均值不等式及其证明
均值不等式函数证明
均值不等式函数证明均值不等式函数是初等数学中的一类基本不等式，我们来研究一下如何证明它。
定义：设 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是 $n$ 个非负实数，则有：$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geqslant \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$$证明：为了方便证明，假设 $a_1,a_2, \cdots,a_n$ 是按照大小排列的，即 $a_1\leqslant a_2 \leqslant \cdots \leqslant a_n$。
我们考虑构造一个函数 $f(x)$，使得 $f(x)$ 满足以下两个性质：1. $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增；为了找到这样一个函数，我们考虑$f(x)=\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-x\right)^n-x^n$。
可以验证，这个函数满足上面两个性质。
首先，我们证明当 $x \geqslant a_1$ 时，$f(x) \geqslant 0$，即$\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-x\right)^n \geqslant x^n$。
这是因为当 $x\geqslant a_1$ 时，$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-x \leqslant\frac{a_2+\cdots+a_n}{n} \leqslant \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$，所以$\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}-x\right)^n \geqslant\frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^n}{n^n} \geqslant \frac{(a_1 \cdot a_2 \cdotsa_n)^n}{n^n} = x^n$。
最后，当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 时，$f(x)$ 在 $[a_1,a_n]$ 上取到最小值$0$（因为 $f(a_k)=0$）。
均值不等式公式完全总结归纳
均值不等式公式完全总结归纳均值不等式是数学中常用的一种不等式，它可以用来比较数列或者函数中数值的大小关系。
均值不等式有很多种形式，常用的有算术均值不等式、几何均值不等式、调和均值不等式以及均方根不等式。
下面将逐个进行详细介绍：1.算术均值不等式：算术均值不等式又称为平均不等式，它是最基本的均值不等式。
对于非负实数a和b，算术均值不等式的表达式为：(a+b)/2≥√(a*b)其中，等号成立当且仅当a=b。
2.几何均值不等式：几何均值不等式也是比较常见的一种不等式。
对于非负实数a和b，几何均值不等式的表达式为：√(a*b)≤(a+b)/2其中，等号成立当且仅当a=b。
3.调和均值不等式：调和均值不等式用来比较两个正实数的大小关系。
对于正实数a和b，调和均值不等式的表达式为：2/(1/a+1/b)≤(a+b)/2其中，等号成立当且仅当a=b。
4.均方根不等式：均方根不等式是一种用于比较多个非负实数大小关系的不等式。
对于非负实数a1, a2, ..., an，均方根不等式的表达式为：√((a1^2 + a2^2 +... + an^2)/n) ≥ (a1 + a2 + ... + an)/n 其中，等号成立当且仅当a1=a2=...=an。
以上四种形式的均值不等式都是基于平均值的概念推导出来的。
它们在数学中有广泛的应用，例如在证明其他不等式时常常被用到。
需要注意的是，以上只是四种常见的均值不等式形式，实际上还存在很多种不同形式的均值不等式。
比如幂均值不等式、可重均值不等式等，它们在一些特定的条件下有着重要的应用。
总结起来，均值不等式是数学中非常重要的一类不等式，它包含了算术均值不等式、几何均值不等式、调和均值不等式以及均方根不等式等形式。
这些不等式在数学推导和证明过程中发挥着非常重要的作用。
高中数学必修不等式中均值不等式链的几种证法
均值不等式链基本不等式链：若b a 、都是正数，则2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。
注：算术平均数---2b a +；几何平均数---ab ；调和平均数---b a ab ba +=+2112；平方平均数---222b a +。
证明1：（代数法）（1）ab b a ab b a b a b a ≥+⇒≥+⇒≥-⇒>>220)(002，； （2）ab ab b a ab ab b a ab b a ≤+⇒≤+⇒>≥+21202ab b a ≤+⇒112； （3）224)(22)(2222222222222b a b a b a b a b a ab b a ab b a +≥+⇒+≥+⇒++≥+⇒≥+； 综上，2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时”“=成立。
证明2：（几何法）如图，b a AB b BC a AC +===，，，以AB 为直径作圆O ，则图1：ab DC b a OD =+=，2，⇒≤OD DC 2b a ab +≤； 图2：ba ab OD DC DE ab DC +===22，，⇒≤DC DE ab b a ab ≤+2； 图3：2222b a GC b a OC +=-=，，⇒≤GC OG 2222b a b a +≤+； 综上，2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时”“=成立。
