高中数学必修基本初等函数常考题型指数函数及其性质
指数函数及其性质(解析版)
微专题15 指数函数及其性质【方法技巧与总结】知识点一、指数函数的图象及性质：x y a =01a <<时图象 1a >时图象图象性质①定义域R ，值域(0,)+∞②01a =，即0x =时，1y =，图象都经过()0,1点 ③x a a =，即1x =时，y 等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤0x <时，1x a >0x >时，01x a <<⑤0x <时，01x a <<0x >时，1x a >⑥既不是奇函数，也不是偶函数（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论． （2）当01a <<时，x →+∞，0y →；当1a >时x →-∞，0y →． 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快． 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快． （3）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称．知识点二、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）①x y a =，②x y b =，③x y c =，④x y d =，则：01b a d c <<<<<又即：,()0x ∈+∞时，x x x x b a d c <<<（底大幂大） ,0()x ∈∞－时，x x x x b a d c >>>（2）特殊函数2x y =，3x y =，1()2x y =，1()3x y =的图像：【题型归纳目录】题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性 题型二：指数 (型) 函数的单调性应用(1): 复合函数的值域问题 题型三：指数 (型) 函数的单调性应用(2): 复合函数的单调问题 题型四：指数(型) 函数中的奇偶性及与单调性的综合 【典型例题】题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性 例1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2x af x -=的图象关于直线2x =对称，则a ＝（ ）A ．1B ．2C ．0D ．-2【答案】B【解析】函数2xy =的图象关于y 轴对称，将函数2x y =的图象向右平移2个单位长度可得函数22x y -=的图象，所以函数22x y -=的图象关于直线2x =对称，故2a =．故选：B例2．（2022·福建·莆田二中高一期中）已知函数()21,24,2xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若实数,,a b c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则22a c b c +++的取值范围为（ ）A ．()4,8B ．()4,16C ．()8,32D ．()16,32【答案】D【解析】作出函数()f x 的图象，如图，当0x <时，()()21120,1x xf x =-=-∈，由图可知，()()()()0,1f a f b f c ==∈，即()40,1c -∈ 得34c <<，则8216c <<，由()()f a f b =，即2121a b-=-，得1221a b -=-，求得222a b +=，∴()()222222216,32a cb c c a b c +++=+=⨯∈，故选：D例3．（2022·全国·高一课时练习）若222log xx x >>，则x 的取值范围为（ ）A ．()3,4B ．()4,+∞C ．()0,2D ．()1,2【答案】D【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数2y x =，2x y =，2log y x =的图象如下图所示，数形结合可知：当12x <<时，222log xx x >>，x 的取值范围为()1,2.故选：D.变式1．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）已知()2102,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，，则方程()220()xf a a R --=∈的根个数可能是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】ABD【解析】令()221xt t -=≥-，在同一坐标系中作出函数()(1)y f t t =≥-和直线y a =的图象，分析()0f t a -=的根：①当1a >时，方程()0f t a -=有一个根1t ，且12t >，方程122xt -=，对应2个x ，故方程()220()xf a a R --=∈有2个根；②当a ＝1时，方程()0f t a -=有两个根11t =-，22t =，方程122xt -=，对应1个x ，方程222x t -=对应2个x ，故方程()220()xf a a R --=∈有3个根.③当0＜a ＜1时，方程()0f t a -=有三个根110t -<<，201t <<，312t <<，方程122xt -=，对应2个x ，方程222x t -=对应2个x ，方程322x t -=对应2个x ，故方程()220()x f a a R --=∈有6个根.④当a ＝0时，方程()0f t a -=有两个根10t =，21t =，方程122xt -=，对应2个x ，方程222x t -=对应2个x ，故方程()220()xf a a R --=∈有4个根.故选：ABD.变式2．（多选题）（2022·全国·高一期末）(多选)已知函数()x f x a b =-的图象如图所示，则（ ）A ．a >1B ．0<a <1C ．b >1D ．0<b <1【答案】BD【解析】观察图象得，函数()x f x a b =-是单调递减的，因此，01a <<，图象与y 轴交点纵坐标0y 有：001y <<，而0x =时，1y b =-，于是得011b <-<，解得01b <<， 所以01a <<，01b <<.故选：BD变式3．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知函数()21xf x =-，实数a ，b 满足()()f a f b =()a b <，则（ ）A ．222a b +>B ．a ∃，b ∈R ，使得01a b <+<C ．222a b +=D ．0a b +<【答案】CD【解析】画出函数()21xf x =-的图象，如图所示．由图知1221a b -=-，则222a b +=，故A 错，C 对．由基本不等式可得22222222a b a b a b +=+>⋅=21a b +<，则0a b +<，故B 错，D 对．故选：CD ．变式4．（2022·全国·高一单元测试）函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________. 【答案】92【解析】当1x =时，012y a =+=，11x y a -∴=+过定点()1,2A ，又点A 在直线3mx ny +=上，23∴+=m n ，即()122m n -+=， 1m >，0n >，10m ∴->，()()()21121121212512121m n m n m n m n m n -⎛⎫⎛⎫∴+=+-+=++≥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()2112952212m n m n ⎛- +⋅= -⎝（当且仅当()2121m nm n -=-，即53m =，23n =时取等号），121m n ∴+-的最小值为92. 故答案为：92.变式5．（2022·江苏·高一专题练习）函数27x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ，P 在幂函数()f x x α=的图象上，则(3)f =_______；【答案】27【解析】因为函数27x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ， 所以由指数型函数性质得()2,8P ， 因为P 在幂函数()f x x α=的图象上 所以28α=，解得3α=，所以()3f x x =，()327f =.故答案为：27变式6．（2022·全国·高一课时练习）函数()120.58x y -=-的定义域为______．【答案】(),3-∞- 【解析】因为()120.580.58xxy -=-=-0.580x ->，则322x ->，即3x ->，解得3x <-，故函数()120.58x y -=-的定义域为(),3-∞-．故答案为：(),3-∞-.变式7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()2x f x a -[)2,+∞，则=a _________． 【答案】4【解析】由题意可知，不等式20x a -≥的解集为[)2,+∞，则220a -=，解得4a =， 当4a =时，由240x -≥，可得2242x ≥=，解得2x ≥，合乎题意. 故答案为：4.变式8．（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x )＝ax ＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的取值范围；(2)若f (x )的图象如图②所示，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围． 【解析】（1）由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0，1)，又f (0)＝1＋b <0，所以b 的取值范围为(－∞，－1)； （2）()f x 的图象过点(2,0)，(0,2)-，所以2002a b a b ⎧+=⎨+=-⎩，解得3,3a b ==-， 所以()(3)3x f x =-，在同一个坐标系中，画出函数|()|y f x =和y m =的图象， 观察图象可知，当0m =或3m ≥时，两图象有一个交点， 若|()|f x m =有且仅有一个实数解，m 的范围是：0m =或3m ≥.题型二：指数 (型) 函数的单调性应用(1): 复合函数的值域问题 例4．（2022·全国·高一专题练习）函数1423x x y +=++的值域为____. 【答案】()3,+∞ 【解析】令2(0)x t t =>，∴函数()1423x x y x R +=++∈化为()()222312(0)f t t t t t =++=++>，()3f t ∴>，即函数1423x x y +=++的值域为()3,+∞．故答案为：()3,+∞例5．（2022·全国·高一单元测试）函数221()2x xy -+=的值域为（ ）A ．1[,)2+∞B ．1(,]2-∞C ．(,2]-∞D ．(0,2]【答案】A【解析】函数221()2x x y -+=定义域为R ，222(1)11x x x -+=--+≤，又函数1()2x在R 上单调递减，则221(221)x x -+≥， 所以函数221()2x x y -+=的值域为1[,)2+∞.故选：A例6．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()4,+∞【解析】设()20,xt =∈+∞，由()212221x x xf x a +=+-+有两个零点， 即方程()2210t a t +-+=有两个正解，所以()21212Δ2402010a t t a t t ⎧=-->⎪+=->⎨⎪=>⎩，解得4a >，即()4,a ∈+∞， 故答案为：()4,+∞.变式9．（2022·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数113()934x xf x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[1,)-+∞上的值域为___________. 【答案】375,44⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2113113()9334334x x xx f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭∵[1,)x ∈-+∞则令(],3130xt ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝2334y t t =++在(]0,3递增∴375,44y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为：375,44⎛⎤⎥⎝⎦．变式10．（2022·陕西渭南·高一期末）方程23x x k +=的解在()1,2内，则k 的取值范围是___________. 【答案】()5,10【解析】令()23,1,2xy x x =+∈，显然该函数为增函数，122315,23210+⨯=+⨯=，值域为()5,10，故510k <<. 故答案为：()5,10.变式11．