2009年全国初中数学竞赛试题参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考

答案

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.以下每道小题均给出了

代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正

确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．已知非零实数a，b满足2a 4b 2(a 3)b 42a，则a b

2

等于（）．

（A）－1（B）0（C）1（D）2

【答】C．

解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为b 2(a 3)b 0，于是

2

a 3，

b 2，从而a b＝1．

2．如图，菱形AB C D的边长为a，点O是对角线AC上的一点，

5151

（A）（B）（C）1（D）2

22

（第2题）【答】A．

解：因为△B O C∽△AB C，所以B O B C

AB A C

，即

1a

，a a 1

所以，

由a 0，解得a

a2a 10．15

．

2

3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先

后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，

a x by y 的方程组

3，

只有正数解的概率为（ ）．

2y 2 x 1

2 9

5

13

36

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

12 18

【答】D ．

解：当2 0时，方程组无解．

a b

6 2b x ,

a b 2 2a 3

2a b 当 2a b 0时，方程组的解为

y . 2a b 0, 2a b 0,

6 2b

0, 0,

3 3 2

a b 由已知，得 即 a , 或 a ,

2a 3 2a b 2 3, 2

b b 3. 由a ，b 的实际意义为 1，2，3，4，5，6，可得

a 2，3，4，5，6， a 1，

共有 5×2＝10 种情况；或 共 3 种情况． b 1

，2， b 4，5，6， 13 又掷两次骰子出现的基本事件共 6×6＝36 种情况，故所求的概率为 ．

36 4．如图 1 所示，在直角梯形 AB C D 中，AB ∥D C ，B 90 . 动点 P

从点

B 出发，沿梯形的边由 B →

C →

D →A 运动. 设点 P 运动的路程为 x ，△ABP 的面积为 y . 把 y 看作 x 的函数，函数的图像如图 2 所示，则△AB C 的面积为 （

）． （A ）10

（B ）16

（C ）18

（D ）32

图 2

图 1

（第4题）

【答】B ．

解：根据图像可得 BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得 AB ＝8，故

1

S △ABC ＝ ×8

×4＝16. 2

5．关于 x ，y 的方程 x xy 2y 29的整数解（x ，y ）的组数为（ ）．

2 2 （A ）2 组 【答】C ．

（B ）3 组 （C ）4 组 （D ）无穷多组

解：可将原方程视为关于 x 的二次方程，将其变形为

yx

(2 y 29) 0 ． 由于该方程有整数根，则判别式 ≥0 ，且是完全平方数． x 2 2 由

y 4(2 y 29) 7y 116 ≥ ，

2 2 2 116 7

解得 y ≤ 16.57 ．于是

2 0 1 4 9 16 4

y 2

116

109

88

53

显然，只有 y 16时， 4是完全平方数，符合要求．

2 当 y 4 时，原方程为 x 4x

3 0 ，此时 x

1,x 3 ；

2 1

2

当 y ＝－4 时，原方程为 x 4x 3 0 ，此时 x 1,x

3 ．

2 3

4

所以，原方程的整数解为

1, x 3, x 1, x 3, x

1

2

3

4

y 4;

1

y 4;

2

y 4;

3

y 4

. 4

二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）

6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶 5000 k m 后报废； 若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交 换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报 废，那么这辆车将能行驶

k m ．

【答】3750．

解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为 k,则安装在前轮的轮胎每行驶 1 k m

k k

磨损量为 ,安装在后轮的轮胎每行驶 1km 的磨损量为

.又设一对新 5000 3000 轮胎交换位置前走了 x k m ，交换位置后走了 y k m.分别以一个轮胎的总磨损 量为等量关系列方程,有

kx

ky

k , k , 5000 3000 ky kx

5000

3000

k(x y) k(x y)

两式相加，得 则

2k ， 5000 3000 2 x y

3750 ．

1 1

5000 3000

7．已知线段 AB 的中点为 C ，以点 A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在 线段 AB 的延长线上取点 D ，使得B D ＝A C ；再以点 D 为圆心，DA 的长为半

A H

径作圆，与⊙A 分别相交于 F ，G 两点，连接 F G 交 AB 于点 H ，则 的值

AB

为

．

解：如图，延长 A D 与⊙D 交于点 E ，连接 AF ，EF ． 1 1

由题设知 AC A D ， AB AE ，在△FH A 和△EFA 中，

3 3

EFA FHA 90 ，FA H EAF

Rt △F HA ∽Rt △EFA ，

A H

AF

A H 1

. AB 3

而 AF AB

，所以 （第7题）

8．已知 a ，a ，a ，a ，a 是满足条件 a a a a a 9 的五个不同 1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

的整数，若 是关于 x 的方程 x a x a

x

a x a x

a 2009的

b 1

2

3

4

5

整数根，则 的值为

b

．

【答】 10．

解 ： 因 为

b a b a b

a b a b a 2009 ， 且 1

2

3

4

5

a ，a ，a ，a ，a

是

五

个

不 同 的 整 数

，

所

有

1

2

3

4

5

b a ，b a ，b a ，b a ，b a 也是五个不同的整数．

1

2

3

4

5

又因为 2009 1 1 7 7 41，所以

b a b a b a b a b a 41． 1

2

3

4

5

由 a a a a a 9 ，可得b 10．

1

2

3

4

5

9．如图，在△AB C 中，C D 是高，CE 为ACB 的平分线．若 AC ＝15，

B C ＝20，C D ＝12，则 CE 的长等于

．

60 2

【答】 ．

7

解：如图，由勾股定理知 A D ＝9，B D ＝16，所以 AB ＝A D ＋B D ＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且ACB 90 ． 1