AG B证明3：（几何法）作梯形ABCD ，使CD BC AD B BC AD =+︒=∠，，90//，令)(a b b BC a AD >==，，，F E 、分别是CD AB 、的中点，过E 作CD EG ⊥于G ，过G 作AB GH ⊥于H ，在EB 上截取2a b EN -=，则F E 、分别是CD AB 、的中点，2a b EF +=⇒， ED 平分ADC ∠ab AB EA EG ===⇒21， ba DG BC CG AD GHb a GC DG BC GC DA DG +⋅+⋅=⇒=⇒==，，即b a ab GH +=2， 2a b EN -=222b a NF +=⇒， 显然，FN EF EG GH <<<，∴22222b a b a ab b a ab +≤+≤≤+ 当“b a =”时，22222b a b a ab b a ab +=+==+。
均值不等式
均值不等式及其应用一、 均值不等式的含义及成立的条件（一） 原型： ;2:22ab b a R b a ≥+∈，都有、对于任意的实数 .3,333abc c b a R c b a ≥++∈+都有：、、对于任意的正数（二） 均值不等式：任意n 个正数的算术平均值不小于这n 个正数的几何平均值两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则2a b+a b =时成立）三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立） （等号仅当a b c ===d 时成立） （三）均值不等式常见的变形时取得最小值）为常数，则若时取得最小值）（注意当且仅当的最小值为，则常数若、、、对于任意的正数b a ((b a .22,122=≤=+=+≥+=∈+mm ab m b a m b a m b a m ab R c b a注意当且仅当若（注意当且仅当则常数、若c b a (c b a ,2===++==+=m c b a b a m abc3、几个常用不等式：① ab 2 ⎪⎝⎭233b c ++⎫⎪⎝⎭；③如果,a b R ∈≥2a b +2a b+（可以推广到n 的情形）【均值不等式的几何证明------用几何意义加深对不等式的理解】 （1）的几何意义ab b a 222≥+：如右图，不妨设0>>a b ，两个正方体的体积 之和为22b a +，两个矩形的面积之和为：ab 2 显然，这两部分面积之差ab b a 2-22+为图中 阴影部分面积..4,4abcd d c b a R d c b a ≥+++∈+都有：、、、对于任意 b(2)的几何意义ab ba ≥+2： 【其一】分析：设ab x =，其意义是什么？联想到圆幂定理：ab x =2如右图：设a AB =，b AC =，则a b BC -=，以BC 为直径作圆，切线AD 与圆相切于D 点，则有：AD=ab ，AO=2ba +（为什么？）. 显然，AD AO ≥ 【其二】原式即的几何意义）（ab b a ≥+22： 如右图，设a AC =，b AB =，中点为BC D ，则，2b a AD +=，正方形ADEF 的面积=22）（b a + 矩形ACHG 的面积= ab ，这两面积的差= MHNE S 矩形，（为什么？）即22）（b a +=ab +S 矩形（注意：CD EN S S 矩形=（3）如右图：设a AC =，则，2ba AD +=， 则222b a +而b a ）（22+这两个面积的差等于MNG S ∆即222b a +=22）（b a ++MNG S ∆（为什么？）ABCODFA BC D二、均值不等式的应用【适应性预备练习】1、课本P11练习1、2、32、课本P11习题1、2、3、4、6;2(4);(3);411)2( ;2211 ,322ab ba abab abb a )ba b)((a abb a R b a >+>+>++>++∈+）（）成立的是（则下列不等式中一定不、、设 zxyz xy z y x R z y x cba b a c a c b R c b a ++≥++∈≥+++++∈+222,2614求证：、、）已知：（，证明：、、）已知：、（ 【方法三种：均值不等式、构造函数的方法、配方法】（一）应用于证明不等式--------值不等式证之.1、 证明：log 5lg 42<(2)12222222444c b b a b a c b a R c b a ++++≥++∈）（、、、已知;(2) 4;))((13222c b a ac c b b a c b a c b a R a 、、b、c ++≥++≥++++∈+），求证：（、设9)111)(( (3)≥++++cb ac b a .8)1-1)(1-1)(1-1231,14≥≤++=++∈+cb ac b a c b a R a 、、b、）（；（）（求证：，若、设 9111 (3)≥++c b a ； ;31)4(222≥++c b a )(2,,5222zx yz xy z cb a y b ac x a c b R c b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证：、、、、、若4171(4).225)b 1(b )1(3)( ;425)b 1)(b 1)(2( ;811111,0,0622≥+≥+++≥++≥++=+>>ab ab a a a a ab b a b a b a ）（，求证：、设【第（1）题方法：具有代表性，五种方法。
经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式