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）函数()()420x xf x x --=+>的值域是______．【答案】()0,2【解析】令()20,1xt -∈=，则2y t t =+，因为函数2y t t =+在0,1上单调递增，所以()20,2y t t =+∈，故()f x 的值域为()0,2．故答案为：()0,2.变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f （x ）＝ax +b （a ＞0，a ≠1），其中a ，b 均为实数． (1)若函数f （x ）的图象经过点A （0，2），B （1，3），求函数()1y f x =的值域； (2)如果函数f （x ）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求a +b 的值． 【解析】（1）函数f （x ）＝ax +b （a ＞0，a ≠1），其中a ，b 均为实数，函数f （x ）的图象经过点A （0，2），B （1，3），∴123b a b +=⎧⎨+=⎩，∴21a b =⎧⎨=⎩，∴函数f （x ）＝2x +1＞1，函数()1121xy f x ==+＜1． 又()1121x f x =+＞0，故函数()1y f x =的值域为（0，1）． （2）如果函数f （x ）的定义域和值域都是[﹣1，0]，若a ＞1，函数f （x ）＝ax +b 为增函数，∴1110b a b ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，求得a 、b 无解．若0＜a ＜1，函数f （x ）＝ax +b 为减函数，∴1011b a b ⎧+=⎪⎨⎪+=-⎩，求得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴a +b 32=-．变式13．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数()2422ax x f x ++=.(1)当1a =时，求()f x 的值域； (2)若()f x 有最大值16，求a 的值. 【解析】(1)当1a =时，()2422xx f x ++=.因为2t y =在R 上单调递增，且()2242222y x x x =++=+-≥-， 可得24221224x x ++-≥=，所以()2124f x -≥=， 故()f x 的值域为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.(2)令242t ax x =++，因为函数2t y =在其定义域内单调递增， 所以要使函数()f x 有最大值16，则242t ax x =++的最大值为4，故20,44424,22a a a a <⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+⨯-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得2a =-. 故a 的值为2-.变式14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点()2,16-． (1)求a ，并比较27()4f m +与1()4f m -的大小；(2)求函数224()xx g x a -+-=的值域．【解析】（1）由已知得：216a -=，解得14a =，所以()14xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为()14xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，2227117()()2()04424m m m m m +--=-+=-+>，所以271()()44f m f m +<-；（2）因为2224(1)33x x x -+-=----≤，所以2243116444x x -+--⎛⎫⎛⎫≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故()g x 的值域是[64,)+∞； 变式15．（2022·全国·高一专题练习）求下列函数的定义域、值域： (1)513x y -=(2)2231.2x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】(1)由函数解析式可知：15105x x -≥⇒≥，所以函数的定义域为：1|5x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭； 510x -≥，所以510331x -≥=，因此函数的值域为：[1,)+∞；(2)由函数的解析式可知：函数的定义域为R ，222323122x x xx y ---++⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为2223(1)44x x x -++=--+≤，所以223402216xx -++<≤=，因此函数的值域为：（0，16]. 变式16．（2022·山东·嘉祥县第一中学高一期中）设函数()()()10,1x xf x a k a a a -=-->≠是定义域R 的奇函数． (1)求k 值；(2)若()10f >，试判断函数单调性并求使不等式()()2210f x tx f x +++>在定义域上恒成立的t 的取值范围；(3)若()813f =，且()()222x xg x a a mf x -=+-在[)1,+∞上最小值为2-，求m 的值．【解析】（1）()f x 是定义域为R 的奇函数，()00f ∴=，即()110k --=，解得2k =；经检验成立 （2）因为函数()x xf x a a -=-（0a >且1a ≠），又()10f >，10a a∴->，又0a >， 1a ∴>，由于x y a =单调递增，x y a -=单调递减，故()f x 在R 上单调递增，不等式化为()()221f x tx f x +>--．221x tx x ∴+>--，即()2210x t x +++>恒成立，()2240t ∴∆=+-<，解得40t -<<；（3）由已知()813f =，得183a a -=，即23830a a --=，解得3a =，或13a =-（舍去），()()()()22233333333222x x x x x x x x g x m m ----∴=+----=+-，令()33x xt f x -==-，是增函数，1x ≥，()813t f ∴≥=，则()22282223y t mt t m m t ⎛⎫=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭，若83m ≥，当t m =时，2min 22y m =-=-，解得823m =<,不成立；若83m <，当83t =时，min 64162293y m =-+=-，解得258123m =<，成立； 所以2512m =． 题型三：指数 (型) 函数的单调性应用(2): 复合函数的单调问题例7．（2022·全国·高一单元测试）若函数241()3x axf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围为_________．【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是实数集上的减函数，所以由复合函数的单调性可知，函数24y x ax =-+在区间()1,2上单调递减， 函数24y x ax =-+的对称轴为2x a =，且开口向下，所以有21a ≤， 解得a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．例8．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）写出一个满足函数()+1221,>=+2,x x ag x x x x a ≤⎧-⎨-⎩在(),-∞+∞上单调递增的a 值_____________. 【答案】1（答案不唯一）【解析】因为()+1221,>=+2,x x ag x x x x a ≤⎧-⎨-⎩，当>x a 时()+121x g x -=在定义域上单调递增，当x a ≤时()()22+211x x g x x --==+-， 画出+121x y -=，2+2y x x -=的图象如下所示：要使函数()g x 在(),-∞+∞上单调递增，由图可知当1a ≤时均可满足函数()g x 在(),-∞+∞上单调递增； 故答案为：1（答案不唯一）例9．（多选题）（2022·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）函数2(65)1()()2x x f x -+-=在下列哪些区间内单调递减（ ） A ．(3),-∞ B ．(3,5)C ．(1,3)D ．(2,3)【答案】ACD【解析】由题意，函数1()2xy =在R 上单调递减，又由函数265y x x =-+-在(3),-∞上单调递增，在(3,)+∞上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数()f x 在(3),-∞上单调递减， 结合选项，可得选项ACD 符合题意. 故选：ACD.变式17．（2022·全国·高一单元测试）已知()()321,1,1xa x x f x a x ⎧-+≤=⎨>⎩是定义域为R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,+∞D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意，132001321a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，故230121a a a ⎧<⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩，解得12,23a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：B变式18．（2022·全国·高一单元测试）若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．x y < B ．||||x y < C ．x y > D ．||||x y >【答案】A【解析】设函数()23x x f x -=-，因为函数2,3x x y y -==-都是实数集上的增函数， 所以函数()23x x f x -=-也是实数集上的增函数，由22332323()()x y x y x x y y f x y x y -----<-⇒-<-⇒<⇒<， 故选：A变式19．（2022·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数2435x x y -+-=的单调递减区间是（ ）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】设243x x μ=-+-，在(,2]-∞单调递增，在[2,)+∞单调递减，5y μ=在(,)-∞+∞单调递增，根据“同增异减”可得，函数2435x x y -+-=的单调递减区间是[2,)+∞.故选：A.题型四：指数(型) 函数中的奇偶性及与单调性的综合例10．（2022·浙江温州·高一期中）已知函数()()21R 2x x f x x a-=∈+为奇函数；(1)求实数a 的值； (2)求()f x 的值域；(3)若关于x 的方程()()121001t f x b b ---=<<无实数解，求实数t 的取值范围．【解析】（1）由函数()212x xf x a -=+是定义域为R 的奇函数， 则()()f x f x -=-，即212122x x x x a a----=-++，即1221122x x x xa a --=-+⋅+， 所以122x x a a +⋅=+，即()()1210xa --=在R x ∈上恒成立，解得1a =；（2）由（1）得1a =，则()2121221212121x x x x x f x -+-===-+++，又函数2x y =单调递增，且20x >， 所以211x +>，20221x<<+， 所以()11f x -<<，即函数()f x 的值域为()1,1-； （3）由()()121001t f x b b ---=<<无实数解，即()121t f x b -=+无实数解，又()()22,2f x ∈-，所以112t b -+≤-或112t b -+≥， 即13t b -≤-（不成立），或11t b -≥， 又01b <<，所以10t -≤， 即1t ≤.例11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()240,12x xa a f x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)当()1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()002420022a a a f a a a -+-===++，解得2a =，当2a =时，()2121x x f x -=+，此时()()21122112x xx x f x f x -----===-++，所以2a =时，()2121x x f x -=+是奇函数.