四川省龙泉中学温江中学新津中学等五校高三数学上学期第一次联考试题理

成都市“五校联考”高2014级第五学期九月考试题数学（理）时间120分钟总分150分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）． 1．已知集合{}1,A i =-，i 为虚数单位，则下列选项正确的是A ．1A i ∈B ．11iA i-∈+C ．5i A ∈D ．i A -∈ 2．已知集合{}|2,0x M y y x ==>，{}2|lg(2)N x y x x ==-，则MN 为A ．（1，2）B ．（1，+∞）C ．[2，+∞）D ．[1，+∞）3．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④4．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增， 若实数a 满足)2()2(|1|->-f f a ，则a 的取值范围是A ．)21,(-∞B ．),23()21,(+∞-∞ C ．)23,21( D ．),23(+∞5．某流程图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数A ．21()21x x f x -=+B ．cos ()x f x x =()22x ππ-<<C ．()xf x x=D ．22()ln(1)f x x x =+6．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝A ．4B ．5C ．6D ．77．下列命题中是假命题的是A ．,R ϕ∃∈，使函数()sin(2)f x x ϕ=+是偶函数;B ．,R αβ∃∈，使得cos()cos cos αβαβ+=+;C ．,m R ∃∈，使243()(1)mm f x m x -+=-⋅是幂函数，且在(0,)+∞上递减;D ．,,lg()lg lg a b R a b a b +∀∈+≠+．8．若函数),,,()(2R d c b a cbx ax dx f ∈++=的图象如图所示，则=d c b a :::A ．1:6:5:(8)-B ．1:6:5:8C ．1:(6):5:8-D ．1:(6):5:(8)--9．已知函数()sin(2)(0)2f x x πϕϕ=+<<的一条对称轴为直线12x π=，则要得到函数()'()()12F x f x f x π=-+的图象，只需把函数()f x 的图象A ．沿x 轴向左平移3π个单位，纵坐标伸长为原来的3倍 B ．沿x 轴向右平移3π个单位，纵坐标伸长为原来的3倍 C ．沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长为原来的3倍 D ．沿x 轴向右平移6π个单位，纵坐标伸长为原来的3倍 10．若直线ax ﹣by +2=0（a ＞0，b ＞0）被圆x 2+y 2+2x ﹣4y +1=0截得的弦长为4，则11a b+的最小值为（ ）A .B ．C ．322+ D ．3222+ 11．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为A ．1B ．2C ．22D ．312．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+-+≥-+=)3()4()1()(2222xaxaaxxakkxxf，，，其中a R∈，若对1x∀≠，212()x x x∃≠，使得)()(21xfxf=成立，则实数k的最小值为A．8-B．6-C．6 D．8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）．13．计算=+25.0log10log255__ ▲▲▲ ．14．已知2()1log(14)f x x x=+≤≤，设函数22()()()g x f x f x=+，则max min()()g x g x-=__ ▲▲▲．15．若函数2()f x x=的定义域为D，其值域为{}0,1,2,3,4,5，则这样的函数()f x有__▲▲▲ ．个．（用数字作答）16．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边GD上有10个不同的点123,,P P P……10P,则123(AF AP AP AP++++10)AP=__ ▲▲▲ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17．（本小题满分12分）已知向量2(cos,1),(3sin,cos)222x x xm n=-=，函数()1f x m n=⋅+．（1）若[0,]2xπ∈，11()10f x=，求cos x的值；（2）在ABC∆中，角,,A B C的对边分别是,,a b c，且满足2cos23b Ac a≤，求角B的取值范围．18．（本小题满分12分）在一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下定义域为R的函数：2123()1,(),()sinf x x f x x f x x=+==，242()log(1)f x x x=+56()cos ,()sin 2.f x x x f x x x =+=-（1）现在从盒子中任意取两张卡片，记事件A 为“这两张卡片上函数相加，所得新函数是奇函数”，求事件A 的概率；（2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是偶函数则停止抽取，否则继续进行，记停止时抽取次数为ξ，写出ξ的分布列，并求其数学期望E ξ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，AB =2，PA =1，PA ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．