2013年普陀区高三二模数学(理)

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2013年上海市普陀区高考数学二模试卷(理科)含详解

2013年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）函数的定义域为．2．（4分）若z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且为纯虚数，则实数a=．3．（4分）若且sin2θ＜0，则=．4．（4分）若点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，则函数f（x）的反函数f﹣1（x）=．5．（4分）若，则=．6．（4分）若函数f（x）=x2+ax+1是偶函数，则函数的最小值为．7．（4分）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．8．（4分）某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差Dξ=．9．（4分）若曲线Γ：（θ为参数且），则Γ的长度为．10．（4分）若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为．11．（4分）△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则C=．12．（4分）若圆C的半径为3，单位向量所在的直线与圆相切于定点A，点B是圆上的动点，则的最大值为．13．（4分）函数y=sin2x+2cos x在区间[﹣，a]上的值域为[﹣，2]，则a的取值范围是．14．（4分）若a i，j表示n×n阶矩阵中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且a i+1，=a i+1，j+a i，j（i、j=1，2，…，n﹣1），则a3，n=．j+1二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）若集合A={x|y2=4x，y∈R}，，则A∩B=（）A．[0，1]B．（﹣2，1]C．（﹣2，+∞）D．[1，+∞）16．（5分）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1B．2：1C．3：2D．4：117．（5分）若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件18．（5分）如图，△ABC是边长为1的正三角形，点P在△ABC所在的平面内，且（a为常数）．下列结论中，正确的是（）A．当0＜a＜1时，满足条件的点P有且只有一个B．当a=1时，满足条件的点P有三个C．当a＞1时，满足条件的点P有无数个D．当a为任意正实数时，满足条件的点P是有限个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）已知函数f（x）=A cos（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角θ满足，求f（2θ）的值．20．（14分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a，记F（x）=2f（x）+g（x）．（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．21．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1（1）求直线DB与平面A1BCD1所成角的大小；（2）求四棱锥D﹣BCD1A1的体积．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；（2）若k＞0，P（6，0）且△P AB的面积为6，求k的值；（3）当k（k≠0）变化时，是否存在一点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．23．（18分）对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n、（n=1，2，3，4，5），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，求证：数列{S n}具有“性质m”；（3）数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．2013年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）函数的定义域为[2，+∞）．【考点】33：函数的定义域及其求法；4K：对数函数的定义域．【专题】11：计算题．【分析】函数的定义域为，由此能求出结果．【解答】解：函数的定义域为，解得x≥2．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，解题时要认真审题，仔细解答．2．（4分）若z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且为纯虚数，则实数a=﹣2．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】根据且==为纯虚数，可得a+2=0，且2﹣a≠0，由此解得a的值．【解答】解：∵z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且===为纯虚数，故有a+2=0，且2﹣a≠0，解得a=﹣2，故答案为﹣2．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．（4分）若且sin2θ＜0，则=3．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GW：半角的三角函数．【专题】11：计算题；56：三角函数的求值．【分析】根据同角三角函数的平方关系，可得cos2θ=，结合二倍角的正弦公式和sin2θ＜0得cosθ=﹣，最后根据切化弦的思路，结合二倍角的正、余弦公式即可算出的值．【解答】解：∵，∴cos2θ=1﹣sin2θ=∵sin2θ=2sinθcosθ＜0，∴cosθ=﹣（舍正）因此，====3故答案为：3【点评】本题给出角θ的正弦之值，求一半的正切，着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正余弦公式和半角的三角函数求法等知识，属于中档题．4．（4分）若点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，则函数f（x）的反函数f﹣1（x）=x2（x≥0）．【考点】4R：反函数；4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】通过函数经过的点求出幂函数解析式，利用反函数的求法求出反函数即可．【解答】解：因为点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，所以2=4a，所以a=，所求幂函数为：y=，x≥0，则x=y2，所以原函数的反函数为：f﹣1（x）=x2（x≥0）．故答案为：x2（x≥0）【点评】本题考查幂函数解析式的求法，反函数的求法，基本知识的应用．5．（4分）若，则=﹣311．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】在所给的等式中，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a11=311，再令x=﹣1可得（a0+a2+a4+…+a10）﹣（a1+a3+a5+…+a11）=﹣1，相乘，即得所求．【解答】解：∵，令x=1可得a0+a1+a2+a3+…+a11=311．再令x=﹣1可得（a0+a2+a4+…+a10）﹣（a1+a3+a5+…+a11）=﹣1．两式相乘可得=﹣311，故答案为﹣311．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，给x赋值求出某些项的系数，是解题的关键，属于中档题．6．（4分）若函数f（x）=x2+ax+1是偶函数，则函数的最小值为2．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3V：二次函数的性质与图象．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】依题意，可求得a=0，从而可得y==|x|+，利用基本不等式即可求得所求函数的最小值．【解答】解：∵f（x）=x2+ax+1是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴a=0．∴f（x）=x2+1，∴y==|x|+≥2（当且仅当x=±1时取“=”）．∴函数y=的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查基本不等式，考查函数的奇偶性，求得a=0是关键，属于中档题．7．（4分）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴，解得，a=2∴双曲线的方程为故答案为：【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（4分）某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差Dξ=0.4．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】本题是一个超几何分步，用ξ表示其中男生的人数，ξ可能取的值为1，2，3．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和方差．【解答】解：依题意得，随机变量ξ服从超几何分布，随机变量ξ表示其中男生的人数，ξ可能取的值为1，2，3．P（ξ=k）=，k=1，2，3．∴所以X的分布列为：ξ123P由分布列可知Eξ=1×+2×+3×=2，∴Eξ2=，Dξ=Eξ2﹣（Eξ）2=﹣22=0.4，故答案为：0.4．【点评】本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查运用概率知识解决实际问题的能力．9．（4分）若曲线Γ：（θ为参数且），则Γ的长度为π．【考点】G7：弧长公式；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据同角三角函数关系消去参数θ，即可求出曲线Γ的普通方程，得出是一段圆弧，再利用弧长公式求其长度即可．【解答】解：由（θ为参数且），即，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=9．其中得∴曲线Γ表示一段圆心角为，半径为3的圆弧，如图．其弧长为l=αR==π．故答案为：π．【点评】本题主要考查了圆的参数方程，以及参数方程化成普通方程，属于基础题．10．（4分）若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为0．【考点】IM：两条直线的交点坐标；OY：三阶矩阵．【专题】5B：直线与圆．【分析】先求x+y+2=0和2x﹣y+1=0的交点，代入直线ax+y+3=0，即可得到a 的值．再利用行列式的计算法则，展开表达式，化简即可．【解答】解：解方程组得交点坐标为（﹣1，﹣1），代入ax+y+3=0，得a=2．行列式=2+4﹣3﹣6+4﹣1=0．故答案为：0．【点评】本题是基础题，考查直线交点的求法，三条直线相交于一点的解题策略，考查行列式的运算法则，考查计算能力．11．（4分）△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则C=．【考点】HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】利用余弦定理求得a=b，再利用余弦定理求得cos C=，可得角C 的值．【解答】解：△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则由余弦定理可得a2=b2+﹣2b••cos=b2，∴a=b．再根据cos C===，故有C=，故答案为．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．12．（4分）若圆C的半径为3，单位向量所在的直线与圆相切于定点A，点B 是圆上的动点，则的最大值为3．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】设的夹角为θ，过C作CM⊥AB，则AB=2AM，然后结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ，再利用三角函数的定义可用θ表示AM，代入向量的数量积的定义=||||cosθ，最后由二倍角公式及正弦函数的性质即可求解【解答】解：设的夹角为θ过C作CM⊥AB，垂足为M，则AB=2AM由过点A的直线与圆相切，结合弦切角定理可得∠DAB=∠ACM=θ∵在直角三角形AMC中，由三角函数的定义可得，sin∠ACM=∴AM=3sinθ，AB=6sinθ∵=||||cosθ=|AB|cosθ=6sinθcosθ=3sin2θ≤3当sin2θ=1即θ=45°时取等号故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积的定义，弦切角定理及三角函数的定义的综合应用，试题具有一定的灵活性13．（4分）函数y=sin2x+2cos x在区间[﹣，a]上的值域为[﹣，2]，则a的取值范围是[0，]．【考点】H9：余弦函数的定义域和值域．【专题】11：计算题．【分析】应用同角三角函数基本关系式，函数可以化为关于cos x的解析式，令t=cos x，则原函数可化为y=﹣（t﹣1）2+2，即转化为二次函数的最值问题，含参数的问题的求解．【解答】解：由已知得，y=1﹣cos2x+2cos x=﹣（cos x﹣1）2+2，令t=cos x，得到：y=﹣（t﹣1）2+2，显然当t=cos（﹣）=﹣时，y=﹣，当t=1时，y=2，又由x∈[﹣，a]可知cos x∈[﹣，1]，可使函数的值域为[﹣，2]，所以有a≥0，且a≤，从而可得a的取值范围是：0≤a≤．故答案为：[0，]．【点评】本题考查三角函数的值域问题，换元法与转化化归的数学思想，含参数的求解策略问题．14．（4分）若a i，j表示n×n阶矩阵中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且a i+1，=a i+1，j+a i，j（i、j=1，2，…，n﹣1），则a3，n=．j+1【考点】8B：数列的应用；OD：矩阵变换的性质．【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列．=3，a3，2=5，a3，3=8，a3，4=12，…由于后一项减去【分析】依题意，可求得a3，1前一项的差构成等差数列，利用累加法即可求得a3．，n=3，a3，2=a3，1+a2，1=3+2=5，a3，3=a3，2+a2，2=5+3=8，【解答】解：依题意，a3，1a3，4=a3，3+a2，3=8+4=12，…﹣a3，1=5﹣3=2，（1）∴a3，2a3，3﹣a3，2=8﹣5=3，（2）a3，4﹣a3，3=12﹣8=4，（3）…a3，n﹣a3，n﹣1=n，（n﹣1）将这（n﹣1）个等式左右两端分别相加得：a3﹣a3，1=2+3+…+（n﹣1），n==n2+n﹣1，=n2+n﹣1+3=n2+n+2．