不定积分求解方法及技巧
关于不定积分计算的总结
关于不定积分计算的总结不定积分是微积分中的一个重要概念，主要用于求函数的原函数。
在计算不定积分时，需要掌握一些基本的积分公式和技巧，以及一些应用不定积分的方法。
下面是关于不定积分计算的一些总结。
一、基本不定积分公式：1. 常数函数：∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为任意常数。
2. 幂函数：∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C，其中n≠-1，C为任意常数。
3.正弦和余弦函数：∫sinxdx=-cosx+C∫cosxdx=sinx+C∫sec^2xdx=tanx+C∫csc^2xdx=-cotx+C∫secxdxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=-cscx+C。
4.指数和对数函数：∫e^xdx=e^x+C∫a^xdx=(a^x)/(lna)+C∫(1/x)dx=ln，x，+C。
5.反三角函数：∫1/(√(1-x^2))dx=sin^(-1)(x)+C∫1/(1+x^2)dx=tan^(-1)(x)+C。
二、通用技巧：1. 常数倍和求和：∫(kf(x)+g(x))dx=k∫f(x)dx+∫g(x)dx∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。
2. 反函数：如果F'(x)=f(x)，则∫f(x)dx=F(x)+C。
3. 分部积分法：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。
分部积分法适用于由两个函数的乘积构成的积分。
4. 代换法：设x=g(t)或t=h(x)，则dx=g'(t)dt或dx=(1/h'(x))dt。
代换法适用于需要进行变量代换的积分。
5. 三角函数的平方：∫sin^2xdx=(1/2)(x-sin(x)cos(x))+C∫cos^2xdx=(1/2)(x+sin(x)cos(x))+C。
6.分数分解：对于有理函数，可以使用部分分数分解的方法将其化简为简单的分式相加。
7.特殊函数的特殊方法：对于特定的函数形式，可以使用特殊的方法进行不定积分的计算，如有理函数的积分可以使用多项式的除法。
不定积分的求解技巧表格法
不定积分的求解技巧表格法不定积分的求解技巧-表格法表格法是一种将积分运算转化为表格的方法，通过填表和观察表格中的规律，可以求出不定积分的解。
下面我们来介绍一下表格法的基本思路和操作步骤。
1. 基本思路表格法的基本思路是将被积函数中的各个部分进行分解，将积分分解为多个简单的积分，然后将这些积分放在表格中逐步求解。
2. 操作步骤a. 将被积函数进行分解。
b. 将分解后的各个部分放在表格的第一行。
c. 第一行的前一项乘以第一行的该项前面的一项，并将结果填入第二行中对应位置。
d. 第二行的前一项乘以第一行的该项前面的一项，并将结果填入第三行中对应位置。
e. 重复进行上述操作，直到求得表格最后一行的结果。
f. 对表格最后一行的结果进行求和，即为原函数的不定积分。
3. 示例演示假设我们要求解函数f(x)=x^3*sin(x)的不定积分。
a. 将函数进行分解：f(x) = x^3*sin(x) = x^3 * (cos(x))'b. 将分解后的部分放入表格的第一行：第一行： x^3 | (cos x)'第二行： x^3 | -cos(x)第三行： x^3 | -sin(x)第四行： x^3 | -cos(x)c. 对表格的第一行的前一项乘以第一行的该项前面的一项，并填入第二行对应位置：第二行： x^3 | -cos(x)第三行： (1/4)x^4 | sin(x)第四行： (1/4)x^4 | -cos(x)d. 对表格的第二行的前一项乘以第一行的该项前面的一项，并填入第三行对应位置：第三行： (1/4)x^4 | sin(x)第四行： -(1/4)x^4 | cos(x)e. 对表格的第三行的前一项乘以第一行的该项前面的一项，并填入第四行对应位置：第四行： -(1/4)x^4 | cos(x)f. 对表格最后一行的结果进行求和：-(1/4)x^4 * cos(x)g. 所以，f(x)=x^3*sin(x)的不定积分为：F(x) = -(1/4)x^4 * cos(x) + C，其中C为常数。
求不定积分的三种方法
求不定积分的三种方法一、基本积分法基本积分法是不定积分求解的基础，它适用于一些简单的函数。
通过掌握基本积分法，我们可以迅速求解相关的不定积分问题。
以下是一些常见的基本积分法：1.幂函数积分法：对于幂函数f(x) = x^n（n为非负整数），其基本积分法为：∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C。
