一元线性回归模型应用

例2.5.1讲解
从总体上考察中国居民收入与消费支出的关系。 下表给出了以１９９０年不变价测算的中国人均 国内生产总值（ＧＤＰＰ）与以居民消费价格指 数（1990年为100）缩减的人均居民消费支出 （CONSP）两组数据。这两组数据是1978-2000 年的时间序列数据（time series data), 即观测值是 连续不同年份中的数据，该表的数据与表2.1.1中 的数据不同，表2.1.1中的数据涉及的是同一年份 中不同居民家庭的可支配收入与消费支出，因此 也称为截面数据（cross-section data).
在例2.1.1中，当X=4000时，E(Y|X)的95%置信区间是
[3004.8-1.96×115.76， 3004.8+1.96×115.76]=[2777.9，3231.69]，其含 义是当这个社区有一部分居民收入达到4000元时，我 们以95%的概率断定这一部分居民平均月消费额在 2777.9元至3231.69元之间。
n
xiyi
ˆ 1
i1 n
x
2 i
i1
其中
ˆ
0
Y
ˆ1 X
Baidu Nhomakorabea
x iX i X ,y i Y i Y ,X 1 ni n 1X i,Y1 ni n 1Y i
解法2（用EViews软件）
Dependent Variable: CONSP Method: Least Squares Date: 10/02/07 Time: 23:47 Sample: 1978 2000 Included observations: 23
年份
197 8 197 9 198 0 198 1 198 2 198 3 198 4 198 5 198
人均居民消费支Y 出i
395.8 437.0 464.1 501.9 533.5 572.8 635.6 716.0 746.5 788.3 836.4 779.7 797.1 861.4 966.6 1048. 6
2、个别预测值的含义
个别预测值表示当总体回归函数为 E(Y|X)01X
的情况下，Y在 X X 0 时，条件均值为E(Y|X)01X0
其含义是当研究的总体中有一个个体，其自变量X的取
值为 X 0 时，该个体的因变量预测值是 E(Y|X)01X0
在例2.1.1 中，当总体自变量X的取值为400Y00 时，个别值 的预测值的点估计是3004.8元。表示当该社区居民中，若有 一额个是居3Y 00 民04其.8月元收。入达到4000元时，估计他（或她）的月消费
人均GDPX i
675.1 716.9 763.7 792.4 851.1 931.4 1059.2 1185.2 1269.6 1393.6 1527.0 1565.9 1602.3 1727.2 1949.8 2187.9 2436.1
解法1（手工算）
解题思路：根据一元线性回归模型参数的最小二乘估计表达式
X X0
其含义是当研究的总体的自变量X的取值为 X 0 时，该总体因
变量的均值是 E(Y|X)01X0 ，在例2.1.1中，当
X=4000时，E(Y|X=4000）=3004.8
表示当这个社区有一部分居民的月收入达到4000元时，该社区 这一部分居民平均消费水平将达到3004.8元。
总体均值的区间估计含义：
，所以有
t
2
P 7 4 .8 5 8 5 .1 5 0 .9 5
代入有关数据，查课本370页的t分布表，找到 =2.06，并计算
得
二、总体条件均值与个别值的预测值
1、总体条件均值E(Y|X)的预测值含义
在总体回归函数为 时，条件均值为
E E (Y (Y |X |X ) ) 0 0 1X 0 1X 的情况下，Y在
个别值 的区间估计含义
若在该社区中，有一个居民其月收入达到4000元时，他（或 她30）04的.8月+1消.9费6×Y 额0 1的639.751%]，置也信就区是间[是26[38X030.94X30.8，E -(Y 13.|39X 26)5× . 610 76 ]3 。1 .X 7表0 1，示X 意0 义是我们可以以95%的概率断定他（或她）的月消费额在
§2.4 一元线性回归分析的应 用：预测问题
一、区间估计有关知识的回顾 二、条件均值和个别值的预测值的估计 三、实例：时间序列问题及其他典型例
四、作业 五、附录
一、区间估计有关知识的回顾
1、点估计 根据总体参数的性质构造一个统计量，然后由样本资料计算 出统计量的值，并直接作为相应的总体参数值得替代。常 见的点估计有最小二乘估计、极大似然估计、矩估计等。
（ 0.）01
x 解：根据题意，n=100, =80，S=25，由统计学原理知，在原假设成立时， 统计量
t x
服从自由度为25的t分布，其分布图象大致是
S
0.025
n
2
0.025
2
t
t
2
2
t统计量的值落 t在 下面的等式成立2
t 与 2
之间1 的概率是
P t 2
x
S
t
2
1
n
2、区间估计 区间估计就是用两个估计值所构成的实轴区间作为总体参
数或这取就 ˆ值是2 直的区接可间替能估换范计围。 就。是设点 ˆ 1估和计，ˆ 2 是若用 （的两 ˆ 1 ，个估 ˆ 2）计估量计，用， ˆ 1
举例说明
一大型超市为研究顾客的购买额，抽取了100个客户作样本，这些顾客
平均花费水平为80元，标准差是25元，试求总体平均购买额的变化范围
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C
201.1189
GDPP 0.386180
14.88402 0.007222
13.51241 53.47471
2从其预）不V6a上测同总8，r3(面值所体.但Y9ˆ0的和致均3是)至分个。E，3(V 析别它Y3它ˆa|22rX知值们5们((=1.E 道的6的(7Y ，方元区1n|)的对差之X 间预同分间估n(测一别X 。计X(0 值个是X0是))的i总不X点体同ˆX)2估，2(的)1 n2计当。)是自这i n ˆ(相变1是2X (同量X 0因 in的为X 1(X 都它2)2)是i们2n1)的(Y时i方，差Yˆi)2 i1