直线和平面的投影.

2）求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
b
B
AB
b

a
X
|YA-YB|

O C
A
b
a
AB
ab
|YA-YB|
a
X
ab

b
AB
a
|YA-YB|
|YA-YB|
52
3）求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
Z
b
Z
b
a
B b
a
b
a

X
O
YW
X
O
b
b
A
a
a
Ya
YH
|XA-XB|
ay
Z
V
a
●
az
A
X ax
●
● a
W O
a●
ay
Y
a●
ay
点的投影规律:
H Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
② aaaaaaxyx===aaaaaazz=y==xyz===AAA到到到WVH面面面的的的距距距离离离
24
点的三面投影和坐标的关系为：
Z
水平投影 a 反映A点
V a'
30
各种位置点的投影
空间点 点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其
三个投影都不在投影轴上。
投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一 个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投 影轴上。
投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个 投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上 。
与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个 投影都与原点重合。
一般位置直线(∠) 与三个投影面都倾斜的直线,具有类似性
46
正平线
投影面平行Байду номын сангаас的投影特性
(1) a＇b＇ =AB, 反映α 、γ角
(2)ab//OX 轴, a"b"//OZ 轴
水平线
(1) cd=CD ,反映β、γ角
(2)c＇d＇ //OX轴, c"d"//OYW轴
47
侧平线
(1) e"f"=EF, 反映α、β角
1）.视图的概念
宽 高
视图就是将物体向投影面
投射所得的图形。
长
宽
主视图 —— 实体的正面投影 俯视图 —— 实体的水平投影 左视图 —— 实体的侧面投影
2）.三视图之间的度量对应关系 (三等关系)
主俯视图 主左视图
俯左视图
长对正 高平齐 宽相等
12
3）三视图之间的方位对应关系
Z V
上
左
右上
上
下后
O
后 前
X
左
右
后下 前
下
左
右
前
Y 13
上 左
下 后 左
上 右后 前
下
右
前
主视图反映：上、下 、左、右 俯视图反映：前、后 、左、右 左视图反映：上、下 、前、后
14
4、三视图的绘制
将物体自然放平，一般使主要表面与投影面平行或 垂直，进而确定主视图的投影方向 整体和局部都要符合三视图的投影规律 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓线用线绘 制，当虚线与实线重合时画实线 特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方位关系
20
三、点的三面投影
投影面
正面投影面（简称正
V
面或V面）
水平投影面（简称水 平面或H面）
X
侧面投影面（简称侧 面或W面）
投影轴
OX轴 V面与H面的交线 OY轴 H面与W面的交线
OZ轴 V面与W面的交线
Z
oW
H
Y
三个投影面 互相垂直
21
空间点A在三个投影面上的投影
a 点A的正面投影 V a●
平行投影特性
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好 直观性较差
6
3.平面和直线的投影特点
V
V
1、物体上与投影面平行的平面的投 影反映实形；与投影面平行的线段的 投影反映其实长。
2、物体上与投影面垂直的平面的投 影成为一直线；与投影面垂直的直线 的投影成为一点。
3、物体上倾斜于投影面的平面的投 影成为缩小的类似形；倾斜于投影面 的直线的投影比实长短。
第二章
点、直线和平面的投影
1
2·1 投影的基本知识
一、投影法分类
画透视图
中心投影法
画斜轴测图
投影方法
斜角投影法
平行投影法
直角投影法（正投影法）
画工程图样 及正轴测图
2
1.中心投影法
这种投射线都通过投射中心 的投影法称为中心投影法。 中心投影法常用来绘制建筑 物的透视图，以及产品的效
果图。
思考
1 )在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小? 2 )当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变? 3 )中心投影能否满足绘制工程图样的要求?
31
四、两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空
a●
间的上下、前后、左右位置关系。
b●
X
判断方法：
a●
●
▲ x 坐标值大的在左
b
Z ●a ● b YW
YH
▲ y 坐标值大的在前 ▲ z 坐标值大的在上
B点在A点之 前、之右、之 下。
32
已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米， 求A点的投影。
的同名投影分割成与空
A
b
间相同的比例。即：
ac
H
AC/CB=ac/cb= ac / cb
若点的投影有一个不 在直线的同名投影上， 则 该点必不在此直线上。
定比定理
56
直线上的点具有两个特性：
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面 投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在 直线上。
53
已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
AB
b
|zA-zB|
a
AB
|zA-zB|
X