所以2a =；（2）由（1）可得()2121221212121x x x xxf x -+-===-+++， 因为20x >，可得211x +>，所以10121x <<+， 所以22021x-<-<+， 所以211121x -<-<+， 所以函数()f x 的值域为()1,1-； （3）由()220x mf x +->可得()22x mf x >-，即122221x x xm ->+-⋅，可得()()212122x xx m +->-对于()1,2x ∈恒成立， 令()211,3xt -=∈，则()()2121t t tt m t-=-++>，函数21y t t=-+在区间()1,3单调递增，所以221013133t t -+<-+=，所以103m ≥， 所以实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．例12．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）已知函数4()12xf x a a=-+（0a >且1a ≠）为定义在R 上的奇函数.(1)利用单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；(2)求不等式()22(4)0f x x f x ++->的解集.(3)若函数()()1g x kf x =-有零点，求实数k 的取值范围.【解析】（1）由题意得：()40102f a =-=+，解得：2a =，142()112221x x f x +=-=-++， 任取12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()()1212122121211111122222222222()112121212121212121x x x x x x x x x x x x f x f x +++++----=--+=-==++++++++因为12,x x R ∈，且12x x <，所以1211220x x ++-<，12210,210x x +>+>，所以()()()1221111222()02121x x x x f x f x ++--=<++，故()12()f x f x < 所以函数()f x 在R 上单调递增； （2）()22(4)0f x x f x ++->，即()22(4)f x x f x +>--，因为2()121x f x =-+为定义在R 上的奇函数， 所以()22(4)(4)f x x f x f x +>--=-，因为2()121x f x =-+为定义在R 上单调递增， 所以224x x x +>-， 解得：1x >或4x <-， 所以解集为：()(),41,-∞-+∞；（3）()()211121x g x kf x k ⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭有零点， 当0k =时，()()11g x kf x =-=-，没有零点，不合题意，舍去； 当0k ≠时，即21121x k-=+有根， 其中当0x >时，21x >，212x +>，20121x<<+， 故()2()10,121x f x =-∈+， 又因为2()121x f x =-+在R 上为奇函数， 所以当0x <时，()2()11,021x f x =-∈-+， 且()00f =，所以2()121x f x =-+在R 上的值域为()1,1-， 故()()11,00,1k∈-⋃， 解得：()(),11,k ∈-∞-+∞，所以实数k 的取值范围为()(),11,k ∈-∞-+∞.变式20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且()()+22.x f x g x =(1)求()f x 与()g x 的解析式；(2)若对()1,2x ∀∈，不等式()()()2220f x m g x -++恒成立，求实数m 的最大值． 【解析】（1）由题意()()+22xf xg x = ①，所以()()22xf xg x --+-= ，函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数与奇函数， 所以()()()(),f x f x g x g x =--=-所以()()22xf xg x --= ②，由①②解得()222x xf x -+=，22()4x xg x --=；（2）对()1,2x ∀∈，不等式()()()2220f x mg x -++恒成立，即()22222222024x x x xm --+--++，令22x x t -=-，315,24t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则222222x x t -+=+，不等式等价于()2222024t tm +-++在315,24t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立， 所以min 622m t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为60,0t t>>，所以6626t t t t+⋅= 当且仅当6t t =即3156,24t ⎛⎫= ⎪⎝⎭时取等号， 所以246,462m m +-，即m 的最大值为46 2.变式21．（2022·辽宁·高一阶段练习）设函数()()212x xk f x k -=+-⋅（x ∈R ，k ∈Z ）．(1)若()k f x 是偶函数，求实数k 的值；(2)若存在[]1,2x ∈，使得()()014f mf x x +≤成立，求实数m 的取值范围． 【解析】(1)（1）若()k f x 是偶函数，则()()k k f x f x -=，即()()212212x x x xk k --+-⋅=+-⋅，即()()()()221212122x x x x x xk k k ----=-⋅--⋅=--，则11k -=，即2k =．(2)（2）存在[]1,2x ∈，使得()()014f mf x x +≤成立， 即2422x x x m -⋅≤-+，则()242242212x x x x xm ----+≤=⋅+-，设2x t -=，因为12x ≤≤，所以1142t ≤≤， 所以()22422141x x t t --⋅+-=+-， 令()224125y t t t =+-=+-， 因为1142t ≤≤，所以当12t =时，函数取得最大值152144y =+-=，则54m ≤， 所以实数m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．变式22．（2022·河北沧州·高一期末）已知函数()22xxf x a -=+⋅为偶函数()a ∈R . (1)判断()f x 在[0,2]上的单调性并证明；(2)求函数()2()44x x g x mf x a -=-++⋅在[1,2]-上的最小值. 【解析】(1)()f x 为偶函数，()()f x f x ∴=-， 即2222x x x x a a --+⋅=+⋅，()()1212x x a a --⋅=-⋅，则10,1a a -==.所以()22x xf x -=+.()f x 在[0,2]为增函数,证明如下：任取1x ，2x ，且1202x x ≤<≤，()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+211212121211222222222x x x x x x x x x x +-=-+-=-+()()1212121212121212221212222122222x x x x x x x x x x x x x x x x ++++--⎛⎫=--=--=-⋅ ⎪⎝⎭，1202x x ≤<≤，12220x x ∴-<，12210x x +->， ()121212212202x x x x x x ++-∴-⋅<.即()()12f x f x <，∴()f x 在[0,2]上单调递增.(2)()()22244x x x xg x m --=-+++，令1222([1,2])2x x xx t x -=+=+∈-，结合题意及（1）的结论可知172,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ()22442222x x x x t --+=+-=-，22217()()22()22,4g x h t t mt t m m t ⎛⎫⎡⎤∴==--=---∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.①当174m ≥时，min 1725717()4162h t h m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭； ②当1724m <<时，2min ()()2h t h m m ==--； ③当2m ≤时，min ()(2)24h t h m ==-.综上，()2min24,2172,242571717,1624m m g x m m m m ⎧⎪-≤⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩.变式23．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2422ax x f x a ++=∈R ．当1a =时，()f x 的值域为______；若()f x 的最大值为16，则a 的值为______． 【答案】 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】当1a =时，()2422xx f x ++=，设242t x x =++，则()2222t x =+-≥-，因为2x y =在R 上是增函数，所以24221224x x ++-≥=，即()14f x ≥，所以函数的值域是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；要使函数()f x 的最大值为16，则242t ax x =++的最大值为4，故2042444a a a <⎧⎪⎨⨯-=⎪⎩，解得2a =-．故答案为：1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；2-【过关测试】 一、单选题1．（2022·河南南阳·高一期中）已知函数()32,1,12,1,x x f x x x -⎧<-=⎨-≥-⎩若()()20f f a -+=，则实数=a （ ）A ．2-B ．2C ．4D ．6【答案】B【解析】由题知()()222422f --===-，()()20f f a -+=所以()4f a =-，因为1x <-时，()22xf x -=>，所以，1a ≥-， 所以()3124f a a =-=-，解得2a =.故选：B2．（2022·天津·高一期末）设x ∈R ，则“|2|<1x -”是“3<27x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由|2|<1x -可知，1<2<1x --，即1<<3x ，根据指数函数性质，3x y =是R 上递增的指数函数，3<27x 即33<3x ，故<3x ，显然1<<3x 可推出<3x ，但反之不成立，故“|2|<1x -”是“3<27x ”的充分不必要条件. 故选：A3．（2022·山东·嘉祥县第一中学高一期中）已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()133x f x =-，则()0f x ≥的解集为（ ）A ．[)[)1,01,∞-⋃+B ．[]1,1-C ．[][)1,01,-⋃+∞D ．[)(]1,00,1-【答案】C【解析】因为函数()f x 为R 上的奇函数， 所以()00f =，又当0x <时，()133xf x =-，当0x >时，0x -<，则()()133xf x f x --=-=-，所以0x >时，()1133xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则由()0f x ≥可得，011033x x >⎧⎪⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或01303x x <⎧⎪⎨-≥⎪⎩或0x =，解得1x ≥或10x -≤<或0x =，综上可得，不等式()0f x ≥的解集为[][)1,01,-⋃+∞． 故选：C ．4．（2022·全国·高一课时练习） 若存在正数x ，使得关于x 的不等式()31xx a -<成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．()0,+∞【答案】C【解析】由题意知13x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立，即13xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭成立．令()13xf x x ⎛-⎫⎪⎝⎭=，显然()f x 在()0,+∞上单调递增，所以0x ∀>，()()01f x f >=-， 所以实数a 的取值范围是()1,-+∞． 故选：C5．（2022·全国·高一课时练习）若实数x ，y 满足2022202320222023x y y x --+<+，则（ ） A ．1x y> B ．1x y< C ．0x y -< D ．