∴a3，n故答案为：n2+n+2．【点评】本题考查数列的通项，考查矩阵变换的性质，突出累加法求通项的考查，属于难题．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）若集合A={x|y2=4x，y∈R}，，则A∩B=（）A．[0，1]B．（﹣2，1]C．（﹣2，+∞）D．[1，+∞）【考点】1E：交集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】由y∈R，得化简集合A，解分式不等式化简集合B，然后直接进行交集运算．【解答】解：由y2=4x，y∈R，所以x≥0，所以A={x|y2=4x，y∈R}={x|x≥0}；再由，得，解得﹣2＜x≤1．所以={x|﹣2＜x≤1}，则A∩B={x|x≥0}∩{x|﹣2＜x≤1}=[0，1]．故选：A．【点评】本题考查了分式不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础的计算题．16．（5分）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1B．2：1C．3：2D．4：1【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题．【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故选：C．【点评】本题考查几何体的表面积，考查计算能力，特殊值法，在解题中有是有独到功效，是基础题．17．（5分）若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】一方面由a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，得到△=a2﹣4＜0，解得a的取值范围，即可判断出“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点是否位于第四象限”；另一方面，由“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”，可得，解出a的取值范围，即可判断出△＜0是否成立即可．【解答】解：①∵a∈R，且“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”，∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2．∴﹣3＜2a﹣1＜3，﹣3＜a﹣1＜1，因此z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点不一定位于第四象限；②若“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”正确，则，解得．∴△＜0，∴关于x的方程x2+ax+1=0无实根正确．综上①②可知：若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的必要非充分条件．故选：B．【点评】熟练掌握实系数一元二次方程的是否有实数根与判别式△的关系、复数z位于第四象限的充要条件事件他的关键．18．（5分）如图，△ABC是边长为1的正三角形，点P在△ABC所在的平面内，且（a为常数）．下列结论中，正确的是（）A．当0＜a＜1时，满足条件的点P有且只有一个B．当a=1时，满足条件的点P有三个C．当a＞1时，满足条件的点P有无数个D．当a为任意正实数时，满足条件的点P是有限个【考点】9Y：平面向量的综合题．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示设P（x，y），将式子化为关于x、y、a的式子，化简整理可得x2+（y﹣）2=（a﹣1），讨论a的取值范围，可得当a＞1时方程表示以点（0，）为圆心，半径r=的圆，满足条件的点P有无数个，可知只有C项符合题意．【解答】解：以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示则A（0，），B（﹣，0），C（，0），设P（x，y），可得=x2+（y﹣）2，=（x+）2+y2，=（x﹣）2+y2∵∴x2+（y﹣）2+（x+）2+y2+（x﹣）2+y2=a化简得：3x2+3y2﹣y+﹣a=0，即x2+y2﹣y+﹣=0配方，得x2+（y﹣）2=（a﹣1） (1)当a＜1时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；当a=1时，方程（1）的右边为0，表示点（0，），恰好是正三角形的重心；当a＞1时，方程（1）的右边大于0，表示以（0，）为圆心，半径为的圆由此对照各个选项，可得只有C项符合题意故选：C．【点评】本题给出正三角形中满足条件的动点P，求点P的轨迹方程，着重考查了坐标系内两点的距离公式、圆的标准方程和含有参数的二次方程的讨论等知识，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）已知函数f（x）=A cos（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角θ满足，求f（2θ）的值．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．【分析】（1）通过函数的图象，直接求出A，T然后求出ω，利用函数经过（0，1）结合ϕ的范围求出ϕ的值，即可求函数f（x）的解析式；（2）利用锐角θ满足，求出，然后利用两角和的正弦函数求f（2θ）的值．【解答】解：（1）由题意可得A=2…（1分）即T=4π，…（3分），f（0）=1由且，得函数（2）由于且θ为锐角，所以f（2θ）===【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，两角和与差的三角函数的应用同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．20．（14分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a，记F（x）=2f（x）+g（x）．（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）可得F（x）的解析式，由可得定义域，令F（x）=0，由对数函数的性质可解得x的值，注意验证即可；（2）方程可化为，设1﹣x=t∈（0，1]，构造函数，可得单调性和最值，进而可得吗的范围．【解答】解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=（a＞0且a≠1）由，可解得﹣1＜x＜1，所以函数F（x）的定义域为（﹣1，1）令F（x）=0，则…（*）方程变为，即（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0解得x1=0，x2=﹣3，经检验x=﹣3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x=0即函数F（x）的零点为0．（2）方程可化为=，故，设1﹣x=t∈（0，1]函数在区间（0，1]上是减函数当t=1时，此时x=0，y min=5，所以a m≥1①若a＞1，由a m≥1可解得m≥0，②若0＜a＜1，由a m≥1可解得m≤0，故当a＞1时，实数m的取值范围为：m≥0，当0＜a＜1时，实数m的取值范围为：m≤0【点评】本题考查函数的零点与方程的跟的关系，属中档题．21．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1（1）求直线DB与平面A1BCD1所成角的大小；（2）求四棱锥D﹣BCD1A1的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）建立空间直角坐标系，如图所示．利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角即可得到线面角；（2）利用点到平面的距离公式及四棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：（1）以D为坐标原点，分别以射线DA、DC、DD1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1）．，，．设是平面A1BCD1的法向量，则，即令z=1，则y=1，x=0，∴．设直线DB与平面A1BCD1所成角为θ，则===．由于，∴．即直线DB与平面A1BCD1所成角的大小为；（2）由（1）得．∴点D到平面A1BCD1的距离．∵四边形A1BCD1是矩形，∴面积S=BC•CD1=．∴．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角得到线面角；利用向量表示点到平面的距离公式，四棱锥的体积计算公式是解题的关键．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；（2）若k＞0，P（6，0）且△P AB的面积为6，求k的值；（3）当k（k≠0）变化时，是否存在一点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．【考点】%H：三角形的面积公式；IG：直线的一般式方程与直线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据椭圆方程，算出右焦点F坐标为（3，0），结合椭圆上位于x 轴上方的点A满足算出A（0，3），由此可得直线l的斜率k=﹣1，即可求出直线l的方程；（2）设直线l：y=k（x﹣3），与椭圆方程联解消去y得（1+2k2）y2+6ky﹣9k2=0，由根与系数的关系算出AB的纵坐标之差的绝对值关于k的式子，再根据△P AB的面积为6建立关于k的方程，化简整理得k4﹣k2﹣2=0，解之得k=1（舍负）；（3）设直线l方程为y=k（x﹣3）与椭圆方程联解消去y得（1+2k2）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）=0，由根与系数的关系得到，然后化简k AD+k BD=0为关于x1、y1、x2、y2和x0的等式，化简整理得2kx1x2﹣k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，再将前面算出的x1+x2和x1x2的表达式代入化简可得x0=6，由此可得存在一点C（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．【解答】解（1）∵椭圆方程为∴a2=18，b2=9，得c==3，可得F（3，0）…（1分）∵且点A在x轴的上方，…（2分）∴可得A在椭圆上且，得A是椭圆的上顶点，坐标为A（0，3）由此可得l的斜率k=﹣1，…（3分）因此，直线l的方程为：，化简得x+y﹣3=0…（4分）（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l：y=k（x﹣3）…（5分）将直线与椭圆方程联列，…（6分）消去x，得（1+2k2）y2+6ky﹣9k2=0…（7分）由于△＞0恒成立，根据根与系数的关系可得…（8分）∴…（9分）因此，可得S=△P AB化简整理，得k4﹣k2﹣2=0，由于k＞0，解之得k=1…（10分）（3）假设存在这样的点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，根据题意，得直线l：y=k（x﹣3）（k≠0）由消去y，得（1+2k2）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）=0…（12分）由于△＞0恒成立，根据根与系数的关系可得…（*）…（13分）而，，…（14分）∴=由此化简，得2kx1x2﹣k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，…（15分）将（*）式代入，可得，解之得x0=6，∴存在一点C（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．…（16分）【点评】本题给出椭圆方程，在直线l经过椭圆的右焦点F且交椭圆于A、B两点且满足的情况下求直线l的方程，并且讨论了x轴上是否存在一点C使得直线AC和BC的斜率之和为0的问题．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、一元二次方程根与系数的关系和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于中档题．23．（18分）对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n、（n=1，2，3，4，5），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，求证：数列{S n}具有“性质m”；（3）数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】15：综合题；23：新定义；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）利用数列{a n}具有“性质m”的条件对a n=n、b n=2sin≤2（n=1，2，3，4，5）判断即可；（2）数列{c n}是各项为正数的等比数列，则公比q＞0，将c3=代入S3=++c3=可求得q，从而可求得c1=1，c n=及S n=2﹣，分析验证即可；（3）由于d n=3t﹣，可求得d n+1=3t﹣，d n+2=3t﹣，利用任意n∈[3，+∞]且n∈N*，数列{d n}具有“性质m”，由d n+d n+2＜2d n+1可求得t＞1，可判断n≥3时，数列{d n}是单调递增数列，且=（3t﹣）=3t，从而可求得t≤3，于是有1＜t≤3，经检验t=2不合题意，于是得到答案．【解答】解：（1）在数列{a n}中，取n=1，则=2=a2，不满足条件①，所以数列{a n}不具有“m性质”；…（2分）在数列{b n}中，b1=1，b2=，b3=2，b4=，b5=1，则b1+b3=3＜2=2b2，b2+b4=2＜4=2b3，b3+b5=3＜2=2b4，所以满足条件①；b n=2sin≤2（n=1，2，3，4，5）满足条件②，所以数列{b n}具有“性质m”．…（4分）（2）因为数列{c n}是各项为正数的等比数列，则公比q＞0，将c3=代入S3=++c3=得，6q2﹣q﹣1=0，解得q=或q=﹣（舍去），…（6分）所以c1=1，c n=，S n=2﹣…（7分）对于任意的n∈N*，=2﹣﹣＜2﹣=S n+1，且S n＜2…（8分）所以数列数列{S n}具有“m性质”…（9分）且M≥2．…（10分）（3）由于d n=3t﹣，则d n+1=3t﹣，d n+2=3t﹣，由于任意n∈[3，+∞]且n∈N*，数列{d n}具有“性质m”，所以d n+d n+2＜2d n+1即+＞2×，化简得，t（n﹣2）＞1…（12分）即t＞对于任意n∈[3，+∞）且n∈N*恒成立，所以t＞1…①…（14分）d n+1﹣d n=﹣=由于n≥3及①，所以d n+1＞d n即n≥3时，数列{d n}是单调递增数列，且=（3t﹣）=3t…（16分）只需3t≤9，解得t≤3…②…（17分）由①②得1＜t≤3，所以满足条件的整数t的值为2和3．经检验t=2不合题意，舍去，满足条件的整数只有t=3…（18分）【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查理解新概念与分析运算能力，考查函数的单调性，考查创新思维与综合运算能力，属于难题．。

