六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练： 第七讲 应用问题(一)

第七讲应用问题（一）

一、要熟练掌握简单应用题的解法

所谓简单应用题,指的是用一步计算解答的应用题,它是解答复合应用题的基础。复合应用题是由几个有联系的简单应用题组合而成的。为了能够解答比较复杂的应用题,掌握好简单应用题的解法是非常必要的。现在,我们来看下面的例题。例1 农场要播种小麦 1260 亩,原计划用2 台播种机,每台每天播70 亩,实际播

种时,又增加 1 台同样的播种机,这样,可以比原计划提早几天完成？

分析与解：为了求出实际播种比原计划提早几天完成,可以先求出原计划播种多少天,再求出实际播种多少天,问题可以得到解答。

（1）原计划播种多少天？

1260÷（70×2）＝9（天）

（2）实际播种多少天？

1260÷（70×3）＝6（天）

（3）提早几天完成？

9－6＝3（天）

答：实际比原计划提早 3 天完成。

本题是由几个有联系的简单应用题组合而成的。可以看出,掌握简单应用题的解法是解答复合应用题的基础。

1．用加法解答的简单应用题

加法定义把两个数合并在一起,求一共是多少的运算方法,叫做加法。在实际生活中,常遇到用加法解答的应用题有如下几种：

（1）在原数上添上几个。如,树上有 5 只小鸟,又飞来3 只,一共有几只小

鸟？又如,晶晶有 6 支铅笔,又买来 3 支,一共有几支铅笔？

（2）求两个数的和。如,平平有 8 支铅笔,方方有7 支铅笔,他们共有几支

铅笔？又如,哥哥养了 6 条小金鱼,弟弟养了 5 条小金鱼,他们共养了几条小金鱼？

运来一批面粉,已经吃了 18 袋,还剩12 袋。原来运进多少袋？又如,

六年级学生在校园里植树,已经栽了 25 棵,还有10 棵没有栽。原来要栽多少棵树？

（4）求比一个数多几的数。这种类型的应用题,是已知较小数与相差数,求较大数。如,学校买来故事书 60 本,买的科技书比故事书多 30 本,买来科技书

多少本？又如,五年级（1）班有男生20 人,比女生少3 人,女生有多少人？（男

生比女生少 3 人,也就是女生比男生多 3 人,求的是女生有多少人,所以用加法计算。在解答时,要先把题意看明白,不要一见到“比…少”的语句就用减法计算。这是值得注意的。）

2．用减法解答的简单应用题

减法定义已知两个加数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算,叫做减法。在实际生活中,常遇到用减法解答的应用题有如下几种：

（1）求剩余。如,停车场上原有 15 辆汽车,开走了 9 辆,还剩下几辆？又如,方方原来有 8 支铅笔,用了 4 支,还剩几支？

（2）求另一个加数。如,买来彩色粉笔及白色粉笔共 40 盒,其中彩色粉笔10 盒,白色粉笔多少盒？又如,某种货物加上包装重 67 千克,其中包装4 千克, 这种货物净重多少千克？

场上原来有 12 辆汽车,现在还剩下 7 辆,开走了几辆？又如,学校食堂里原

有面粉 15 袋,一个星期之后,还剩面粉 8 袋,求吃了几袋？

（4）求两个数的差。这种类型的应用题,是已知较大数与较小数,求它们的差。可以求较大数比较小数多多少,或者求较小数比较大数少多少。如,六年级种了50 棵向日葵,五年级种了 40 棵向日葵,六年级比五年级多种多少棵？五年