2.指数函数积分法：对于指数函数f(x) = a^x（a为正实数），其基本积分法为：∫a^x dx = a^x * ln(a) + C。
3. 对数函数积分法：对于对数函数f(x) = ln(x)（x>0），其基本积分法为：∫ln(x) dx = x * ln(x) + C。
4.三角函数积分法：对于正弦函数f(x) = sin(x)，其基本积分法为：∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
5.余弦函数积分法：对于余弦函数f(x) = cos(x)，其基本积分法为：∫cos(x) dx = sin(x) + C。
二、换元积分法当不定积分的被积函数具有一定的形式时，我们可以通过换元法简化求解过程。
换元积分法是将原函数中的自变量替换为另一个变量，从而使问题变得更容易求解。
以下是一些常见的换元积分法：1.三角换元法：设u = sin(x)，则du = cos(x) dx。
将原函数中的x用u表示，可得：∫cos(u) du = sin(u) + C。
2.反三角换元法：设u = cos(x)，则du = -sin(x) dx。
将原函数中的x用u表示，可得：∫-sin(u) du = -cos(u) + C。
3.代数换元法：设u = x^2，则du =2x dx。
将原函数中的x 用u表示，可得：∫2x dx = x^2 + C。
三、分部积分法分部积分法是一种非常实用的求解不定积分的方法，它适用于具有一定形式的分式函数。
分部积分法的关键是将分式函数拆分为两个基本函数的乘积，然后利用乘积的导数公式进行积分。
简单不定积分的求解技巧
简单不定积分的求解技巧求解不定积分是微积分学中的基本内容之一。
虽然每个不定积分都是独特的，但是我们可以使用一些常见的技巧来简化积分的求解过程。
在本文中，我们将介绍一些常见的不定积分求解技巧，以帮助读者更好地掌握这一概念。
1. 简化式子：在求解不定积分时，有时我们可以通过简化式子来帮助我们更方便地求解。
比如，我们可以使用三角恒等式、指数对数关系等等将复杂的函数化简为更简单的形式。
2. 分部积分法：分部积分法是求解不定积分中常用的一种方法。
它是基于积分的乘积规则，即∫u*dv = uv - ∫v*du。
通过选择合适的u和dv，可以将原积分转化为更简单的积分形式。
这种方法特别适用于需要多次积分的情况。
3. 代换法：代换法是求解不定积分中另一种常用的方法。
当我们看到一个复杂的函数，特别是与变量相关的一些高次方、指数或三角函数时，可以通过选择合适的代换变量来将原积分转化为更简单的形式。
一般来说，我们选择的代换变量应该能够简化积分表达式，并且能够将原积分变为一个已知的积分形式。
4. 分式分解：当我们遇到一个更复杂的有理函数时，可以通过分式分解来将其分解为更简单的表达式。
常见的方法有部分分式分解和多项式除法等，这样可以使得积分的求解更加容易。
5. 使用特殊函数：特殊函数是数学中一类重要的函数，包括Gamma 函数、贝塞尔函数、椭圆函数等等。
当我们遇到与这些特殊函数相关的积分时，可以使用特殊函数的性质和定义来进行求解。
掌握特殊函数的基本性质是进行这类积分求解的关键。
6. 利用对称性：有时，积分表达式具有对称性，可以利用对称性简化积分的计算。
比如，当函数具有偶函数性质时，可以将积分的上下限互换，进而简化计算。
类似地，如果函数具有周期性或对称特点，也可以利用这些性质进行计算。
7. 利用积分性质：积分具有一些重要的性质，比如线性性质、积分与导数的关系等等。
在积分求解过程中，我们可以利用这些性质来简化积分的计算。
例如，当积分中的两个函数具有相同的积分形式时，可以利用线性性质将其合并为一项进行计算。
不定积分方法总结
不定积分方法总结不定积分是微积分中的一个基础概念，是求解函数的原函数的过程。
在学习不定积分的过程中，我们需要掌握一系列的求不定积分的方法。
本文将总结常见的不定积分方法。
一、换元法换元法是不定积分方法中最常用的一种。
通常我们选取一个合适的变量代换，将被积函数变换成一个新的函数，从而简化积分运算。
1.基本换元法当被积函数中含有一个函数和它的导数时，可以选择将该函数作为新的变量。
如对于∫x(x+1)²dx，我们令u = x+1，则x = u-1，dx = du。
2.特殊换元法在一些特殊的情况下，我们可以通过选择合适的变量代换，将被积函数转化为一个已知的积分公式。
如对于∫1/(x²+1)dx，我们选取x = tan(t)，则dx = sec²(t)dt，从而将原式转化为∫1/(tan²(t)+1)sec²(t)dt，这是一个已知的积分公式。
二、分部积分法分部积分法是通过对被积函数进行求导和积分的操作，从而将原来的不定积分问题转化为一个易于求解的积分问题。
