2）如何确定广义热源项 Φ
与分析肋片导热问题类似－发生热量交换的边界不是计算边界，无法通过边界条件 来反应边界上的热交换，需将界面上交换的热量折算成整个物体的体积热源。
均为齐次条件！可以采用分离变量法求解
x , - x h x
（2）分离变量法求解
取
X (x) ( )
则原方程
2
a x2
化为
1 d 1 d 2 X a d X dx2
只为 的函数
只为 x 的函数
左右端只能为常数： 1 d 1 d 2 X const a d X dx2
初始条件（IC）： t f ( x, y, z, 0) f ( x, y, z )
边界条件（BC）可能有三种： 第1，2，3 类边界条件。
第三类边界条件较常见：
(
t n
)
w
h(tw
tf
)
h, t f 已知
n
未知的 换热表 已知的表 未知的 已知的
表面法 面外法 面对流传 表面温 流体温
正规 状况 阶段
渐消失，不同时刻温度分布主要取决于 边界条件及物性（分布 P-D, P-E, P-G
非正 规阶
等）。
段
N
4. 非稳态导热问题数学描写
用矢量表示的三个坐标系下控制方程的统一形式：
第3章-非稳态导热分析解法
V c
hA
hA
V c
=1
0
e 1 36.8%
Vc
hA
上式表明：当传热时间等于
时，物体的过余
Vc
hA
温度已经达到了初始过余温度的36.8％。称 为时间常数，也称弛豫时间，用 c 表示。
V c
hA
时间常数反映了系统处于一定的环境中所表现出来
的传热动态特征，与其几何形状、密度及比热有关，
数时，即τ=τc，则
θ /θ
0
0
＝e
1
0.386
1
τ=4τc，时
0
＝e
4.6
0.386 0 1 τ /τ
0.01
s
工程上认为= 4τc时导热体已达到热平衡状态
3
Bi Biຫໍສະໝຸດ Fohl l 物理意义
＝ 物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻
无量纲 热阻
无量纲 时间
非正规状况阶段(右侧面不参与换热 )：温度
分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分
为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温
度分布受 t 分布的影响较大。 环境的热影响不断向物体内部扩展的过程， 即物体（或系统）有部分区域受到初始温度分布 控制的阶段。必须用无穷级数描述。
正规状况阶段(右侧面参与换热 )： 当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布
求物体温度随时间变化的依 变关系
A
ΔΕ
ρ , c, V, t0
φc
h, t
建立数学模型－利用两种方法
根据导热微分方程的一般形式进行简化； 利用能量守恒 热平衡关系为：内热能随时间的变化率ΔΕ＝通
传热学第三章-非稳态导热-2
0.2
即：比值与无关，仅与几何位置(x/)及边界条件(Bi数) 有关。这表明初始条件的影响已经消失，无论初始分布 如何，无量纲温度都是一样的。此时非稳态导热已进入 正规状态或充分发展阶段。
令x = ，还可以计算平壁表面温度和中心温度的比值。
( , ) m ( )
cos(1
)
（f）
另外，由表3-1可知，当Bi < 0.1时，1 < 0.3111，从 而cos(1) > 0.95。即当Bi < 0.1时，平壁表面温度和
2sin( n ) sin( n ) cos(n
)
cos(n x) exp(an2 )
令 βnδ=μn
最后得：
(x, )
0
n 1
n
2sin( n ) sin n cos n
cos(n
x
) exp(
a 2
n2 )
由于
Fo a 2 （傅立叶数）
得
(x, ) 0
n 1
n
2sin( n ) sin n cos
….