几个经典不等式的关系一 几个经典不等式（1）均值不等式设12,,0n a a a > 是实数1212111+n na a a nn a a a +++≤≤≤++ 其中0,1,2,i a i n >= .当且仅当12n a a a === 时，等号成立.（2）柯西不等式设1212,,,,,n n a a a b b b 是实数，则()()()222222212121122n n n n aa ab b b a b a b a b ++++++≥+++当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在实数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立.（3）排序不等式设12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ 为两个数组，12n c c c ，，，是12n b b b ，,，的任一排列，则112211221211n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≥+++≥+++ 当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立.（4）切比晓夫不等式对于两个数组：12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ ，有112212121211n n n n n n n a b a b a b a a a b b b a b a b a b n n n n -++++++++++++⎛⎫⎛⎫≥≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立.二 相关证明（1）用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由()()()1122121211221212n n n n n n n n a b a b a b a a a b b b n n n n a b a b a b a a a b b b +++++++++⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇔+++≥++++++而()()1212112212231132421425311221211n n n n n n n n n n n n n n a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---++++++=++++++++++++++++++++++++根据“顺序和≥乱序和”（在1n -个部分同时使用），可得()()()11221212n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≥++++++即得11221212n n n n a b a b a b a a a b b b n n n +++++++++⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭同理，根据“乱序和≥反序和”，可得12121211n n n n n a a a b b b a b a b a b n n n -+++++++++⎛⎫⎛⎫≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭综合即证（2）用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”12na a a n+++≤证明：构造两个数列：12112122,,1n n n a a a a a ax x x c c c==== 2121121212111,,1nn n nc c c y y y x a x a a x a a a =======其中c =.因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的和：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1122n n x y x y x y ++总是两数组的反序和．．．．．．．．．.于是由“乱序和≥反序和”，总有 12111122n n n n n x y x y x y x y x y x y -++≥++于是12111n a a a c c c+++≥+++ 即12na a a n c+++≥即证12na a a c n+++≥= （3）用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”：12n a a a n +++≤证明：不妨设12n a a a ≥≥≥ ，12n a a a n +++≤ 222121212n n na a a a a a a a a n n n +++++++++⎛⎫⎛⎫⇔≤⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立.即证. （4）用切比晓夫不等式证明“调和—算数平均不等式”1212+nna a a n na a a +++≤++证明：1212111+nna a a n na a a +++≤++12121212111111+1n n n na a a a a a a a a a a a n n n ⎛⎫++⋅+⋅++⋅ ⎪+++⎛⎫ ⎪⇔≥= ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭.不妨设12n a a a ≥≥≥ ，则11111n n a a a -≥≥≥ ，由切比晓夫不等式，上式成立.即证. （5）用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式证明：不妨设12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≤≤≤ 由切比晓夫不等式，有11221212n n n n a b a b a b a a a b b b n n n +++++++++⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由均值不等式，有1212n n a a a n b b b n +++≤+++≤所以1122n na b a b a b n+++≤两边平方，即得()222222211221212n n nn a b a b a b a a a bb b +++≤++++++ .即证.（6）补充“调和—几何平均不等式”的证明证明12n a a a n +++≤ 中的i a 换成1i a12111n a a a n +++≤ .两边取倒数，即得12111+nna a a ≤++。
