列方程解决平面图形问题
列方程解平面图形问题
一、引入。
同学们，下面这道平面图形问题你会解答吗?
已知图1中平行四边形的面积是48平方厘米，求阴影三角形面积是多少平方厘米?
1．学生尝试解答。
学生可能出现如下两种解法：
①根据平行四边形的面积是48平方厘
米、高是6厘米，可以求出平行四边形的底;
三角形的高和平行四边形相同,底比平行四
边形少5厘米,所以求出平行四边形的底,就
能求三角形的面积。
48÷6=8（厘米）(8－5）×6÷2=9(平方厘米)
②这个三角形只给出了高，它的面积不能直接计算出来，可先把平行四边形分割成三部分(如图2）,因为两边的两个三角形面积是相等的,中间的长方形面积又可求，所以阴影三角形面积等于(48-5×6)÷2=9(平方厘米)
2.引导学生用代数方法解决问题。
第一种方法通过逆向思考，先求出平行四边形的底，再求出三角形的面积；第二种方法利用图形的特征，对图形进行巧妙地分割。解决这个问题还可以用代数方法，设三角形的底为a,根据平行四边形面积为48,高为6,可列出方程: （5+a）×6=4８
解方程，求得ａ＝３
所以三角形面积为3×６÷２=９（平方厘米)
这是一道比较简单的问题，用上述三种方法都能解决。如果是比较复杂的问题,用算术方法解决会非常困难,而代数方法会越来越有优势。这一单元我们就一起来研究列方程解平面图形问题。
例1：长方形ABFＥ的宽是8厘米，如果长增加4.5厘米，得到新图形AB ＣD的面积是１68平方厘米。如下图,求原长方形的面积。
由于新图形的宽与原长方形相同,学生会逆向思考，求出新长方形的长，用算术方法解决问题。
168÷８=２1（厘米)(21－4.5)×8＝１32(平方厘米）
根据题意，新长方形的长比原长方形的长多4.５厘米，我们可以利用这一关系设未知数，利用新长方形的面积是168平方厘米列方程。
解：设原长方形的长为x厘米，根据题意列方程得:
(x＋４.5）×8＝１68
ｘ＋４.５=２1
x=16.５
１6.5×8=132(平方厘米）
答：原长方形的面积为132平方厘米。
由于长方形的长是未知的，用算术方法解决问题需要逆向思考,根据面积求出边长；而代数方法则是用字母表示未知数量,直接应用面积的计算方法列出方程。在解决复杂问题时，用代数的方法,正向思考会更简单。
例2：在长方形ABCＤ中,放入６个形状、大小相同的小长方形(如图),求小长方形的宽。
题目中大、小长方形长与宽的关系比较隐蔽,我们必须认真观察图形,找到数量之间的关系。
请同学们认真观察图形,你发现小长方形的长、宽,大长方形长、宽与已知数据之间有哪些关系？
通过观察，引导学生发现：小长方形的长+3个小长方形的宽=大长方形的长=14厘米,小长方形的长+小长方形的宽=大长方形的宽，2个小长方形的宽＋６厘米＝大长方形的宽。
如果设小长方形的宽为x厘米,根据上面的关系式你能找到相等的关系吗?由小长方形的长+３个小长方形的宽=大长方形的长＝14厘米可以表示出小长方形长为１4-3ｘ厘米,再根据小长方形的长+小长方形的宽=大长方形的宽,可以表示出大长方形的宽为１４-3x+x=１4－２x厘米；根据2个小长方形的宽＋6厘米＝大长方形的宽,大长方形的宽还可以表示为2x＋６厘米。利用宽相等可以列出方程。
解：设小长方形的宽为ｘ厘米,根据题意列方程为:
１４－2ｘ＝２x＋６
４ｘ=8
x=2
答:小长方形的宽为2厘米。
题目给的条件比较少，同学们要注意从图中挖掘隐蔽条件,从图形中分析出大长方形的宽可以用１4-2x和２x＋6两种方式表示，根据这一等量关系列方程解答。
例3:如图,将一个三角形纸片折叠一下（如下图)，原来三角形的面积是现在纸片盖住面积的1.5倍。如果阴影部分的面积是1平方厘米，那么这个三角形的面积是多少平方厘米？
折叠后图形中出现了重叠部分(四边形DEFＧ),所以图形的面积变小了。观察图形,你能发现变化前、后图形面积之间的关系吗?