（1）求证：BE ∥平面PDF ； （2）求证：平面PDF ⊥平面PAB ；（3）求平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的大小．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率2e =，且点(2,1)P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 、B 都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上．求AOB ∆面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x mx =-()m R ∈．（1）若曲线()y f x =过点(1,1)P -，求曲线()y f x =在点P 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间[1,]e 上的最大值；（3）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，求证：212x x e ⋅>请考生在第22～24三题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题记分． 22、(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，AB 为圆O 的直径，P 为圆O 外一点，过P 点作PC ⊥AB 于C ，交圆O 于D 点，PA 交圆O 于E 点，BE 交PC 于F 点．（1）求证：∠P =∠ABE ； （2）求证：CD 2=CF ·CP ．23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，Ox 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.tan 1;tan 12ϕϕy x （ϕ为参数），曲线C 2的极坐标方程为：1)sin (cos =+θθρ，若曲线C 1与C 2相交于A 、B 两点．（1）求|AB |的值；（2）求点(1,2)M -到A 、B 两点的距离之积．24．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|||f x x x a =+-+． （1）若0a =，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若方程()f x x =有三个不同的解，求a 的取值范围．2017届高三数学五校联考（理科数学）参考答案一.选择:（12×5=60）二：填空(4×5=20)13. 2 14 5 15. 243 16. 180三、解答题（本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17. 解：（Ⅰ）()21cos cos cos 112222x x x x f x x +=-+=-+ =()111cos sin 2262x x x π-+=-+ ………2分()()311,sin 1065f x x π=∴-=，又()40,,,,cos 266365x x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈∴-∈-∴-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦……4分()()()cos cos cos cos sin sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤∴=-+=---=⎢⎥⎣⎦………6分（Ⅱ）由2cos 2b A c ≤得2sin cos 2sin B A C A ≤-…………………8分 ()2sin cos 2sin B A A B A ∴≤+-()2sin cos 2sin cos cos sin B A A B A B A ∴≤+- ………10分(2sin cos ,cos 0,6A B A B B π⎤∴∴∴∈⎥⎦………12分 18． 解：（1）由题意得34(),()f x f x 是奇函数，256(),(),()f x f x f x 为偶函数，1()f x 为非奇非偶函数，所以P （A ）=2226115C C =………………（4分）（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为1,2,3,4P（1ξ=）=131612C C =,P （ξ=2）=11331165C C C C =310,P （3ξ=）=111323111654C C C C C C =320, P （4ξ=）=11132311116543120C C C C C C C =………………（8分）所以ξ的分布列为：P12310320120 (10)所以Eξ=112⨯+2⨯310+3⨯320+4⨯120=74。