级比六年级少种多少棵？又如,图书箱里有故事书 90 本,有科技书70 本,故事书比科技书多多少本？科技书比故事书少多少本？

（5）求比一个数少儿的数。这种类型的应用题,是已知较大数与相差数,求较小数。如,百货商店第一天卖出玩具 48 件,第二天卖出的比第一天少 10 件,

第二天卖出玩具多少件？又如,学生参加建校劳动,六年级同学共运砖 600 块,

五年级比六年级少运砖 150 块,五年级同学运砖多少块？

3．加法、减法应用题之间的关系

用一步运算解答的加法、减法简单应用题,根据数量之间的关系,可概括成两组。

（1）甲量、乙量同总和之间的关系：甲

量＋乙量＝和（求总和）

（2）比较两个量相差多少：

甲量－乙量＝差（求两个量的差）

4．用乘法解答的简单应用题

在小学数学教材里,乘法的定义是：求几个相同加数的和的简便运算,叫做乘法。遇到相同数的连加,用乘法计算就比用加法要简便得多。如,正方形的边长是 23 厘米,周长是多少厘米？如果用加法计算,就是：23＋23＋23＋23＝92（厘米）；如果用乘法计算,就是：23×4＝92（厘米）。用乘法解答的简单应用题,可以分为以下两类：（1）求几个相同加数的和。根据乘法定义解答这种类型的乘法应用题。如, 校园里有 4 行杨树,每行15 棵,共有杨树多少棵？又如,一支铅笔 9 分钱,买同

样的铅笔 8 支,应付多少钱？

（2）求一个数的几倍是多少。根据“倍”的意义解答这种类型的乘法应用题。如,步行每小时行5 千米,骑自行车每小时行进的路程相当于步行的 3 倍,骑自

行车每小时行进多少千米？又如,副食店里运来红糖 300 千克,运来的白糖是红

糖的 2 倍,运来白糖多少千克？

5．用除法解答的简单应用题

除法定义已知两个乘数的积与其中的一个乘数,求另一个乘数的运算,叫做除法。除法是乘法的逆运算,由两类乘法应用题,可以引出下面四种类型的除法应用题：

（1）把一个数平均分成几份,求一份是多少。这类应用题同乘法应用题对照, 就是已知积与相同加数的个数,求相同加数是多少。通常把这种情况的除法应用题,叫等分问题。如,学校有 30 个羽毛球,平均分给6 个班,每个班可以得到几

个羽毛球？又如,一台拖拉机 7 小时耕地 56 亩,平均每小时耕地多少亩？

（2）求一个数里包含几个另一个数。这类应用题同乘法应用题对照,就是已知积与相同加数,求相同加数的个数。通常把这种情况的除法应用题,叫包含问题。如,学校有 30 个羽毛球,每个班给 5 个,可以分给几个班？又如,有苹果

600 千克,每 30 千克装一筐,可以装多少筐？

（3）求一个数是另一个数的几倍。这种应用题是乘法应用题中求一个数的几倍是多少的题目的逆运算题目,解答时,要注意题目里所求问题的叙述顺序,根据问题中两个量（或数）的前后顺序确定被除数和除数。凡是求甲是乙的多少倍的时候,都是甲除以乙。如,六年级学生栽了 24 棵树,四年级学生栽了 12 棵树,

六年级学生栽的树是四年级学生所栽树的几倍？又如,父亲今年 40 岁,儿子今年10 岁,父亲的年岁是儿子年岁的几倍？

（4）已知一个数的几倍是多少,求这个数。这种应用题也是乘法应用题中求一个数的几倍是多少的题目的逆运算题目。通常把这种类型的应用题,叫做求一倍的数。如,南河湾今年种小麦 270 亩,恰好是所种水稻亩数的 3 倍,种水稻多

少亩？又如,为了迎接六一儿童节,四年级两个班的学生做大红花。四（1）班做了120 朵,是四（2）班所做红花的 2 倍,求四（2）班做了多少朵？

6．乘法、除法应用题之间的关系

用一步运算解答的乘法、除法应用题,其数量之间的关系,可概括为如下两组：（1）每份数、份数同总数之间的关系：

（2）比较两个量的倍数：

总之,用一步运算解答的应用题,在实际生活中经常遇到,是组成复合应用题的因素,是解答复合应用题的基础。又可以把它们看作是基本概念题。这些题目,往往是已知两个数量,求第三个数量。解答时要认真分析已知条件和问题之间的关系,选择正确的算法。

二、要理解概念,熟悉数量间的关系

1．要理解名词术语的含义

在解答应用题时,要弄清题意。在分析题意时,要特别注意题中的名词术语, 理解它们的含义,这样才能选择正确的计算方法。下面,解释几个常见的名词术语,帮助大家理解它们的含义。

（1）“增加”与“增加到”。

“增加”与“增加到”的含义是不同的。增加,是在原有的基础上再添上一个数,而原数不包括在内。推广一下,“增长”,“增加了”与增加的含义是相同的。例如,地理小组原有组员 15 人,后来又增加3 人,现在共有组员多少人？