2013年上海普陀区数学答案

2012学年普陀区九年级数学期终调研试卷参考答案及评分说明一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(D)； 2． (C)； 3．(A)； 4．(B)； 5．(B)； 6．(D)．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．16； 8．(2)； 9．1︰4； 10．1m <； 11．22(1)2y x =---；12．1-； 13．2cos α； 14．EA 和CE ； 15．4； 16．12； 17．210 ； 18．183 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.解：原式2333()222=⨯……………………………………………………（4分）3334=………………………………………………………………（4分） 53=． …………………………………………………………………（2分） 20. 解： 13(3)()22a b a b +-+ 13322a b a b =+-- ………………………………………………………（1分） 2a b =-+ …………………………………………………………………（4分）画图正确4分（方法不限），结论1分．21.（1）证明：∵AB=AD =25，∴∠1 =∠2.……………… (1分) ∵AD ∥BC ，∴∠1=∠3.……………………(1分)∴∠2=∠3. …………………………………(1分)∵AE ⊥BD ， ∴∠AEB =∠C =90°. ………………………(1分)∴△ABE ∽△DBC . ………………………(1分)1 2 322．解：过点C 作CD ⊥AE ，垂足为点D ，此时轮船离小岛最近，BD 即为所求．………(1分)由题意可知：∠A =21.3°，AB =80海里，∠CBE =63.5°．…(1分) 在Rt △ACD 中，tan ∠A =CD AD =25，……………………………………………(1分) 2(80)5C D B D =+；………………………………………………………(1分) 同理：2CD BD =；………………………………………………………………(2分) ∴22(80)5BD BD =+，…………………………………………………………(2分) 解得： 20BD =．…………………………………………………………(1分)C 答：轮船继续向东航行20海里，距离小岛最近.……………………………………(1分)1 2 3 4 5 E24. 解：（1）如图，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为的点C ．……………………………………………(1分)∵∠AOB =120°，∴∠BOC =60°．又∵OA=OB =4， ∴=2OC，BC ．∴点B 的坐标为（﹣2，﹣23）．…………………………………………………(2分)（2）∵抛物线过原点O 和点A 、B ，∴可设抛物线的解析式为2(0)y ax bx a =+≠，……………………………………(1分) 将A （4，0），B （﹣2，﹣23）代入，得1640,422 3.a b a b +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩……………………………………………………………………(2分) 解得323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴此抛物线的解析式为323y =+………………………………………………(2分) （3）存在．……………………………………………………………………………………(1分) 解：如图，抛物线的对称轴是x =2，直线x =2与x 轴的交点为D ，设点P 的坐标为（2，y ）．①若OB=OP ，则22+|y |2=42，解得y =±23，当y =23时，在Rt △POD 中，∠PDO =90°，sin ∠POD =PD OP3=POD =60°． ∴∠POB =∠POD +∠AOB =60°+120°=180°，即P 、O 、B 三点在同一直线上．∴y=不符合题意，舍去．∴点P 的坐标为（2，﹣）．………………………………………………………(1分)②若BO=BP ，则42+|y +|2=42，解得y =﹣．∴点P 的坐标为（2，﹣）．……………………………………………………………(1分)③若PO=PB ，则22+|y |2=42+|y +|2，解得y =﹣．∴点P 的坐标为（2，﹣23）．……………………………………………………………(1分)综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为（2，﹣23）．…………………(1分) 25.解：（1） 3；60． …………………………………………………………………………(2分)（2）∵四边形 ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°．………………………………………(1分)∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC =90°﹣30°=60°．……………………………………(1分) 在 Rt △AB B' 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，∴∠AB′B =30°．…………………（1分）∴AB′=2 AB ，即2AB n AB'==．……………………………………………………（1分）（3）∵四边形ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′．又∵∠BAC =36°，∴θ=∠CAC′=∠ACB =72°． …………………………………（1分） ∴∠C′AB′=∠BAC =36°． …………………………………………………………（1分）而∠B =∠B ，∴△ABC ∽△B′BA ． ………………………………………………（1分） ∴AB ∶BB′=CB ∶AB ． ……………………………………………………………（1分） ∴AB 2=CB•BB′=CB （BC +CB′）． …………………………………………………（1分）而 CB′=AC=AB=B′C′，BC =1，∴AB 2=1（1+AB ），………………………………（1分）解得，AB =…………………………………………………………………（1分）∵AB ＞0，∴12BC n BC '==．…………………………………………………（1分）（以上各题，若有其他解法，请参照评分标准酌情给分）。

2013年上海市普陀区中考数学二模试卷

2013年上海市普陀区中考数学二模试卷一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上。

1．（4分）（2013•普陀区二模）下列各数中无理数共有（）①﹣0.21211211121111，②，③，④，⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个．【考点】实数的概念M121【难易度】容易题【分析】无理数就是无限不循环小数．一定要结合有理数的概念，来理解无理数的概念。

有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理共有3个．数．由此即可判定选择项．本题无理数有：，，，【解答】答案：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，属于容易题。

注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．2．（4分）（2013•普陀区二模）如果a＞1＞b，那么下列不等式正确的个数是（）①a﹣b＞0，②a﹣1＞1﹣b，③a﹣1＞b﹣1，④．A．1 B．2 C．3 D．4．【考点】不等式的概念、性质、解集M235【难易度】容易题【分析】根据不等式的基本性质，①由已知条件知a＞b，则在该不等式的两边同时减去b得到a﹣b＞0．故①正确；②由已知条件可设a=2，b=﹣1，则a﹣1=1，1﹣b=2，即a﹣1＜1﹣b，故②错误；③由已知条件知a＞b，则在该不等式的两边同时减去1得到a﹣1＞b﹣1．故③正确；④当b＜0时，．故④错误；综上所述，正确的结论有2个．【解答】答案：B．【点评】主要考查了不等式的基本性质．属于容易题。

不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．（4分）（2013•普陀区二模）在下列方程中，有实数根的是（）A．x2+3x+1=0 B．C．x2+2x+3=0 D．【考点】一元二次方程的根的判别式M242二次根式的性质M222分式的基本性质M215【难易度】容易题【分析】A、一元二次方程要有实数根，则△≥0；△=9﹣4=5＞0，方程有实数根；B、算术平方根不能为负数，故错误；C、△=4﹣12=﹣8＜0，方程无实数根；D、分式方程化简后求出的根要满足原方程．本选项化简分式方程后，求得x=1，检验后，为增根，故原分式方程无解【解答】答案：A．【点评】本题涉及的知识点较多，但都属于容易部分。

【解析版】上海市徐汇、松江、金山区2013届高三二模数学理试题

2013年上海市徐汇、松江、金山区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2006•上海）若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则a=．故答案为2．（4分）（2013•松江区二模）已知函数的值域为A，集合B={x|＜0}，则A∩B=[2，3）．解：由函数3．（4分）（2013•松江区二模）已知=﹣．﹣（﹣，∴±±，故答案为﹣．4．（4分）（2013•松江区二模）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为12π（结果保留π）．h=∴h==4V=π×π×5．（4分）（2013•松江区二模）已知x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，则a+b=19．，解得．6．（4分）（2013•松江区二模）如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i=i+2．由已知中该程序的功能是计算该程序的功能是计算7．（4分）（2013•松江区二模）在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为ρcosθ=3．8．（4分）（2013•松江区二模）将参数方程（θ为参数，θ∈R）化为普通方程，所得方程是y=﹣x2+3（）．，，则9．（4分）（2013•松江区二模）在二项式的展开式中，常数项的值是﹣20，则=．，解：由题意二项式的展开式的通项为=a==故答案为：10．（4分）（2013•松江区二模）一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字1．将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量ξ表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望Eξ=．=．，=．=故答案为11．（4分）（2013•松江区二模）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为15．椭圆方程为10+|AB'|=10+=10+5=1512．（4分）（2013•松江区二模）如图，O为直线A0A2013外一点，若A0，A1，A2，A3，A4，A5，…，A2013中任意相邻两点的距离相等，设，用表示，其结果为1007（）．=2同理可得=2（13．（4分）（2013•松江区二模）设函数f（x）=x|x|，将f（x）向左平移a（a＞0）个单位得到函数g（x），将f（x）向上平移a（a＞0）个单位得到函数h（x），若g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方，则正数a的取值范围为a＞2．，==14．（4分）（2013•松江区二模）如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D为顶点，任意向上翻折，折痕与BC交于点E1，然后复原，记∠CDE1=α1；第二步，将纸片以D为顶点向下翻折，使AD与E1D重合，得到折痕E2D，然后复原，记∠ADE2=α2；第三步，将纸片以D为顶点向上翻折，使CD与E2D重合，得到折痕E3D，然后复原，记∠CDE 3=α3；按此折法从第二步起重复以上步骤…，得到α1，α2，…，αn，…，则=．依此类推：（．若；若{是以为首项，解：由第二步可知：；由第三步可知：，（∴∴，则，此时{是以为首项，∴，即．∴=．综上可知：．故答案为依此类推：（二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2013•松江区二模）已知a，b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，若命题乙：16．（5分）（2013•松江区二模）已知函数，设F（x）=x2•f（x），则﹣17．（5分）（2013•松江区二模）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 （℃）”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；18．（5分）（2013•松江区二模）如图所示，向量的模是向量的模的t 倍，的夹角为θ，那么我们称向量经过一次（t ，θ）变换得到向量．在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过n ﹣1次变换得到的向量为，其中为逆时针排列，记A i坐标为（a i ，b i ）（i ∈N *），则下列命题中不正确的是（）．变换的定义，推导知的向量坐标，然：解：向量，则=，三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（12分）（2013•松江区二模）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且，若，△ABC 的面积，求a+c 的值．由条件可知的面积可知，，∵，20．（14分）（2013•松江区二模）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．（1）求k的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值．，得燃料费为小时，可燃料费为海里的总费用为）由题意，设燃料费为小时，可得其余航行运作费用为=（∵当且仅当时，即21．（14分）（2013•松江区二模）如图，已知ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC1的中点．（1）求异面直线A1D与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求直线A1B1到平面DAB的距离．为向量arccos；在中，；．arccos由题意得上的高为，则，的距离为h=××∴的距离为22．（16分）（2013•松江区二模）已知数列的前n项和为S n，数列是首项为0，公差为的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，对任意的正整数k，将集合{b2k﹣1，b2k，b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d k，求证：数列{d k}为等比数列；（3）对（2）题中的d k，求集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数．）由条件得，∴．）可知∴为常数，所以数列23．（18分）（2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点（﹣3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证：为定值；（3）对于双曲线Γ：，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．情形一：双曲线及它的左顶点；情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；情形三：椭圆及它的顶点．的方程为，由顶点坐标、渐近线方程及的方程为，则的方程为．，得由，则+9k．综上，，则，化简得，过定点（中，若）在椭圆中，若过定点（，）在椭圆中，若过定点（）在椭圆中，若））在椭圆中，若，。