0x y ->【答案】C【解析】令()20222023x xf x -=-，由于2022x y =，2023x y -=-均为R 上的增函数，所以()20222023x x f x -=-是R 上的增函数．因为2022202320222023x y y x --+<+，所以2022202320222023x x y y ---<-，即()()f x f y <，所以x y <，所以0x y -<． 故选：C ．6．（2022·全国·高一单元测试）在同一坐标系中，函数2y ax bx =+与函数xy b =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】函数x y b =的是指数函数，0b >且1b ≠，排除选项C ，如果0a >，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：b x a=-， 所以B 正确；对称轴在x 轴左侧，C 不正确； 如果0a <，二次函数有一个零点0bx a=->，所以D 不正确． 故选：B ．7．（2022·全国·高一专题练习）若2525x x y y ---≤-，则有（ ） A ．0x y +≥ B ．0x y +≤ C ．0x y -≤ D ．0x y -≥【答案】B【解析】构造函数()25x xf x -=-，易得函数()f x 单调递增，由2525x x y y ---≤-，可得()()f x f y ≤-，0x y x y ∴≤-⇒+≤， 故选：B.8．（2022·云南·昆明市官渡区第一中学高一阶段练习）已知函数()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩若()()22f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,1]- B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(,1]-∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时()3xf x -=单调递减，且()1f x ≥，当0x >时，3()f x x =-单调递减，且()0f x <，所以函数()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩在定义域上单调递减，因为()22()f a f a -≥-，所以22a a -≤-，解得21a -≤≤，即实数a 的取值范围为：[2,1]-. 故选：A. 二、多选题9．（2022·山东·青岛二中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()()1112x xa f x a a =->+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()g x 是偶函数 C ．()f x 在R 上是增函数 D ．()g x 的值域是{}1,0-【答案】ACD【解析】A 选项：()()()1211122121x x x x x x xa a a a f x a a a ---=-==+++，()()()112121x xxx a a f x a a -----==++，∴()()f x f x -=-， ∴()f x 为奇函数，故A 正确；B 选项：∵()()g x f x =⎡⎤⎣⎦∴()()11g f ⎡⎤=⎣⎦，()()11g f ⎡⎤-=-⎣⎦，∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x =--，∴()()11f f =--，∴()()11g g ≠-，故B 错误；C 选项：()()11111111112121221x x x x x xa a f x a a a a +-=-=-=--=-++++， ∵1a >，∴x a 为增函数，∴11xa +为减函数， ∴()1121xf x a =-+为增函数，故C 正确； D 选项：∵0x a >，∴11x a +>，∴111xa <+，∴()1122f x -<<． 又∵()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，∴()g x 的值域为{}1,0-，故D 正确． 故选：ACD ．10．（2022·河南南阳·高一期中）不等式34270x x +-+≥成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．{}3,4x ∈ B ．0x ≤C ．1x ≥D ．02x ≤≤【答案】AB【解析】令20x t =>，所以，不等式()()3242787170x x t t t t +-+=-+=--≥，解得7t ≥或01t <≤所以，27x ≥或021x <≤，解得2log 7x ≥或0x ≤， 所以，不等式34270x x +-+≥的解集为(][)2,0log 7,-∞+∞，因为所求的是不等式34270x x +-+≥成立的一个充分不必要条件， 故只需满足是(][)2,0log 7,-∞+∞真子集即可，所以，只有AB 选项满足，CD 选项不满足. 故选：AB11．（2022·全国·高一课时练习）（多选）定义在[]1,1-上的函数()2943x xf x =-⋅+⋅，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的单调递减区间是[]0,1B ．()f x 的单调递增区间是[]1,1-C ．()f x 的最大值是()02f =D ．()f x 的最小值是()16f =-【答案】ACD【解析】设3x t =，[]1,1x ∈-，则3x t =是增函数，且1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又函数()2224212y t t t =-+=--+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,3上单调递减，因此()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，故A 正确，B 错误；()()max 02f x f ==，故C 正确；()1019f -=，()16f =-，因此()f x 的最小值是6-，故D 正确． 故选:ACD ． 三、填空题12．（2022·山东省青岛第十九中学高一期中）若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 对于R 上任意两个不相等实数12,x x ，不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围为______． 【答案】[)4,8【解析】若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩对于R 上任意两个不相等实数12,x x ， 不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则函数()f x 在R 上单调递增，则1402422a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩，解得：48a ≤<，故实数a 的取值范围为[)4,8, 故答案为：[)4,8．13．（2022·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））已知函数()()10x f x a x -=≥的图象经过点1(2,),2其中0a >且1a ≠，则函数()(0)y f x x =≥的值域是________． 【答案】(]02，【解析】因为()()10x f x a x -=≥的图象经过点1(2,),2所以2112a -=，解得12a =，则()()1102x f x x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，因为0x ≥，所以11x -≥-，所以12102x -⎛⎫< ⎝⎭≤⎪，即函数()(0)y f x x =≥的值域是(]02，， 故答案为：(]02，14．（2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知函数()142f x x x =+-．若存在()2,x ∈+∞，使得()42a a f x ≤-成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】[2,)+∞【解析】因为()2,x ∈+∞，所以20x ->， 所以()1144(2)822f x x x x x =+=-++-- 124(2)8122x x ≥-⋅=-， 当且仅当14(2)2x x -=-，即52x =时取等号，所以min ()12f x =，因为存在()2,x ∈+∞，使得()42a af x ≤-成立， 所以()min 42a af x ≤-，即1242a a ≤-，所以()222120a a --≥，即23a ≤-（舍去），或24a ≥，得2a ≥，所以a 的取值范围为[2,)+∞， 故答案为：[2,)+∞15．（2022·全国·高一课时练习）若函数()()22133xa x f x +-+=在(),1-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______．【答案】1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】因为3x y =是R 上的增函数，()2213y x a x =+-+在21,2a -⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，所以，根据复合函数单调性，要使()f x 在(),1-∞上单调递减，需2112a --≥，解得12a ≤-，所以，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．故答案为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭16．（2022·全国·高一课时练习）若函数1()1x f x a -=-（0a >，且1a ≠）在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是______． 【答案】35,46⎛⎤⎥⎝⎦【解析】函数11x y a -=-（0a >，且1a ≠）的图象是将函数x y a =（0a >，且1a ≠）的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，故函数1()1x f x a -=-（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()1,0．当01a <<时，结合函数()f x 的图象：若函数()f x 在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()()01321232112a a a a ⎧⎪<<⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，解得3546a <≤．当1a >时，结合函数()f x 的图象：若()f x 在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()()1321232112a a a a ⎧⎪>⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，无实数解． 综上，实数a 的取值范围为35,46⎛⎤⎥⎝⎦．解法二： 若()32112a a x -<<<，则110x a -->，所以()11x f x a -=-在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，不符合题意；当01a <<时，函数1x y a -=在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，要使函数1()1x f x a -=-在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则110x a -->在区间()321,2a a -⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()()01321232112a a a a ⎧⎪<<⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，解得3546a <≤．故实数a 的取值范围是35,46⎛⎤ ⎥⎝⎦．故答案为：35,46⎛⎤⎥⎝⎦.四、解答题17．（2022·山东·青岛二中高一期中）已知函数()()2,R f x x bx c b c =++∈，且()0f x ≤的解集为[]1,2-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()()21mf x x m >--（其中0m>）；(3)设()()232xf xg x --=，若对任意的1x ，[]21,2x ∈，都有()()12g x g x t -≤，求t 的取值范围.