对于∫u(x)v'(x)dx，根据分部积分公式，有∫u(x)v'(x)dx =u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，其中u(x)和v(x)是可导函数。
如对于∫x²sin(x)dx，选择u(x) = x²，v'(x) = sin(x)，则u'(x)= 2x，v(x) = -cos(x)。
通过分部积分法，我们可以得到∫x²sin(x)dx = -x²cos(x) + 2∫xcos(x)dx。
三、有理函数的分解对于有理函数（多项式的比值），我们可以通过将其分解为它的分子部分和分母部分的和的形式，从而简化积分运算。
如对于∫(x+1)/(x²+4x+3)dx，我们可以将其分解为∫(x+1)/[(x+3)(x+1)]dx，然后根据分数分解的原则，得到∫(A/(x+3) + B/(x+1))dx，通过求解A和B的值，我们可以得到∫(x+1)/(x²+4x+3)dx= ∫(A/(x+3) + B/(x+1))dx = Aln(x+3) + Bln(x+1)。
不定积分的求解简单技巧
不定积分的求解简单技巧不定积分是微积分中的基础概念，用于求解函数的原函数。
虽然在某些情况下可以通过直接积分进行求解，但在实际应用中，我们经常遇到一些复杂的函数，直接求解有时并不容易。
因此，我们可以运用一些简单的技巧来求解不定积分。
以下是一些常用的技巧：1. 基本积分公式：这是最基本的积分公式，由求导的逆操作得到。
例如，对于函数f(x)，如果F(x)是它的原函数，那么有：∫ f(x) dx = F(x) + C其中，C为常数。
2. 分部积分法：分部积分法是求解不定积分中常用的方法之一，它利用了积分运算的交换性。
对于两个函数u(x)和v(x)，根据分部积分法，有：∫ u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - ∫ v(x) u'(x) dx通过不断应用分部积分法，可以将原积分转化为更容易求解的形式。
3. 代换法：代换法是另一种常用的不定积分求解技巧。
通过选择合适的变量代换来简化原函数的形式。
通常，我们会选择一个函数的导数作为变量代换，从而将问题转化为更简单的形式。
代换法的一般步骤是：(1) 选择变量代换u=g(x)，根据链式法则求出du/dx；(2) 将变量代换和 du/dx 带入原不定积分式，得到以u 为自变量的不定积分；(3) 对新的不定积分进行求解；(4) 将 u 替换回变量 x。
4. 三角函数的换元：对于含有三角函数的不定积分，常常可以通过选择适当的角度代换来简化计算。
例如，对于∫sin^2(x) dx，我们可以通过使用三角恒等式sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2 来化简积分式，从而得到更容易求解的形式。
5. 分式的分解：对于含有分式的不定积分，我们可以尝试将其分解为更简单的部分。
例如，对于∫(x^2 + 2x + 1)/(x + 1)(x + 2) dx，我们可以将分子进行展开，然后将分母进行因式分解，最后将不定积分分解成两个较简单的部分。
6. 奇偶性的利用：对于一些具有特殊奇偶性质的函数，我们可以利用它们的对称性来简化不定积分的求解。
高考数学中的不定积分计算技巧
高考数学中的不定积分计算技巧不定积分是高考数学中的一个重要考点，也是高中数学中较难掌握的一个难点。
不同于定积分，不定积分并不需要求出一个具体的数值，而是要求出一个具有不变性的函数形式。
不定积分涉及到大量的计算技巧和方法，只有掌握了这些技巧和方法，才能在高考中获得更高的分数。
一、基本积分公式是关键不定积分的计算首先要掌握基本积分公式，也称为常积分公式。
常积分公式包括包括常数函数、幂函数、指数函数、常数乘积与常数商、三角函数的不定积分公式等。
这些公式都是需要反复练习的，熟能生巧。
例如，常数函数的不定积分是该函数所自变量区间内的实数常数C；幂函数的不定积分是除以幂次数再加1的系数；指数函数的不定积分是它自己的导数，即e^x；常数乘积则是分别对每个函数进行积分；而三角函数的不定积分则需要特殊的计算公式。
只有牢记这些基本公式，对不定积分的计算才能有一个正确的把握。
二、注意无理分式分解高考数学中的无理分式的不定积分计算是一个需要加强练习的难点。
无理分式是指分母不是多项式，而是不可约分的多项式的情况。
对于这样的无理分式，需要通过分母因式分解，转化为形如A(x)/B(x)的有理分式，然后再进行处理。
例如，当分母是二次因式时，需要根据二次项系数的正负性，将分母转化为 (x-a)^2+b^2 或 (x-a)^2-b^2 的形式，然后再根据已知的有理分式形式，求出A(x) 的积分，最后再代入分母中进行化简。
