交通咨询系统设计

3．交通咨询系统设计（最短路径问题）

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3.1【问题描述】

在交通网络非常发达,交通工具和交通方式不断更新的今天,人们在出差、旅游或做其他出行时，不仅关心节省交通费用，而且对里程和所需要的时间等问题也感兴趣。对于这样一个人们关心的问题，可用一个图结构来表示交通网络系统，利用计算机建立一个交通咨询系统。图中的顶点表示城市，边表示城市之间的交通关系。这个交通系统可以回答出行旅客提出的各种路径选择问题。例如，问题之一：“一位旅客要从A 城到B 城，他希望选择一条途中中转次数最少的路线。”假设图中每一站都需要换车，那么这个问题反映到图上就是要找一条从顶点A 到顶点B 的所含边数目最少的路径。我们只需要从顶点A 出发对图作广度优先搜索，一旦遇到顶点B 就终止。由此所得广度优先生成树上，从根顶点A 到顶点B 的路径就是中转次数最少的路径。路径上A 与B 之间的顶点就是路径的中转站，但这只是一类最简单的图的最短路径问题。系统还可以回答诸如此类的等等的路径选择问题。

设计一个交通咨询系统，为出差、旅游或做其他出行的客人提供各种路径选择信息查询服务。

3.2【设计需求及分析】

设计一个交通咨询系统，能让旅客咨询从任一个城市顶点到另一城市顶点之间的最短路径（里程）或最低花费或最少时间等问题。对于不同的咨询要求，可输入城市间的路程或所需时间或所需费用。

本设计共分三部分，一是建立交通网络图的存储结构；二是解决单源最短路径问题；三是实现任两个城市顶点之间的最短路径问题。

3.2.1建立图的存储结构

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵。图的邻接矩阵是定义如下的n 阶方阵：

设G=（V ，E ）是一个图，结点集为

{}

n v v v V ,,,21 =。

G 的邻接矩阵,E

,,0E

,,)(,)(⎪⎩⎪⎨

⎧>∉<∞>∈<==⨯⨯j i j i j i j i n n j i ij n n ij v v v v v v v v w a a A ）或当（，或）或当（，

当邻接矩阵的行表头、列表头顺序一定时，一个图的邻接矩阵表示是唯一的。 图的邻接矩阵表示，除了需用一个二维数组存储顶点之间的相邻关系的邻接矩阵外，通常还需要使用一个具有n 个元素的一维数组来存储顶点信息，其中下标为i 的元素存储顶点

3.2.2单源最短路径

最短路径的提法很多。在这里先讨论单源最短路径问题：即已知有向图（带权），我们希望找出从某个源点S ∈V 到G 中其余各顶点的最短路径。

为了叙述方便，我们把路径上的开始点称为源点，路径的最后一个顶点为终点。

那么，如何求得给定有向图的单源最短路径呢？迪杰斯特拉（Dijkstra ）提出按路径长度递增产生诸点的最短路径算法，称之为迪杰斯特拉算法。

迪杰斯特拉算法求最短路径的实现思想是：设G=（V ，E ）是一个有向图，结点集为，

}v ,,v ,{v V n 21⋯=，cost 是表示G 的邻接矩阵，cost[i][j]表示有向边的权。若不存在

有向边，则cost[i][j]的权为无穷大（这里取值为32767）。设S 是一个集合，其中的每个元素表示一个顶点，从源点到这些顶点的最短距离已经求出。设顶点v 1为源点，集合S 的初态只包含一个元素，即顶点v 1。数组dist 记录从源点到其他顶点当前的最短距离，其初值为dist[i]=cost[v 1][i],i=1,2,……,n 。从S 之外的顶点集合V-S 中选出一个顶点w ，使dist[w]的值最小。于是从源点到达w 只通过S 中顶点，把w 加入集合S 中，调整dist 中记录的从源点到V-S 中每个顶点v 的距离：从原来的dist[v]和dist[w]+cost[w][v]中选择较小的值作为新的dist[v]。重复上述过程，直到V-S 为空。

最终结果是：S 记录了从源点到该顶点存在最短路径的顶点集合，数组dist 记录了源点到V 中其余各顶点之间的最短路径，path 是最短路径的路径数组，其中path[i]表示从源点到顶点i 之间的最短路径的前驱顶点。

3.2.3任意一对顶点间最短路径

任意一对顶点间最短路径问题，是对于给定的有向网络图G=（V ，E ），要对G 中任意一对顶点有序对“v,w(v ≠w)”,找出v 到w 的最短路径。

要解决这个问题，我们可以依次把有向网络图中每个顶点作为源点，重复执行前面讨论的迪杰斯特拉算法n 次，即可以求得每对顶点之间的最短路径。

这里还可以用另外一种方法，称作费洛伊德（Floyd ）算法。

费洛伊德（Floyd ）算法算法的基本思想是：假设求从顶点 v i 到v j 的最短路径。如果从v i 到v j 存在一条长度为arcs[i][j]的路径，该路径不一定是最短路径，还需要进行n 次试探。首先考虑路径和是否存在。如果存在，则比较和< v i ,v 1,v j >的路径长度，取长度较短者为当前所求得的最短路径。该路径是中间顶点序号不大于1的最短路径。其次，

考虑从v i到v j是否包含有顶点v2为中间顶点的路径，若没有，则说明从v i 到v j的当前最短路径就是前一步求出的；若有，那么可分解为和,而这两条路径是前一次找到的中间顶点序号不大于1的最短路径，将这两条路径长度相加就得到路径的长度。将该长度与前一次中求出的从v i到v j的中间顶点序号不大于1的最短路径比较，取其长度较短者作为当前求得的从v i到v j的中间顶点序号不大于2的最短路径。依此类推，直到顶点v n加入当前从v i到v j的最短路径后，选出从v i到v j的中间顶点序号不大于n的最短路径为止。由于图G中顶点序号不大于n，所以v i 到v j的中间顶点序号不大于n的最短路径，已考虑了所有顶点作为中间顶点的可能性，因此，它就是v i到v j的最短路径。

3.3【设计功能的实现】（用C或C++语言描述）

#include

#include

#define MVNum 100 /*最大顶点数*/

#define Maxint 35000

enum boolean{FALSE,TRUE};

typedef char Vertextype;

typedef int Adjmatrix;

typedef struct

{

Vertextype vexs[MVNum]; /*顶点数组，类型假定为char型*/

Adjmatrix arcs[MVNum] [MVNum]; /* 邻接矩阵，假定为int型*/ } MGraph;

int D1[MVNum], p1[MVNum];

int D[MVNum][MVNum],p[MVNum][MVNum];

/*文件名save.c*/

void CreateMGraph(MGraph *G,int n,int e)

{ /*采用邻接矩阵表示法构造有向图G,n,e表示图的当前顶点数和边数*/ int i,j,k,w;

for(i=1;i<=n;i++) /*输入顶点信息*/

G->vexs[i]=(char)i;

for(i=1;i<=n;i++)

for(j=1;j<=n;j++)

G->arcs[i][j]=Maxint; /* 初始化邻接矩阵*/

printf ("输入%d条边的i,j及w: \n",e);

for(k=1;k<=e;k++)

{ /*读入e条边,建立邻接矩阵*/

scanf("%d,%d,%d",&i,&j,&w);

G->arcs[i][j]=w;

}

printf ("有向图的存储结构建立完毕！\n");

}

/*文件名:dijkstra.c(迪杰斯特拉算法）*/