线性代数综合练习
(完整版)线性代数习题答案综合题
2、题型：综合题3、难度级别：34、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：10分钟7、试题关键字：矩阵的初等变换 8、试题内容：设,A B 为两个同型矩阵，试证：,A B 的秩满足()()R A R B =是A 与B 等价的充分必要条件.9、答案内容： 证明:()()()()()()()()12121122111221.,..,,,,.~~rr n r n r r n r n r r r n r n r r n r n r A B E F E B F P P Q Q P AQ P BQ A P P BQ Q ⨯--⨯-⨯-⨯--⨯-⨯---⇒⨯O ⎛⎫= ⎪O O ⎝⎭O ⎛⎫= ⎪O O ⎝⎭∴==rc r c 必要性与等价则存在可逆矩阵P,Q,使PAQ=B R(A)=R(B).充分性.设A,B 为m n 矩阵,R(A)=R(B)=r.则A 存在可逆矩阵使即.A B ⇒与等价10、评分细则：由题设()()PAQ B R A R B =⇒=(2分);将A 经初等变换化为标准形(2分) 将B 经初等变换化为标准形(2分);得出11221122,,,,P AQ P BQ P Q P Q =均可逆(2分);所以得出A 与B 等价(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：347 2、题型：综合题 3、难度级别：44、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：12分钟7、试题关键字：方程组的解与矩阵的秩 8、试题内容：已知四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，123,,ααα是其解，且()()12231,1,0,2,1,0,1,3T Tαααα+=+=，求方程组的通解.9、答案内容： 解:412231312231223.() 3.0.()0.()(0,1,1,1)0,(0,1,1,1)0.111115()(2,1,1,5)(,,,)442444.12141454s T T T T A x b R A Ax Ax Ax Ax b Ax b αααααααααααααα⨯===+-+=-=+-+=--≠∴--=+++===⎛ ∴=⎝设方程组为对于其基础解系含4-3=1个解.是的解可以作为的一个基础解系为的一个解的通解为01,.11c c ⎫⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪⎭为任意数 10、评分细则：由题设说明0Ax =的基础解系含一个解向量(2分);()122313αααααα+-+=-是0Ax =的一个解(2分);说明13αα-可以作为0Ax = 的一个基础解系(2分);说明()123414αααα+++为Ax b =的一个解(2分);所以得出Ax b =的通解(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：348 2、题型：综合题 3、难度级别：44、知识点：第五章 相似矩阵及二次型5、分值：106、所需时间：15分钟7、试题关键字：初等矩阵及矩阵的相似与合同 8、试题内容：设1111400011110000,1111000011110000A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭试判断A 与B 是否合同，是否相似.若是，则求出使它们合同的矩阵. 9、答案内容：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1234:4113112112113114112111010021131141100100001,211101000010000100,40143,T A B E E E E E E B P E E E P P AP BA E R A E R A A λλλλλ------=---⎛⎫ ⎪⎪=---= ⎪ ⎪⎝⎭=---⎛⎫ ⎪⎪∴ ⎪ ⎪⎝⎭-=⇒====-===-∴解与合同且相似.E 12E 12令E 12则可逆且使A 与B 合同的矩阵为且一定可以40000000,.00000000A B ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对角化即与相似10、评分细则：判断出A 与B 合同且相似(2分);将A 进行初等行变换与列变换化为B 的过程以左乘及右乘初等矩阵的形式写出来(3分);因而写出使A 与B 合同的可逆矩阵P (2分);计算A 的特征值(2分);写出与A 相似的对角矩阵(1分)._____________________________________________________________________________1、试题序号：3492、题型：综合题3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：106、所需时间：15分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩 8、试题内容：设向量组12:,,,r B b b b L 能由向量组12:,,,s A a a a L 线性表示为()()1212,,,,,,r s b b b a a a K =L L ，其中K 为s r ⨯矩阵，且A 组线性无关.证明B 组线性无关的充分必要条件是()R K r =. 9、答案内容：()()()()()()()()()1212122121212122.,...,,,0..0.,00.,,,.0,,00.,r r r r r r r s R K r R b b b R K r R b b b r R b b b r b b x xb b b x x xx Bx B AK AKx A Kx x a a a S Kx R K r Kx x b =≥=≤∴=⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪====⇒= ⎪⎪⎝⎭∴=∴==∴=⇒=∴L L LL LL Q L Q L 11证充分性则有同时，则b 线行无关.必要性.设令则则有线行无关,R A b ,,r b L 线行无关.10、评分细则：充分性,由题设推出()12,,,r R b b b L r =()R K r ⇒≥,且有()()R K r R K r ≤⇒=(4分).必要性,令()12r B b b b =L ,设0Bx =,则有0AKx =(2分),由题设推出0Kx =0x ⇒=(2分);所以12,,,r b b b K 线性无关(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：350 2、题型：综合题 3、难度级别：34、知识点：第二章 矩阵及其运算5、分值：106、所需时间：8分钟7、试题关键字：可逆矩阵及分块运算 8、试题内容：已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足323A x Ax A x =-,且向量组2,,x Ax A x 线性无关.