这种分式分解的处理方法，需要加强练习，多做一些练习题。
三、换元积分一定要理解清楚在不定积分计算中，换元积分法是最基本的求积分方法之一，需要掌握的是用替换变量的方法，将不定积分转化为更易处理的形式。
这种方法在数学的其他领域中也有广泛的应用。
例如，对于形如 f(g(x))g'(x) 的函数，如果可以通过变量替换将其转换为一个已知的函数求解，则可以用换元积分法进行计算。
这种处理方法浓缩着初中数学到高中数学的数学思想和技巧，需要认真掌握和多加练习。
不定积分求解方法
不定积分求解方法不定积分是微积分中的一个重要概念，它是定积分的反运算。
在实际问题中，我们常常需要对某些函数进行不定积分求解，以便得到函数的原函数表达式。
下面，我将介绍几种常见的不定积分求解方法，希望能够对大家有所帮助。
一、换元法。
换元法是不定积分中常用的一种方法。
当被积函数中含有复杂的函数形式时，可以通过引入新的变量来简化积分。
具体步骤如下：1. 选择合适的代换变量，通常选择被积函数中的一部分作为代换变量。
2. 对代换变量进行求导，得到微分形式。
3. 将原函数中的变量用代换变量表示，并将被积函数中的原函数用代换变量表示。
4. 进行变量代换，将原不定积分转化为新的不定积分。
5. 求解新的不定积分，得到结果后，将代换变量重新换回原来的变量。
二、分部积分法。
分部积分法是求解不定积分中常用的另一种方法。
当被积函数为两个函数的乘积形式时，可以通过分部积分法将原不定积分转化为另一个不定积分，从而简化求解过程。
具体步骤如下：1. 选择一个函数作为u，选择另一个函数的导数作为dv。
2. 对u进行求导，得到du；对dv进行不定积分，得到v。
3. 将原函数中的乘积形式表示为uv的形式。
4. 使用分部积分公式进行求解，得到结果。
三、有理函数的不定积分。
对于有理函数的不定积分求解，可以通过分解成部分分式的形式，将原函数表示为几个简单函数的和的形式，从而进行逐个求解。
具体步骤如下：1. 对有理函数进行因式分解，将其表示为几个一次或二次多项式的和的形式。
2. 对每一个简单函数进行不定积分求解，得到结果。
3. 将每个简单函数的不定积分结果相加，得到原有理函数的不定积分结果。
四、倒代换法。
倒代换法是一种特殊的不定积分求解方法，适用于一些特殊形式的不定积分。
具体步骤如下：1. 选择合适的代换变量，通常选择被积函数中的一部分作为代换变量。
2. 对代换变量进行求导，得到微分形式。
3. 将原函数中的变量用代换变量表示，并将被积函数中的原函数用代换变量表示。
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摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。
一．不定积分的概念与性质定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的x∈I，有F’(x)=f(x)dx 则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。
定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（x∈I）简单的说就是，连续函数一定有原函数定理2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则（1）F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；（2）f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。
定义2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为⎰f(x)d(x),即⎰f(x)d(x)=F(x)+C其中记号⎰称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。
性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则⎰[f(x)±g(x)]dx=⎰f(x)dx±⎰g(x)dx.性质2设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则⎰kf(x)dx=k⎰f(x)dx.二．换元积分法的定理如果不定积分⎰g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[ϕ(x)] ϕ’(x).做变量代换u=ϕ(x),并注意到ϕ‘（x）dx=dϕ(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有⎰g(x)dx=⎰f[ϕ(x)] ϕ’(x)dx=⎰f(u)du.如果⎰f(u)du可以积出，则不定积分⎰g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。