上海市普陀区高三数学二模试题理(含解析)

上海市普陀区2015届高三数学二模试题理（含解析）一、填空题（共14题，每题4分，满分56分） 1．不等式01xx>-的解集为 . 【答案】{}10|<<x x 【解析】试题分析：由()()10010101<<⇒<-⇒>-⇒>-x x x x x xx ，所以不等式01xx >-的解集为{}10|<<x x . 考点：不等式. 2.若1m ii i+=+（i 为虚数单位），则实数m = . 【答案】-1考点：复数的运算. 3.若函数()()sin sin022xxf x ωπωω+=>的最小正周期为π，则ω= .【答案】2 【解析】试题分析：()x xxxxx f ωωωωπωsin 212cos2sin2sin2sin==+=，因为函数的最小正周期为π，所以2=ω.考点：三角函数的性质.4.集合{}{}21,4,R A x y x B x y x x ==-==∈，则A B I . 【答案】{}10|≤≤x x 【解析】试题分析：因为{}{}1|1|≤=-==x x x y x A ，{}{}0|,4|2≥=∈==x x R x x y x B ,所以{}10|≤≤=⋂x x B A . 考点：集合的基本运算.5.若0x π≤≤，则函数sin cos 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间为 .【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ考点：三角函数的性质. 6.如图，若6OFB π∠=，6OF FB ⋅=-u u u r u u u r，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 .【答案】12822=+y x 【解析】试题分析：由题意可得：34665cos 65=⇒-===•ac ac FB OF ππ，且b a 2=又因为222c b a +=，所以2,822==b a ，所以椭圆的方程为12822=+y x . 考点：椭圆的性质.7.函数())11f x x x =-≤，若函数()2g x x ax =+是偶函数，则()f a = 1 . 【答案】1 【解析】试题分析：因为函数()2g x x ax =+是偶函数，所以0=a ，所以()1011=-=f .考点：函数的性质.8.一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为 1，则球的表面积为 . 【答案】4π 【解析】试题分析：由题意可得：⎪⎩⎪⎨⎧⨯⨯=⨯⨯⨯=球圆锥球圆锥r r r r 22234131ππ，所以1=球r ，所以球的表面积为4π. 考点：向量的应用.9．已知直线l 和曲线Γ的极坐标方程分别为()sin cos 1ρθθ-=和1ρ=，若l 和Γ相交于两点,A B ，则AB = 2 .【答案】2 【解析】试题分析：由题意可知：直线l 和曲线Γ的普通方程为01=+-y x 和122=+y x ，所以圆心()0,0到直线的距离2211122=+=d ，所以2221222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB . 考点：圆的性质.10.如图，机车甲、乙分别停在A B ，处，且=10AB km ，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的12，甲沿北偏东60︒的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为千米.203【解析】试题分析：由题意可得：ο120,320,320=∠==CAD AD AC ，所以由余弦定理可得：91200213203202320320120cos 222222=⨯⨯⨯+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=•-+=οAD AC AD AC CD 所以3320=CD . 考点：正、余弦定理.11．一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.从袋中随机地取出3个小球.其中取到黑球的个数为ξ，则E ξ= （结果用最简分数作答）. 【答案】76 【解析】试题分析：由题意可得：()()()712,741,720======ξξξp p p ，所以()76712741720=⨯+⨯+⨯=ξE . 考点：随机变量的期望、方差.12.若正方形ABCD 的边长为1，且,,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r则326a b c +-=r r r .【答案】5 【解析】试题分析：由题意可知：•-•-•+++=-+36241236492322225=，所以523=-+b a .考点：向量的运算.13.已知复数12,z z 满足11z ≤，21Re 1z -≤≤，21Im 1z -≤≤，若12z z z =+，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为 12π+ . 【答案】12π+ 【解析】试题分析：由题意可设ααsin cos 1i z +=，bi a z +=2，,11,11≤≤-≤≤-b a 所以()()i b a z ααsin cos +++=，令ααsin ,cos +=+=b y a x ，所以()()122=-+-b y a x ，所以z 在复平面上对应的点组成的图形如图所示：所以z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为ππ+=⨯+121122. 考点：复数的运算、几何意义.14.R x ∈，用记号()N x 表示不小于实数的最小整数，例如()2.53N =，(21N -=-，()11N =；则函数()()13122f x N x x =+-+的所有零点之和为 .【答案】4- 【解析】试题分析：令()021213=+-+x x N 得()21213-=+x x N ，令Z k x ∈=-212 则412+=k x ，所以143213+++=+k k x ，所以原方程等价于1432-=⎪⎭⎫⎝⎛+k N ，即14322-≤+<-k ，所以27211-≤<-k ，所以4,5-=-=k k ，相应的x 值为47,49--，所以函数()()13122f x N x x =+-+的所有零点之和为4-.考点：函数性质的应用.二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15．,,a b c 表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（） A.若//a b ，//a α，则//b α B. 若a ⊥b ， b ⊥α，则a ⊥α C. 若a ⊥c ，b ⊥c ，则//a b D.若a ⊥α，b ⊥α，则//a b 【答案】D 【解析】试题分析：A:若//a b ，//a α，则//b α 或α⊂b ；B ：若a ⊥b ， b ⊥α，则α⊂a 或α//a ；C ：若a ⊥c ，b ⊥c ，则//a b 或b a ⊥或b a ,异面.考点：空间元素的位置关系.16．”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件【答案】A 【解析】试题解析：若直线与抛物线相切则直线与抛物线只有一个公共点；当直线平行于对称轴时也有一个交点，所以应选A 考点：充分必要条件. 17．在*22)()nn N x∈的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（）A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项【答案】B 【解析】试题解析：在*22)()n n N x∈的展开通式为2512r n rr n r xC T -+=，若第五项的系数与第三项的系数分别为442n C 、222n C ，所以442n C 3:562:22=n C ，所以10=n ，展开式中的常数项是第3项.考点：二项式定理.18．已知,,,m n i j 均为正整数，记,i j a 为矩阵1,21,2,22,,1,2,12m m n mn n n m a a a a A a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L中第i 行、第j 列的元素，且,,11i j i j a a ++=，2,1,,2i j i j i j a a a ++=+（其中2i n ≤-，2j m ≤-）；给出结论：①5,6134a =；② 2,12,22,2m a a a m +++=L ；③1,,12nn m n m a a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭④若m 为常数，则,23lim 3n m n m a →∞+=.其中正确的个数是（） A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】试题解析：由题意可得：每一行都是以1为公差的等差数列，且第一列的前7个数为3253,1627,813,47,23,2,1，所以85358136,5=+=a ；()132,22,21,2++++=+++m a a a m ΛΛ()232122m m m m +=++=；对于③可以检验，当1,1==m n 时⎪⎭⎫⎝⎛-+=211,11,2a a不成立；由()()2122,,1,1,2,,1,1,2,,1,2-=--⇒--=-⇒+=++++++++ji j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i a a a a a a a a a a a ，所以{}j i ji a a,,1-+是以1为首项以21-为公比的等比数列，所以1,,121-+⎪⎭⎫⎝⎛-=-i j i j i a a ，所以j a n jn +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛--=-1,21132即m a n m n +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1,21132，所以33221132lim lim 1,mm a n n mn n +=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+∞→+∞→ 考点：数列的性质.三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤） 19．已知函数()2cos f x x =，()1cos 2g x x x =. （1）若直线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴，求()2g a 的值；（2）若02x π≤≤，求()()()h x f x g x =+的值域.【答案】（1）21；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21. 【解析】试题分析：(1)利用降幂公式化简得到()ϕω+=x A y cos 的形式，根据直线x a =是函数()y f x =的图像的对称轴得到a 的值，然后代入即可求值.（2）利用正弦函数的单调性，求在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π的单调性，只需把ϕω+x 看作一个整体代入x y sin =相应的单调区间，根据单调性求出函数的值域，注意先把ω化为正数,这是容易出错的地方. 试题解析：（1）()21cos2cos 2xf x x +==，其对称轴为Z k k x ∈=,2π，因为直线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴，所以,2k a k Z π=∈，又因为()13sin 22g x x =+，所以()()()1312sin 2=22g a g k k ππ==+ 即()122g a =. (2)由（1）得()()()162sin 12sin 232cos 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+=πx x x x g x f x h 1710,,2,,sin 2,2266662x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈∴+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦Q所以()h x 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21. 考点：三角函数的性质.20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点.（1）求直线BE 与平面11ABB A 所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱11C D 上是否存在一点F ，使得1//BF 平面1A BE ，若存在，指明点F 的位置，若不存在，请说明理由.【答案】（1）32arcsin ；（2）略. 【解析】试题分析：(1)通过作辅助线找出直线与平面所成的角，然后把该角放在三角形中利用正余弦定理求出角的三角函数值即可得到角的大小.(2)这类问题可先假设存在，然后根据题意估计点的位置，然后再进行严格的证明.（3）若是能将空间位置关系转化为向量运算也可建系运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（Ⅰ）如图（a ）所示，取1AA 的中点M ，连结BM EM ,．因为E 是1DD 的中点，四边形11A ADD 为正方形，所以AD EM //．又在正方体1111D C B A ABCD -中，⊥AD 平面11A ABB ，所以⊥EM 平面11A ABB ，从而BM 为直线BE 在平面11A ABB 上的射影，EBM ∠为BE 和平面11A ABB 所成的角．设正方体的棱长为2，则2==AD EM ，3122222=++=BE ．于是，在BEM Rt ∆中，32sin ==∠BE EM EBM 即直线BE 和平面11A ABB 所成的角为32arcsin ．（II ）在棱11D C 上存在点F ，使//1F B 平面BE A 1．事实上，如图（b ）所示，分别取11D C 和CD 的中点G F ,，连结FG CD BG EG ,,,1．因BC C B D A ////1111，且BC D A =11，所以四边形11BCD A 为平行四边形，因此B A C D 11//．又G E ,分别为D D 1，CD 的中点，所以C D EG 1//，从而B A EG 1//这说明E G B A ,,,1共面．所以⊂BG 平面BG A 1．因四边形11CDD C 与11BCC B 皆为正方形，G F ,分别为11D C 和CD 的中点，所以B B C C FG 11////,且B B C C FG 11==，因此四边形BGF B 1为平行四边形，所以BG F B //1．而⊄F B 1平面BE A 1，⊂BG 平面BE A 1，故//1F B 平面BE A 1．考点：直线与平面所成的角、直线与平面平行的判定. 21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数()2x f x =的反函数为1()f x -（1）若11()(1)1f x f x ----=，求实数x 的值；（2）若关于x 的方程()(1)0f x f x m +--=在区间[]0,2内有解，求实数m 的取值范围；【答案】（1）23x =；（2）92⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】试题分析：(1)根据条件求出函数()2x f x =的反函数，然后代入11()(1)1f x f x ----=列出方程即可求出x 的值.(2)整理方程()(1)0f x f x m +--=为x xm 222+=，若在区间[]0,2内有解，则m 的取值为x x222+在区间[]0,2内的取值范围. 试题解析：（1）由题意可得：()x x f 21log =-，所以 ()2log 1log 11log log 2222=-⇒=--xxx x 所以3221=⇒=-x x x . （2）由()(1)0f x f x m +--=可得：xxm 222+=，令[]4,12∈=xt ，所以tt m 2+=，当()2,1∈t 时，函数为减函数；当()4,2∈t 时，函数为增函数，所以函数的最小值为2，最大值为29，所以实数m 的取值范围92⎡⎤⎢⎥⎣⎦.考点：反函数及函数的性质.22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分）如图，射线,OA OB 所在的直线的方向向量分别为()11,d k =u u r ，()()21,0d k k =->u u r，点P 在AOB∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N ；（1）若1k =，31,22P⎛⎫⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1P ，OMP ∆的面积为65，求k 的值；（3）已知k 为常数，,M N 的中点为T ，且1MON S k=V ，当P 变化时，求动点T 轨迹方程；【答案】（12；（2）1122k =或；（3）22211k x y x k ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：(1)根据条件写出直线OA 的方程以及直线PM 的方程，联立方程即可得到点M 的坐标进而可求出OM 的值.(2)根据条件表示出直线OA 的方程以及直线PM 的方程，联立方程即可得到点M ，进而求出OM ，再利用点到直线的距离公式求出PM 表示面积即可求出k 的值；（3）根据条件1MON S k=V 列出方程，即可得到动点T 轨迹方程. 试题解析：（1）由题意可得：直线OA 的方程为x y =，直线PM 的方程为02=-+y x ，所以点M 的坐标为()1,1，所以21122=+=OM .（2）由题意可得：直线OA 的方程为kx y =，直线PM 的方程为02=--+k ky x ，所以点M 的坐标为()⎪⎭⎫ ⎝⎛++++12,1222k k k k k ，所以11222+++=k k k OM ，点()2,1P 到直线kx y =的距离为1122+-=k k d ，所以⨯=∆21OMP s 11222+++k k k 1122+-⨯k k 56=,所以1122k =或（3）设()()()1122,,,,,M x kx N x kx T x y -，120,00x x k >>>，，设直线OA 的倾斜角为α，则22tan ,sin21kk k αα==+，根据题意得 ()12112222x x x y x x k x x k y y x x OM x k ON x +⎧=⎪⎪⎧=+-⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎪=⎪⎩ 代入11sin22MON S OM ON k α∆==化简得动点T 轨迹方程为22211k x y x k ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭.考点：直线的方程以及直线的综合问题.23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭（1）若()21log n n n b S a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）若02n πθ<<，2tan n n n a θ⋅=，求证：数列{}n θ为等比数列，并求出其通项公式；（3）记12311112222n n c a a a a =-+-+-++-L ，若对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2n T n -=；（2）11*11,N 422n n n n πθπ-+⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）(],0-∞.【解析】试题分析：（1）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用;(2)等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程；（3）解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质，不要把两者的性质搞混了.试题解析：（1）由题意可得：12+-=n b n ，所以数列{}n b 的前n 项和()22211n n n T n -=-+-=.(2)由tan 2tan 2n n n n n n a a θθ⋅==得代入()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭得12tan n n n S θ=，当2n ≥时，111112tan 2tan n n n n n n n a S S θθ---=-==，因为tan 2n n na θ=，代入上式整理得()1tan tan 2n n θθ-=，02n πθ<<所以1112,02n n n n θθθθ--==≠的常数.当1n =时，111111111,,0,tan 1,424n a S a a a a πθθ⎛⎫=⋅=>∴===⎪⎝⎭Q 所以数列{}n θ是等比数列，首项为4π，公比为12，其通项公式为11*11,N 422n n n n πθπ-+⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（3）由（2）得*11tan ,N 22n n n a n π+=∈，它是个单调递减的数列，所以 11111,0,2222n n n n a a a a a ≤=-≤∴-=-123111122222n n n c a a a a nS =-+-+-++-=-L对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，所以()min n m c ≤. 由111110222n n n n n c c n n S S a ++++⎛⎫---=- ⎝-≥⎪⎭=知，1n n c c +≥ 所以数列{}n c 是单调递增的，n c 最小值为10c =，()min 0n m c ≤= 因此，实数m 的取值范围是(],0-∞.考点：(1)等差数列的通项公式，（2）等比数列的判断；（3）判断数列的单调性.。