（1） 记()2,,P x Ax A x =，求3阶矩阵B ，使AP PB =；（2）问A 是否可逆，说明理由. 9、答案内容：2232222()()(3)000()103.011000103.011(2).,,,.0..A x AxA x Ax A xA x AxA xAx A x x Ax A x B AP PB A P P B x Ax Ax P A B A ⇒=-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪-⎝⎭=⇒=∴==∴Q 解:(1)AP=PB =线性无关可逆则不可逆10、评分细则：由题设及矩阵的分块运算法,计算出B (6分);由AP PB A B =⇒=(2分);所以0A B A ==⇒不可逆(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：351 2、题型：综合题 3、难度级别：44、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：12分钟7、试题关键字：方程组的解与矩阵的秩 8、试题内容：设4元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩为3，123,,ηηη是它的3个解向量，且()()1232,3,4,5,1,2,3,4T Tηηη=+=，求该方程组的通解.9、答案内容：1312131131:.() 3.0,2()()0.34200.562334,.4556Ax b R A Ax Ax Ax Ax b c c ηηηηηηηηηη===+-=-+-=-⎛⎫ ⎪- ⎪+-=≠= ⎪- ⎪-⎝⎭-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪∴=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭解设方程组为且对于其基础解系只含一个解.为的一个解而可以作为一个基础解系的通解为为任意常数 10、评分细则：由题设推出0Ax =的基础解系含一个解向量(2分);由题设得出0Ax =的一个非零解(2分);说明这非零解可以作为0Ax =的一个基础解系(2分);求出Ax b =的一个解(2分);得出Ax b =的通解(2分)._____________________________________________________________________________ 1、试题序号：352 2、题型：综合题 3、难度级别：44、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：10分钟7、试题关键字：矩阵的秩与方程组的解 8、试题内容：设()()()123123123,,,,,,,,TTTa a ab b bc c c αβγ===，证明三直线11112222:0;0l a x b y c l a x b y c ++==++=；3333:0,l a x b y c ++=其中220,1,2,3i i a b i +≠=，相交于一点的充分必要条件为：向量组,αβ线性无关，而向量组,,αβγ线性相关. 9、答案内容：()()()()11122233333.2,,,2,,,2,;b b c R b R b c b b c R R R R αβαβγαβαβγαβα⎧⎪⇔⎨⎪⎩-⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⇔=-=⎨ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎩⎝⎭⎝⎭⇔=-=⇔==⇔1112223331111122222333证明:a x+b y+c =0三直线交于一点a x+b y+c =0有唯一解a x+b y+c =0a x+b y+c =0a a a x+b y+c =0有唯一解a a a x+b y+c =0a a 线性无关,,βγ线性相关.10、评分细则：由题设得出111222333000a xb yc a x b y c a x b y c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解(2分)1111122222333332a b a b c R a b R a b c a b a b c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⇔=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(2分)()()()()22R R R R αβαβγαβαβγ⇔=-=⇔==(4分),αβ⇔线性无关,,,αβγ线性相关(2分)._____________________________________________________________________________1、试题序号：3532、题型：综合题3、难度级别：44、知识点：第三章 矩阵的初等变换与线性方程组5、分值：106、所需时间：12分钟7、试题关键字：方程组的解与矩阵的秩 8、试题内容：设矩阵()1234,,,A αααα=，其中234,,ααα线性无关，1232ααα=-.向量1234βαααα=-+-，求方程组Ax β=的通解.9、答案内容：()()()()12123412343412342341231234123412123434.11.11,,,2,,,,3,0x xx x x x Ax x x R R A Ax x x x x βααααααααββαααααααααααααααααα⎛⎫⎪ ⎪=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪∴== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=-⇒===⎛ ⎝Q Q 解：，且为的一个解又线性无关且线性相关则有所以，的基础解系只含一个非零解。
线性代数综合练习
《线性代数》总复习题一、判断题1. 仅当021====n k k k 时等式02211=++n n k k k ααα才成立，则向量组n ααα,,21线性无关. ( )2. 若r ααα ,,21线性相关，则r ααα ,,21,n r αα,1+也线性相关.( ) 3. 一个向量组如果含有零向量，则这个向量组一定线性相关. ( ) 4. 如果矩阵A 存在一个不为零的r 阶子式则矩阵的秩为r . ( )5. r ααα ,,21为向量组T 的一部分向量，如果r ααα,,21线性无关，则r ααα,,21为向量组T 的最大无关组. ( )6. 由n 维向量r ααα,,21生成的子空间或者是n 维的或者是r 维的.( ) 7. 任意齐次线性方程组或者无解，或者有唯一解，或者有无穷多解.( ) 8. 初等矩阵可理解为单位矩阵经过一次初等变换而得到. ( ) 9. 矩阵经过初等变换后得到的新矩阵实际上与原矩阵相等. ( ) 10. 矩阵经过初等变换其行列式的值不变. ( ) 11. 矩阵经过初等变换其秩不变. ( ) 12．线性方程组0=⨯x A n m 的解空间维数仅与m ,n 有关. ( ) 13.线性方程组b x A n m =⨯的解全体构成一个)(A R n -维子空间. ( ) 14．方阵A 为实对称矩阵当且仅当A 的特征值为实数. ( ) 15．方阵A 的对应于特征值λ的特征向量x 必定是齐次线性方程组0)(=-x E A λ的解. ( )16．矩阵的秩就是其列（或行）向量组中线性无关向量的个数. ( )17.如果向量空间V 的任一向量均可由r ααα,,21线性表示，则称r ααα,,21为V 的一个基. ( )18. 