第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。
定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=ϕ(x)可导，则有换元公式⎰f[ϕ(x)] ϕ’(x)dx=⎰f(u)du=F(u)+C=F[ϕ(x)]+C.第一类换元法是通过变量代换u=ϕ(x),将积分⎰f[ϕ(x) ϕ’(x)dx 化为⎰f(u)du.但有些积分需要用到形如x=ϕ(t)的变量代换，将积分⎰f(x)dx 化为⎰f[ϕ(t)] ϕ’(t).在求出后一积分之后，再以x=ϕ(t)的反函数t=ϕ1-(X)带回去，这就是第二类换元法。
即⎰f(x)dx={⎰f[ϕ(t)] ϕ’(t)dt})(1X t -=ϕ.为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=ϕ1-（x ）存在的条件，给出下面的定理。
定理2 设x=ϕ(t)是单调，可导的函数，并且ϕ‘（t ）≠0.又设f[ϕ(t)] ϕ’(t)具有原函数F （t ）,则⎰f(x)dx=⎰f[ϕ(t)] ϕ’(t)dt=F(t)+C=F[ϕ1-(x)]+C其中ϕ1-（x ）是x=ϕ（t ）的反函数。
三．常用积分公式 1 基本积分公式（1）⎰kdx=kx+C(k 是常数)； （2）⎰x udx=1u x 1u +++C(u ≠-1);（3）⎰x dx =ln x +C ； （4）⎰2x 1dx +=arctanx+C; (5)⎰2x1dx -=arcsinx+C; (6)⎰cosxdx=sinx+C;(7) ⎰sinxdx=-cosx+C ; (8)⎰x2cos dx =⎰sec 2xdx=tanx+C; (9)⎰xdx 2sin =⎰csc 2xdx=-cotx+C; (10) ⎰secxtanxdx=secx+C; (11) ⎰cscxcotxdx=-cscx+C; (12) ⎰e x dx= e x+C; (13) ⎰a xdx= e x+C; (14) ⎰shxdx=chx+C; (15) ⎰chxdx=shx+C. (16) ⎰tanxdx=-ln cosx +C; (17)⎰cotxdx=ln sinx +C; (18)⎰secxdx=ln tanx secx ++C;(19)cscxdx=ln x cot cscx -+C; (20)⎰22x a dx +=ax x ln a 1+-a +C; (21)⎰22x a dx -=arcsinax+C; (22) ⎰22x a dx +=ln(x+22a x ++C;(23)⎰22a x dx -=ln 22a x x -++C.2.凑微分基本类型四．解不定积分的基本方法四．求不定积分的方法及技巧小汇总~1.利用基本公式。
（这就不多说了~）2.第一类换元法。
（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。
则C x F x d x f dx x x f +==⋅⎰⎰)]([)()]([)(')]([ϕϕϕϕϕ其中)(x ϕ可微。
用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。
当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。
如例1、例2： 例1：⎰+-+dx x x xx )1(ln )1ln(【解】)1(1111)'ln )1(ln(+-=-+=-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+⎰⎰2)ln )1(ln(21)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：⎰+dx x x x 2)ln (ln 1【解】x x x ln 1)'ln (+=C x x x x x dx dx x x x +-==++⎰⎰ln 1)ln (ln )1(ln 1223.第二类换元法：设)(t x ϕ=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ϕϕϕ又设≠具有原函数，则有换元公式⎰⎰=dt t t f dx f )(')]([x)(ϕϕ第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。
常见的变换形式需要熟记会用。
