最新2019高中数学单元测试《导数及其应用》专题测试题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷
导数及其应用
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．对于R上可导的任意函数()fx，若满足(1)()0xfx≥，则必有（C ）

Ａ．(0)(2)2(1)fff Ｂ．(0)(2)2(1)fff≤
Ｃ．(0)(2)2(1)fff≥ Ｄ．(0)(2)2(1)fff

2．函数13)(3xxxf在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( )
(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-19(2004江苏)
3．已知函数()fx在R上满足2()2(2)88fxfxxx，则曲线()yfx在点
(1,(1))f
处的切线方程是

（A）21yx （B）yx （C）32yx （D）23yx
（2009安徽卷理）[解析]：由2()2(2)88fxfxxx得
2
(2)2()(2)8(2)8fxfxxx

，

即22()(2)44fxfxxx，∴2()fxx∴/()2fxx，∴切线方程为
12(1)yx，即210xy
选A

二、填空题
4．定义函数集合,0,0xfxfNxfxfM(其中xf为xf的导

函数，xf为xf的导函数)，NMD,以下5个函数中

① xexf，②xxfln，③0,,2xxxf，
④,1,1xxxxf，⑤2,0,cosxxxf
属于集合D的有 ①③④
5．定义函数(),(),(),()KfxfxKfxKfxK≤（K为给定常数），已知函数225()3ln2fxxxx，
若对于任意的(0,)x，恒有()KfxK，则实数K的取值范围为 ▲ ．
6．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则
max)(ab
________

7
．设axxxxf22131)(23（20a），若)(xf在]4,1[上的最小值为316，

则)(xf在区间]4,1[上的最大值为 .
8．函数3()45fxxx的图像在1x处的切线在x轴上的截距为__ ▲_____.
9．函数()(1)sinπ1(13)fxxxx的所有零点之和为 ▲ ．

10．当210x时，21|2|3xax恒成立，则实数a的取值范围是___▲________．

11．曲线12xxeyx在点（0,1）处的切线方程为 ．
12．函数sinxyex在[0,]上的单调递增区间是 ．
13．已知曲线xey上一点P（e,1）处的切线分别交x轴、y轴于A，B两点，O为坐标
原点，则△OAB的面积为 。

14．已知函数xxxf3)(3，过点)6,2(P作曲线)(xfy的切线的方
程 ．
15．已知xR，奇函数32()fxxaxbxc在[1,)上单调，则字母,,abc应满足
的条件是__________．

三、解答题
16． 函数1)1(2132)(23axxaxxf在区间（1，2）上为增函数，求实数a的取
值范围.

17．已知函数)(,4)(23Rxbxaxxxf在2x处取得极小值．
（Ⅰ）若函数)(xf的极小值是4，求)(xf；
（Ⅱ）若函数)(xf的极小值不小于6，问：是否存在实数k，使得函数)(xf在

,3kk
上单调递减.若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由.

18． （本题满分16分）设函数xaexxf41121)(（其中a是非零常数，e是自然对数
的底），记1()()nnfxfx（2n，nN*）
（1）求使满足对任意实数x，都有)()(1xfxfnn的最小整数n的值（2n，
n
N*）；

（2）设函数)()()()(54xfxfxfxgnn，若对5n，nN*，)(xgyn都

存在极值点ntx，求证：点))(,(nnnntgtA（5n，nN*）在一定直线上，并求出该
直线方程；
（注：若函数)(xfy在0xx处取得极值，则称0x为函数)(xfy的极值点.）

（3）是否存在正整数4kk和实数0x，使0)()(010xfxfkk且对于nN*，
)(xf
n
至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的k和0x，若不存在，说明理由．
19．己知函数f(X) = x2e-x
(I)求f(x)的极小值和极大值;
(II)当曲线y = f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围. （2013年
高考课标Ⅱ卷（文））

20．已知函数f(x)=(x－a)2()xb,a,b为常数，
(1)若a b,求证：函数f(x)存在极大值和极小值
(2)设(1)中 f(x) 取得极大值、极小值时自变量的分别为12,xx，令点A 11(,()xfx)，B

22
(,()xfx
),如果直线AB的斜率为12，求函数f(x)和/()fx的公共递减区间的长度

(3)若/()()fxmfx对于一切xR 恒成立，求实数m,a,b满足的条件

21．已知函数2()42ln,,0fxxxaxaaR().
（1）当8a时，求函数()fx的单调区间；

（2）求函数()fx在区间2[,]ee上的最小值．

22．已知函数
axxaaxxf2ln)2143(21)(22
(1)当21a时，求)(xf的极值点;
(2)若)(xf在'()fx的单调区间上也是单调的，求实数a的范围.

23．已知||2||0ab，且关于x的函数3211()||32fxxaxabx在R上有极值，
则a与b的夹角范围为___▲___．

24．已知函数()fx的图象在[,]ab上连续不断，定义：
1()min{()|}fxftatx([,])xab，2()max{()|}fxftatx([,])xab．
其中，min{()|}fxxD表示函数()fx在D上的最小值，max{()|}fxxD表示函数
()fx
在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得21()()()fxfxkxa对任意的
[,]xab
成立，则称函数()fx为[,]ab上的“k阶收缩函数”．
（Ⅰ）若()cosfxx，[0,]x，试写出1()fx，2()fx的表达式；

（Ⅱ）已知函数2()fxx，[1,4]x，试判断()fx是否为[1,4]上的“k
阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；
（Ⅲ）已知0b，函数32()3fxxx是[0,]b上的2阶收缩函数，求b的取值范围.

25．设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的[03]x，，都有2()fxc成立，求c的取值范围．
关键字：多项式；已知极值；求参数的值；恒成立问题；

26． 已知函数，a＞0，
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设a=3，求在区间{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。
【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。
第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数()fx在21,e上的值域。

27．某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x>6），年销量为u万件，若已知
u

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与2)421(x成正比，且售价为10元时，年销量为28万件.
(1）求年销售利润y关于x的函数关系式；
(2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润.
28．已知函数fx=lnx,gx=ax+bxa0.212（）（）（）
(I）若2a= , hx=fxgx－时函数（）（）－（） 在其定义域是增函数，求b的取值范围；
(II）在（I）的结论下，设函数2xxj(x)=e+be,x[0,ln2],j(x)∈求函数的最小
值；
(III）设函数)(xf的图象C1与函数)(xg的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x
轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的
切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.

29．已知函数f(x)=ln2(1+x)-21xx.
(I) 求函数()fx的单调区间;
(Ⅱ）若不等式1(1)aaen对任意的N*n都成立（其中e是自然对数的底数）.
求的最大值. （湖南卷21）

30．已知3x是函数2ln110fxaxxx的一个极值点。
(Ⅰ）求a；
(Ⅱ）求函数fx的单调区间；

(Ⅲ）若直线yb与函数yfx的图象有3个交点，求b的取值范围。（四川卷22）