若在矩阵A 中有一个r 阶子式不为0，则A 中至少有一个r -1阶子式不为0. ( ) 19. 上三角方阵的值就是主对角线上元素的乘积. ( )20. 若r ααα ,,21线性相关，则1α 可由r αα,2线性表示. ( ) 二 、选择题1. 设B A ,为n 阶矩阵，且0≠A ,而0=AB ，则 A ）0=B B ）0=A 或0=B C) 0=BA D ）()222B A B A +=+2.设B A ,为n 阶矩阵且A 可逆，则有A ）11---=-A A B ）()k k kB A AB =C ）111)(---=B A ABD ）1*-=n AA3.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=210A B A A ，其中21,A A 都是方阵，且0≠A ，则有 A ）1A 可逆但2A 不一定可逆 B ）2A 可逆但1A 不一定可逆C ）1A 与2A 的可逆性不定D ）1A 与2A 均可逆4.设A 为n 阶方阵，则0=A 的充分必要条件是A ）两行（列）元素对应成比例B ）必有一行为其余行的线性组合C ）A 中有一行元素全为0D ）任一行为其余行的线性组合 5.A 为n m ⨯矩阵，齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充要条件是A 的（A ） 列向量组线性无关 （B ）列向量组线性相关 （C ）行向量组线性无关 （D ）行向量组线性相关6.设线性方程组Ax =b 有m 个方程，n 个未知量，则正确的是（A ） 若Ax =0仅有零解，则Ax =b 有唯一解 （B ） 若Ax =0有非零解，则Ax =b 有无穷多解（C ） 若Ax =b 有无穷多解，则Ax =0仅有零解 （D ） 若Ax =b 有无穷多解，则Ax =0有非零解7.线性方程组Ax =b 有m 个方程，n 个未知量，且r(A )=r, 则此方程组（A ）r=m 时，有解 （B ）r=n 时，有唯一解 （C ）m=n 时，有唯一解 （D ）r<n 时，有无穷多解8.方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=--=++=-+08870430252032321321321321x x x x x x x x x x x x 的解的情形是(A) 无解， (B) 基础解系中有一个向量 ，(C) 仅有零解 (D) 基础解系 中有两个向量9.设,,333222111333222111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=c b y c b y c b y B c b x c b x c b x A 且A B ==-27,,则A B + 等于 (A) 5 (B) 5- (C) 10- (D) 20- 10.设向量组αααα1234,,, 线性无关， 则线性无关的向量组是()14433221 , , , αααααααα-+++A ()14433221 , , , αααααααα--++B()14433221 , , , αααααααα-+-+C ()14433221 , , , αααααααα----D三、填空题1. 设A 为44⨯矩阵, B 为55⨯矩阵，且2=A ，2-=B ，则B A -= ，A B -= 2.设()E B A +=21，则当且仅当2B = 时，A A =2 3.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-100110202211A ，则=A4.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100020101A ，()()=-+-E A E A 93215. []n n b b b a a a 2121⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=6. 行 列 式a b b d a c c d++++=________________.7. 设E (,)i j 表 示 由n 阶 单 位 矩阵 第i 行 与 第j 行互 换 得 到 的 初 等 矩 阵， 则E (,)i j -=1__________.8. 设A 为正交矩阵， 且*A A T -=, 其中*A 是A 的伴随矩阵, 则A 的行列式等于________.9. 设 A, B 都是n 阶方阵且A 可 逆, 则)(11---AB AB AA T ＝10. 行列式 i j k→→→123213= 11. 设,100010011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AB 且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121112301B 则A -=112. 设V 是由向量TT )3,0,2(,)0,1,1(21==αα 生成的子空间，则向量T )3,1,5(1=β ，T TT)3,1,3(,)3,3,5(,)3,2,0(432-==-=βββ中 属于V .13．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011012111A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001b ,则线性方程组b Ax =的解为14. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----020212022的特征值为 15．行列式 D =4443343332312423211412110000a a a a a a a a a a a a 的元素11a 的代数余子式为16.设向量Tb a ),0,,1(=α与向量T )1,1,1,1(-=β和T )1,1,1,1(--=γ都正交， 则a,b 分别为17.设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1000010042103101A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1020013600020021B ，则AB ＝ ，（利用分块矩阵乘法求解）18.设向量T )4,3,2,1(=α，T )1,1,1,1(--=β ，则βα,,的夹角为19．非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=+-5321132053321321321x x x x x x x x x 的通解为20．设Tx )2,3,(1=αT )3,1,2(2-=α T )1,2,3(3=α,则当=x 时321,,ααα线性相关.21. 已知α=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11k 是A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211121112的逆矩阵A 1-的特征向量，则k ＝ .四、计算题1. 计算行列式1111 11111111 1111--+---+---=x x x x D2. 计 算 ()2333333433333333332333331≥=n nD n3. 设A 是3阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，21=A ，求行列式()*123A A --的值.4. 