三角形ABC面积=阴影面积+２个重叠部分的面积，折叠后图形的面积=阴影面积+1个重叠部分的面积。
解：设四边形DEFG的面积为x平方厘米。
X＋x＋１=(x+1）×1．5
0.5x=0.5
X=1
三角形AＢC的面积为:1+１+１=3(平方厘米)
答：三角形的面积为3平方厘米。
用代数方法解决问题,发现图形面积之间的关系，寻找到等量关系是解决问题的关键。而这些关系往往隐藏在图形之中，需要我们认真观察图形,挖掘出隐
蔽的数量关系。
例4:在直角三角形中截出一个面积最大的正方形（如图1）。求这个正方形的面积。（单位：厘米）
直接观察图形，我们很难发现三角形与正方形之间的关系。在这种情况下，我们需要考虑添加辅助线，沟通图形之间的联系。
连接BＤ后,就可以把大三角形分成两部分，即三角形ABD和三角形ＢDC，这两部分都与正方形有直接联系,正方形的边长是每个三角形的高，只要用字母表示正方形的边长，就能表示出每个三角形的面积。这样题目的等量关系就显现出来了:三角形ABC的面积等于三角形ABD与三角形BCＤ的面积和。
解：设正方形的边长为ｘ米。
3x÷２+７x÷２=３×7÷２
x＝2.1
2.1×2．1=4.41（平方厘米)
答:这个正方形的面积是4．41平方厘米。
直接观察图形，我们只知道正方形在三角形之内，他们之间的关系却很难发现。添加辅助线后,正方形与三角形之间就有了直接联系，等量关系也显现出来。用代数方法解决比较复杂的平面图形问题，添加辅助线是我们经常采用的方法。
例5:如下图,梯形ＡBCD的面积是45平方厘米，下底AＢ长1０厘米,高E Ｆ长6厘米,三角形DOC的面积为5平方厘米，求三角形ＡBO的面积是多少平方厘米?
通过分析,学生可能会用算术方法解决问题。
要想求出三角形ABO的面积，需要求出高ＯF,因为已知梯形的高EF为6厘米,所以只要求出三角形ＤOC的高ＯE即可。三角形DOC的面积已知,求它的高，需先求出DC的长度，而ＤC的长度可由梯形的面积公式求出。
4５×2÷６=１5（厘米）
5×2÷(1５－１0)=2（厘米)
1０×（6－2)÷2=20（平方厘米)
①如果设梯形的上底DC长x厘米，你会列方程解决问题吗?
解:设ＤC边长x厘米
（x+10）×6÷2=4５
解方程得x=５
根据三角形DOC面积为5平方厘米，由三角形面积公式可以求出OＥ的长：５×２÷5=2（厘米）
所以OF=6-2=４（厘米）
三角形ABO面积=1０×4÷2=20(平方厘米）
②如果设三角形AＢO的面积为x平方厘米,你会列方程解决问题吗？
整体观察图形可以发现,三角形ABC与三角形AＢＤ是等高同底的三角形,它们的面积必相等。在这两个三角形中,显然三角形ABO“重叠”一次,如果加上已知的
三角形ＤOC的面积,正好是梯形ABCD的面积又多了一个三角形ABO的面积。所以:
三角形ABO面积+梯形AＢCＤ面积=三角形ＡBＤ面积+三角形AＢＣ面积＋三角形ＤOC面积
解:设三角形ＡBO的面积为ｘ平方厘米。
X+45＝１0×6÷2×2+5
Ｘ=20
所以,三角形ＡBO的面积为20平方厘米。
本题用算术方法解答,需要逆向思考,两次运用面积公式计算边的长度,用代数方法解答就可以回避逆向思考带来的麻烦。我们介绍了两种代数方法,第二种方法更简单，需要我们有整体观察发现图形面积之间关系的能力。
例6:如下图，在三角形ABＣ中,D为BC边中点，BF＝错误!ＡＢ,已知四边形ＢDEF的面积是３5cｍ2。求三角形ＡBC的面积。
通过以前的学习，我们知道如果两个三角形的底、高有关系,它们的面积之间就有关系。为了便于比较图形面积之间的关系,我们连接BE。通过观察比较，你能发现哪些三角形面积之间的关系？
因为D是BＣ的中点，所以三角形B
ＤＥ的面积=三角形CDE的面积,三角形
BDA的面积=三角形CＤA的面积;因为Ｆ是
错误!点,所以三角形AＥF的面积＝2倍三角
形ＢＥF的面积。
连接BE,设三角形BDE的面积为ａ,设三角形
BFE的面积为b。
因为BF= 错误!AB，所以S
△ＡEF =2S
△BEF
＝2ｂ
因为D为ＢC边中点,所以S
△BＤＥ=Ｓ
△ＣDE
=ａ
S
△ＢDA =Ｓ
△ＣDA
＝a＋3b
S
△BAE =Ｓ
△ＣAＥ
（等量减等量差相等)
设三角形ABC的面积为“１”
思路一：2b+３ｂ=2(２a+b)
5b=４a+2b
3b=４ａ
S
△ABC
＝10a
∴a= ＼F(1,１0) b= 错误!
∴a＋b＝
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