均值不等式的证明方法
均值不等式的证明方法第一篇：均值不等式的证明方法柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong（数学之家）本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。
一般的均值不等式我们通常考虑的是An≥Gn: 一些大家都知道的条件我就不写了x1+x2+ (x)n≥x1x2...xn我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：二维已证，四维时：a+b+c+d=(a+b)+(c+d)≥2ab+2cd≥4八维时:(a+b+c+d)+(e+f+g+h)≥4abcd+4efgh≥8abcdefghabcd=4abcd这样的步骤重复n次之后将会得到x1+x2+ (x2)n≥nx1x2...x2n令x1=x1,...,xn=xn;xn+1=xn+2= (x2)nx1+x2+ (x)n=A由这个不等式有nA+(2-n)Ann≥nx1x2..xnA2-nn=(x1x2..xn)2An1-n2n即得到x1+x2+ (x)n≥nx1x2...xn这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：例1：n若0<ai<1(i=1,2,...,n)证明∑i=111-ai≥n1-(a1a2...an)n例2：若ri≥1(i=1,2,...,n)证明∑i=11ri+1≥n1+(r1r2...rn)n这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：给出例1的证明：当n=2时11-a1+11-a2≥⇔(1--a1-a2)≥2(1-a1)(1-a2)设p=a1+a2,q=⇔(1-q)(2-p)≥2(1-p+q)⇔p-2q+pq≥2q⇔p(1+q)≥2q(q+1)⇔p≥2q，而这是2元均值不等式因此11-a1≥+11-a22n+11-a3+11-a4≥+此过程进行下去n≥因此∑1-ai1-(a1a2...a2n)2n令an+1=an+2=...=a2n=(a1a2...an)n=Gn有∑i=1n11-ai11-ai+(2-n)n11-G≥nn2-nn=n1-(GG≥n1-Gn)n1-G即∑i=1例3：已知5n个实数ri,si,ti,ui,vi都>1(1≤i≤n),记R=T= nn∑r,Sii=1nn∑sii1nn∑t,Uii=1nn∑uii,V=1nn∑v，求证下述不等式成立：ii∏i=1（risitiuivi+1risitiuivi-1)≥（RSTUV+1RSTUV-1)n要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式其实由均值不等式，以及函数f(x)=ln因此e+1e-1xx是在R上单调递减RSTUV≥=（RSTUV+1RSTUV-1)≤n我们要证明：n∏(rstuvi=1iiiirisitiuivi+1i-1)≥证明以下引理：n∏(xi=1xi+1ix2+1x2-1n-1)≥n=2时，⇔(令A=x1+1x1-1)（）≥2⇔A(x1x2+1+x1+x2)+(x1+x2+1+x1x2)-2A(x1x2+x1+x2+1)≥A(x1x2+1-x1-x2)+(1+x1x2-x1-x2)+2A(x1x2+1-x1-x2)⇔(A+1)(x1x2+1)≥2A(x1x2+1)显然成立2-nnn因此∏（i=1xi+1xi-1n)•（G+1G-1)2-nn≥（GGGGnnnn+1-12-n2n)，G=n=（G+1G-1n)因此∏（i=1xi+1xi-1n)≥所以原题目也证毕了这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen:f(x1)+f(x2)≥f（x1+x2)，则四维：f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)≥2f（x1+x2)+2f（x3+x4)≥4f（x1+x2+x3+x4)一直进行n次有f(x1)+f(x2)+...+f(x2n)n≥f（x1+x2+ (x2)n),令x1=x1,...,xn=xn;xn+1=xn+2= (x2)nx1+x2+ (x)nn=A有f(x1)+...+f(xn)+(2-n)f(A)nn≥f（nA+(2-n)An)=f(A)所以得到f(x1)+f(x2)+...+f(xn)n≥f（x1+x2+ (x)n)所以基本上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明而且有些时候这种归纳法比Jensen的限制更少其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件第二篇：常用均值不等式及证明证明常用均值不等式及证明证明这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤QnΛ、ana1、a2、∈R+，当且仅当a1=a2=Λ=an时取“=”号仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用均值不等式的变形：(1)对实数a,b，有a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a,b>0>2ab(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)a2+b2≥2ab≥0(5)对非负实数a,b，有(8)对实数a,b,c，有a2+b2+c2≥ab+bc+aca+b+c≥abc(10)对实数a,b,c，有均值不等式的证明：方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
加权均值不等式的公式及证明
加权均值不等式的公式及证明1. 引言嘿，朋友们！今天咱们来聊聊一个听起来有点高大上的数学概念——加权均值不等式。