n (x, ) ean2 [ An cos(n x)]
将无穷个解叠加，得：
(x, ) ean2 [ An cos(n x)] n1
An可利用初始条件
0,
t0-t
0
求取
An
0
n
2sin( n ) sin( )n cos(n
)
于是，得到解的最后形式为：
(x,
)
0
n 1
n
于是有:
Q c V t0 t(x, )dV
Q0
cV (t0 t )
1 V
t0 t (t t )dV
传热学-第4章-非稳态导热的计算与分析
10
4.2 对流边界条件下的一维非稳态导热
❖ 对几何形状简单、边界条件不太复杂的情形，仍然可 以通过数学分析的方法获得分析解
❖ 这里以（无限大）平壁被流体对称加热的非稳态导热 过程为例，说明非稳态导热的基本特征、分析方法和 过程
❖ 定性地、定量两个方面
11
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
问题描述： ❖ 厚为2δ、无内热源的常物性平壁 ❖ 初始时刻温度分布均匀，为t0 ❖ 某时刻突然投入到温度为t∞的高
conduction）：物体内任意位置的温度随时间持续升高 （加热过程）或连续下降（冷却过程） 边界条件或内热源不变时，过程将最终逐渐趋于某个 新的稳定温度场
6
4.1 概述
研究目的：
❖ ——确定非稳态过程中的温度场：在此基础上确定物体中
某个部位到达某个预定温度所需经历的时间，或者在预定时间 内可以达到的温度，或者物体的温度对时间的变化速率。
8
4.1 概述
研究方法与过程：与稳态导热的完全相同 （1）简化假设给出物理模型 （2）给出数学模型（方程＋定解条件） （3）采用适当的数学方法求解 （4）分析讨论
9
4.1 概述
❖ 非稳态导热的控制方程：
τ
ρct
x
λ
t x
y
λ
t y
z
λ
t z
Φ
❖ t=f（x,y,z,t）
❖ 控制方程：偏微分方程，数学求解难度很大
❖ 随着时间的延续，壁面加热的波及区域将继续向平壁中
心推进
16
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
17
4.2.1 平壁内非稳态过程的基本特征
❖ 当温度扰动刚刚传到平壁对称 面的那个时刻，称为穿透时间， 记作τc
第三章 非稳态导热
► 蓄热系数
综合衡量材料蓄热和导热能力的物理量 b c J/(m2·℃·S1/2 )
a qw b
(tw t0 ) W/m , Qw
2
2b
(tw t0 ) J/m 2
冬天用手握铁棍和木棍，尽管它们温度相同，但 总是感觉铁棍比较凉。这是因为铁的蓄热系数比 木材的约大30倍，铁从手中取走的热量远大于木 材的缘故
t qw (tw t0 ) x x 0 a
W/m2
以外都是常量，则整段时间内消耗于加热每平方米 半无限大物体的热量Qw(累计热量） 1 d Qw qwd (tw t0 ) 2 (tw t0 ) 0 a 0 a
各个准则反映了与现象有关的物理量间的内在联系。 应该掌握其定义式和物理意义，以及定义式中各个参 数的意义。 在对流换热分析中也有大量应用。 毕渥准则Bi可表示成(δ/λ) /(1/h),分子是厚度为δ的 平壁内的导热热阻，分母则是壁面外的对流换热热阻， 所以Bi准则具有对比热阻的物理意义。
傅里叶准则Fo可表示成τ /(δ2/a),分子是时间， 分母也具有时间的量纲，它反映热扰动透过平壁 的时间，具有对比时间的物理意义。Fo越大，热 扰动就能越快地传播到物体的内部。 平板中推导获得的无量纲化解的形式，同样适用 于圆柱和球体。 诺模图的应用。
作业
► 1，2，3，5，9
b(tw t0 ) d d L c(t p tw )
► 在0~τ范围内积分，得到凝固层厚度ξ
2b(tw t0 ) K L c(t p tw )
K称为凝固系数
b(tw t0 ) d 1 K m/s d L c(t p tw ) 2
传热学(第四版)第三章：非稳态热传导
hA 1 时， exp(1) 0.368
Vc
0
称 Vc 为时间常数，用 表示。
c
hA
当 4 Vc 时， 1.83% 工程上认为=4 Vc / hA时
hA 0
导热体已达到热平衡状态
第三章 非稳态导热
6
讨论2：热电偶测温的动态误差
将两支绑在一起的热电偶（补充介绍热电偶的测温原理）突然从 空气中放到保温杯中，热电偶读数的变化过程。其中热电偶1的探 头直径约为1 mm，热电偶2的探头直径约为3.5mm；环境为冬季、 室内。
第三章 非稳态导热
7
实验观察结果的拟合
t
t
t
exp
hA
Vc
t
拟合线1:
t
12.7
79.4
exp
3
0.216
79.4
拟合线2 : t 11.1 第三章 非稳态导热
80.0
exp
3
1.252
80.0
8
时间常数 ( Vc / hA)反应导热体的热惯性。 如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
2
a
x2
0, 0 0
0
0, x 0, w ; x , 0 0 tw
式中， t t0 , w tw t0
式中
1 erf x
w
2 a
erf () 2 e2 d
0
＝ x 2 a
第三章 非稳态导热
t0 x
30
3-10、课堂作业
3-25
方程x*tan(x)=Bi前10个正根 给Bi=0.9991, matlab求解。
已知：热电偶与气体的表面换热系数为 10w/(m2·k)，热电偶导热系数为67w/(m·k)，密度为 7310kg/m3，比热容228J/(kg·K)。