【解析】（1）由()0f x ≤的解集为[1,2]-可得1,2-是方程20x bx c ++=的两个根，所以122b c -+=-⎧⎨-=⎩，解得1,2b c =-=-，所以2()2f x x x =--； （2）()()21mf x x m >--，化简有()222(1)m x x x m -->--即()2220mx m x -++>，可整理得()()()2100mx x m -->>， ①当2m =时，21m=，不等式的解集为()(),11-∞⋃+∞，； ②当02m <<时，21m>，不等式的解集为()2,1,m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；③当2m >时，21m<，不等式的解集为()2,1,m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（3）由题意，()()21322xx f x g x ---==，对任意的[]12,1,2x x ∈，都有12|()()|g x g x t -≤， 则当[]1,2x ∈时，max min ()()g x g x t -≤，因为当[]1,2x ∈时，()g x 单调递增，所以()max 22()g x g ==，()0min 1()21g x g ===，所以max min 2)1(1()g x g x =--=， 所以1t ≥，即t 的取值范围为[)1,+∞18．（2022·广东·深圳外国语学校高一期中）已知函数()f x 对任意的实数,m n 都有()()()1f m n f m f n +=+-，且当0x >时，有()1f x >．(1)求证：()f x 在R 上为增函数；(2)若()()923292x x xf f k -⋅+⋅->对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】（1）设12x x <，令2m n x +=，1n x =，()()()22111f x f x x f x ∴=-+-， 则()()()21211f x f x f x x -=--；210x x ->，()211f x x ∴->，()()210f x f x ∴->，()f x ∴在R 上为增函数.（2）由题意得：()()()92329392312x x x x x f f k f k -⋅+⋅-=⋅-⋅-+>，()39231x x f k ∴⋅-⋅->，令0m n ==，则()()0201f f =-，解得：()01f =，()f x 为R 上的增函数，39230x x k ∴⋅-⋅->，3923x x k ∴<⋅-⋅，令31x t =≥，设()()2321g t t t t =-≥，()()min 11g t g ∴==，1k ∴<，即实数k 的取值范围为(),1-∞.19．（2022·福建省福州高级中学高一期末）已知函数()421x x f x k =+⋅+，()421x x g x =++． (1)若对于任意的R x ∈，()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围； (2)若()()()f x h xg x =，且()h x 的最小值为2-，求实数k 的值． 【解析】（1）由()0f x >，得4210x xk +⋅+>恒成立，所以22x x k ->--对于任意的R x ∈，恒成立，因为()22222222x x x x x x -----=-+≤-⋅-，当且仅当22x x -=，即=0x 时取等号， 所以2k >-，即实数k 的取值范围为(2,)-+∞（2）()421221()111()421421212x x x x x x x x x x f x k k k h x g x +⋅+⋅--===+=+++++++，令1121221322x xx xt =++≥⋅=，当且仅当122x x =，即=0x 时取等号，则11(3)k y t t-=+≥， 当1k 时，11(3)k y t t -=+≥为减函数，则21,3k y +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦无最小值，舍去， 当=1k 时，=1y 最小值不是2-，舍去， 当1k <时，11(3)k y t t -=+≥为增函数，则2,13k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，最小值为223k +=-，解得=8k -，综上，=8k -20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ．(1)求a b +的值；(2)当3x ≤-时，函数11xy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方，求实数t 的取值范围．【解析】（1）∵函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ，∴319ba ba =⎧⎨=⎩∴29a =，∴3a =-（舍）或3a =，13b =，∴103a b +=； （2）由（1）得当3x ≤-时，函数133xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方， 即当3x ≤-时，不等式13203xx t ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭恒成立，亦即当3x ≤-时，min 1323x t x ⎡⎤⎛⎫<+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．设()()13233xg x x x ⎛⎫=+-≤- ⎪⎝⎭，∵13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，2y x =-在(],3-∞-上单调递减，∴()1323xg x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，∴()()min 336g x g =-=， ∴36t <．。
指数函数及其性质知识点及题型分类
指数函数及其性质【知识点分析及例题】1、指数函数的概念：函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R.注意： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31x y =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x y =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在．③如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了． y=a x0<a<1时图象 a>1时图象图象性质 ①定义域R ，值域 （0，+∞） ②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x >1 x>0时，0<a x <1 ⑤x<0时，0<a x <1 x>0时，a x >1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。
当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数x y a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。
（4）利用函数的单调性，结合图象还可以看出：在[a ，b]上)10()(≠>=a a a x f x 且，值域是)](),([b f a f 或)](),([a f b f（5）若0≠x ，则1)(≠x f ；)(x f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （6）对于指数函数)10()(≠>=a a a x f x 且，总有a f =)1(； 3、指数函数底数变化与图像分布规律① xy a = ②xy b = ③xy c = ④x y d =注意：（1）0＜b ＜a ＜1＜d ＜c（2）x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） （3）x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> 4、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法（中间量为1） (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可．【例题】题型一、指数函数的概念例1、指出下列函数哪些是指数函数？（1）4x y =；（2）4y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-；（5）1(21)(1)2x y a a a =->≠且；例2、函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值．题型二、指数函数的图像例3、函数与的图象大致是( ).例4、函数（）的图象是（）例5、若，，则函数的图象一定在（）A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限例6、指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图像如图所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ]A．a＜b＜1＜c＜d B.a＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b题型三、函数的定义域、值域例7、求下列函数的定义域、值域.(1)313xxy=+；(2)y=4x-2x+1；(3)21139x--；(4)211xxy a-+=(a为大于1的常数)例8、已知，当其值域为时，的取值范围是；函数的值域是__________ ．题型四、比较大小例9、判断下列各数的大小关系(1)1.8a与 1.8a+1；(2)24-231(),3,()331；(3)22.5，(2.5)0， 2.51()2；(4)23(0,1)a a a a>≠与例10、比较下列各组数的大小：（1）若，比较与；（2）若，比较与；（3）若，比较与；（4）若，且，比较a与b；（5）若，且，比较a与b．例11、已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．例12、讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，并求其值域．题型六、判断函数的奇偶性例13、判断下列函数的奇偶性：)()21121()(x x f xϕ+-= (()x ϕ为奇函数)例14、已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.例15、 某乡镇现在人均粮食占有量为360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%．设x 年后年人均粮食占有量为y 千克，求出函数y 关于x 的解析式．例16、设12()2x x af x b+-+=+（a ，b 为实常数）。
指数函数的性质及常考题型(含解析)
【变式 1-2】下列函数：① = 3 ；② = 6 ；③ = 6 ⋅ 2 ；④ = 8 + 1；⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有（
A．0 个
）
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可；
【解答过程】解：形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数，其解析式需满足①底数为大于
数
函
数
︶
如图是指数函数（1）y＝ax，
（2）y＝bx，
（3）y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
3．比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法（分三种情况）
：
（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；
培
优
篇
高
【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2)，(2,4)．
中
（1）求()的解析式；
数
（2）解不等式( + 3) > (4)．
学
︵
指
数
函
数
︶
【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1)．
（1）求实数 b；
B．0 < < 1,0 < < 1
指
C．0 < < 1, > 1
D． > 1,0 < < 1
数
函
【变式 6-2】如图中，①②③④中不属于函数 = 3 ， = 2 ， =
高中数学必修一基本初等函数知识点与典型例题总结
( a ,c ( 0 ,1 ) U ( 1 , ) ,b 0 )
c
2) 对数恒等式
a lo g a N N ( a 0 且 a 1 , N 0 )
3) 四个重要推论
①logabllggabllnnab; ②logamNnm nlogaN;
③logablog1ba;
④ lo g ab lo g bc lo g ac.