主要有以下几种：achtx t a x t a x a x asht x t a x t a x a x ta x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222 也奏效。
，有时倒代换当被积函数含有：：tx c bx ax x t dcx bax d cx b ax tb ax b ax m n nnn 1)6()5()4(2=++⋅=++++=++4.分部积分法.公式：⎰⎰-=νμμννμd d分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。
具体选取νμ、时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型 举两个例子吧~！ 例3：dx xx x ⎰-⋅231arccos【解】观察被积函数，选取变换x t arccos =,则=-=-=-⎰⎰⎰tdt t dt t t tt dx x x x 3323cos )sin (sin cos 1arccosC x x x x x C t t t t t t d t t t t dt t t t t t t t td t d t t +-+---=+---=-+-=---=-=-⎰⎰⎰⎰arccos 1)2(313291cos 91cos 32sin sin 31cos )1sin 31(sin sin 31)sin sin 31(sin sin 31)sin sin 31(sin )1(sin 22333233332例4：⎰xdx 2arcsin 【解】⎰⎰--=dxx xx x x xdx 22211arcsin 2sin arcsinCx x x x x dx xx x x x x x xd x x +--+=----+=-+⎰⎰2arcsin 12arcsin 121arcsin 12arcsin 1arcsin 2arcsin 22222上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。
有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。
在⎰⎰-=νμμννμd d 中，νμ、的选取有下面简单的规律：选取的函数不能改变。
，会出现循环，注意，，，νμββνμνμνμ)3(sin ,cos )3()(arcsin ,arctan ,ln )2(cos ,sin ,)()1(x x e x P x x x ax ax e x P axm ax m ======将以上规律化成一个图就是：但是，当x x arcsin ln ==νμ，时，是无法求解的。
对于（3）情况，有两个通用公式：Cbx b bx a b a e dx bx e I C bx b bx a ba e dx bx e I ax axaxax+++=⋅=+-+=⋅=⎰⎰)sin cos (cos )cos sin (sin 2222215.几种特殊类型函数的积分。
（1）有理函数的积分 有理函数)()(x Q x P 先化为多项式和真分式)()(*x Q x P 之和，再把)()(*x Q x P 分解为若干个部分分式之和。
（对各部分分式的处理可能会比较复杂。
出现⎰+=nn x a dxI )(22时，记得用递推公式：121222)1(232))(1(2----++-=n n n I n a n a x n a x I ）例5：dx x x x x x ⎰+--+223246)1(24 【解】=++-++=+--+223222346223246)1(24)1()1(24x x x x x x x x x x x x 22322)1(241++-+x x x x x2222422242223222)1(12)1(24)1(24)1ln(211x dx x x x xdx x x x dx x x x Cx dx x x =++=++=++++=+⎰⎰⎰⎰μC x x C d d d ++-=+-+=+-=+-+=++⎰⎰⎰)1(1111))1(11()1()1()1(122222222222μμμμμμμμμμμμμμ故不定积分求得。
（2）三角函数有理式的积分万能公式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-=+=2tan 12tan 1cos 2tan 12tan 2sin 222x xx x x x 化为有理函数可用变换2tan )cos ,(sin )cos ,(sin x t dx x x Q x x P =⎰的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。
对于只含有tanx （或cotx ）的分式，必化成xxx x sin cos cos sin 或。