乍一听，可能觉得它就像天上的星星，遥不可及，其实它在我们生活中可处处可见。
你有没有注意到，吃饭的时候，大家总是说“这道菜好吃，给个高分！”对吧？那么，今天我们就来看看，怎么用这个不等式，让我们的“评分”更科学一点。
2. 加权均值不等式的公式2.1 什么是加权均值？先来说说什么是加权均值。
简单来说，加权均值就是在计算平均数的时候，每个数的“分量”不一样。
就像你考试，数学占了50分，语文占了30分，英语占了20分，这时候你得给这几门科目不同的权重，才能算出一个更准确的平均成绩。
公式看起来很简单，就是：frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + ... + w_n x_n{w_1 + w_2 + ... + w_n。
这里的( w_i )就是权重，( x_i )就是数值。
想想，这就像我们生活中的每个选择，可能每个选择对我们来说重要性都不一样，对吧？2.2 加权均值不等式然后再来看加权均值不等式的内容。
它的核心思想就是，如果你把一些数按权重加起来，得出来的结果肯定不会比这些数的简单平均数小。
换句话说，用不同的“分量”算出的加权均值，会给你更合理的结果。
公式是这样的：如果( x_1, x_2, ldots, x_n )是正数，( w_1, w_2, ldots, w_n )是非负权重，且权重之和为1，那么就有：x_1^{w_1 x_2^{w_2 ... x_n^{w_n leq left( frac{x_1 + x_2 + ... + x_n{n right)^{(w_1 + w_2 + ... + w_n)。
听起来是不是有点复杂？别担心，我们慢慢来，一步步拆解。
3. 证明过程3.1 准备工作首先，我们得明白为什么这个不等式成立。
想象一下，假设我们有几个小伙伴，分别代表不同的数值，他们手里都有不同的筹码（也就是权重）。
均值不等式与不等式的证明 PPT
3． 证 明 不 等 式 的 方 法 很 多 ， 除 比 较 法 、 分 析法、综合法三种基本方法外，Байду номын сангаас缩法、反 证法、换元法、构造法、判别式法、单调性 法等都是常用的方法．特别是要重视放缩法 的应用，掌握放缩法的主要途径：
1分 式 放 缩 分 子 与 分 母 ； 2根 式 放 缩 为 平 方 式 ； 3无 限 项 放 缩 为 有 限 项 ； 4 平 方 数 (式 )放 缩 为 两 个 不 同 数 (式 )积 ； 5利 用 函 数 的 单 调 性 放 缩 ．
a b a b (当 且 仅 当 a b时 ， 等 号 成 立 )． 2
2． 基 本 不 等 式 的 常 见 变 式
1 ab a 2 b 2 ， ab ( a b )2， 对 不 等 式 ab a 2 b 2 ，
2
2
2
还 有 更 一 般 的 表 达 式 ：a b a 2 b 2 (当 且 仅 当 a b时 ， 2
x 1
x 1
x 1
当且仅当x 1 1 ，即x 2时， x 1
x 1 的最小值为3，所以a 3，故选D. x 1
【思维启迪】本题可归纳出一类利用均值定理 求最值常见模型：一个整式与该整式的倒数的 和.此种结构在各类题型中出现的频率较大， 因此注意对这种结构题型的训练。
1． 利 用 基 本 不 等 式 解 决 最 值 问 题 时 ， 须 注 意“一正、二定、三相等”．三点中最为 重要的是均值不等式所涉及的两项的积或 和必须为定值，而往往所给的表达式都不 具有定值的特征，一般都需要进行变形， 凑出定值，常常可利用以下几种途径：
所 以 a 2 d 2 b 2 c 2 2 a b cd 0， 所 以 2abcd a 2 d 2 b 2c 2，
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平均值不等式及其证明
平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明
中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了
部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，
其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章
节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，
这些也是证明不等式的常用方法和技巧。
1.1 平均值不等式
一般地，假设12,,...,naaa为n个非负实数，它们的算术平均值记为
12...,n
n
aaaAn
几何平均值记为
1
1212(...)...nnnnn
Gaaaaaa
。
算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。
1212......n
n
n
aaaaaan
，
即 nnAG，
当且仅当12...naaa时，等号成立。
上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。
平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵
活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其
中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。
1.2 平均值不等式的证明
证法一（归纳法）
（1） 当2n时，已知结论成立。
（2） 假设对nk（正整数2k）时命题成立，即对
0,1,2,...,,iaik
有
1
1212...(...)k
k
n
aaaaaak
。
那么，当1nk时，由于
1211...1kkaaaAk
，11121...kkkkGaaaa，
关于121,,...,kaaa是对称的，任意对调ia与ja()ij，1kA和1kG的值
不改变，因此不妨设1121min,,...,kaaaa，1121max,,...,kkaaaa
显然111kkaAa，以及1111()()0kkkaAaA可得
111111()kkkkAaaAaa
.