由f x是奇函数,图像关于原点对称.
所以f x在( ,- a )是增函数,
在(- a ,0)是减函数.
综上,函数 f x x a(a>0)的单调
区间是
x f x在(- a ,0),(0, a )是减函数.
在( ,- a ),( a ,+)是增函数,
单调区间的分界点为: a的平方根
5.函数f x x a (a>0)的值域
①找不到证明问题的切入口．如第(1)问，很 多考生不知道求其定义域．
②不能正确进行分类讨论．若对数或指数的 底数中含有参数，一般要进行分类讨论.
一般地，函数 y x x 是 自 变 量 ， 是 常 数
叫做幂函数
y
y x, y x2, y x3,
1
y x2, y x1
的图象.
O
x
幂函数的性质
当x1x2 >a时,由x1,x2是任意的,知x1,x2可 无限接近.而x1,x2在同一个区间取值, 知x1,x2 ( a,+)时,x1x2 >a都成立. 此时,f(x2 )>f (x1). 所以x ( a,+)时,f(x)是增函数.
同时可知,x (0, a )时,f(x)是减函数.
⑵. 当x∈ (-∞,0)时,确定某单调区间
高中数学必修1指数函数的基本性质
高中数学必修1指数函数的基本性质指数函数是高中数学中的重要概念之一。
本文将介绍指数函数的基本性质，以帮助理解和应用该函数。
1. 指数函数的定义指数函数是以底数为 $a$ 的指数形式表示的函数，通常写作 $y = a^x$。
其中，底数 $a$ 是一个常数，称为底数；$x$ 是自变量，表示指数；$y$ 是因变量，表示函数值。
2. 指数函数的图像指数函数的图像特点如下：- 当底数 $a > 1$ 时，指数函数是递增函数。
图像在 $x$ 轴的右侧；当 $a < 1$ 时，指数函数是递减函数。
图像在 $x$ 轴的左侧。
- 当 $a > 1$ 时，图像的增长速度逐渐加快；当 $0 < a < 1$ 时，图像的增长速度逐渐减慢。
- 当 $a > 1$ 时，图像在 $y$ 轴上方向无界；当 $0 < a < 1$ 时，图像在 $y$ 轴下方向无界。
3. 指数函数的基本性质指数函数具有以下基本性质：- 任何实数 $x$ 的 $0$ 次方等于 $1$，即 $a^0 = 1$。
- 指数函数的定义域是所有实数，即 $(-\infty, \infty)$。
- 当底数 $a > 0$ 且不等于 $1$ 时，指数函数的值域是 $(0,+\infty)$；当底数 $a < 0$ 时，指数函数的值域是 $(-\infty, 0)$。
- 指数函数的零点不存在。
- 当底数 $a > 1$ 时，指数函数在 $x$ 轴的右侧具有水平渐近线$y = 0$；当 $0 < a < 1$ 时，指数函数在 $x$ 轴的右侧具有水平渐近线 $y = 0$。
4. 指数函数的特殊性质指数函数还具有以下特殊性质：- 当底数 $a > 1$ 时，指数函数在 $x = 0$ 处有一个特殊点 $(0, 1)$。
- 当底数 $a < 0$ 时，指数函数的图像不完整，因为指数函数只有在底数为正数的情况下定义。
高中数学必修1基本初等函数常考题型_指数函数和性质
指数函数及其性质【知识梳理】1．指数函数的定义函数xy a =(0a >且1a ≠)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 2．指数函数的图象和性质1a > 01a <<图 象性 质定义域R值域 ()0,+∞过定点 过点()0,1即x =0时，y =1单调性是R 上的增函数是R 上的减函数【常考题型】题型一、指数函数的概念【例1】 (1)下列函数：①23xy =⋅；②13x y +=；③3x y =；④3y x =.其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)函数()22xy a a =-是指数函数，则( ) A ．1a =或3a = B ．1a = C ．3a =D ．0a >且1a ≠[解析] (1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，13x y +=的指数是1x +，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，3xy =的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，3y x =中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．(2)由指数函数定义知()22101a a a ⎧-=⎪⎨>≠⎪⎩且，所以解得3a =.[答案] (1)B (2)C 【类题通法】判断一个函数是否为指数函数的方法判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征： (1)底数0a >，且1a ≠. (2)xa 的系数为1.(3)xy a =中“a 是常数”，x 为自变量，自变量在指数位置上． 【对点训练】下列函数中是指数函数的是________(填序号)．①2xy =⋅；②12x y -=；③2xy π⎛⎫= ⎪⎝⎭；④x y x =；⑤13y x=-；⑥13y x =.解析：①中指数式x的系数不为1，故不是指数函数；②中11222x x y -==⋅，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x ，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x ，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.答案：③题型二、指数函数的图象问题【例2】 (1)如图是指数函数①xy a =，②xy b =，③xy c =，④xy d =的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系为( )A ．1a b c d <<<<B ．1b a d c <<<<C ．1a b c d <<<<D ．1a b d c <<<< (2)函数33x y a-=+(0a >，且1a ≠)的图象过定点________．[解析] (1)由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点()1,0作直线1x =，如图所示，在第一象限直线1x =与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1d c <<，1b a <<，从而可知a ，b ，c ，d 与1的大小关系为1b a d c <<<<.(2)法一：因为指数函数xy a =(0a >，且1a ≠)的图象过定点()0,1，所以在函数33x y a -=+中，令3x =，得134y =+=，即函数的图象过定点()3,4．法二：将原函数变形，得33x y a--=，然后把3y -看作是()3x -的指数函数，所以当30x -=时，31y -=，即3x =，4y =，所以原函数的图象过定点()3,4．[答案] (1)B (2)()3,4 【类题通法】底数a 对函数图象的影响(1)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当1a >时，指数函数的图象“上升”；当01a <<时，指数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是1a >，还是01a <<，在第一象限底数越大，函数图象越靠近y 轴．当1a b >>时，①若0x >，则1xxa b >>；②若0x <，则10xxb a >>>.当10a b >>>时，①若0x >，则10xxa b >>>；②若0x <，则1xxb a >>.【对点训练】若函数()1x y a b =+-(0a >，且1a ≠)的图象不经过第二象限，则有( ) A ．1a >且1b < B ．01a <<且1b ≤ C ．01a <<且0b >D ．1a >且0b ≤解析：选D 由指数函数图象的特征可知01a <<时，函数()1x y a b =+-(0a >，且1a ≠)的图象必经过第二象限，故排除选项B 、C.又函数()1xy a b =+-(0a >，且1a ≠)的图象不经过第二象限，则其图象与y 轴的交点不在x 轴上方，所以当0x =时，()010y a b =+-≤，即0b ≤，故选项D 正确.题型三、与指数函数有关的定义域、值域问题【例3】 求下列函数的定义域和值域：(1)y =(2)142x y -=；(3)23y ⎛= ⎪⎝⎭.[解] (1)要使函数式有意义，则130x-≥，即0313x≤=， 因为函数3xy =在R 上是增函数，所以0x ≤，故函数y (],0-∞．因为0x ≤，所以031x<≤，所以0131x≤-<，[)0,1，即函数y [)0,1．(2)要使函数式有意义，则40x -≠，解得4x ≠，所以函数142x y -=的定义域为{}R 4x x ∈≠．因为104x ≠-，所以1421x -≠，即函数142x y -=的值域为{}01y y y >≠且．(3)要使函数式有意义，则0x -≥，解得0x =，所以函数23xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为{}0x x =．而23xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭0213⎛⎫== ⎪⎝⎭，则函数23xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为{}1y y =．【类题通法】指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是xy a =型还是()f x y a=型，前者的定义域是R ，后者的定义域与()f x 的定义域一致，而求()x y f a =型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为()0,+∞，切记准确运用指数函数的单调性．【对点训练】求函数22312x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域和值域．解：定义域为R .∵()2223144x x x --=--≥-，∴22312x x --⎛⎫⎪⎝⎭41162-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ .又∵223102x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴函数22312x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,16．【练习反馈】1．