2013普陀区中考数学二模卷

2013普陀区中考数学二模卷2012学年度第二学期普陀区初三质量调研数学试卷2013.4（时间：100分钟，满分：150分）考生注意：所有答案务必按照规定在答题纸上完成，写在试卷上不给分题号一二三四总分得分一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．下列各数中无理数共有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（）.①–0.21211211121111，②3，③227，④8，⑤39.(A)1个；(B) 2个；(C) 3个；(D) 4个.2. 如果a>1>b ，那么下列不等式正确的个数是,,,,,,,,,,,,,,,,（）.①a –b>0，②a -1>1–b ，③a -1>b –1，④1a b.(A)1；(B)2；(C)3；(D) 4.3．在下列方程中，有实数根的是,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（）.(A) 2310x x ；(B) 4110x ；(C) 2230xx ；(D)111x x x.4．下列语句正确的是,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（）.(A)“上海冬天最低气温低于–5oC ”，这是必然事件；(B) “在去掉大小王的52张扑克牌中抽13张牌，其中有4张黑桃”，这是必然事件；(C) “电视打开时正在播放广告”，这是不可能事件；(D) “从由1，2，5组成的没有重复数字的三位数中任意抽取一个数，这个三位数能被4整除”，这是随机事件. 5. 上海市2012年5月份某一周的日最高气温（单位：ｏC ）分别为28，30，25，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为,,,,,,,,,,,,,,,,,（）.(A )28oC ；(B)29oC ；(C)30oC ；(D) 31oC .6．对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是,,,,,,,,,,,,,,（）.（A ）正多边形是轴对称图形，每条边的中垂线是它的对称轴；（B ）正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心；（C ）正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角；（D ）正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．计算：33a a=.8．函数()2x f x x的定义域是.9．若2(0)3a cb dbd其中，则a c bd= ．10．某城市现有固定居住人口约为一千九百三十万，用科学计数法表示为人.11．不等式组10,24x x的解集是．12. 分解因式：227183xx .13．如果两个相似三角形的面积之比是16∶9，那么它们对应的角平分线之比是.14. 有6张分别写有数字1、2、3、4、5、6的卡片，它们的背面相同，现将它们的背面朝上，从中任意摸出一张是数字5的机会是.15．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 上的中点，记A Ba ，A Db . 用含a 、b 的式子表示向量A F =.16. 为了了解中学生的身体发育情况，对第二中学同年龄的80名学生的身高进行了测量，经统计，身高在150.5—155.5厘米之间的頻数为5，那么这一组的頻率是.17．地面控制点测得一飞机的仰角为45°，若此时地面控制点与该飞机的距离为2000米，则此时飞机离地面的高度是米（结果保留根号）.18．已知在△AOB 中，∠B=90°，AB=OB ，点O 的坐标为（0，0），点A 的坐标为（0，8），点B 在第一象限内，将这个三角形绕原点O 旋转75°后，那么旋转后点B 的坐标为.三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．计算：12(4)2tan 303.ABCDEF20．解方程组：222,22212.x yxxy yx y 21. 如图：已知，四边形ABCD 是平行四边形，AE ∥BD ，交CD 的延长线于点E ，EF ⊥BC 交BC 延长线于点F ，求证：四边形ABFD 是等腰梯形.22．一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同. 已知在第三年年末，这辆车折旧后价值11.56万元，求这辆车第二、三年的年折旧率.23．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长等于8，OD ⊥AB ，垂足为点D ，DO 的延长线与⊙O 相交于点C ，点E 在弦AB 的延长线上，CE 与⊙O 相交于点F ，cosC=35，求：（1）CD 的长（5分）；（2）EF 的长（7分）.[来源:]24. 如图，抛物线c bxxy 2经过直线3x y 与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另第21题CABFEDD 第23题AEBCOFxyO C BA1一个交点为C ，抛物线的顶点为D .②求此抛物线的解析式（4分）；③点P 为抛物线上的一个动点，求使APCS∶ACDS=5∶4的点P 的坐标（5分）；④点M 为平面直角坐标系上一点，写出使点M 、A 、B 、D 为平行四边形的点M 的坐标（3分）.25．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm . 点P 为BC 的中点，动点Q 从点P 出发，延射线PC 方向以2cm/s 的速度运动，以点P 为圆心，PQ 长为半径作圆. 设点Q 运动的时间为t 秒，一、当t=1.2时，判断直线AB 与⊙P 的位置关系，并说明理由；(6分)[来源:www ]二、当△AQP 是等腰三角形时，求t 的值；(4分)三、已知⊙O 为ABC 的外接圆，若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值. (4分)BPC AOQ第25题参考答案一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(C) ；2．(B) ；3．(A)；4．(D) ；5．(B)；6．(B).二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.–1；8. 0x 且2x ；9.23；10. 71.9310；11.12x；12．2331x ；13．4∶3；14．16；15．b +12a ；16．116；17．10002；18．（26，22）或（22，26）．三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．解:原式=32312(3)3……………………………………………………8′（各2分）=4323.…………………………………………………………………………2′20．解：222,(1)22212.(2)x yxx y yx y 由（1）得：2x y.（3）…………………………………………………………………1′由（2）得：2()2()12xy xy .（4）……………………………………（2+1）′将（3）代入（4），得：4xy.……………………………………………………………………2′可得：4,2.x y xy …………………………………………………………………………………1′解方程组得：3,1.x y………………………………………………………………………………2′∴原方程组的解为：3,1.x y……………………………………………………………………1′[来源:]21.AED证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ；AB ∥CD ，AB=CD .……………………………………3′∴AB ∥DE ；又∵AE ∥BD ，∴四边形ABDE 是平行四边形.………………………1′∴AB=DE .……………………………………………1′∴CD=DE .…………………………………………………………………………………………1′∵EF ⊥BC ，∴DF=CD=DE .……………………………………………………………………………………1′∴AB=DF .…………………………………………………………………………………………1′∵CD 、DF 交于点D ，∴线段AB 与线段DF 不平行.……………………………………………………………………1′∴四边形ABFD 是等腰梯形.……………………………………………………………………1′22．解：设这辆车第二、三年的年折旧率为x ．…………………………………………………………1′根据题意，可以列出方程220(120%)(1)11.56x ．…………………………………………………………4′整理，得2(1)0.7225x ．…………………………………………………………1′2289(1)400x ．………………………………………………………………1′17120x ．…………………………………………………………………1′解得10.15x ，2 1.85x （不合题意，舍去）．………………………………………………1′所以0.15x，即15%x．答：这辆车第二、三年的年折旧率为15%．………………………………………………………1′23．解：（1）联接AO .……………………………………………………1′∵OD ⊥AB ，∴142A DB DA B, …………………………………2′∵AO=5，∴OD=3.……………………………………………………1′∴CD=8.……………………………………………………1′(2)过点O 作OH ⊥HC 于点E ，…………………………………………………………………1′∴2C FC H .……………………………………………………………………………………1′在Rt △OCH 中，∵cosC=35，OC=5，∴CH=3.……………………………………………………………………………………………2′HD第23题A EBCO F在Rt △CDE 中，∵cosC=35C D C E ，CD =8，∴CE=4011333.……………………………………………………………………………………2′∴EF=CE –CF=11136733.……………………………………………………………………1′24.解：（1）∵直线3xy与坐标轴的两个交点A 、B ，∴点B （0，–3），点A （3，0）.………………………2′又∵抛物线c bxxy 2经过点A 、B ，∴c=3.…………………………………………………1′将点A 坐标代入抛物线的解析式c bxxy2，解得b=–2.……………………………………………1′∴抛物线的解析式是322xxy.（2）∵抛物线的解析式是322xxy ，[来源:]可得C （–1，0），顶点D （1，–4）.…………………………………………………………………2′因为点P 为抛物线上的一个动点，设点P （a ，322aa），∵APCS∶ACDS=5∶4，∴454421324212aa.∴322aa =5解得41a ，22a ；或5322aa，因为0，所以无实数解.∴满足条件的点P 的坐标为)5,4(1P ，)5,2(2P .…………………………………………………3′（3）∵点M 、A 、B 、D 为平行四边形，∴点M 的坐标为)1,2(1M ，)7,2(2M，)1,4(3M. …………………………………………3′25.解：（1）过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D .∵∠ACB =90°，∴∠ACB=∠PDB=90°.AO DxyO C BDA1第24题又∵∠ABC=∠PBD ，∴△ACB ∽△PDB .……………………………………2′∵AC=6cm ，BC=8cm ，∴AB=10cm .∵点P 为BC 的中点，∴BP=4cm .∵ABPB ACPD ，解得PD=2.4.………………………2′∵t=1.2，V=2cm/s ，PQ=2 1.2=2.4，∴PQ=PD ，即⊙P 与直线AB 相切.…………………2′(2)当AP=AQ 时，∵∠ACB=90°，∴CQ=CP =4cm ，∴PQ=8cm .∴1t =4秒.………………………………………………1′当P A=PQ 时，∵∠ACB=90°，AC=6cm ，CP=4cm ，∴AP=132cm . ∴PQ=132cm . ∴2t =13秒.……………………1′当QA=QP 时，点Q 在线段AP 的中垂线QH 上，垂足为H .∵∠ACB=90°，∴cos ∠APC=131321324APPC .又∵cos ∠APC=QPQPPH 13，∴1313213QP，得PQ=213，∴3t =413.………………………………………………………1′∴当t=4秒或13秒或413秒时，△AQP 是等腰三角形.…………………………………………1′（3）∵点P 在⊙O 内，∴⊙P 与⊙O 只可能内切，∵O 为AB 中点，P 为BC 中点，∴圆心距OP=21AC=3cm .………………………………1′∵⊙O 是△ABC 的外接圆，∴⊙O 的半径为 5 cm ，⊙P 的半径为PQ ，∴5PQ=3当PQ –5=3时，PQ=8 cm ，t=4秒；[来源:www ]当PQ –5=–3时，PQ=2cm ，t=1秒.………………………………………2′∴当⊙P 与⊙O 相切时，t 分别为4秒和1秒.…………………………………………………1′BPC AO第25题Q H。