讨论向量组,T)3,2,1(1-=α,T )5,2,0(2-=α ,T )2,0,1(3-=α的线性相关性.5. 设3维向量 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=1111λα , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=1112λα , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=λα1113 , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20λλβ 问当λ取何值时, β 可由321,,ααα线性表示且表达式唯一.6. 求四维向量组T )5,3,1,2(1-=α T )3,1,3,4(2-=α T )4,3,2,3(3-=αT )17,15,1,4(4-=α T )0,7,6,7(5--=α的秩及最大无关组.7. 试确定参数λ，使矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=152********λλA 的秩最小.8. 验证四维向量T)1,1,1,1(1=αT )1,1,1,1(2--=α T )1,1,1,1(3--=αT)1,1,1,1(4--=α是4R 的一个基，并求向量T )1,1,2,1(=→β在这个基下的坐标.9．验证集合{}R x x x x x x V ∈-==211211,|)3,2,(是否为向量空间.10．问λ取何值时, 方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++++=+++04707)2()33(0)33(28321321321x x x x x x x x x λλλλ 有非零解，并将其通解用基础解系表示出来.11．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+λ4321432143212312022x x x x x x x x x x x x 无解？何时有解？在有解的情况下求其通解。
线性代数综合训练
5．设 3 元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 2，已知向量 η1 ,η 2 ,η 3 是它
⎛1⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 的三个解向量，η1 + η 2 = ⎜ 1 ⎟ ， η 2 + η 3 = ⎜ 1 ⎟ ，则该方程组的通解为 ⎜ 2⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6．设方阵 A 满足 2003 A 2 = 5 A + 16 E ，则 ( A − E ) −1 =
A C⎞ (C) 若 A, B, C , D 都是正定矩阵，则 ⎛ ⎜ ⎟ 也是正定矩阵； ⎝D B⎠
(D) 若 A ， B 都是正定矩阵，则 A − B 也是正定矩阵。
6．设 A, B 都是 n 阶非零方阵，且 AB = O ，则 A 和 B 的秩 (A) 必有一个等于零； (B) 都小于 n ；
1 2 24.行列式 3 5
2 3 2 0
3 4 0 0
4 0 = 0 0
。
⎧kx + y − 2 z = 0 ⎪ 25. 若 齐 次 线 性 方 程 组 ⎨ x + ky + 2 z = 0 有 非 零 解 ， 且 k 2 ≠ 1 , 则 k 的 值 ⎪ kx + y + kz = 0 ⎩
为
。 。
⎛ 4 0 2⎞ ⎜ ⎟ 11．设 A 为 4×3 阶矩阵，且 R(A)=2，又 B = ⎜ 0 2 0 ⎟ ，则 R(AB)- R(A)= ⎜ 1 0 3⎟ ⎝ ⎠
12．若二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + 4 x2 + 2 x3 + 2tx1 x2 + 2 x1 x3 是正定的，
型. 22．已知三阶方阵 A 的特征值是 1， − 1，2，方阵 B = A2 − E ，则 B 的特征值 是 .
线性代数--综合测试答案
一、单项选择题1、已知3阶行列式D第1行的元素依次为1,2,-1，它们的余子式依次为2,-2,1，则D=A.-5B.-3C.3D.5D2、A.第1行的3倍加到第2行B.第2行的3倍加到第1行C.第1列的3倍加到第2列D.第2列的3倍加到第1列正确答案:C3、A.1B.2C.3D.4正确答案:B4、A.-2B.-1C.0D.1A5、A.-3B.-2C.2D.3正确答案:B6、已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则r(A)A.1B.2C.3D.4正确答案:C7、A.-1B.-2/3C.2/3D.1正确答案:A8、A.0B.1C.2D.3C 9、A.-108B.-12C.12D.108正确答案:D10、A.0B.1C.2D.-1正确答案:B11、A.2B.4C.8D.12正确答案:C12、A.-7B.-4C.4B13、A.1B.2C.3D.4正确答案:B14、A.13B.6C.5D.-5正确答案:D15、A.a=0,b=0B.a=0,b=1C.a=1,b=0D.a=1,b=1正确答案:D16、A.-2C.1D.2A17、齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是矩阵A的A.列向量组线性相关B.列向量组线性无关C.行向量组线性相关D.行向量组线性无关B18、设非齐次线性方程组Ax=b,其中A为m*n阶矩阵，r(A)=r，则A.当r=n时，Ax=b有惟一解B.当r<n时，ax=b有无穷多解< p="" style="box-sizing: border-box;">C.当r=m时，Ax=b有解D.当m=n时，Ax=b有惟一解C19、设2阶矩阵A满足|2E+3A|=0,|E-A|=0,则|A+E|=A.-3/2B.-2/3C.2/3D.3/2C20、A.相似但不合同B.合同但不相似C.合同且相似D.不合同也不相似C21、A.相似且合同B.相似但不合同C.不相似但合同D.不相似且不合同正确答案:A22、A.1B.2C.3D.4正确答案:D 23、A.10B.2C.-10D.-2正确答案:A24、A.27B.243C.216D.81C25、A.3B.6C.9D.12正确答案:D26、若A,B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=A.5B.4C.3D.2正确答案:C27、A.6B.-6C.24D.-24正确答案:D28、A.m-nB.-m-nC.m+nD.-(m+n)正确答案:B29、A.-32B.-2C.2D.32正确答案:A30、A.1/2B.2C.4D.8正确答案:C31、A.8B.-8C.32D.-32正确答案:C32、A.a=4,b=0,c=1,d=4B.a=0,b=4,c=1,d=4C.a=4,b=0,c=4,d=1D.a=0,b=4,c=4,d=1正确答案:A33、设A,B,C均为n阶方阵，AB=BA，BC=CB,则BAC=A.ACBB.CABC.CBAD.BCA正确答案:A34、A.A=EB.B=OC.A=BD.AB=BA正确答案:D35、A.4B.8C.12D.16正确答案:D36、A.-5B.-2C.2D.5正确答案:A37、A.1/nB.-1/nC.nD.-n正确答案:D 38、A.PAB.APC.QAD.AQ正确答案:B 39、A.(2,1,1)B.(0,-3,2)C.(1,1,0)D.(0,-1,0)B 40、A.a=0,b=0B.a=0,b=1C.a=1,b=0D.a=1/2,b=2正确答案:D41、A.2B.-2C.4D.-4正确答案:B 42、A.1B.2C.3D.4正确答案:C 43、A.4B.3C.2D.1A 44、A.1B.2C.3D.4正确答案:D 45、A.3B.2C.1D.0正确答案:B 46、A.-2B.2C.-1D.1正确答案:A47、A.4B.3C.2D.1正确答案:B48、设A为5阶方阵，且r(A)=2，则线性空间W={x|Ax=0}的维数是A.5B.4C.3D.2正确答案:C49、A.4B.3C.2D.1正确答案:C50、A.1B.2C.3D.4C。