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题目
一厚度为0.1m的无限大平壁，两侧均为对流换热边界条件，初始时 两侧流体温
度与壁内温度一致，tf1=tf2=t0=5 ℃；已知两侧对流换热系数分别为h1=11
W/m2K、h2=23W/m2K, 壁材料的导热系数=0.43W/mK，导温系数a=0.3437×
10-6 m2/s。如果一侧的环境温度tf1突然升高为50℃并维持不变，计算在其它参
数不变的条件下，平壁内温度分布及两侧壁面热流密度随时间的变化规律（用图
形表示）。
问题分析
此题为两侧受恒温流体作用,并求其从非稳态传热过程温度场到接近稳态传热的
温度场,并算出其热流密度随时间的变化规律。
解法
建立离散方程及求解
将平板分割成如下网格：共计10个网格，11个节点，以恒温流体1处为节点1，
恒温流体2处为节点11。
列写节点方程，边界条件皆为恒温流体传热，初始条件为5摄氏度。以此对每个
单独时刻进行求解，解出该时刻各节点的温度，并在此解的基础上进一步解出之
后各时段的温度解，进行迭代计算，直到满足时间要求为止。
非稳态传热计数器
计算过程使用Excel实现，具体做法是利用Excel进行解方程，并求出温度解。
因使用10个网格，故方程类型为10元1次方程组，也就是说每个时刻都有10
个方程必须联立求解，使用Excel的行列式计算能很容易地用克拉姆方法解出该
方程。之后用该组温度解进行下一次迭代运算，如此反复，直到满足题设要求。
具体的温度求解请查阅 非稳态传热计算器.xlsx 文件，为了要求计算器的整洁
美观，繁琐的计算过程使用Hide功能隐藏，若需查阅解除Hide指令即可。
使用计算器时仅需输入相关系数，并输入合适的时间步长即可，计算器将按给定
的参数计算出平板在之后各个时刻各节点上的温度值。
计算器将列出各节点的温度值随时间变化的计算表格，同时输出三种图形：平板
内各节点温度随时间变化规律，平板内各节点温度在某一时刻的变化规律及平板
壁面热流密度随时间变化规律。
网格1 网格2 网格3 网格4 网格5 网格6 网格10 网格9 网格8 网格7 恒温流体
Tf2=5摄氏度
H2=23 恒温流体 Tf1=50摄氏度 H1=11
计算器使用实例（按作业题目要求）
两侧受恒温流作用无限大平板非稳态传热
计算器(沿轴向分为10个网格)
请输入相关参数
平板厚度 0.10
平板热扩散率 0.0000003437
平板导热系数 0.43
传热系数1 11.00
传热系数2 23.00
平板初温 5.00
流体1温度 50.00
流体2温度 5.00
时间步长 30.00
校核结果 校核结果正确
网络傅里叶数 0.412440
网络毕渥数1 0.127907
网络毕渥数2 0.267442
平板内各节点温度随时间变化规律
节点 0秒 30秒 60秒 90秒 120秒 150秒
1
5.00 7.74 9.51 10.78 11.77 12.58
2
5.00 5.65 6.48 7.31 8.08 8.79
3
5.00 5.16 5.45 5.83 6.26 6.71
4
5.00 5.04 5.13 5.28 5.48 5.71
5
5.00 5.01 5.04 5.09 5.17 5.28
6
5.00 5.00 5.01 5.03 5.06 5.10
7
5.00 5.00 5.00 5.01 5.02 5.04
8
5.00 5.00 5.00 5.00 5.01 5.01
9
5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00
10
5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00
11
5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00
平板壁面热流密度随时间变化规律
节点 0秒 30秒 60秒 90秒 120秒 150秒
1 0.50 0.46 0.45 0.43 0.42 0.41
11 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
0100020003000400050006000
温
度
（
摄
氏
度
）
时间（秒）
平板内各节点温度随时间变化规律
1234567891011
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
024681012
温
度
（
摄
氏
度
）
节点
平板内各节点温度在某一时刻的变化规律
30秒
210秒
600秒
1620秒
4440秒
5310秒
热流密度方向为向右流动为正值，向左流动为负值。
关于计算程式的具体做法请直接打开计算器文件。
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0100020003000400050006000
热
流
密
度
（
千
瓦
每
平
方
米
）
时间（秒）
平板壁面热流密度随时间变化规律
壁面1
壁面2
总结与分析
随着时间增加，通过壁面1及壁面2的流体密度趋近于相等，最终结果为热流从高流体
那一侧流向低温流体。
壁面与流体温差越大，热流密度也就越大，也就是说随着热流充分发展，热流密度的变
化也趋近于平滑。
随着时间的增加，在某一时刻平板内部各点的温度值逐渐趋近于一条直线，最终成为稳
态导热形式，在此之前，温度值的变化规律符合热传导微分方程，并按照指数exp(-t)
的形式规律来变化。