已知10n m >>>，则指数函数①xy m =，②xy n =的图象为( )解析：选C 由于01m n <<<，所以xy m =与xy n =都是减函数，故排除A 、B ，作直线1x =与两个曲线相交，交点在下面的是函数xy m =的图象，故选C.2．若函数()12xy a =-是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值围为( )A.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．(),0-∞C.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 解析：选B 由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数121a ->，解得0a <.3．指数函数()y f x =的图象过点()2,4，那么()()24f f ⋅=________. 解析：设()x f x a =(0a >且1a ≠)， 又()224f a ==，∴()()24232444464f f a a ⋅=⋅=⋅==.答案：644．函数()113xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]1,2x ∈-的值域为________．解析：∵12x -≤≤，∴11393x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭.∴811293x⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭.∴值域为8,29⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.答案：8,29⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．已知函数()1x f x a -=(0x ≥)的图象经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0a >且1a ≠.(1)求a 的值；(2)求函数()y f x =(0x ≥)的值域． 解：(1)因为函数图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2112a -=，则12a =. (2)()112x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭(0x ≥)，由0x ≥得，11x -≥-，于是11110222x --⎛⎫⎛⎫<≤= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以函数的值域为(]0,2．。
高中数学必修基本初等函数常考题型指数函数及其性质
指数函数及其性质【知识梳理】1．指数函数的定义函数y a x(a0 且 a 1 )叫做指数函数，此中x 是自变量，函数的定义域为R .2．指数函数的图象和性质图象定义域性值域质过定点过点 0,1 即x0 时， y 1单一性是 R 上的增函数是 R 上的减函数【常考题型】题型一、指数函数的观点【例 1】(1) 以下函数：① y 2 3x；② y3x 1；③ y3x；④ y x3.此中，指数函数的个数是 ()A．0B．1C．2D．3(2) 函数y a 22) a x是指数函数，则(A．a 1或a 3B．a 1C．a 3D．a 0且a 1 [分析](1) ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y3x 1的指数是x1x ，故②不是指数函数；，不是自变量③中， y3x的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有 3x一项，故③是指数函数；④中， y x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．因此只有③是指数函数．21，因此解得 a 3.(2) 由指数函数定义知a2a0且 a1[ 答案 ] (1)B(2)C【类题通法】判断一个函数能否为指数函数的方法判断一个函数是不是指数函数，其重点是剖析该函数能否具备指数函数三大特点：(1)底数 a 0 ，且 a 1 .(2) a x的系数为1.(3)y a x中“ a 是常数”， x 为自变量，自变量在指数地点上．【对点训练】以下函数中是指数函数的是________( 填序号 ) ．x x2x 1；③y；④ y x x；① y 2 2 ；② y211⑤ y3x3.；⑥ yxx1，故不是指数函数；②中y2x 112x，指数式2x分析：①中指数式 2 的系数不为2的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x ，不知足底数是独一确立的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x ，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是独一确立的值，故不是指数函数．故填③ .答案：③题型二、指数函数的图象问题【例 2】(1)如图是指数函数① y a x，② y b x，③ y c x，④ y d x的图象，则 a ，b， c ，d与1的大小关系为()A．a b1c dB．b a1d cC．1a b c dD．a b1d c(2) 函数y a x 3 3 (a0 ，且 a1)的图象过定点________．[分析](1) 由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点 1,0 作直线 x1 ，如下图， 在第一象限内直线 x 1 与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1 dc ， b a 1，进而可知a ，b ，c ，d 与 1 的大小关系为b a 1d c .(2) 法一：因为指数函数ya x ( a 0 ，且 a1 ) 的图象过定点 0,1 ，因此在函数ya x 33 中，令 x 3 ，得 y1 3 4 ，即函数的图象过定点 3,4 ．法二：将原函数变形，得y 3 a x 3 ，而后把 y 3 看作是 x 3的指数函数，因此当x 3 0 时， y 31，即 x3 ， y4 ，因此原函数的图象过定点3,4 ．[ 答案 ] (1)B (2)3,4【类题通法】底数 a 对函数图象的影响(1)1a1 时，指数函数的图象底数 a 与 的大小关系决定了指数函数图象的“起落”：当“上涨”；当 0 a 1时，指数函数的图象“降落”．(2) 底数的大小决定了图象相对地点的高低：无论是a 1 ，仍是 0a 1 ，在第一象限内底数越大，函数图象越凑近y 轴．当 a b 1时，①若 x 0 ，则 a x b x 1 ； ②若 x0，则 1 b x a x0 .当 1 ab 0 时，①若②若x 0 ，则 1 a x b x 0 ；x0 ，则 b xa x 1 .【对点训练】若函数 ya xb 1 ( a 0 ，且 a1 ) 的图象不经过第二象限，则有 ()A ． a 1且 b 1B ． 0 a 1 b 1且C ． 0a 1且b 0 D ． a 1且 b 0分析：选 D 由指数函数图象的特点可知0 a1时，函数 y a xb 1 ( a 0 ，且 a 1 )的图象必经过第二象限，故清除选项 B 、 C.又函数 ya xb 1 ( a0 ，且 a1 ) 的图象不 经过第二象限，则其图象与 y 轴的交点不在 x 轴上方，因此当 x 0 时， ya 0b 10 ，即 b0，应选项 D 正确.题型三、与指数函数相关的定义域、值域问题【例 3】求以下函数的定义域和值域：3x；(2) y12 x(1) y 1 2x 4； (3) y.3[ 解 ] (1) 要使函数式存心义，则1 3x 0 ，即 3x 1 30，因为函数 y 3x 在 R 上是增函数，因此 x 0 ，故函数 y ＝ 1 3x 的定义域为,0 ．因为 x 0，因此 0 3x 1，因此 0 1 3x1 ，因此1 3x0,1 ，即函数 y1 3x 的值域为 0,1 ．1(2) 要 使 函 数 式 有 意 义 ， 则 x4 0 ， 解 得 x 4 ， 所 以 函 数 y 2x 4 的 定 义 域 为x R x 4 ．11 1因为0 ，因此 2 x 4 1 ，即函数 y 2x 4 的值域为 y y 0且y 1 ．x 42 x(3) 要使函数式存心义，则x 0 ，解得 x0 ，因此函数的定义域为y32 x2x x 021，则函数．而 y3y33x的值域为y y 1 ．【类题通法】指数型函数的定义域、值域的求法(1) 求与指数函数相关的函数的定义域时，第一察看函数是y a x 型仍是 y a f x 型，前者的定义域是 R ，后者的定义域与 f x 的定义域一致， 而求 yf a x 型函数的定义域时，常常转变为解指数不等式(组)．(2) 求与指数函数相关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为0,，牢记正确运用指数函数的单一性．【对点训练】x 22x 31的定义域和值域．求函数 y2解：定义域为R .x 22 x 34∵ x 224 4，∴1116 .2x 3 x 122x 22 x 3x 22 x 3又∵1 0 ，∴函数 y1 的值域为0,16 ．22【练习反应】1．已知 1 n m0 ，则指数函数① y m x ，② y n x 的图象为 ()分析：选 C 因为0 mn 1 ，因此 y m x 与 y n x 都是减函数，故清除A 、B ，作直线 x1 与两个曲线订交，交点在下边的是函数ym x 的图象，应选 C.2．若函数 y 1 2a xa 的取值范围为 ()是实数集 R 上的增函数，则实数A.1 , B ．,02C.,1D.1 , 1222分析：选 B 由题意知，此函数为指数函数， 且为实数集 R 上的增函数，因此底数 1 2a 1，解得 a0 .3．指数函数 y f x 的图象过点 2,4 ，那么 f 2 f 4________.分析：设 f x a x ( a0 且 a 1 ) ，又 f2 a 2 4 ，∴ f 2 f 4 a 2 a 4 4 4243 64 .答案：64x4．函数 fx1 1 ， x1,2 的值域为 ________．32，∴11 x分析：∵1 x3 .938x∴1 12 .9 3∴值域为8,2 .9答案：8, 295．已知函数 f x a x 1 ( x 0 ) 的图象经过点2, 1 ，此中 a0 且 a 1.2(1) 求 a 的值；(2) 求函数 y f x ( x 0 ) 的值域．解： (1) 因为函数图象过点2,1，2因此 a 211 ，则 a 1 .2 21 x 1(2)f x(x 0 ) ，2由 x0 得， x 11 ，1 x11于是1 2 .22因此函数的值域为0,2 ．。
高一数学指数函数题型
指数函数是基本初等函数之一，以下是一些常见的高一数学指数函数题型：
1.