数学理卷·2014届上海市普陀区高三12月教学质量调研(2013.12)

（ n ∈ N * ），则 S2014
=
第 10 .题
12. 已知全集 U = {1,2,3,4,5,6,7,8} ，在 U 中任取四个元素组成的集合记为
A = {a1 , a2 , a3 , a4} ，余下的四个元素组成的集合记为 CU A = {b1 , b2 , b3 , b4 } ，若
| PQ |2 = (x − 2)2 + 2x = x 2 − 2x + 4 = (x −1)2 + 3 （ x ≥ 0 ）…………10 分当 x = 1时，| PQ |min = 3 ……………………………………12 分（不指出 x ≥ 0 ，扣 1 分）
20. （本题满分 14 分）本大题共有 2 小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
给出下列说法：
①| OA1 |=| OA2 |= L =| OAn |=| OA | ；
A
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O
B
第 18 题
②| OAi | 的最小值一定是| OB | ； ③点 A 、 Ai 在一条直线上；
④向量 OA 及 OAi 在向量 OB 的方向上的投影必相等.
其中正确的个数是…………………………………………………………………………（）
（2）在数列{an} 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若
不存在，请说明理由；
（3）若1< r < s 且 r ， s ∈ N * ，求证：使得 a1 ，ar ，as 成等差数列的点列 (r, s) 在某一直
线上.
3.（本题满分 18 分）本大题共有 3 小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.

数学_2013年上海市普陀区高考数学二模试卷(理科)_(含答案)