AB
|yA-yB|
a

ab
b ab
54
2.4 直线与点及两直线的相对位置
一、直线与点的相对位置
55
点在直线上的判别方法：
若点在直线上,
V c
b
B
则点的投影必在直线的 a C
同名投影上。并将线段
一、直线的投影特性
a●
直线对一个投影面的投影特性
A●
B
●
M●
A●
b●
●B
α A●
B●
●
a≡b≡m
●b a●
●b a●
直线垂直于投影面 直线平行于投影面 投影重合为一点 投影反映线段实长
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
积聚性
ab=AB
ab=ABcosα
39
1、投影面平行线
水平线
正平线
40
侧平线
水平线
1.直线在与其所垂直的投影面上的投影积聚成 一点
2.直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相 应的投影轴，且反映该线段的实长
50
1）求直线的实长及对水平投影面的夹角角
b
B
a
X
|zA-zB|
a
X O
C
A
b
a
a
AB

ab
|zA-zB|
b
AB
|zA-zB|
ab b
|zA-zB |
AB
51
b
b a
投影特性：
三个投影都缩短。 即: 都不反映空间线段 的实长及与三个投影面 夹角的实大，且与三根 投影轴都倾斜。
45
二、直线在三个投影面中的投影特性
投影面平行线(∥ )
侧平线（平行于Ｗ面）W面反映实形 正平线（平行于Ｖ面）H面反映实形 水平线（平行于Ｈ面）H面反映实形
投影面垂直线(⊥)
侧垂线（垂直于Ｗ面）W面积聚为点 正垂线（垂直于V面） W面积聚为点 铅垂线（垂直于H面） W面积聚为点
正平线
a b a b 实长 a
a
b α γ
b
侧平线
a
a 实长
β
b
α b
a β γ
b
实长
a
ba
b
与H面的夹角:α 与V面的角:β
与W面的夹角: γ
投 影 特 性：
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。
② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。
X和Y的坐标；
正面投影 a'反映A点
X和Z的坐标；
X
侧面投影a"反映A点
Y和Z的坐标。
y Ax
z
Ha
W
a" O
Y
25
例：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a●
ax
az ●a
通过作45°线 使aaz=aax
a●
解法二:
用分规直接量 取aaz=aax
a● ax
a●
az
a
●
26
特殊位置点：
(2)e＇f＇ //OZ 轴， ef//OYH轴
投影面平行线的投影特性: 1.直线在与其平行的投影 面上的投影,反映该线段的实长和与其他两个投影面 的倾角2.直线在其他两个投影面上的投影分别平行 于相应的投影轴,且比线段的实长短
48
投影面垂直线的投影特性
名 称
轴测图
投影图
投影特性
(1) a＇b＇'积聚成一
2 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
3
中心投影法的投影特性
度量性较差 直观性投射中心、物体、投影面三者 之间的相对 距 离对投影的大小有影响. 直观性较强
4
2.平行投影法
1）正投影法：投射线垂直于投影面的投影法。 如图b 所示。 2）斜投影法：投射线倾斜于投影面的投影 法。 如图c 所示。
5
思考:
1 沿投影方向移动物体,其正投影的大小变不变? 2 物体的投影有否可能反映某一个面的实形? 3 正投影能否满足绘制工程图样的要求?
15
例1 由物体的立体图画三Y视1 图
前
Y2
前
16
Y2
例2
17
2·2 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
过空间点A的投射线与投 影面P的交点即为点A在P面 上的投影。
点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。
● a A●
P ● b
B1 B2 ● B3 ●
●
18
二、点在两投影面体系中的投影
27
例：已知点的两投影，求其第三投影
d’
x
a’ e’
da
e
z
d’’
f’
f’’
a’’
e’’
YW
0
f
YH
28
点的投影规律
点的正面投影与水平投 影的连线垂直于OX轴： 点的正面投影与侧面投 影的连线垂直于OZ轴： 点的水平投影到OX轴的 距离等于点的侧面投影 到OZ的距离。
29
点的投影与直角坐标的关系
1、两投影面体系的建立
2、点在两投影面体系中的投影
V a
A
Z
X
X
O
Y
Ha
A点的水平投影 ——a
19
A点的垂直投影 ——a