求定义域和值域：确定函数的定义域和值域，包括对底数的限制和指数的取值范围进行分析。
2.
指数函数的图像：绘制指数函数的图像，包括通过描点法或使用函数绘图软件来观察函数的性质，如单调性、奇偶性等。
3.
比较大小：比较指数函数值的大小，利用指数函数的单调性进行大小关系的判断。
4.
指数函数的复合函数：涉及指数函数与其他函数的复合，如指数与一次函数、二次函数等的复合。
5.
指数函数的求值：给定函数值或自变量的值，求出对应的指数函数的值。
6.
指数函数的四则运算：进行指数函数的加、减、乘、除运算，需要注意底数不变和指数的运算法则。
7.
指数函数的单调性：判断指数函数在给定区间上的单调性，利用导数或单调性定义进行分析。
8.
指数函数的奇偶性：判断指数函数的奇偶性，根据奇偶性的定义进行分析。
这些题型涵盖了高一数学中指数函数的基本概念、性质和应用。
通过练习这些题型，可以帮助学生深入理解指数函数的概念，掌握指数函数的图像和性质，以及运用指数函数解决实际问题的能力。
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指数函数及其性质【知识梳理】1．指数函数的定义函数xy a =(0a >且1a ≠)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 2．指数函数的图象和性质【常考题型】题型一、指数函数的概念【例1】 (1)下列函数：①23xy =⋅；②13x y +=；③3xy =；④3y x =.其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)函数()22xy a a =-是指数函数，则( ) A ．1a =或3a = B ．1a = C ．3a =D ．0a >且1a ≠[解析] (1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数； ②中，13x y +=的指数是1x +，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，3xy =的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x一项，故③是指数函数； ④中，3y x =中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．(2)由指数函数定义知()22101a a a ⎧-=⎪⎨>≠⎪⎩且，所以解得3a =.[答案] (1)B (2)C 【类题通法】判断一个函数是否为指数函数的方法判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征： (1)底数0a >，且1a ≠. (2)xa 的系数为1.(3)xy a =中“a 是常数”，x 为自变量，自变量在指数位置上． 【对点训练】下列函数中是指数函数的是________(填序号)．①2xy =⋅；②12x y -=；③2xy π⎛⎫= ⎪⎝⎭；④x y x =；⑤13y x=-；⑥13y x =.解析：①中指数式x的系数不为1，故不是指数函数；②中11222x x y -==⋅，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x ，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x ，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.答案：③题型二、指数函数的图象问题【例2】 (1)如图是指数函数①xy a =，②xy b =，③xy c =，④xy d =的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系为( )A ．1a b c d <<<<B ．1b a d c <<<<C ．1a b c d <<<<D ．1a b d c <<<< (2)函数33x y a-=+(0a >，且1a ≠)的图象过定点________．[解析] (1)由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点()1,0作直线1x =，如图所示，在第一象限内直线1x =与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1d c <<，1b a <<，从而可知a ，b ，c ，d 与1的大小关系为1b a d c <<<<.(2)法一：因为指数函数xy a =(0a >，且1a ≠)的图象过定点()0,1，所以在函数33x y a -=+中，令3x =，得134y =+=，即函数的图象过定点()3,4．法二：将原函数变形，得33x y a--=，然后把3y -看作是()3x -的指数函数，所以当30x -=时，31y -=，即3x =，4y =，所以原函数的图象过定点()3,4．[答案] (1)B (2)()3,4 【类题通法】底数a 对函数图象的影响(1)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当1a >时，指数函数的图象“上升”；当01a <<时，指数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是1a >，还是01a <<，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y 轴．当1a b >>时，①若0x >，则1xxa b >>； ②若0x <，则10xxb a >>>. 当10a b >>>时，①若0x >，则10xxa b >>>； ②若0x <，则1xx b a >>. 【对点训练】若函数()1xy a b =+-(0a >，且1a ≠)的图象不经过第二象限，则有( )A ．1a >且1b <B ．01a <<且1b ≤C ．01a <<且0b >D ．1a >且0b ≤解析：选D 由指数函数图象的特征可知01a <<时，函数()1xy a b =+-(0a >，且1a ≠)的图象必经过第二象限，故排除选项B 、C.又函数()1xy a b =+-(0a >，且1a ≠)的图象不经过第二象限，则其图象与y 轴的交点不在x 轴上方，所以当0x =时，()010y a b =+-≤，即0b ≤，故选项D 正确.题型三、与指数函数有关的定义域、值域问题【例3】 求下列函数的定义域和值域：(1)y =(2)142x y -=；(3)23y ⎛= ⎪⎝⎭.[解] (1)要使函数式有意义，则130x-≥，即0313x≤=， 因为函数3xy =在R 上是增函数，所以0x ≤， 故函数y(],0-∞．因为0x ≤，所以031x<≤，所以0131x≤-<，[)0,1，即函数y [)0,1．(2)要使函数式有意义，则40x -≠，解得4x ≠，所以函数142x y -=的定义域为{}R 4x x ∈≠．因为104x ≠-，所以1421x -≠，即函数142x y -=的值域为{}01y y y >≠且．(3)要使函数式有意义，则0x -≥，解得0x =，所以函数23y ⎛= ⎪⎝⎭的定义域为{}0x x =．而23y ⎛= ⎪⎝⎭0213⎛⎫== ⎪⎝⎭，则函数23y ⎛= ⎪⎝⎭的值域为{}1y y =．【类题通法】指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是xy a =型还是()f x y a=型，前者的定义域是R ，后者的定义域与()f x 的定义域一致，而求y =往往转化为解指数不等式(组)．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为()0,+∞，切记准确运用指数函数的单调性．【对点训练】 求函数22312x x y --⎛⎫=⎪⎝⎭的定义域和值域．解：定义域为R .∵()2223144x x x --=--≥-，∴22312x x --⎛⎫⎪⎝⎭41162-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ .又∵223102x x --⎛⎫>⎪⎝⎭，∴函数22312x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,16．【练习反馈】1．已知10n m >>>，则指数函数①xy m =，②xy n =的图象为( )解析：选C 由于01m n <<<，所以xy m =与xy n =都是减函数，故排除A 、B ，作直线1x =与两个曲线相交，交点在下面的是函数x y m =的图象，故选C.2．若函数()12xy a =-是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．(),0-∞C.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭解析：选B 由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数121a ->，解得0a <.3．指数函数()y f x =的图象过点()2,4，那么()()24f f ⋅=________. 解析：设()xf x a =(0a >且1a ≠)，又()224f a ==，∴()()24232444464f f a a ⋅=⋅=⋅==.答案：644．函数()113xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]1,2x ∈-的值域为________．解析：∵12x -≤≤，∴11393x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭.∴811293x⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭.∴值域为8,29⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.答案：8,29⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．已知函数()1x f x a -=(0x ≥)的图象经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0a >且1a ≠. (1)求a 的值；(2)求函数()y f x =(0x ≥)的值域． 解：(1)因为函数图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2112a-=，则12a =.(2)()112x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭(0x ≥)，由0x ≥得，11x -≥-，于是11110222x --⎛⎫⎛⎫<≤= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以函数的值域为(]0,2．。