基本初等函数几个题型解答

返回 已知函数y ＝(12
)x 2－6x ＋17， (1)求函数的定义域及值域；
(2)确定函数的单调区间．
[提示] 求值域时，要先求x 2－6x ＋17的值域，再利用指数函数的图像进行求解．确定单调区间可先分解成y ＝(12)u ，u ＝x 2－6x ＋17，分别研究这两个函数的单调性，再按照复合函数的单调性写出函数的单调区间．
返回[解] (1)设μ＝x 2－6x ＋17，由于函数y ＝(12
)μ及μ＝x 2－6x ＋17的定义域为(－∞，＋∞)，故函数y ＝(12
)x 2－6x ＋17的定义域为R.
因为μ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，所以(12)μ≤(12
)8，又(12)μ>0，故函数的值域为(0，1256]． 返回(2)函数μ＝x 2－6x ＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意x 1、x 2∈[3，＋∞)且x 1<x 2，有μ1<μ2，从而(12)μ1>(12
)μ2，即y 1>y 2，所以函数y ＝(12
)x 2－6x ＋17在[3，＋∞)上是减函数，同理可知y ＝(12)x 2－6x ＋17在(－∞，3)上是增函数．
返回
在本例中，把“12
”改为“a ”，a >0且a ≠1，讨论f (x )＝a x 2－6x ＋17的单调性． 解：设u ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8，则当x ≥3时，u 是增函数，当x <3时，u 是减函数．
又因为当a >1时，y ＝a u 是增函数，
当0<a <1时，y ＝a u 是减函数，
所以当a >1时，原函数f (x )＝a x 2－6x ＋17在(－∞，3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．
当0<a <1时，原函数f (x )＝a x 2－6x ＋17在(－∞，3)上是增
函数，在(3，＋∞)上是减函数．
例题：设a ＞0，且a ≠1，如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值为14，求a 的值．
[错解]∵y ＝(ax ＋1)2－2.又∵y 在[－1,1]上单调递增．∴x ＝1时，y 取得最大值．∴a 2＋2a －1＝14，即a 2＋2a －15＝0，∴a ＝3或a ＝－5(舍去)．∴a ＝3. [错因] 错解的原因是将a x 当成了x ，从而错误地判断了y 在[－1,1]的增减性．
[正解] 设t ＝a x ，若a ＞1，则t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1a ，a ， 若0＜a ＜1，则t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a ，1a ， ∵y ＝(t ＋1)2－2，它关于t 在(－1，＋∞)上单调递增． ∴当a ＞1时，y 在t ＝a 处取得最大值，
∴a 2＋2a －1＝14，∴a ＝3.
当0＜a ＜1时，y 在t ＝1a 处取得最大值，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 2＋2a －1＝14，∴a ＝13. ∴a ＝3或a ＝13.
1.已知函数f （x ）=|2x -1|的图象与直线y=a 有两个公共点，求a 的取值范围 解：f （x ）=|2x -1|的图象如下图所示：由图可知：当0＜a ＜1时，函数f （x ）=|2x -1|的图象与直线y=a 有两个公共点，故答案为：（0，1）
2.直线x=a(a>0)与函数y=(31)x ,y=(2
1)x ,y=2x ,y=10x 的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点，求这四点从上到下的排列次序
解：根据在第一象限内，底数越大指数函数的图象越靠近y 轴，在一个坐标系中画出函数y=(1
／3)x ，y=(1／2)x ，y=2x ，y=10x 的图象如下图：由图象得，这四个点从上到下的排列次序是：
D 、C 、B 、A ．
3.若直线y=3a 与函数y=|a x -1|(a ＞0,且a ≠1)的图像有两个公共点，求a 的取值范围
○
1如果a>1，则x<0时的图像在直线y=1的下方， 以y=1为渐近线向左伸展. 直线y=2a 在直线y=1的上方，与x<0时的图像无交点， 与x>0时的图像只有1个交点，与题意不符。

○
2如果0<a<1，则x>0时的图像在直线y=0和y=1之间， 以y=1为渐近线向右伸展. 当且仅当0<a<1/3时，直线y=3a 在直线y=0和y=1之间， 与x>0时的图像有1个交点； 与x<0时的图像也有1个交点。

与图像共有2个交点，与题意相符。

所以a 的取值范围为0<a<1/3
4.已知函数y=4x -3•2x +3，当其值域为[1，7]时，求x 的取值范围
解：令t=2x ，可得y=4x -3•2x +3=t 2-3t+3，（t ＞0）∵函数的值域为[1，7]，∴解不等式1≤t 2-3t+3≤7，可得t 2-3t+2≥0，t 2-3t-4≤0，解此不等式组，得0＜t ≤1或2≤t ≤4，∴0＜2x ≤1或2≤2x ≤4，即0＜2x ≤20或21≤2x ≤22，因此，x 的取值范围是（-∞，0]∪[1，2]，故答案为：（-∞，0]∪[1，2]
5.已知函数2431()()3
ax x f x -+=.(1)若1a =-，求f （x ）的单调区间；(2)若f （x ）有最大值3，求a 的值．(3)若f （x ）的值域是(0，＋∞)，求a 的取值范围
○
1a=-1；f(x)=(1/3)^(-x²-4x+3)；∵函数y=-x²-4x+3对称轴为x=-2，开口向下；∴函数y=-x²-4x+3在(-∞，-2)单调递增，在[-2，+∞)上单调递减；又∵函数y=(1/3)^x 在R 上单调递减；∴据复合函数单调性，得f(x)在(-∞，-2)单调递减，在[-2，+∞)上单调递增；
○
2∵f(x)有最大值3；∴根据上面的复合函数单调性有：函数y=ax²-4x+3有最小值 - 1；∴顶点纵坐标为(12a - 16)/(4a) = -1；∴a=1；
6.甲、乙两车同时沿某公路从A 地驶往300km 外的B 地，甲车先以75km/h 的速度行驶，在到达AB 中点C 处停留2h 后，再以100km/h 的速度驶往B 地，乙车始终以速度vkm/h 行驶.（1）请将甲车离A 地路程x （km ）表示为离开A 地时间t(h)的函数；（2）若两车在途中恰好相遇两次（不包括AB 两地），试确定乙车行驶速度vkm/h 的取值范围
解：（1）由题意可知，甲车离A 地路程x(km)关于离开A 地时间t(h)的函数为：
｛75t ， （0≤t<2）
x= ｛150， （2≤t≤4）
｛75t-150，（4<t≤6）
（2）由题意可知v<75 km/h ，若两车在途中恰好相遇两次，那么：
第一次相遇应该在甲车到达中点C 处停留的两个小时内的第a 小时的时候发生，
此时有va=150即v=150/a ，且2<a≤4 则1/4≤1/a<1/2所以75/2≤v<75
而第二次相遇则是甲车到达中点C 处停留两小时后重新上路赶上乙车，
设这次相遇发生在第b 小时，有：
vb=75b-150，即v=75-150/b 且4<b<6，则1/6<1/b<1/4即－1/4<－1/b<－1/6
也就是-75/2<-150/b<-25， 所以75/2<75-150/b<50
综上所述乙车行驶速度vkm/h 的取值范围为：75/2<v<50 (单位：km/h)。