线性代数综合练习题
线性代数综合练习题时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共15分）:1．设A 是三阶矩阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为（ ）。
（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010； （B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010； （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。
2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。
（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。
3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。
（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量；（C ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；（D ）R n 中，坐标满足x 1=1，x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。
4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）-1有一个特征值等于（ ）。
（A ）34； （B ）43； （C ）21； （D ）41。
5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它（ ）。
（A ）合同； （B ）相似； （C ）等价； （D ）以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）1．设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100021012，矩阵B 满足：ABA *=2BA *+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵，则|B|= 。
2．已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+21232121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031321x x x 无解，则a = 。
《线性代数》综合练习题,附答案
《线性代数》综合练习题一、选择题1. 设A ，B 都是n 阶方阵，且AB=0，则必有（ ）.A.0=A 或0=BB.0=+B AC. 0||=A 或0||=BD. 0||||=+B A2. 设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且ABC=E,其中E 为n 阶单位方阵，则必有（ ）.A. ACB=EB. BC A =EC. CBA=ED. BAC=E3. 设A ，B 都是n 阶方阵，且A 与B 等价，则( ).A. R(A)=R(B)B. )det()det(B A =C. )det()det(B E A E -=-λλD. 存在可逆矩阵P,使B AP P =-14. 设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则=-1*)(A （ ）. A.A A )det(1 B. 1)det(1-A A C.*)det(1A A D. A A *)det(1 5. 设方阵A 满足A 2-A -2E=0, 则必有（ ）.A.E A -=B. E A 2=C. A 可逆D. A 不可逆6. 设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则=⋅|*|||A A （ ）.A. 1B. n A ||C. 1||-n AD. 1||+n A7. 设A,B 为n 阶方阵,则必有（ ）.A. AB=BAB. │A+B│=│A│+│B│C. │A -B│=│A│-│B│D. │AB│=│A││B│8.设B A ,都是n 阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（ ）.A. B A +一定可逆B. AB 一定可逆C . 11--B A 一定可逆 D. TT B A 一定可逆.9.下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011可交换的是（ ）. A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2011 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2032 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121110.矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 为非奇异矩阵的充要条件是（ ）. A. 0=-bc ad B. 0=-cd abC. 0≠-bc adD. 0≠-cd ab11.设A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则必有（ ）.A. ||||A kA =B. ||||A k kA =C. ||||1A k kA n -=D. ||||A k kA n =12.下列说法正确的是（ ）.A. 设A 为n 阶方阵,且A 2=A ，则A=E 或A=0.B. 设A,B,C 为n 阶方阵, AB=AC 且A≠0，则B=C.C. 设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且AB=E ，CA=E ，则B=C.D. 设A 为n 阶方阵,且A 2=0，则A=0.13.矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5321的逆矩阵是（ ）. A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5321B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1325 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5321 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5231 14.