………………（12分）19．解：（Ⅰ）证明：取PD中点为M，连ME，MF．∵E是PC的中点∴ME是△PCD的中位线，∴ME平行且等于．∵F是AB中点且ABCD是菱形，∴AB平行且等于CD，∴ME平行且等于．∴ME平行且等于FB∴四边形MEBF是平行四边形．从而BE∥MF．∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF．……………………（4分）（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，∴DF⊥PA．连接BD，∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．……………………（8分）（Ⅲ）解：建立如图所示的坐标系，则P（0，0，1），C（，3，0），D（0，2，0），F（，，0）由（Ⅱ）知DF⊥平面PAB，∴是平面PAB的一个法向量，设平面PCD的一个法向量为由，且由在以上二式中令，则得x=﹣1，，∴．设平面PAB与平面PCD所成锐角为θ，则cosθ==故平面PAB与平面PCD所成的锐角为60°．……………………（12分）20． 解：（1）由题意得：2222222411c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩………2分63a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22163x y += ………4分（2）①法一、设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，直线AB 的斜率为k则2211222212122222163063163x y x x y y x y ⎧+=⎪--⎪∴+=⎨⎪+=⎪⎩0022063x y k ∴+⋅=………6分又直线OP :12y x =,M 在线段OP 上, 所以0012y x =所以1k =-………8分 法二、设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，直线AB 的方程为00()y y k x x -=-，则00222220000()(12)4()2()60163y y k x x k x k y kx x y kx x y -=-⎧⎪∴++-+--=⎨+=⎪⎩由题意，0∆>所以001224()12k y kx x x k -+=-+ ………6分00022()12k y kx x k -∴=-+又直线OP :12y x =,M 在线段OP 上, 所以0012y x =，所以212()21112k k k k --=∴=-+ ………8分 法三、设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，直线AB 的方程为y kx m =+则22222(12)4260163y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪∴+++-=⎨+=⎪⎩ 由题意，0∆>所以122412kmx x k +=-+ ………6分02212km x k ∴=-+()i 又直线OP:12y x =,M 在线段OP 上, 所以0012y x =()ii M 在直线AB 上∴00y kx m =+()iii解()i ()ii ()iii 得：1k =- ………8分设直线AB 的方程为y x m =-+，(0,3)m ∈则222234260163y x mx mx m x y =-+⎧⎪∴-+-=⎨+=⎪⎩，所以12212043263m x x m x x ⎧⎪∆>⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⎪⎩………9分 所以221241(1)||93AB x x m =+--=- ,原点到直线的距离||2m d =…10分 22214||2329(9)23322OAB m S m m m ∆∴=-⋅=-≤ 当且仅当32(0,3)2m =∈时，等号成立.，所以AOB ∆面积的最大值322…12分 21． 解：（1）因为点P （1，﹣1）在曲线y =f （x ）上，所以﹣m =﹣1，解得m =1． 因为f ′（x ）=﹣1=0，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y =﹣1．……（3分） （2）因为f ′（x ）=﹣m =．①当m ≤0时，x ∈（1，e ），f ′（x ）＞0，所以函数f （x ）在（1，e ）上单调递增， 则f （x ）max =f （e ）=1﹣me ． ②当1m≥e ，即0＜m ≤时，x ∈（1，e ），f ′（x ）＞0， 所以函数f （x ）在（1，e ）上单调递增，则f （x ）max =f （e ）=1﹣me ．③当1＜1m＜e ，即＜m ＜1时， 函数f （x ）在（1，1m ）上单调递增，在（1m ，e ）上单调递减，则f （x ）max =f （1m）=﹣lnm ﹣1．④当1m≤1，即m ≥1时，x ∈（1，e ），f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（1，e ）上单调递减，则f （x ）max =f （1）=﹣m ． 综上，①当m ≤时，f （x ）max =1﹣me ； ②当＜m ＜1时，f （x ）max =﹣lnm ﹣1；③当m ≥1时，f （x ）max =﹣m ．……（8分）（分类时，每个1分，综上所述1分） （3）不妨设x 1＞x 2＞0．因为f （x 1）=f （x 2）=0，所以lnx 1﹣mx 1=0，lnx 2﹣mx 2=0，可得lnx 1+lnx 2=m （x 1+x 2），lnx 1﹣lnx 2=m （x 1﹣x 2）．要证明x 1x 2＞e 2，即证明lnx 1+lnx 2＞2，也就是m （x 1+x 2）＞2．因为m =，所以即证明＞，即ln ＞．令=t ，则t ＞1，于是lnt ＞．令f （t ）=lnt ﹣（t ＞1），则f ′（t ）=﹣=＞0． 故函数f （t ）在（1，+∞）上是增函数，所以f （t ）＞f （1）=0，即lnt ＞成立．所以原不等式成立．…（12分） 请考生在第22～24三题中任选一题做答。