所以 11112111(1)...kkkkkkkAkAAaaaAAkkk
21112111...()...()kkkkkkkaaaaAaaaaAk
即12111...()kkkkkAaaaaA 两边乘以1kA，得
111211112111...()...()kkkkkkkkkkAaaAaaAaaaaG
。
从而，有11kkAG
证法二（归纳法）
（1） 当2n时，已知结论成立。
（2） 假设对nk（正整数2k）时命题成立，即对
0,1,2,...,,iaik
有
1212......kkk
aaakaaa
。
那么，当1nk时，由于
121...kkaaaa
121111...(...)(1)kkkkkaaaaGGkG
112111...(1)kkkkkkkkaaakaGkG
1121112...(1)kkkkkkkkaaaaGkG
1121112(1)kkkkkkkGGkG
1(1)kkG
从而，有11kkAG
证法三（归纳法）
（1） 当2n时，已知结论成立。
（2） 假设对nk（正整数2k）时命题成立，即对
0,1,2,...,,iaik
有
1212......kkk
aaakaaa
。
那么，当1nk时，由于
121...kkaaaa
证法四（归纳法和变换）
证法五（利用排序不等式）
设两个实数组12,,...,naaa和12,,...,nbbb满足
1212...;...nn
aaabbb
，
则 1122...nnababab（同序乘积之和）
1122...jjnjn
ababab
（乱序乘积之和）
1211...nnnababab
（反序乘积之和）
其中12,,...,njjj是1,2,...,n的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条
件是12...naaa或12...nbbb成立。
证明：
切比雪夫不等式（利用排序不等式证明）
杨森不等式（Young）设12120,0,1则对12,0xx有
12
121122
xxxx
等号成立的充分必要条件是12xx。
琴生不等式（Jensen）
设(),(,)yfxxab为上凸（或下凹）函数，则对任意(,)ixab
(1,2,...,)in
，我们都有
11221122()()...()(...)nnnn
fxfxfxfxxx
或
11221122()()...()(...)nnnn
fxfxfxfxxx
其中 10(1,2,...,)1niiiin
习题一
1. 设11,,1abRab。求证：对一切正整数n，有
21()22nnnnnabab
2. 设,,,abcR求证：
3
(1)(1)(1)2(1)abcabcbcaabc
3. 设123,,xxx为正实数，证明：
222
33
2112
123231
()()()xxxxxxxxxxxx
4. 设,,,abcR1abc，求证：
(1)(1)(1)8(1)(1)(1)abcabc
5. 设,,xyzR，且xyz，求证：
222
222
xyyzzx
xyzzxy
6. 设,,abcR，满足2221abc，求证： 3abbccacab
7. 设,,,abcd是非负实数，满足1abbccdda，求证：
3333
13abcd
bcdcdadababc
8. 设n为给定的自然数，3n，对于n个给定的实数12,,...,;naaa
记(1)ijaaijn的最小值为m，求在22212...1naaa的
条件下，m的最大值。