设A 为3阶方阵,|A|=3,则|3A -1|= ( ).A. 1B. -1C. 9D. -915. 设C B A ,,都是n 阶可逆矩阵，则=-1)(ABC ( ). A. 111---C B A B. 111---A C BC. 111---B A CD. 111---A B C16. 设A 是一个3阶的反对称矩阵，则|A|= ( ).A. -1B. 0C. 1D. 无法确定17.设α⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321a a a ,β],,[321b b b =,)3,2,1(0,0=≠≠i b a i i ,则方阵A=αβ的秩为( ).A. 0B. 1C. 2D. 318.如果向量组线性相关，那么( ).A. 这个向量组中至少有一个零向量.B. 这个向量组中至少有两个向量成比例.C. 这个向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.D. 这个向量组中所有向量都可以由其余向量线性表示.19.下列说法正确的是( ).A. 等价的向量组含有相同的向量个数.B. 如果向量组线性相关，那么这个向量组中至少有一个零向量.C. 如果向量组线性相关，那么这个向量组中至少有两个向量成比例.D. n 维单位向量组是线性无关的.20.设向量组α1],0,0,1[=α2],1,0,0[=则β=( )时,它是α1, α2的线性组合.A. ]2,1,0[B. ]0,2,1[C. ]2,0,1[D. ]0,1,2[21.向量组α1，α2，… ，αm 的秩不为0的充要条件是( ).A. 向量组α1，α2，… ，αm 中至少有一个非零向量.B. 向量组α1，α2，… ，αm 中至多有一个非零向量.C. 向量组α1，α2，… ，αm 中全部是非零向量.D. 向量组α1，α2，… ，αm 线性无关.22.设向量组α1，α2，… ，αm 的秩为)2(-≤m r r ,则下列说法错误的是( ).A. 向量组α1，α2，… ，αm 中至少有一个含r 个向量的部分组线性无关.B. 向量组α1，α2，… ，αm 中含r 个向量的部分组都线性无关.C. 向量组α1，α2，… ，αm 中含1+r 个向量的部分组都线性相关.D. 向量组α1，α2，… ，αm 中含2+r 个向量的部分组都线性相关.23.设α1，α2，α3为3阶方阵A 的列向量组,则α1，α2，α3线性无关的充要条件是( ).A. │A│0≠B. A 的秩3)(<A RC. 方阵A 不可逆D. 方阵A 是奇异的24. 下列说法错误的是( ).A.1+n 个n 维向量必相关.B. 等价的向量组有相同的秩.C. 任一n 维向量一定可由n 维单位向量组线性表示.D. 零向量不可以由n 维单位向量组线性表示.25. 若R （A ）=2，则5元齐次线性方程组A x =0的基础解系中有( )个向量。
线代期末综合考试及答案
线性代数期末综合练习（二）班级 姓名 学号一、 填空题 1、设1234555533325422221146523A =，则3132333435()()A A A A A ++-+= . 2、设1212,,,,ααββγ都是3维行向量，且行列式 112212122ααααββββγγγγ====，则12122ααββγ++= . 3、设A 是4阶矩阵，12,ξξ是齐次线性方程组0Ax =的两个线性无关的解，则A 的伴随矩阵A *= .4、方阵A 可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和，其为 .5、设A 是n 阶可逆矩阵，若行列式1A n=-，则1A -= . 6、设矩阵0,0C A D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若C 、D 可逆，则A 也可逆，且1A -= . 7、设α与β是4阶正交矩阵A 的前两列，则内积(,)αβ= . 8、设3阶矩阵A 的3个特征值为2，3，4，则行列式2A = .9、三阶矩阵122121330A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦有一个2重特征值，其值为3， 则它的另一个特征值为 . 二、设A 是n 阶方阵，2A I =，证明矩阵的秩的关系式：()()r A I r A I n ++-=三、 计算n 阶行列式：111111111111n n n n----四、 设矩阵A 、B 满足：AB A B =+，求A B +，其中211264213A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦五、设三维向量123(1,1,1),(,1,1),(1,2,),(2,3,4)a b αααβ====，问当a 、b取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表法不唯一. （2）β不能由123,,ααα线性表示.六、设线性方程组123123123(2)2212(5)4224(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩a) 问λ为何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？ b) 当有无穷多解时求出其解.七、设12,αα是矩阵A 的分别属于不同特征值12λλ≠的 特征向量，证明12αα+不是A 的特征向量.八、对实对称矩阵A ，求一个正交矩阵P ，使1P AP -为一个对角矩阵.212151212A -⎛⎫⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭线性代数期末综合练习（二）班级 姓名 学号 一、填空题1、设1234555533325422221146523A =，则3132333435()()A A A A A ++-+= 0 . 解析: 将3132333435()()A A A A A ++-+还原成行列式 即31323334351234555533()()1111102221146523A A A A A ++-+=--= 2、设1212,,,,ααββγ都是3维行向量，且行列式 112212122ααααββββγγγγ====，则12122ααββγ++= 16 . 解析：12122ααββγ++=1122αββγ++2112212121222222αααααββββββγγγγγ+=+++112212122222ααααββββγγγγ=+++ 3、设A 是4阶矩阵，12,ξξ是齐次线性方程组0Ax =的两个线性无关的解，则A 的伴随矩阵A *= 0 .解析：12,ξξ是齐次线性方程组0Ax =的两个线性无关的解，则0Ax =的基 础解系中至少含有两个解向量，则()22r A n ≤-=，所以A 中所有3阶子 式都为0。
大学课程《线性代数》综合练习题集及答案
03D(1)R、；2,用3,>4)=2;向量组的一个极大无关组为、辽，、；4；
：'1 =2(、七亠'：：4),■?23如
(2)R( ：-1^-2, ：-3, ：-4, ：-5) =3；向量组的一个极大无关组为：■1, ：3 >5；
「2=「1：'5,「4 = ：^'：^'：'5 ;
,其中k为任意常数.