2013年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数y =√log 2(x −1)的定义域为________．2. 若z 1=a +2i ，z 2=1+i （i 表示虚数单位），且z1z 2为纯虚数，则实数a =________．3. 若sinθ=35且sin2θ<0，则tan θ2=________．4. 若点(4, 2)在幂函数f(x)的图象上，则函数f(x)的反函数f −1(x)=________．5. 若(2x +1)11＝a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 11x 11，则(a 0+a 2+...+a 10)2−(a 1+a 3+...+a 11)2＝________．6. 若函数f(x)=x 2+ax +1是偶函数，则函数y =f(x)|x|的最小值为________．7. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的焦距为10，点P(2, 1)在C 的渐近线上，则C 的方程为________． 8. 某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差Dξ=________．9. 若曲线Γ：{x =1+3cosθy =2+3sinθ(θ为参数且π3≤θ≤2π3)，则Γ的长度为________．10. 若三条直线ax +y +3=0，x +y +2=0和2x −y +1=0相交于一点，则行列式|a131122−11|的值为________． 11. △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若A =π3，b =2c ，则C =________． 12. 若圆C 的半径为3，单位向量e →所在的直线与圆相切于定点A ，点B 是圆上的动点，则e →⋅AB →的最大值为________．13. 函数y =sin 2x +2cosx 在区间[−2π3, a]上的值域为[−14, 2]，则a 的取值范围是________．14. 若a i,j 表示n ×n 阶矩阵[ 1111…123…3…⋮…⋮n …………a n,n ]中第i 行、第j 列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n ，且a i+1,j+1=a i+1,j +a i,j (i 、j =1, 2,…,n −1)，则a 3,n =________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 若集合A ={x|y 2=4x, y ∈R}，B ={x|1−x2+x ≥0}，则A ∩B =( )A [0, 1]B (−2, 1]C (−2, +∞)D [1, +∞)16. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S 1、S 2，则S 1:S 2=( )A 1:1B 2:1C 3:2D 4:117. 若a ∈R ，则“关于x 的方程x 2+ax +1=0无实根”是“z =(2a −1)+(a −1)i （其中i 表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件 18. 如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且|PA →|2+|PB →|2+|PC →|2=a （a 为常数）．下列结论中，正确的是（）A 当0<a <1时，满足条件的点P 有且只有一个B 当a ＝1时，满足条件的点P 有三个C 当a >1时，满足条件的点P 有无数个D 当a 为任意正实数时，满足条件的点P 是有限个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. 已知函数f(x)=Acos(ωx +ϕ)(A >0, ω>0, −π2<ϕ<0)的图象与y 轴的交点为(0, 1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0, 2)和(x 0+2π, −2)（1）求函数f(x)的解析式；（2）若锐角θ满足cosθ=13，求f(2θ)的值．20. 已知a >0且a ≠1，函数f(x)=log a (x +1)，g(x)=log a11−x，记F(x)=2f(x)+g(x)．（1）求函数F(x)的定义域D 及其零点；（2）若关于x 的方程F(x)−m =0在区间[0, 1)内仅有一解，求实数m 的取值范围．21. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1 （1）求直线DB 与平面A 1BCD 1所成角的大小；（2）求四棱锥D −BCD 1A 1的体积．22. 在平面直角坐标系xOy 中，方向向量为d →=(1,k)的直线l 经过椭圆x 218+y 29=1的右焦点F ，与椭圆相交于A 、B 两点（1）若点A 在x 轴的上方，且|OA →|=|OF →|，求直线l 的方程；（2）若k >0，P(6, 0)且△PAB 的面积为6，求k 的值；（3）当k(k ≠0)变化时，是否存在一点C(x 0, 0)，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0，若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．23. 对于任意的n ∈N ∗，若数列{a n }同时满足下列两个条件，则称数列{a n }具有“性质m”： ①a n +a n+22<a n+1； ②存在实数M ，使得a n ≤M 成立．（1）数列{a n }、{b n }中，a n =n 、b n =2sin nπ6(n =1, 2, 3, 4, 5)，判断{a n }、{b n }是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n }的前n 项和为S n ，且c 3=14，S 3=74，证明：数列{S n }具有“性质m”，并指出M 的取值范围；（3）若数列{d n }的通项公式d n =t(3⋅2n −n)+12n(n ∈N ∗)．对于任意的n ≥3(n ∈N ∗)．2013年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）答案1. [2, +∞)2. −23. 34. x 2(x ≥0)5. −3116. 27. x 220−y 25=18. 0.4 9. π 10. 0 11. π6 12. 3 13. [0, 2π3]14. 12n 2+12n +215. A 16. C 17. B 18. C 19. 解：（1）由题意可得A =2…T 2=2π即T =4π，ω=12…f(x)=2cos(12x +ϕ)，f(0)=1 由cosϕ=12且−π2<ϕ<0，得ϕ=−π3函数f(x)=2cos(12x −π3)（2）由于cosθ=13且θ为锐角，所以sinθ=2√23f(2θ)=2cos(θ−π3)=2(cosθcos π3+sinθsin π3)=2⋅(13×12+2√23×√32)=1+2√6320. 解：（1）F(x)=2f(x)+g(x)=2log a (x +1)+log a 11−x (a >0且a ≠1) 由{x +1>01−x >0，可解得−1<x <1，所以函数F(x)的定义域为(−1, 1)令F(x)=0，则2log a (x +1)+log a 11−x =0…(∗)方程变为log a (x +1)2=log a (1−x)，即(x +1)2=1−x ，即x 2+3x =0 解得x 1=0，x 2=−3，经检验x =−3是(∗)的增根，所以方程(∗)的解为x =0 即函数F(x)的零点为0．（2）方程可化为m =2log a (x +1)+log a 11−x =log ax 2+2x+11−x=log a (1−x +41−x −4)，故a m =1−x +41−x −4，设1−x =t ∈(0, 1] 函数y =t +4t 在区间(0, 1]上是减函数当t =1时，此时x =0，y min =5，所以a m ≥1 ①若a >1，由a m ≥1可解得m ≥0， ②若0<a <1，由a m ≥1可解得m ≤0，故当a >1时，实数m 的取值范围为：m ≥0，当0<a <1时，实数m 的取值范围为：m ≤021.解：（1）以D 为坐标原点，分别以射线DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则D(0, 0, 0)，B(1, 1, 0)，C(0, 1, 0)，D 1(0, 0, 1)． DB →=(1,1,0)，BC →=(−1,0,0)，CD 1→=(0,−1,1)．设n →=(x,y,z)是平面A 1BCD 1的法向量，则{n →⋅CD 1→=0˙，即{x =0z −y =0令z =1，则y =1，x =0，∴ n →=(0,1,1)．设直线DB 与平面A 1BCD 1所成角为θ，则sinθ=|cos <n →，DB →>|=|n →||DB →|˙=1√2×√2=12．由于0≤θ≤π2，∴ θ=π6．即直线DB 与平面A 1BCD 1所成角的大小为π6；（2）由（1）得n 0→=n→|n →|=(0,1√2,1√2)． ∴ 点D 到平面A 1BCD 1的距离d =|n 0→⋅DB →|=√22． ∵ 四边形A 1BCD 1是矩形，∴ 面积S =BC ⋅CD 1=1×√2=√2． ∴ V D−BCD 1A 1=13sℎ=13×√22×√2=13．22. 解（1）∵ 椭圆方程为x 218+y 29=1∴ a 2=18，b 2=9，得c =√a 2−b 2=3，可得F(3, 0)…∵ |OA →|=|OF →|且点A 在x 轴的上方，…∴ 可得A 在椭圆上且|OA →|=3，得A 是椭圆的上顶点，坐标为A(0, 3) 由此可得l 的斜率k =−1，d →=(1,−1)… 因此，直线l 的方程为：x−31=y−0−1，化简得x +y −3=0…（2）设A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)，直线l:y =k(x −3)…将直线与椭圆方程联列{x 218+y 29=1y =k(x −3)，…消去x ，得(1+2k 2)y 2+6ky −9k 2=0…由于△>0恒成立，根据根与系数的关系可得{y 1+y 2=−6k 1+2k 2⋅…∴ |y 1−y 2|=6|k|√2(1+k 2)1+2k 2=6k√2(1+k 2)1+2k 2…因此，可得S △PAB =12×|PF|×|y 1−y 2|=12×3×6k√2(1+k 2)1+2k 2=6化简整理，得k 4−k 2−2=0，由于k >0，解之得k =1…（3）假设存在这样的点C(x 0, 0)，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0，根据题意，得直线l:y =k(x −3)(k ≠0)由{x 218+y 29=1y =k(x −3)消去y ，得(1+2k 2)x 2−12k 2x +18(k 2−1)=0… 由于△>0恒成立，根据根与系数的关系可得{x 1+x 2=12k 21+2k 2⋅…(∗)…而k AD =y 1x1−x 0，k BD =y 2x2−x 0，… ∴ k AD +k BD =y 1x 1−x 0+y 2x 2−x 0=k(x 1−3)x 1−x 0+k(x 2−3)x 2−x 0=k(x 1−3)(x 2−x 0)+k(x 2−3)(x 1−x 0)(x 1−x 0)(x 2−x 0)=0由此化简，得2kx 1x 2−k(x 0+3)(x 1+x 2)+6kx 0=0，… 将(∗)式代入，可得36k(k 2−1)1+2k 2−12k 3(x 0+3)1+2k 2+6kx 0=0，解之得x 0=6，∴ 存在一点C(6, 0)，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0．… 23. 解：（1）在数列{a n }中，取n =1，则a 1+a 32=2=a 2，不满足条件①，所以数列{a n }不具有“m 性质”；…在数列{b n }中，b 1=1，b 2=√3，b 3=2， b 4=√3，b 5=1，则b 1+b 3=3<2√3=2b 2， b 2+b 4=2√3<4=2b 3，b 3+b 5=3<2√3=2b 4，所以满足条件①； b n =2sinnπ6≤2(n =1, 2, 3, 4, 5)满足条件②，所以数列{b n }具有“性质m”．…（2）因为数列{c n }是各项为正数的等比数列，则公比q >0，将c 3=14代入S 3=c3q 2+c 3q+c 3=74得，6q 2−q −1=0，解得q =12或q =−13（舍去），…所以c 1=1，c n =12n−1，S n =2−12n−1…对于任意的n ∈N ∗，S n +S n+22=2−12n −12n+2<2−12n =S n+1，且S n <2…所以数列数列{S n }具有“m 性质”…且M ≥2．… （3）由于d n =3t −tn−12n，则d n+1=3t −t(n+1)−12n+1，d n+2=3t −t(n+2)−12n+2，由于任意n ∈[3, +∞]且n ∈N ∗，数列{d n }具有“性质m”，所以d n +d n+2<2d n+1 即tn−12n+t(n+2)−12n+2>2×t(n+1)−12n+1，化简得，t(n −2)>1…即t >1n−2对于任意n ∈[3, +∞)且n ∈N ∗恒成立，所以t >1…①…d n+1−d n =tn−12n−t(n+1)−12n+1=t(n−1)−12n+1由于n ≥3及①，所以d n+1>d n即n ≥3时，数列{d n }是单调递增数列，且lim n →∞d n =limn →∞(3t −tn−12n )=3t…只需3t ≤9，解得t ≤3…②…由①②得1<t ≤3，所以满足条件的整数t 的值为2和3．经检验t =2不合题意，舍去，满足条件的整数只有t =3…。

上海2013届高三理科数学最新试题精选13份含16区二模

上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编1：集合姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）若集合},4|{2R y x y x A ∈==,1{|0}2x B x x-=≥+,则A B = A . [0,1]. B .(2,1]-. C . (2,)-+∞. D . [1,)+∞.2 ．（2013届浦东二模卷理科题）从集合{}2013,,4,3,2,1 中任取3个元素组成一个集合A ,记A 中所有元素之和被3除余数为i 的概率为)20(≤≤i P i ,则210,,P P P 的大小关系为[来源:学.科.网Z.X.X.K]210)(P P P A == 210)(P P P B =>210)(P P P C =< 210)(P P P D >>二、填空题 3 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））已知全集R U =,集合{}0322>--=x x x A ,则=A C U _____________.4 ．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题）已知全集{12345}U =，，，，,集合2{|320}A x x x =-+=,{|2}B x x a a A ==∈，,则集合()U A B ð=_______.[来源:学科网]5 ．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题）(理)已知集合{}{}331,,0,1<<=-=x x B a A ,若A B ≠∅,则实数a 的取值范围是____.[来源:学.科.网Z.X.X.K]6 ．（2013届浦东二模卷理科题）已知集合A ={}2,1,2-,B =}1,a ,且B A ⊆,则实数a 的值是_______.7 ．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）已知集合{}2|4,M x x x =<∈R ,{}2|log 0N x x =>,则集合M N =I ________.上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编1：集合参考答案一、选择题1. A2. B [来源:学科网]二、填空题[-;3. ]3,14. {3,5}5. )1,0(6. 11,2;7. ()。

上海市普陀区高三数学下学期二模试题理(含解析)沪教

2013年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2013•普陀区二模）函数的定义域为[2，+∞）．函数的定义域为解：函数的定义域为2．（4分）（2013•普陀区二模）若z1=a+2i，z2=1+i（i表示虚数单位），且为纯虚数，则实数a= ﹣2 ．根据且====3．（4分）（2013•普陀区二模）若且sin2θ＜0，则= 3 ．，﹣，最后根据切化弦的思路，结合二倍角的正、余弦公式即可算出解：∵=（舍正）因此，==34．（4分）（2013•普陀区二模）若点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，则函数f（x）的反函数f﹣1（x）= x2（x≥0）．a=，x≥0，5．（4分）（2013•普陀区二模）若，则= ﹣311．解：∵6．（4分）（2013•普陀区二模）若函数f（x）=x2+ax+1是偶函数，则函数的最小值为 2 ．y==|x|+∴y==|x|+的最小值为7．（4分）（2013•普陀区二模）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．利用双曲线的焦距为解：∵双曲线，解得a=2∴双曲线的方程为故答案为：8．（4分）（2013•普陀区二模）某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差Dξ= 0.4 ．1 2 3=1×+2×+3×，﹣9．（4分）（2013•普陀区二模）若曲线Γ：（θ为参数且），则Γ的长度为π．解：由为参数且，其中得表示一段圆心角为，半径为=（2013•普陀区二模）若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式10．（4分）的值为0 ．解：解方程组行列式11．（4分）（2013•普陀区二模）△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则C= ．a=cosC=，可得角，若+•cos=b，∴a=cosC= C=．12．（4分）（2013•普陀区二模）若圆C的半径为3，单位向量所在的直线与圆相切于定点A，点B是圆上的动点，则的最大值为 3 ．的夹角为代入向量的数量积的定义=|||解：设中，由三角函数的定义可得，sin∠ACM==|||13．（4分）（2013•普陀区二模）函数y=sin2x+2cosx在区间[﹣，a]上的值域为[﹣，2]，则a的取值范围是[0，] ．（﹣时，，当，，，a≤，从而可得的取值范围是：0≤a≤]14．（4分）（2013•普陀区二模）若a i，j表示n×n阶矩阵中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且a i+1，j+1=a i+1，j+a i，j（i、j=1，2，…，n﹣1），则a3，n= ．=n n n n1+3=n+2故答案为：n n+2二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2013•普陀区二模）若集合A={x|y2=4x，y∈R}，，则A∩B=（），得再由，得所以16．（5分）（2013•普陀区二模）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、21217．（5分）（2013•普陀区二模）若a∈R，则“关于x的方程x2+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）四象限”，可得，解得18．（5分）（2013•普陀区二模）如图，△ABC是边长为1的正三角形，点P在△ABC所在的平面内，且（a为常数）．下列结论中，正确的是（）﹣（）为圆心，半径r=（﹣，，）=x﹣，x+））））y+y+=0，，）为圆心，半径为三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2013•普陀区二模）已知函数f（x）=Acos（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角θ满足，求f（2θ）的值．满足，求出即，且，得函数）由于且为锐角，所以20．（14分）（2013•普陀区二模）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x+1），，记F（x）=2f（x）+g（x）（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．）的解析式，由方程可化为构造函数（，可解得﹣，则方程变为）方程可化为，，设函数21．（14分）（2013•普陀区二模）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1 （1）求直线DB与平面A1BCD1所成角的大小；（2）求四棱锥D﹣BCD1A1的体积．，，．是平面的法向量，则令．===由于，∴所成角的大小为；）得．的距离．．22．（16分）（2013•普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；（2）若k＞0，P（6，0）且△PAB的面积为6，求k的值；（3）当k（k≠0）变化时，是否存在一点C（x0，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．满足根与系数的关系得到，然后化简）∵椭圆方程为=3且点将直线与椭圆方程联列恒成立，根据根与系数的关系可得…（消去恒成立，根据根与系数的关系可得…（，，…（）式代入，可得的情况23．（18分）（2013•普陀区二模）对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n、（n=1，2，3，4，5），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*）．=2sin≤2（=+可求得﹣，，单调递增数列，且=（），，=2b=2=2sin≤2（=+=或（舍去），﹣=2﹣﹣，则﹣﹣+＞2×＞﹣=由于是单调递增数列，且（﹣。