作 EF ⊥B C ，垂足为 F ．设 EF ＝x ，由ECF ACB 45 ，得 CF ＝

2 x ，于是 BF ＝20－x ．由于 EF ∥AC ，所以

，

， x 20 x

即

15 20

（第9题）

60 解得 x ．所以 60 2

．

C E 2 x 7

7

10．10 个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是： 每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告 诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉 他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报 3 的人心里想的数是 【答】 2．

．

（第 10 题）

解：设报 3 的人心里想的数是 x ，则报 5 的人心里想的数应是8 ． x 于是报 7 的人心里想的数是 12 (8 x) 4 x ，报 9 的人心里想的数是 16 (4 x ) 12 x ，报 1 的人心里想的数是 20 (12 x) 8 x ，报 3 的人心 里想的数是 4 (8 x) 4 x ．所以

x 4 x

，

解得 x 2．

三、解答题（共 4 题，每题 20 分，共 80 分）

11．已知抛物线 y x 与动直线 (2 1) 有公共点(x , y )，(x ,y )， 2 y t x c

1

1

2

2

且 x x t 2t 3.

2 1

2 2

2 （1）求实数 t 的取值范围；

（2）当 t 为何值时，c 取到最小值，并求出 c 的最小值.

x c 解：（1）联立 y x 与 (2 1) ，消去 y 得二次方程

2 y t x 2

(2t 1)x c 0 ①

有实数根 x ， x ，则 x x 2t 1, x x

c ．所以

1

2

1

2

1 2

1

c x x [(x x ) (x x )]

2 2 1 2 2 2 1 2

1 2

1

2 =

[(2t 1) (t 2t 3)] ＝

2 2 1 2

(3t 6t 4) ． ②

2 (5)

分

把②式代入方程①得

(2t 1)x (3t 1

x 2 2 6t 4) 0 ．

③

2

… … … … … …

10 分

t 的取值应满足

t 2 2t 3 x 2 1

x

2 2

≥0， ④

且使方程③有实数根，即

(2t 1) 2(3t 6t 4) ＝ 2t 2

8t 7 ≥0，

⑤

2 2 2 2 解不等式④得 所以，t 的取值范围为

2 ≤-

3 或 ≥1，解不等式⑤得 2 ≤t ≤ 2 .

t t 2

2

2 2

≤ ≤ 2 t . ⑥

2 2

… … … … … …

15 分

1 3 1

(2) 由②式知c (3t 6t 4) (t 1)

. 2 2 2 2 2

3 1 2 2 由于 c (t 1) 在 2

≤ t ≤ 2 时 是递增的， 所 以 ，当 2 2 2 2 2 2

t 2

2 3 2 1 11 6 2

时, (2 1)

. ………………

c

min

2 2 2 2 4

20 分

12．已知正整数a 满足192 3 191，且 a 2009 ，求满足条件的所有可能 a 的正整数a 的和．

解：由192 a 191可得192 a 1．192 326，且

3 3 a 1 a 1 a(a

1)1 (a 1)a(a 1)(a 1)． 3 ………………5 分

因 为 a a 1 1 是 奇 数 ， 所 以 2

a 1 等 价 于 2 a 1 ， 又 因 为 6 3 6 3 (a 1)a(a 1) 所以 3 a 1 等价于 3 a 1 ．因此有 192 a 1，于是可得 ， 3 a 192k 1．

(15)

分

又 0 a 2009 ，所以 k 0，1，L ，10 ．因此，满足条件的所有可能的正整 数a 的和为

11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571．

(20)

分

13．如图，给定锐角三角形 AB C ， B C CA ，A D ，BE 是它的两条高， 过点C 作△AB C 的外接圆的切线l ，过点 D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为 F ，G ．试比较线段 DF 和 E G 的大小，并证明你的结论．

解法 1：结论是 D F E G ．下面给出证明． ………………5 分

因为FC D EAB ，所以 Rt △FC D ∽ Rt △EAB ．于是可得

C E

AB

同理可得

E G AD ． ………………10 分

（第 13A 题） ，所以有 BE C D A D CE ，于是可得 A D BE

C D C E

又因为 t an ACB

D F

E G ． ………………20 分

……………… 5 分

连接 DE ，因为ADB AEB 90，所以 A ，B ，D ，E 四点共圆，故

（第 13A 题）

CE D ABC ．

..................10 分 又 l 是⊙O 的过点 C 的切线，所以AC G AB C ． (15)

分

所以，CE D AC G ，于是 DE ∥F G ，故 DF ＝E G ．

………………20 分

14．n 个正整数 a ，a ，L ，a 满足如下条件：1 a a

L a

2009 ；

1

2

n

1

2

n

且 a ，a ，L ，a 中任意 n －1 个不同的数的算术平均数都是正整数．求 n 的最 1

2

n

大值．

解：设a ，a ，L ，a 中去掉 a 后剩下的 n －1 个数的算术平均数为正整数

1

2

n

i

(a a

L a ) a

b ，i i

1，2，L ，n ．即 b

． i 1

2

n

n 1

i

于是，对于任意的 1≤i j ≤n ，都有

a a

b b ， i

j

n 1 i j 从而 分

1 ( )．

(5)

n a a j

i

a a 2008

由于 b b

1 是正整数，故 n n 1

n 1 1 n

n 1 2 251． ………………

3 10 分

由于

a 1 a a

a

a

L a a

n

n

n 1

n 1

n 2

2

1

≥ n 1 n

1 L n 1 (n 1) ， 2

所以，(n 1)≤2008，于是n≤45.

2

………………

结合n 123251，所以，n≤9．

15分

另一方面，令a 801,a 811,a 821，…，a 871，

1238

a 82511，则这9个数满足题设要求．

9

综上所述，n的最大值为9 (20)

分