又如,去年小麦平均亩产 365 千克,今年比去年增加了 30 千克,今年小麦平均亩产量是（365＋30＝）395 千克。

增加到,是指在原有的基础上增加了一部分之后,所达到的结果,也就是说,原有的数加上增加的数,得出增加到的数。是把原数包括在内,表示原数与增加部分的和。即：原有的数＋增加的数＝增加到的数

（2）增加几倍

增加几倍,指的是比原来的数多了几倍。比如,比原数增加 2 倍,那么增加后的

数就是原数的 3 倍；如果比原数增加 9 倍,那么增加后的数就是原数的 10 倍；如果比原数增加n 倍,那么增加后的数就是原数的（n＋1）倍。

用图表示

（3）“减少”与“减少到”。

在应用题中还常常遇到“减少”与“减少到”等术语,它们之间也是有区别的。减少,指的是从原数里减去的那个数。跟它含义相同的有：减少了、降低了、节省了等等。例如,原来做一个零件的时间是 18 分钟,现在减少了4 分钟,现在做一个零件只要（18－4＝）14 分钟。

减少到,指的是从原数里减去一部分之后,所得到的结果。例如,原计划派去参观排

球比赛的学生有 70 人,由于场地容量较小,决定前往参观的人数减少到 50

人,也就是说,减少了 20 人。又如,原计划播种小麦 150 亩,调整计划之后,播

种小麦的面积减少到 120 亩,也就是说,减少了 30 亩。即：原有

的数－减少的数＝减少到的数

（4）“扩大”与“扩大到”。

在原来的基础上扩展、扩充或放大,叫做扩大。在教材中,扩大常与“倍” 联系

起来使用。例如,某数扩大 5 倍就是某数乘以5。如果卡车的时速一定,路程扩大3 倍,所用的时间也扩大相同的倍数。又如,操场的宽度不变,长度扩大

3 倍,总的面积也将扩大 3 倍。

扩大到几倍,指的是一个数（或量）扩大之后的结果相当于原来这个数（或量）的几倍。例如。莱园的面积原来有 40 平方米,现在扩大到 3 倍,现在的面积就

是（40×3＝）120 平方米。又如,小操场的面积原来有 80 平方米,现在扩大到 4 倍,现在的面积就是（80×4＝）320 平方米了。通常,把“扩大”与“扩大到” 看成是同一个意思。

对于“扩大了”,怎样理解呢？一个数扩大了几倍,指的是扩大了的那一部分

相当于原来这个数的几倍。例如,菜园的面积原来有 40 平方米,现在扩大了2

倍,这就是说,扩大了的面积是80 平方米,加上原有的面积共有（40＋80＝）120

平方米了。又如,小操场的面积原来有 80 平方米,现在又扩大了3 倍,这就是说, 扩大了的面积是240 平方米,加上原有的面积共有（80＋240＝）320 平方米。

（5）“缩小”与“缩小到”。

在原来的基础上由大变小,叫做缩小。在教材里,缩小常与“倍”联系起来使用,缩小几倍就是除以几。例如,某数缩小 3 倍,就是某数除以 3。如果汽车的时速一定,路程缩小 3 倍,所用的时间也缩小相同的倍数。小菜园的宽度不变,

长度缩小 2 倍,菜园的面积也将缩小 2 倍。

缩小到几分之几,指的是缩小后的结果相当于原数的几分之几。例如,菜园的面积原来有 80 平方米,现在缩小到原来面积的八分之五,那么缩小后

平方米。

“某数缩小到五分之一”与“某数缩小五倍”是同样的含义。

对于“缩小了”,怎样理解呢？缩小了几分之几,指的是缩小了的部分相当于

原数的几分之几。例如,菜园的面积原来有 80 平方米,现在缩小了八

积原来有 120 平方米,现在缩小了五分之一,那么缩小了的部分是（120×

2．要弄清条件与条件之间的关系以及条件与问题之间的关系

一道应用题,不管是简单应用题还是比较复杂的应用题,都有已知条件和所求问题两部分。解答应用题时,首先要弄清楚条件与条件间的关系及条件与问题间的关系。

在一道简单应用题里,已知条件至少有两个,而在这两个条件之间,彼此也必

有一定的关系。就以“比……多”、“比……少”来说吧,例如,晶晶做了 28

朵红花,比亮亮多做了 6 朵,亮亮做了几朵？根据这道题的已知条件,我们可以知道,晶晶做的红花多,亮亮做的红花少。因此,事先应该知道,求出亮亮做花的朵数一定要比28 朵少。若把已知条件改变一下呢,例如,晶晶做了28 朵红花,