当•=1时，有解，解为
(1)当“且•时，方程组有唯一解；
5
<0A
-1
+k
1
丿
当’=1时，其通解为
，其中k为任意实数；
当，二-4时，原方程组无解；
5
广1、
—4
04F (1) C 3, (CER);
7
/ >
2
-22
1
0
+k2
0
15
5
I2」
,(k1,k^R);
(2) k1
J2、
0
十k!
a =b =0时,r (A) =0;当a = b才0时,r( A) =1;
a-'b,且
a-'b,且
a亠(n -1) b =0时,r (A) =n -1;
a • (n _1) b =0时，r(A) =n.
05G
05H
* *
r[(A )]
05K
05M
05O
06A
n ,如果r(A)=n,
0,如果r(A)cn.
011
排列的逆序数为
k2;
当k为偶数时,
排列为偶排列，当k为奇数时，排列为奇排列.
线性代数综合练习题
线性代数综合练习题时间:120分钟一、选择题（每小题3分，共15分)：1．设A 是三阶矩阵,将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为( ）。
（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010; （B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010; （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。
2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。
（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； (B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D)A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。
（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量; （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量； (C ）R n 中,坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；(D)R n 中，坐标满足x 1=1,x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。
4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）—1有一个特征值等于（ ）。
（A)34； （B ）43； （C ）21； （D ）41.5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它( ）。
（A)合同; （B ）相似； （C ）等价； （D)以上都不对。
二、填空题(每小题3分，共15分）1．设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100021012，矩阵B 满足：ABA ＊=2BA ＊+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵,则|B ｜= .2．已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+21232121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031321x x x 无解，则a = 。
线性代数期末综合练习及答案(七)
线性代数期末综合练习（七）一、填空题1、 矩阵121A x ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，210y B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AB BA =，则,.x y ==2、 设矩阵111213212223313233a b a b a b A a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中0,0(1,2,3,)i i a b i ≠≠=，则 ()r A = .3、 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为A *，且0A a =≠，则*A = . 4、 设向量123(1,2,3),(0,2,5),(1,0,2),ααα=-=-=-4(4,5,8)α=，则1234,,,αααα线性 关.5、设A 是3阶矩阵，A 有特征值1230,1,1λλλ==-=，其对应的特征向量分别为123,ξξξ和，设123[]P ξξξ=，，，则1P AP -=0010001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭. 6、设A 是m n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =仅有零解的充分必要 条件是 . 7、设3阶方阵A 的列分块矩阵为123[,,],,A k l ααα=是数，若312k l ααα=+， 则A = .8、设有一个四元非齐次线性方程组123,()3,,,Ax b r A ααα==为其解向量，且123[1,9,9,7],[1,9,9,8]T T ααα=+=，则此方程组的一般解为 .9、设不含零向量的n 元向量组12,,,m ααα是正交向量组，则m 与n 的大小关系为 . 二、 计算行列式：0000000xy x y D x y yx=三、 已知矩阵X 满足关系式：3T XA B X =+，其中：43230,21014A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求X .四、设向量组123[0,0,1,],[0,,1,0],[1,1,0,0]T T T k k ααα===4[,0,0,1]T k α=.问：（1）k 为何值时，向量组1234,,,αααα线性无关.（2）k 为何值时，向量组1234,,,αααα线性相关，并求其秩及一个五、对参数λ，讨论方程组1231231231x x x x x x x x x λλλλλ+-=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩的解，在有解时，求出其无穷多解 .六、设122232221A --⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，求正交矩阵P ，使得1P AP -Λ=为对角矩阵，并求k A （k 为正整数）.七、已知矩阵A B 与相似，其中200200001,0101001A B y x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求x 和y线性代数期末综合练习（七）答案四、 填空题 1、 矩阵121A x ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，210y B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AB BA =，则1,2.x y ==2、 设矩阵111213212223313233a b a b a b A a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中0,0(1,2,3,)i i a b i ≠≠=，则 ()r A = 1 .3、 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为A *，且0A a =≠，则*1n A a -=. 解析: 1*10,n n A A Aa --≠==则4、 设向量123(1,2,3),(0,2,5),(1,0,2),ααα=-=-=-4(4,5,8)α=，则1234,,,αααα线性 相 关.解析:4个3维向量线性相关.(向量组中向量的个数大于向量的维数,向量组线性相关.)5、设A 是3阶矩阵，A 有特征值1230,1,1λλλ==-=，其对应的特征向量分别为123,ξξξ和，设123[]P ξξξ=，，，则1P AP -=000010001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭. 6、设A 是m n ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =仅有零解的充分必要 条件是 ()r A n = .(记住) 7、设3阶方阵A 的列分块矩阵为123[,,],,A k l ααα=是数，若312k l ααα=+， 则A = 0 .解析: 312312123,k l ααααααααα=+即可以由和线性表示，则，，线性相关。
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线性代数 综合练习填空题1．已知1111203=zy x ，则=+++++22223333z y x z y x z y x 。
2．若方阵A 满足T A A =-1，则A 为 矩阵。
3．设A 为5阶方阵，()3=A R ，则齐次线性方程组O AX =的 基础解系中含有 线性无关的解向量个数 为 。
4．当=k 时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++-=++4243212321321x x x k x kx x kx x x 无解。
