函数常考题型与解法

函数与导数

1、知识点

2、高考题型与考点

考点一函数的定义域

函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.

变式

函数值域

考点二函数的性质（单调性、奇偶性和周期性）

函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.

,0( 上的例2．(2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间)

增函数的是（ ）

A 3

x y = B 1+=x y C 12

+-=x y D x

y -=2

【答案】B

【解析】由偶函数可排除A ，再由增函数排除C,D,故选B ；

【名师点睛】此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数x y x y -==和都是偶函数，所以，内层有它们的就是偶函数，但是，它们在),0(+∞的单调性相反，再加上外层函数的单调性就可以确定.

【备考提示】：熟练函数的单调性、奇偶性方法是解答好本题的关键.

练习2: (2011年高考江苏卷2)函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________ 【答案】1

(,)2

-+∞

【解析】本题考察函数性质，属容易题.因为210x +>,所以定义域为1(,)2

-+∞,由复合函数的单调性知:函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是1(,)2

-+∞.

例4、

例5．(2009年高考山东卷文科12)已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )

A.(25)(11)(80)f f f -<<

B. (80)(11)(25)f f f <<-

C. (11)(80)(25)f f f <<-

D. (25)(80)(11)f f f -<< 【答案】D

【解析】因为(8)(4)[()]()f x f x f x f x +=-+=--=,所以8是该函数的周期;又因为

(4)()()f x f x f x -=-=-,所以2x =-是该函数的对称轴,又因为此函数为奇函数,定义域

为R ,所以(0)0f =,且函数的图象关于2x =对称, 因为函数()f x 在区间[0,2]上是增函数,所以在[0,2]上的函数值非负,故(1)0f >,所以(25)(25)(1)0f f f -=-=-<,

(80)(0)0f f ==,(11)(3)0f f =>,所以(25)(80)(11)f f f -<<,故选D .

【名师点睛】本小题考查函数的奇偶性、单调性、周期性，利用函数性质比较函数值的大小. 【备考提示】：函数的奇偶性、单调性、周期性，是高考的重点和热点,年年必考,必须熟练掌握.

练习3:（2011年高考全国卷文科10)设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，

()f x =2(1)x x -，则5

()2

f -=( )

A.-12

B.1 4-

C.14

D.12

【答案】A

【解析】先利用周期性，再利用奇偶性得：5111()()().2222

f f f -=-=-=-

考点三 函数的图象

函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.

例4．(2011年高考山东卷理科9文科10)函数2sin 2

x

y x =

-的图象大致是( )

【解析】因为'

12cos 2y x =

-,所以令'12cos 02y x =->,得1

cos 4

x <,此时原函数是增函数;

令'

12cos 02y x =

-<,得1

cos 4

x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，

可得选C 正确. 【名师点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的

思维能力. 【备考提示】：函数的图象,高考年年必考,熟练其图象的解决办法(特值排除法、函数性质判断法等)是答好这类问题的关键.

练习4:（2010年高考山东卷文科11）函数2

2x

y x =-的图像大致是( )

【解析】因为当x=2或4时，2x -2x =0，所以排除B 、C ；当x=-2时，2x -2

x =1

4<04

-，故排除D ，所以选A.

考点四 导数的概念、运算及几何意义

了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.

例5．（2011年高考山东卷文科4)曲线2

11y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ）

(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15 【答案】C

【解析】因为'

2

3y x =,切点为P （1，12），所以切线的斜率为3,故切线方程为3x-y+9=0,令x=0,得y=9,故选C.

【名师点睛】本题考查导数的运算及其几何意义.

【备考提示】：导数的运算及几何意义是高考的热点,年年必考,熟练导数的运算法则及导数的几何意义是解答好本类题目的关键.

练习5:（2011年高考江西卷文科4)曲线x

y e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ） A.1 B.2 C.e D.1e

【答案】A

【解析】1,0,0

'

===e x e y x

.

考点五 导数的应用