比亮亮少做了 6 朵,亮亮做了几朵？根据这样的已知条件,可知晶晶做的红花少

而亮亮做的红花多。事先也应该想到,求得亮亮做花的朵数一定要比 28 朵多。

有的应用题,虽然已知条件相同,但如果所求问题变化了,那么所选择的运算方法也要随着变化。例如,小悦做了 12 件好事,小朋做了6 件好事。根据这两个条件,可以提出的不同的问题和采用的运算方法如下：

（1）他们一共做了多少件好事？（加法）

（2）小悦比小朋多做几件好事？（减法）

（3）小悦做好事的件数是小朋做好事件数的几倍？（除法）

因此,在解答应用题时,既要注意条件之间的关系,又要注意条件与问题之间的关系。

3．要熟悉常用的数量关系

（1）常用的数量关系式：

路程＝速度×时间

总价＝单价×数量

工作总量＝工作效率×时间

总产量＝亩产量×亩数

重量＝比重×体积

（2）要理解数量关系式中各种量的意义。

只有理解数量关系式中各种量的意义,才能正确选用数量关系式解答应用题。下面,对“速度”、“工作效率”、“亩产量”等几个量加以说明。

速度,它表示单位时间内所走的路程。题目中经常出现“飞机每小时飞行 500 千米”、“汽车每小时行 60 千米”、“人每小时走 5 千米”等等,这就表示飞机、汽车和人行进的速度。在算术题里给出的条件常常是平均速度,写成“每小时行多少千米”,“每分钟或者每秒钟行进多少米”。所谓“每小时”,指的是在任何一个小时之内走的路是同样多的意思。计算时,可以把这个速度看作是相同加数（一份数）,要求几小时一共行多少路,就是求几个相同加数的和,用乘法计算。这时,我们可直接选用求路程的公式：路程＝速度×时间。

工作效率,指的是单位时间内所完成的工作量,表示平均值；亩产量,一般情况下,也是平均亩产量。

（3）牢记主要的数量关系式。

数量关系式比较多,把其中主要的数量关系式记住,其余的就可以推导出来了。哪些是主要的呢？上面列出的常用关系式中,相乘的关系式可以认为是主要的。假如记住了相乘的关系式,随之而来的两个除法关系式就可以列出来了。如同三乘以二得六,于是能够知道六除以二得三,六除以三得二一样。需要牢记的数量关系式有：路程＝速度×时间

总价＝单价×数量

工作总量＝工作效率×时间

总产量＝亩产量×亩数

重量＝比重×体积

应用的次数多了,其他的数量关系式,自然也就熟悉了。

习题七

说出下列各题的计算方法,不必列式计算。

1．锅炉房二月份烧煤 42 吨,比一月份节省了 8 吨,一月份烧煤多少吨？

2．修路队计划修一条长 18 千米的路,修好了一段之后,还剩下 3 千米没有修,修好了多少千米？

3．五（1）班学生学雷锋做好事,已经做了 15 件,再做几件就够 20 件了？

4．人民机器厂九月份生产机器 135 台,比八月份多17 台,八月份生产机器多少台？

5．少先队员种蓖麻,平均每 3 棵收0.5 千克蓖麻籽,种了60 棵蓖麻,可以收蓖麻籽多少千克？

6．南京长江大桥公路桥全长 4590 米,人们过桥时,平均每分钟走 85 米,多少分钟可以通过大桥？

7．南河塔村今年粮食平均亩产达到 520 千克,相当于

解放前粮食亩产的 8 倍。解放前平均亩产粮食多少千克？

8．修一条公路,已经修了 24 千米,剩下的正好是已修的 2 倍。这条公路还有多长没有修？

9．学校操场原有 320 平方米,现在扩大到原来的 3 倍。扩大之后是多少平方米？