3、点在两投影面体系中的投影规律
1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴 2）点的正面投影到OX轴的距离反映该点到H面的距离；点的 水平投影到OX轴的距离反映该点到V面的距离。 点的投影到相应投影轴的距离，反映空间点到相应投影面的 距离.
被挡住的投 影加“( )”
c●
●c
●
a (c)
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
36
重影点及可见性判别
若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上， 则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该 投影面的重影点。
重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从 投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个 点的投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时， 需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的 点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号 表示。
若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影
轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、Y
、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的 坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。
点的一个投影反映了点的两个坐标。已
知点的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定
，即空间点是唯一确定的。因此已知一个点的任意 两个投影即可求出其第三投影。
41
2、 投影面垂直线
铅垂线
正垂线
42
侧垂线
铅垂线
正垂线
侧垂线
a
a
c(d) d c ●
e f e(f) ●
b
b
d
●
a(b)
c
ef
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
43
3、 一般位置直线
44
b a a
7
二、 多面正投影体系的建立和投影规律
1.观察与思考
单一正投影能
不能完全确定
物体的形状和
大小?
8
两个投影面呢?
9
三个投影面呢?
10
2、三视图的形成
俯视
规定 : V面保持不动，H面向下向后 绕OX轴旋转900，W面向右向后绕OZ
轴旋转900。
Z
z
V
X
左视
O
主视
x
Y
0
y
y
11
3、三面投影与三视图
正 垂 线
点 (2)ab垂直OX轴， a"b"垂直OZ轴，
ab=a"b"=AB
(1)cd积聚成一点
铅 垂 线
(2)c＇d＇垂直OX轴 ，
c"d"垂直OYW轴， c＇d＇=c"d"=CD
49
(1)e"f"积聚成
一点
(2)e＇f＇垂直
侧 垂 线
OZ轴， ef垂直OYH
轴，
e＇f＇
=ef=EF
投影面垂直线的投影特性：
37
2.3 直线的投影
直线相对投影面的种类
投影面平行线 平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线
投影面垂直线 垂直于一个投影，平行于另二个投影面 的直线
一般位置直线
倾斜于三个投影面的直线。
38
两点确定一条直线，将两点的同 a●
名投影用直线连接，就得到直线的
b
●
同名投影。
●a ● b
a 点A的水平投影 X
A
●
a 点A的侧面投影
a●
Z
● a
o
W
H Y
空间点用大写字母 表示，点的投影用 小写字母表示。
22
V a
●
X
ax
a● H
Z
az
O
ay
Y
不动
W ●a
Y
ay
V a
●
X ax
向下翻
Z
向右翻
az
A
●
a● H
● a
O
W
ay
Y
投影面展开
23
a ●
X ax
Z az
a
●
O
Y
Z
a
a
9
b
X
O
8
5
b
a YH
b
YW
33
两点的相对位置的判定方法
两点左右位置关系，Ｘ大者在左方。 两点的上下位置关系，Ｚ大者在上方。 两点前后位置关系，Ｙ大在前方。
34
重影点：
35
重影点举例： A、C为H面的重影点
a ●
●a
空间两点在某一投影面上的 投影重合为一点时，则称此两点 为该投影面的重影点。