211max 1
()32822
g y a a a a ---=+-=?=?=
， 所以
4
1
2213)21()(2min -=-?+=y g ；
当
1>a 时，],[1a a y -∈，
2823)(2max =?=-+=a a a y g ，
所以
4
1
2232)(12min -
=-?+=--y g . 综上
)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为4
1-
. 6.
1217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为12
73621=，从而先投掷人的获胜概率为 +?+?+127)125(127)125(127421712
144
251112
7=
-?=.
7.
4
提示：解法一：如图，以
AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间
直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),
2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，
)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B .
设分别与平面
P
BA 1、平面
P
A B 11垂直的向量是
),,(111z y x m =、),,(222z y x =，则
????
?=++-=?=+-=?,03,
022111111z y x z x BA m ????
?=-+-=?=-=?,
03,
022221211z y x P B n x A B 由此可设
)
3,1,0(),1,0,1(==，所以
cos m n m n α
?=?，即
2cos cos
4
αα
=?=.
所以
4
10
sin=
α.
解法二：如图，PB
PA
PC
PC=
=
1
1
, .
设B
A
1
与1
AB交于点,O则
1111
,,
OA OB OA OB A B AB
==⊥ .
11
,,
PA PB PO AB
=⊥
因为所以从而⊥
1
AB平面B
PA
1
.
过O在平面B
PA
1
上作P
A
OE
1
⊥,垂足为E.
连结E
B
1
,则EO
B
1
∠为二面角
1
1
B
P
A
B-
-的平面角.设2
1
=
AA,则易求得
3
,2
,5
1
1
1
=
=
=
=
=PO
O
B
O
A
PA
PB.
在直角O
PA
1
?中，OE
P
A
PO
O
A?
=
?
1
1
,即
5
6
,
5
3
2=
∴
?
=
?OE
OE.
又
5
5
4
5
6
2
,22
2
1
1
1
=
+
=
+
=
∴
=OE
O
B
E
B
O
B.
4
10
5
5
4
2
sin
sin
1
1
1
=
=
=
∠
=
E
B
O
B
EO
B
α.
8. 336675 提示：首先易知2010
=
+
+z
y
x的正整数解的个数为1004
2009
2
2009
?
=
C.
把2010
=
+
+z
y
x满足z
y
x≤
≤的正整数解分为三类：
（1）z
y
x,
,均相等的正整数解的个数显然为1；
（2）z
y
x,
,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；
(3)设z
y
x,
,两两均不相等的正整数解为k.
易知
1004
2009
6
1003
3
1?
=
+
?
+k，
所以
O
E
P
C1
B1
A1
C
B
A
110033*********-?-?=k
200410052006123200910052006-?=-?+-?=，
即
3356713343351003=-?=k .
从而满足
z y x ≤≤的正整数解的个数为
33667533567110031=++.
9. 解法一：
,23)(2
c bx ax x f ++='由 ??????
?++='++='='c
b a f
c b a f c f 23)1(,43)2
1(,)0( 得 )2
1(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.
所以
)2
1
(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=
)2
1
(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤
8≤，
所以38≤
a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为3
8. 解法二：c bx ax x f ++='23)(2. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g .
设 12-=x z
，则11,2
1
≤≤-+=
z z x . 14
322343)21()(2++++++=+=c b a
z b a z a z g z h .
容易知道当
11≤≤-z 时，
2
)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当
1
1≤≤-z 时，
22
)
()(0≤-+≤
z h z h ， 即
214
34302≤++++≤
c b a z a ， 从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知3
8
≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为3
8. 10. 解法一：设线段
AB 的中点为),(00y x M ，则 2
,222
1
0210y y y x x x +==+=
，
0122
1221212123
66
6y y y y y y y x x y y k AB =
+=--=--=
.
线段
AB 的垂直平分线的方程是
)2(3
0--
=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.
由（1）知直线
AB 的方程为)2(3
0-=
-x y y y ，即 2)(3
00
+-=
y y y x . （2） （2）代入
x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即
012222
002=-+-y y y y . （3）
依题意，
21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以
22200044(212)4480y y y ?=--=-+>,
32320<<-y .
2
21221)()(y y x x AB -+-=
2212
0))()3
(
1(y y y -+=
]4))[(91(2122120
y y y y y -++=
))122(44)(9
1(2
02020--+=y y y
)12)(9(3
22
020y y -+=
. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离
2
2029)0()25(y y CM h
+=-+-==.