5．向量组()()()1,1,0,1,1,1,1,0,1321--===ααα线性 关。
6．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛122212221与矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a 00010001相似，则=a 。
7． 行列式521a a a 的值为 。
8． 若三阶方阵A 的特征值为3 ,2 ,1，则=- |4|A E 。
选择题1．设B A ,为n 阶方阵，O A ≠，且O AB =，则 [ ] （A ）O B = （B ）0=B 或0=A （C ）OBA = （D ）()222BA B A +=-2．设A 为3阶方阵，且2=A ，则=+*-AA14[ ]（A ）29（B ）12（C ）6 （D ）1083. 在下列指明的各向量组中，[ ]中的向量组是线性无关的A ． 向量组中有零向量B ． 任何一个向量都不能被其余的向量线性表示C ． 存在一个向量可以被其余的向量线性表出D ． 向量组的向量个数大于向量的维数4．有向量组()(),1,0,0,0,0,121==αα则()=β时，β是21,αα的线性组合（A ）()0,0,2 （B ）()4,0,3- （C ）()0,1,1 （D ）()0,1,0-5. 若齐次线性方程组1231231230020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则[ ]A ．4k k ==或－1B ．4k k ==－或1C ．4k k ≠≠或－1D ．4k k ≠-≠或－16．与可逆矩阵A 必有相同特征值的矩阵是[ ] （A ）1-A （B ）2A （C ）T A （D ）*A 7．设3阶矩阵A 有特征值1,1,0-，其对应的特征向量分别为321,,X X X ，令[]321,,X X X P =，则=-AP P 1[]（A ）()0,1,1-diag （B ）()1,0,1-diag （C ）()1,1,0-diag （D ）()1,1,0-diag8．下列矩阵中是正交矩阵的是[ ]（A ）⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00021102101 （B ）⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21310031021311（C ）⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---323231323132313232（D ）⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3232313231323132329．下列二次型正定的是[ ]22212311223()(,,)22A f x x x x x x x x =+++2212312()(,,)2B f x x x x x=+221231122()(,,)22C f x x x x x x x =++22212311223()(,,)22D f x x x x x x x x =++-三、求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=314020112A 的特征值和特征向量。
四、用配方法化二次型22123112223(,,)222f x x x x x x x x x =+++为标准形，并求正惯性指数、负惯性指数及所用的非退化变换阵。
五、设三元二次型233222312121222222x x x x x x x x x f +++++=：(1) 写出此二次型的矩阵A , 并求A 的特征值； (2) 求正交变换PY X =化二次型为标准形.六、设线性方程组为123412341234121342231363315359x x x x x x x x x x x x x x k x x k +++=⎧⎪+++=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩问12,k k 为何值时，方程组无解？方程组有唯一解？方程组有无穷多个解？有无穷多个解时，求其一般解。
填空题1．2 ； 2.正交 ；3.2；4.4、-1；5.无关；6.5；7. 521a a a ；8.6选择题1. A ；2.D ；3.B ；4.B ；5.C ；三、解：=-E A λλλλ-----314020112…………)2(λ-=λλ----3412…………………)1()2(2+--=λλ=0…………………………………………所以特征值为2，2，-1……………………………2=λ时E A λ-=→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--114000114⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000114…………………所以⎪⎩⎪⎨⎧=-==33312114xx x x x x x,0411⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=η⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1102η即属于2=λ的特征向量为,2211ηηk k +0,21不同时为k k……………………………………1-=λ时E A λ-=→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--414030111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---030030111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000010111……所以⎪⎩⎪⎨⎧===332310x x x x x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1013η 即属于1-=λ的特征向量为3ηk ,0≠k ………………………四、解：32222121321222),,(x x x x x x x x x f +++==2323322222212122x x x x x x x x x -+++++ =23232221)()(x x x x x -+++……………令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=33322211x y x x y x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=333223211y x y y x y y y x ………………则标准形为232221y y y f -+=…………………… 所以正惯性指数为2，负惯性指数为1…………所用的非退化变换阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100110111A ………………五 、解：二次型的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211121112A …………特征多项式)4()1(||2--=-λλλA E ;特征值4 ,1321===λλλ;…………方程组O X A E =-)(1λ得其基础解系T2T1)110( ,)101(-=-=X X ;由Schmidt 正交化方法, 得到如下两个正交的特征向量T211111222T11)121(],[],[ ,1)01(--=-=-==X X X X X X X q q .………解方程组O X A E =-)(3λ得其基础解系T3)111(=q .将正交的向量组321 , ,q q q 单位化得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=3131313616261221211 , ,0p p p .…………取 ), (321p p p =P 则正交变换PY X =化二次型为标准型2322214y y y f ++=.…………六、解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=219513151133163113211k k B⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→1626006740224201321121k k ………… ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--→501000421********321121k k …………所以（1）5,1021-≠=k k 时方程组无解…………（2）101≠k 时方程组有惟一解……………… （3）5,1021-==k k 时方程组有无穷组解…………→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000421001121013211由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000421001121004001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→000421007501004001…………⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=-=444342414275x x x x x x x x 由得通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=04701251k x …………。