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普陀区2012学年第二学期高三理科数学质量调研考生注意： 2013.41.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.函数y =的定义域为 .2. 若i a z 21+=，i z +=12（i 表示虚数单位），且21z z 为纯虚数，则实数=a .3. 若53sin =θ且02sin <θ，则=2tanθ.4. 若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .5. 若1111221011)12(x a x a x a a x ++++=+ ，则2113121020)()(a a a a a a +++-+++ = .6. 若函数1)(2++=ax x x f 是偶函数，则函数||)(x x f y =的最小值为 .7. 若双曲线C :22221x y ab-=的焦距为10，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为 .8. 某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差ξD = .9. 若曲线Γ：⎩⎨⎧+=+=θθsin 32cos 31y x （θ为参数且323πθπ≤≤），则Γ的长度为 .10. 若三条直线03=++y ax ,02=++y x 和012=+-y x 相交于一点，则行列式11221131-a 的值为 .11. △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若3π=A ，c b 2=，则C = .12. 若圆C 的半径为3，单位向量e 所在的直线与圆相切于定点A ，点B 是圆上的动点，则e AB ⋅的最大值为 .13. 函数2sin 2cos y x x =+的定义域为2,3πα⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，值域为]2,41[-，则α的取值范围是 .14. 若,i ja 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n a n,33211111中第i 行、第j 列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为n ，， 3,2,1，且1,11,,i j i j i j a a a +++=+（i 、1,,2,1-=n j ）,则n a ,3= .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 若集合},4|{2R y x y x A ∈==，1{|0}2x B x x-=≥+，则A B = ………………………（）A . [0,1].B .(2,1]-.C . (2,)-+∞.D . [1,)+∞.16. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ，则1S :2S =……………………………………………………………………………………………………（）A . 1:1.B . 2：1.C . 3:2.D . 4:1.17. 若R a ∈，则“关于x 的方程012=++ax x 无实根”是“i a a z )1()12(-+-=（其中i 表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的……………………………………………（）A .充分非必要条件.B .必要非充分条件.C .充要条件.D .既非充分又非必要条件.18.如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且++22||||PB PAa PC =2||（a 为常数）.下列结论中，正确的是………………………………………………（） A .当10<<a 时，满足条件的点P 有且只有一个. B .当1=a 时，满足条件的点P 有三个.C .当1>a 时，满足条件的点P 有无数个.D .当a 为任意正实数时，满足条件的点P 总是有限个.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图像与y 轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求)2(θf 的值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a-=11log )(，记)()(2)(x g x f x F +=（1）求函数)(x F 的定义域D 及其零点；（2）若关于x 的方程0)(=-m x F 在区间)1,0[内仅有一解，求实数m 的取值范围.第19题21.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分. 如图，正方体1111ABC D A B C D -的棱长为1 （1）求直线DB 与平面11BCD A 所成角的大小；（2）求四棱锥11A BCD D -的体积.22. （本题满分16分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，方向向量为),1(k d =的直线l 经过椭圆191822=+yx的右焦点F ，与椭圆相交于A 、B 两点（1）若点A 在x 轴的上方，且||||OF OA =，求直线l 的方程；（2）若0>k ，)0,6(P 且△PAB 的面积为6，求k 的值；（3）当k （0≠k ）变化时，是否存在一点)0,(0x C ，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0,若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由.A 123.（本题满分18分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于任意的*N n ∈，若数列}{n a 同时满足下列两个条件，则称数列}{n a 具有“性质m ”：①122++<+n n n a a a ； ②存在实数M ,使得M a n ≤成立.（1）数列}{n a 、}{n b 中，n a n =、6sin2πn b n =（5,4,3,2,1=n ），判断}{n a 、}{n b 是否具有“性质m ”；（2）若各项为正数的等比数列}{n c 的前n 项和为n S ，且413=c ，473=S ，证明：数列}{n S 具有“性质m ”，并指出M 的取值范围；（3）若数列}{n d 的通项公式n nn n t d 21)23(+-⋅=（*N n ∈）.对于任意的3≥n （*N n ∈），数列}{n d 具有“性质m ”，且对满足条件的M 的最小值90=M，求整数t 的值.普陀区2012学年第二学期高三理科数学质量调研试题答案一、填空题1.}2|{≥x x2.2-3.34.=-)(1x f2x （0≥x ） 5.113-6.27.152022=-yx8. 9.π 10.0 11.6π12.313.]32,0[π 14.221212++n n二、选择题19.解：（1）由题意可得2=A ……………………………………………………………1分π22=T 即π4=T ，21=ω……………………………………………… 3分)21c o s (2)(ϕ+=x x f ，1)0(=f由21cos =ϕ且02<<-ϕπ，得3πϕ-= ………………………………………5分函数)321cos(2)(π-=x x f …… ………………………………………………6分由于1cos 3θ=且θ为锐角，所以322sin =θ…… ………………………………8分)2(θf )3sinsin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=…………………………………10分)233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=……………………………………………12分21. 解：（1）)()(2)(x g x f x F +=xx aa -++=11log )1(log 2（0>a 且1≠a ）⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ，所以函数)(x F 的定义域为)1,1(-……2分令)(x F 0=，则011log)1(log 2=-++xx aa ……（*）方程变为)1(log )1(log 2x x a a -=+，x x -=+1)1(2，即032=+x x ……3分解得01=x ，32-=x ……4分经检验3-=x 是（*）的增根，所以方程（*）的解为0=x ……5分所以函数)(x F 的零点为0.……6分（2）xx m aa -++=11log)1(log 2（10<≤x ） =m )4141(log 112log2--+-=-++xx xx x a a……8分4141--+-=xx am……9分设]1,0(1∈=-t x ，则函数tt y 4+=在区间]1,0(上是减函数…11分当1=t 时，此时1=x ，5min =y ，所以1≥ma ………………12分①若1>a ，则0≥m ，方程有解；………………13分②若10<<a ，则0≤m ，方程有解.……14分 21.解：（1）以D 为坐标原点，分别以射线DA 、DC 、1DD 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示。

则)0,0,0(D ,)0,1,1(B ,)0,1,0(C ,)1,0,0(1D ……1分 )0,1,1(=DB ,)0,0,1(-=BC ,)1,1,0(1-=CD ……2分设),,(z y x n =是平面11BCD A 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01CD n BC n ,即⎩⎨⎧=-=00y z x 令1=z ，则)1,1,0(=n …3分设直线DB 与平面11BCD A 所成角为θ，则21sin ==θ……4分由于20πθ≤≤，所以6πθ=……5分即直线DB 与平面11BCD A 所成角的大小为6π；……6分（2）由（1）得)21,21,0(0==n ……8分所以点D 到平面11BCD A 的距离22||0=⋅=DB n d ……10分因为四边形11BCD A 是矩形，所以面积2=S ……12分31222313111=⨯⨯==-sh V A BCD D ……14分22.【解】（1）由题意182=a ，92=b 得3=c ，所以)0,3(F ………………………………1分||||OF OA =且点A 在x 轴的上方，得)3,0(A ………………………………2分1-=k ，)1,1(-=d ……………………………………3分直线l ：1013--=-y x ，即直线l 的方程为03=-+y x …………………………4分（2）设),(11y x A 、),(22y x B ，直线l ：)3(-=x k y …………5分将直线与椭圆方程联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(191822x k y yx ，……………………7分消去x 得，096)21(222=-++k ky y k 0>∆恒成立，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+2221221219216k k y y kk y y22222121)1(2621)1(2||6||k k k kk k y y ++=++=-所以621)1(26321||||212221=++⨯⨯=-⨯⨯=∆kk ky y PF S PAB化简得0224=--k k ，由于0>k ，解得1=k ……10分（3）假设存在这样的点)0,(0x C ，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0,由题意得，直线l ：)3(-=x k y （0≠k ）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(191822x k y yx 消去y 得0)1(1812)21(2222=-+-+k x k x k ……2分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+=+2221222121)1(182112k k x x kk x x 011x x y k AD -=，022x x y k BD -=，+-=+011x x y k k BD AD 022x x y - 0))(())(3())(3()3()3(020********22011=----+--=--+--=x x x x x x x k x x x k x x x k x x x k所以06))(3(2021021=+++-kx x x x k x kx ，0621)3(1221)1(36020322=+++-+-kx kx k kkk解得60=x ，所以存在一点)0,6(，使得使得直线AC 和BC 的斜率之和为0.23.解：（1）在数列}{n a 中，取1=n ，则23122a a a ==+，不满足条件①，所以数列}{n a 不具有“m 性质”；……2分在数列}{n b 中，11=b ，32=b ，23=b ，34=b ，15=b ，则2312323b b b =<=+，3422432b b b =<=+，4532323b b b =<=+，所以满足条件①；26sin2≤=πn b n （5,4,3,2,1=n ）满足条件②，所以数列}{n b 具有“性质m ”。